数学广场相等的角
数学广场——相等的角
教学内容：课本第81、82页。
教学目标：1、复习角的计算。
2、通过对一些特殊图形中角的计算的探索，为将来一些重要的有关
角的性质作铺垫。
教学过程：
一、复习引入
1、师：我们已经学习了角的计算，下面我们就对这一知识进行一下复习。
2、出示角的计算（媒体出示）
（1）已知：∠1=37o，∠2=53o，求∠AOB=?
A
2
1
O B
（2）已知：∠AOB是平角，∠1=70o，求∠2=？
1 2
A O B
师：请同学们根据已知条件完成练习，注意书写格式。
3、核对纠错，重点讲述书写格式。
4、师：同学们这些角你会求吗？
出示例题1 如图，两直线相交，得到的角分别为∠1、∠2、∠3、∠4。
如果∠1=30o，∠2、∠3、∠4分别为多少度？
（说明：学习要注重知识的迁移，将学生已经掌握的知识迁移到将要学习的知识中，为新知的学习打好基础。）
二、探究
（一）第一次探究
1、尝试计算
2、学生汇报
3、根据学生汇报板书
解：因为∠1+∠2=180o，
所以∠2=180o-30o=150o。
因为∠2+∠3=180o，
所以∠3=180o-150o=30o。
因为∠3+∠4=180o，
所以∠4=180o-30o=150o。
4、师：通过解题你们有什么发现吗？
5、学生交流后汇报
6、师：你们发现了∠1=∠3，∠2=∠4，是什么原因使它们相等呢？
（二）再次探究
1、出示例2，讨论：当∠2=145o时，∠1与∠3还相等吗？
2、请写出验证的过程。
3、汇报
解：因为∠1+∠2=180o，
所以∠1=180o-∠2=180o-145o=35o。
因为∠2+∠3=180o，
所以∠3=180o-∠2=180o-145o=35o。
所以∠1=∠3。
4、师：如果∠2=127o，∠1与∠3还相等吗？
5、师：那么∠2=155o，∠3与∠1是否相等？这里究竟有什么秘密？
6、小结：这两个角都与∠2构成一个平角，所以它们永远是相等的。
7、师：∠2与∠4是否也相等？为什么？
8、师：同学们通过计算和观察发现了相等的角的秘密，这也就是我们今天学习
的知识。
9、出示课题：数学广场——相等的角
（说明：通过学生尝试练习和讨论，引导学生在自主探究的过程中得出结论。）
三、巩固练习
1、找出下图中哪些角是相等的？
2、如图，∠1=∠5=60o，求∠2、∠
3、∠
4、∠6、∠7、∠8。
（说明：通过练习巩固了知识，同时为下一层次的突破做好铺垫。）
四、突破练习
1、媒体出示书上练习1
两个正方形相交如下图，∠2=60o，∠1与∠3相等吗？说说理由。
2、同桌交流说说理由。
3、汇报
因为∠1+∠2=90o，
所以∠1=90o-∠2=90o-60o=30o。
因为∠3+∠2=90o，
所以∠3=90o-∠2=90o-60o=30o。
所以∠1=∠3。
4、师：如果∠2=65o，∠1与∠3还相等吗？说说理由。
5、师：如果两把三角尺叠放在一起，∠1与∠3相等吗？为什么？
（说明：突破练习是在学生对前面知识掌握的基础上进行的拓展，使学生积极主动地思考，亲历知识的形成。）
五、总结
师：通过对平角和直角中角的研究我们发现了角的一些知识，你们能说一说吗？师：有关角的知识还有很多，在今后的学习中我们再来研究。
专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一).docx
v1.0可编辑可修改 专题复习证明线段相等角相等的基本方法( 一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个 三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法 过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生 的学习经验；培养学生推理论证能力 . 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习 惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的 发展 . 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要 依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考 15 题左右的位置，是 北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形 与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例 1 已知：如图 1，△ ABC中， AB=AC，BC为最大边，点 D、 E 分别在 BC、AC上， BD=CE，F 为 BA延长线上一点， BF=CD. 求证：∠ DEF=∠ DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对
