备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题32线性规划问题的求解策略(原卷版)
备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题
32 线性规划问题的求解策略（原卷版）
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【高考地位】
线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来，
高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生
解决综合性问题的能力。在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题. 【方法点评】
类型一线性目标函数问题使用情景:求目标函数的最值
解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域;
第二步平移目标函数的直线系，根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解;
第三步得出结论.
x0，?,,例1 已知实数满足不等式组y,2,则的最大值是
___________( 2xy,xy,?,,220,xy，,?,
xy，,,230,
,xy，,,330x例2 已知、满足不等式组，则的最大值是 ( yzxy,，2,
,y,1,
y,2,
,xy，,1【变式演练1】已知变量满足约束条件:，若表示的区域面积为4，则,,xy,,
,xya,,,
的最大值为___________. zxy,,3
xk,,
,xy，,,40k【变式演练2】已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数的,
,xy,,0,
值为( )
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专业文档 A(0 B(1 C.1或3
D(3
类型二非线性目标函数问题使用情景:求非线性目标函数的最值
解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域;
第二步借助目标函数的几何意义，并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率问题、两点的距离的平方等;
第三步得出结论.
x,0,,
y,1,xy,,0,例3 已知不等式组则的最大值为 ( z,,x，1,4312xy，,，,
360xy,,,,
,xy,，,20例4 在平面直角坐标系中, 为不等式组所表示的区域上一动点, MxOy,
,xy,,0,0,
A,1,2已知点,则直线斜率的最小值为( ) AM，，
240A( B( C( D( ,,253
xy,，,20,
,xy，,,40例5 若满足，则的最大值为( ) xy,zyx,,2||,
,y,0,
A(-8 B(-4 C(1
D(2
xy，,,40,2y,y,,10z,【变式演练3】已知实数满足，则的最大值是( ) xy,,x,x,,10,
1A( B(9 C(2 D(113
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x，2y,0,
y1,x,y,0【变式演练4】若变量满足约束条件，且仅在点z,A(,1,)x，
y,x,a2,x,2y，2,0,处取得最大值，则实数的取值范围为( ) a
A( B( C( [,2,,1)(,,,,1)(,2,,1)
D( (,1,1)
xy,，,210,22xy，，【变式演练5】已知实数满足，则的取值范围为( )
z,xy,,xy,,,10x,
101010，，，,，，A( B( C( 0,2,,,，,,2,:，,,,,,,,333，，，，，,
10，,D( ,,，,,0,:，,,,3，,
类型三含参数线性目标函数问题
使用情景:求含参数线性目标函数的最值
解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域;
第二步画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行
比较并进行分类讨论;
第三步得出结论.
yx,,
,xy，,2a例6已知满足，且的最大值是最小值的-2倍，则的值xy,zxy,,2,
,xa,,
是 .
yx,,,
,xymx,,m,1zxmy,，【变式演练6】设，变量，在约束条件下，目标函数的最y, ,xy，,1,
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大值为，则_________( m,2
【高考再现】
xy，,2,,
,22239,xy,,1.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x+y的最大值是( ) , ,x,0,,
(A)4(B)9(C)10(D)12
xy，,,30,,,2.【2016高考浙江文数】若平面区域230,xy,,, 夹在两条斜率为
1的平行直线之间，则,,xy,，,230,
这两条平行直线间的距离的最小值是( )
3532A. B. C. D. 2552
xy,，,10,
,xy，,,30，则的最小值3.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件zxy,,2,
,x,,30,
为__________
210,xy,，,,
,xy,,,210,4.【2016高考新课标?文数】若满足约束条件则的最
xy,zxy,，,235,
,x,1,,
大值为_____________.
5.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.
生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,
乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900
元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品
B的利润之和的最大值为元.
x,0,,
,y,0,6.【2016高考上海文科】若满足则的最大值为_______. xy,xy,2, ,yx,，1,,
7. 【2016高考天津文数】(本小题满分13分)
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产
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1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两
种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料，产
生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(?)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;
(?)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润,并求出此最大利润.
【反馈练习】
1. 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测(一)数学(理)试题】动点满Pxy(,)
20xy,,,
,y,0足，则的最小值为 . zxy,，2,
,xy，,,30,
2. 【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学(理)试题】设满足约束条件x,yyx,2,
,xy，,1，则的最大值是____________( zxy,，3,
,y，,10,
3. 【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学(理)试题】已知变量满足xy,xy,，,430,
,xy，,,40，则的取值范围是( ) zxy,,,
,x,1,
6，，,,2,1,2,0A( B( C( 0,,,,,,,5，，
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6，，D( ,2,,,5，，
4. 【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题】设不等式组xy，,4,
,222yx,,0，表示平面区域为，若圆经过区域上的
Cxyrr:110，，，,,DD，，，，，，,
,x,,10,
点，则的取值范围是( ) r
，，，A( B( 22,2522,32，，，，
，C. D( 32,250,2225,:，,，，，，，，
x,0,
,y,05. 【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，8】若为不等式组，表示的平面A,
,yx,,2,区域，则当a从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为( ) xya，,,21A
337( B( C( D( A12446. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，13】若满足约束条件xy,x,,20,
y,xy,,0，那么的最大值是__________. ,x,xy，,,60,
220xy,，,,
,xy,，,4107. 【河南百校联考2017届高三9月质检，15】已知实数满足不等式组，xy,,
,xy，,,20,zxy,，3则的最小值为______________(
360xy，,,,,xy，,2x】若8. 【湖南永州市2017届高三第一次模拟，15，满足约束条件，则y,,y,2,22xy，的最小值为 (
x,0,
,y,09. 【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，8】若A为不等式组，表示的平面,
,yx,,2,
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区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为( ) axya，,,21A
337A( B( C( D( 1244
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