v1.0可编辑可修改 段相等． 证明：∵ AB=AC∴∠ B=∠C． 在△ BDF和△ CED中， BD CE, B C,图 1 BF CD , BDF CED. DF ED.点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中） DEF DFE . 常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法． 例 2 已知：如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90， CD AB 于点 D, 点 E 在 AC 上， CE=BC,过 E 点作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F ．求证 AB=FC. 分析：观察 AB与 FC在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵ FE ⊥ AC 于点 E，ACB90°，∴FECACB 90°， 易证A F ． ∴ △ ABC ≌ △ FCE . ∴AB FC ． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两 F D B A C E 图1 个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时， 利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例 3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1 所示放置，图1-2 是由它抽象出的几何图形， B，C，E 在同一条直线D 上，连结 DC ．求证：∠ ABE=∠ ACD．
新人教版小学数学四年级上册《角的度量》综合练习
人教版小学数学四年级数学上册《角的度量》综合练习 一、我会填。 （5）钟面上的时针和分针2时成（）角，3时成（）角，6时成（）角。 （6）我们学过的角有（）角、（）角、（）角、（）角、（）角。 1平角＝（）度=（）直角 1周角=（）度＝（）平角＝（）直角 （7）∠1与∠2的和是184°，∠2=54°，那么∠1=( )。 ∠1+∠2+∠3=180°，其中∠1=52°，∠2=46°，那么∠3=( )。 ∠1是∠2的3倍，∠1=120°，∠2=( )。 （1）直线上两点之间的一段叫（），它有（）个端点。把线段的一端无限延长就得到一条（），如果把线段的两端无限延长就得到一条（）。射线有（）个端点，它可以向一端无限延长。直线有（）个端点，它可以向两端无限延长。 （2）在两点之间可以画出很多条线，其中（）最短。过一点可以画（）条直线。 当两条直线相交成直角时，这两条直线（），这两条直线的交点叫做（）。 （3）从一点引出两条（）所组成的图形叫做角，这一点叫做角的（），这两条射线叫做角的（）。 （）的角叫做锐角，直角等于（）°，大于（）°而小于（）°的角叫做钝角。 （4）量角时，角的顶点要与量角器的（）对齐，角的一边要与量角器的（）重合，而角的另一边所对量角器的度数就是这个角的大小。角的大小要看两边叉开的大小，叉开得（），（）就越大。角的大小与画出的边的长短（）。 二、细心选一选。（选择正确答案的序号填在括号里） （1）角的两条边都是（）。①线段②射线③直线④曲线 （2）下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（） ①1：30和2：30 ②3：30和8：30 ③9：00和3：00 （3）钟面上时针和分针成９０°角时，这时的时间是（）。 ①２时②６时③１２时④９时 （4）一条（）长３０００米。 ①线段②射线③直线 （5）把一个平角平均分成两个角，这时所成的角是（）。 ①一个锐角，一个钝角②两个锐角③两个钝角④两个直角 三、判断，请在括号里对的画“√”，错的画“×”。 1.线段是直线上两点之间的部分。（） 2.过一点只能画出一条直线。（） 3.一条射线长6厘米。（） 4.手电筒射出的光线可以被看成是线段。（）
初中几何证明常用方法归纳
初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。
沪教版三年级数学上册第六单元《数学广场—周期问题》教案.doc
数学广场—周期问题 教学目标； 1、引导学生发现周期问题的规律，探索周期问题中求第几个问题的多种解决策 略，初步理解运用有余数除法解决求第几个问题的方法。 2、培养学生的思维能力和语言表达能力。 教学重点：引导学生发现周期问题的规律，探索周期问题中求第几个问题的多种解决策略，初步理解运用有余数除法解决求第几个问题的方法。 教学难点：初步理解运用有余数除法解决求第几个问题的方法。 教学过程: 一、情境引入： 师：黑板上有这么多的○，咱们来摆摆， 师摆：●●●●●●老师是怎么摆的（只说颜色）一起说。 师：下面该摆什么了？引导：干净利落。 师：看来在我们摆○的过程中也蕴含着数学规律。这节课我们就来探索其中的规律。（板书课题） 二、新授 （一）探索周期性问题的规律 1、理解每组排列都相同 师：同学们都发现了○的排列规律，怎么使别人一眼就能看出来呢？怎么分组？ （一起说） 师：这样一分组就能使别人清楚的看到我们发现的规律，每组都有几个○，每组的○是按什么顺序排列的？（电脑出示） 师：如果还有第4组，怎样排列呢？你怎么这么肯定？第10组、第100组呢？……谁能用一句话来说一说。（每组的排列顺序都相同，都是按●●●的顺序依次重复排列的） 2、理解每组的第几个都相同 师：你知道第8组的第一个圆是什么颜色的吗？第28组、第128组？…… 师：你发现了什么规律？为什么每组的第一个圆都相同？由此你又想到了什么? (电脑演示每组的第2个、第3个圆) （二）逐步渗透，与有余数除法建立联系。 1、老师摆●●●●●●●● 快速提问：老师摆得怎么样？怎么分?下面该摆什么了？（快速说） 师：你知道第3组的第1个是什么？第2个是什么？ 师：现在老师一共摆了多少个○？ 师：你最快你说，这么快你有什么好方法？引导：看来分组不光能够帮助我们发现规律还能更快的计算。 师：第10个○在第几组的第几个？ 2、摆●●●如果按照两红一黄的顺序依次重复摆，下面该摆什么了？（快速说） 师：如果按照规律老师一共摆了18个圆，可以分成这样的几组，怎么想的？（你是用乘法
中考数学几何证明压轴题
(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论. 3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 勺两条边分别 重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是 BD 中点)按顺时针方向旋转. (1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察 或 测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立， F O (1)若 s i n / A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此 弭■若不成 辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E (2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线 AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥ 延长交BD 于点F ,直线 F CF 中考专题训练 1、如图，在梯形 ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且 AB=1, BC=2 tan / ADC=2. (1) 求证：DC=BC; ⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF 的形状，并证明你的结论; (3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，Z BEC=135 时，求 sin / BFE 的值. 2、已知：如图，在 □ ABCD 中，E 、F 分别为边 AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的 (1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =r D -，求CD 的长 C D M B 勺直径AB 垂 请证 立，请说明理由. A G
小学数学四年级上册《角的度量》精品教案
人教版小学数学四年级上册《角的度量》 设计理念 《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，教师应激发学生学习数学的积极性，向学生提供从事数学活动的机会。依据课标的要求，体现“以学生发展为本”的教育理念，本节课我创设了有趣的游乐场情境，让学生用数学的眼光观察生活，发现并提出问题。接着再认识量角器，探索用量角器量角的过程中，不断生成新问题，让学生通过看一看、想一想、比一比、估一估、量一量、做一做等数学学习活动，掌握了量角的方法，形成技能，并能运用所学的知识解决生活中的实际问题，体现了学习数学的价值。 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）四年级上册，第37—38的内容。 教材与学情分析 《角的度量》这节课是人教版小学数学四年级上册第二单元的内容，这节课属于空间与图形中测量的一部分，而角的度量又是测量教学中难度较大的一个知识点。学生在二年级已经初步认识了角，对角有了初步的表象，但还没形成正确的表象，因此，教材把这部分内容安排在学生初步认识了角，明确了角的概念，知道角有大小之分的基础上学习本节课的知识。教材分两个层次编排：第一个层次，是介绍量角器和角的度量方法，引导观察，认识量角器和角的计量单位；第二层次，让学生通过对两组角的度量，进一步明确：角的大小与两边张开的大小有关，与边的长短无关。 教学目标 1.让学生认识量角器，会用量角器量角的度数。 2.通过观察、尝试、操作、思考、交流等活动，培养学生自主探索、动手实践的能力。 3.让学生体验学习的乐趣，培养学生的创新意识。 教学重点:认识量角器，灵活合理地使用量角器量角的方法。 教学难点:探索、发现、归纳出量角的方法。 教具准备:课件、量角器。 教学过程 一、创设情境，导入新课 1.观察游乐场 师：孩子们，你们喜欢去游乐场吗？今天我们就一起去游乐场玩玩，瞧，游乐场里面有些什么项目？ 生：荡秋千、海盗船、小猴正在玩滑滑梯…… 师：小猴它们怎么了？ 学生自由发表看法。 2.提出质疑 师：这三个滑滑梯与什么知识有关呢？看滑滑梯与地面形成什么？ 生：每个滑滑梯与地面形成的角度不同。
证明全等三角形找角相等的方法文档
证明三角形全等找角相等的方法 1、利用平行直线性质 两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 例1.如图所示，直线AD 、BE 相交于点C ，AC=DC ，BC=EC. 求证：AB=DE 已知：如图所示，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，试说明：（1）DF ∥CE ；（2）DE ＝CF ． A B C D E F 1 2 2、巧用公共角 要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角 例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE 10. 已知：如图,AD ＝AE,AB ＝AC,BD 、CE 相交于O. 求证：OD ＝OE ．
三、利用等边对等角 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利用等边对等角 例1.在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的中线. 求证：△ABD ≌△ACD 四、利用对顶角相等 例1、已知：四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC ．垂 足分别为A , C ． 求证：AD=BC 已知：如图，在AB 、AC 上各取一点，E 、D ，使AE=AD ，连结BD ，CE ，BD 与CE 交于O ，连结AO ，∠1=∠2， 求证：∠B=∠C 五、利用等量代换关系找出角相等 （1）=A B ∠+∠+公共角公共角，则可以得出=A B ∠∠ 例1. 已知：如图13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 求证：△EAD ≌△CAB ． 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 求证 :BD=CE A C B E D 图13－4
中考数学几何证明题汇编
N 几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点，BAE MCE =∠∠， 45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点 E ，交∠BCA 的外角平分线于点 F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 图3 A B C D M E A C D E F 第20题图
二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上 的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE =50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． 2、已知，在平行四边形ABCD 中，EFGH 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE=CG ，BF=DH ，求证：AEH ?≌CGF ? 三、证明两直线平行 A B C D F E 图9 A O D B H E C B F C
证明两角相等的方法20170727
徐老师模型数学20170727 证明两角相等的方法 百汇学校徐国纲 一、相交线、平行线 1、对顶角相等； 2、同角或等角的余角（或补角）相等； 3、两直线平行，同位角相等、内错角相等； 4、两边分别对应平行（或垂直）的两角相等或互补； 5、凡直角都相等； 6、角的平分线分得的两个角相等； 二、三角形 7、等腰三角形的两个底角相等； 8、三线合一：等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角； 9、三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和； 10、全等三角形的对应角相等； 11、相似三角形的对应角相等； 12、角平分性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； 三、四边形 13、平行四边形的对角相等； 14、菱形的每一条对角线平分一组对角； 15、等腰梯形在同一底上的两个角相等； 四、圆 16、同弧或等弧（或两条相等的弦）所对的圆心角相等； 17、同弧或等弧所对的圆周角相等； 18、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 19、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角； 20、三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角； 21、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角； 22、从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 五、三角函数 23、如果两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等； 六、等式性质 24、等量代换：若∠1=∠2，且∠2=∠3，则∠1=∠3； 25、等式性质：等量加等量，其和（或差）相等：若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3或∠1-∠3=∠2-∠3. 第1 页共1 页
中考数学证明题
中考数学证明题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
一、证明题 1. 在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于E．将点C 翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F． （1）求证：四边形BFDE为平行四边形； AB=，求BC的长． （2）若四边形BFDE为菱形，且2 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. (1) 求证：∠ADB=∠CDB； (2) 若∠ADC=90?，求证：四边形MPND是正方形.
3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分ADC ∠交AB 于点E ，BF 平分ABC ∠交CD 于点F . （1）求证：DE BF =； （2）连接EF ，写出图中所有的全等三角形.（不要求证明） 4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点.连结AE 、BD ，且AE=AB . （1）求证：ABE EAD ∠=∠； （2）若2AEB ADB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是菱形.
5. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)求证：∠DHF=∠DEF． 6．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 7.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
证明角相等的方法
证明两角相等的方法 黄冈中学初三数学备课组【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等； （2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等； （5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形 （1）平行四边形的对角相等； （2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 （1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. （7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中 ∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE ∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE ∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ∠． 说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果
三年级上数学一课一练数学广场周期问题_沪教版
2019年小学数学沪教版三年级上册数学广场——周期问题1．一串数字按如下规律排列：5，7，9，11，…，47，49．请问： （1）这列数的第16个数是多少？ （2）43是这列数的第几个？ 2．有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5，…第26个数是几？ 3．有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… 问：第100个数是几？ 4．有一数列：1，4，7，10，13，16，…．这个数列中第100个数是几？5．有一数列：1，5，9，13，17，…，这数列的第300项是几？305是这个 数列中的第几项？ 6．数列5，8，11，14，…，179，182，一共有几项？ 7．已知一列数：2，5，8，11，14，…，44，…，问：44是这列数中的第几 个数？ 8．已知有一串数：1，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，4，… 试问：（1）12是这串数中的第几个到第几个数？ （2）这串数中的第50个数是几？ 9．用三条边都是l厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去． 想一想：用29个这样的三角形拼成的图形是什么图形？ 10．有一些图形按的顺序排列。请你算一算第50个图形是什么图形？ 11．根据下图的排列规律，算出第36个图形是什么？ 12．根据下图的排列规律，算出第36个图形是什么？ 13．画出图中紧接着的三个图形 （1）第38个图形是什么颜色？说说你的理由。 （2）第19个图形是什么颜色？说说你的理由。 14．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 第5个图形有多少黑色棋子？ 15．根据日历回答问题： （1）这个月的第一天是星期几？ （2）如果这个月是二月，这个月可能有几个星期二？ （3）如果这个月是九月，那么国庆节是星期几？ 16．昨天是9日，今天是星期三，29日是星期几？ 17．今天是星期日，从今天算起，第30天是星期几？ 18．今天是3月10日，星期一，再过10天是星期几？ 19．今天是星期三，再过27天是星期几？ 20．今天是星期二，再过100天是星期几？ 21．今天是星期日，再过23天是星期几？ 22．今天是星期二，再过25天是星期几？ 23．找规律，画一画。 24．今年“劳动节”是星期日，明年“劳动节”是星期。 25．今年“教师节”是星期一，明年“教师节”是星期。 26．今年“五．一”节是星期二，明年“三．八”节是星期。 27．今天是星期日，再过100天是星期。 28．今天是星期二，再过38天后是星期。 29．今天是星期四，再过90天是星期。
中考数学证明题
中考数学证明题 第一篇：中考数学证明题中考数学证明题o是已知线段ab上的一点，以ob为半径的圆o交ab于点c，以线段ao为直径的半圆圆o于点d，过点b作ab的垂线与ad的延长线交于点e (1)说明ae切圆o于点d (2)当点o位于线段ab何处时，△odc恰好是等边三角形〉?说明理由 答案：一题：显然三角形doe是等边三角形： 理由： 首先能确定o为圆心 然后在三角形obd中：bo=od，再因角b为60度，所以三角形obd为等边三角形; 同理证明三角形oce为等边三角形 从而得到：角bod=角eoc=60度，推出角doe=60度 再因为od=oe，三角形doe为等腰三角形，结合上面角doe=60度，得出结论： 三角形doe为等边三角形 第三题没作思考，有事了，改天再解 二题： 要证明三角形ode为等边三角形，其实还是要证明角doe=60度，因为我们知道三角形ode是等腰三角形。 此时，不妨设角abc=x度，角acb=y度，不难发现，x+y=120度。
此时我们要明确三个等腰三角形：ode;bod;oce 此时在我们在三角形bod中，由于角obd=角odb=x度 从而得出角bod=180-2x 同理在三角形oce中得出角eoc=180-2y 则角bod+角eoc=180-2x+180-2y，整理得：360-2(x+y) 把x+y=120代入，得120度。 由于角eoc+角bod=120度，所以角doe就为60度。 外加三角形doe本身为等腰三角形，所以三角形doe为等边三角形! 图片发不上来，看参考资料里的 1如图，ab⊥bc于b，ef⊥ac于g，df⊥ac于d，bc=df。求证：ac=ef。 2已知ac平分角bad，ce垂直ab于e，cf垂直ad于f，且bc=cd (1)求证：△bce全等△dcf 3. 如图所示，过三角形abc的顶点a分别作两底角角b和角c的平分线的垂线，ad垂直于bd于d，ae垂直于ce于e，求证：ed||bc. 4. 已知，如图，pb、pc分别是△abc的外角平分线，且相交于点p。 求证：点p在∠a的平分线上。 回答人的补充20xx-07-1900:101.在三角形abc中,角abc为60度,ad、ce分别平分角bac角acb,试猜想,ac、ae、cd有怎么样的数
专题复习：证明角相等的方法
《专题复习：证明角相等的方法》导学案 学习目标 1、系统归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理； 2、能够初步应用这些定理证明角相等； 3、养成执果索因的习惯，提高分析、解决问题的能力。 学习重、难点熟悉几何定理的文字、符号表述，依据问题的条件恰当选择证明方法。 问题引入证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、自主学习： 归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理(能结合图形用符号语言表述) （1）对顶角； （2）角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，相等、内错角； （4）凡直角都； （5）角的平分线分得的两个角； （6）等腰三角形的两个底角 (简称 ) （7）等腰三角形底边上的高（或中线）顶角（三线合一）； （8）三角形外角和定理：三角形外角等于的内角之和； （9）全等三角形的对应角； 二、典例精析
1、利用平行线的判定与性质证明角相等 例1、如右图在△ABC 中，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，G 在AC 边上并且∠GDC=∠EFB ， 求证：∠AGD=∠ACB 注：如果要证相等的两角是两条直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，可考虑用此方法。 2、利用“等(同)角的补角相等”证明角相等 例2、如右图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A=∠C 3、利用“等(同)角的余角相等”证明角相等 例3、如右图，在锐角△ABC 中，BD 、CE 是它的两条高，求证：∠ABD=∠ACE 变式：若果∠A 是钝角，其它条件不变，仍然有∠ABD=∠ACE 为什么 4、利用全等△性质证明角相等 例4、 已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，DC AB =，DB AC =。 求证：C B ∠=∠。
中考数学证明题
中考数学证明题 中考数学证明题 ~N累~!!回答人的补充 201X-07-19 00:34 1已知ΔABC，AD是BC边上的中线。E在AB边上，ED平分∠ADB。F在AC边上，FD平分∠ADC。求证：BE+CFEF。 2已知ΔABC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高。F在BD 上，BF=AC。G在CE延长线上，CG=AB。求证：AG=AF，AG⊥AF。 3已知ΔABC，AD是BC边上的高，AD=BD，CE是AB边上的高。AD 交CE于H，连接BH。求证：BH=AC，BH⊥AC。 4已知ΔABC，AD是BC边上的中线，AB= 2，AC= 4，求AD的取值范围。 5已知ΔABC，ABAC，AD是角平分线，P是AD上任意一点。求证：AB-ACPB-PC。 6已知ΔABC，ABAC，AE是外角平分线，P是AE上任意一点。求证：PB+PCAB+AC。 7已知ΔABC，ABAC，AD是角平分线。求证：BDDC。 8已知ΔABD是直角三角形，AB=AD。ΔACE是直角三角形， AC=AE。连接CD，BE。求证：CD=BE，CD⊥BE。 9已知ΔABC，D是AB中点，E是AC中点，连接DE。求证：DE‖BC，2DE=BC。 10已知ΔABC是直角三角形，AB=AC。过A作直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。求证：DE=BD-CE。
等形 2 1已知四边形ABCD，AB=BC，AB⊥BC，DC⊥BC。E在BC边上， BE=CD。AE交BD于F。求证：AE⊥BD。 2已知ΔABC，ABAC，BD是AC边上的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD 延长线于F。求证：BE+BF=2BD。 3已知四边形ABCD，AB‖CD，E在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若AB= 2，CD=3，求AD。 4已知ΔABC是直角三角形，AC=BC，BE是角平分线，AF⊥BE延长线于F。求证：BE=2AF。 5已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖AB交BC于G。求证：CD=BG。 6已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖BC交AB于G。求证：AC=AG。 7已知四边形ABCD，AB‖CD，∠D=2∠B，若AD=m，DC=n，求AB。 8已知ΔABC，AC=BC，CD是角平分线，M为CD上一点，AM交BC 于E，BM交AC于F。求证：ΔCME≌ΔCMF，AE=BF。 9已知ΔABC，AC=2AB，∠A=2∠C，求证：AB⊥BC。 10已知ΔABC，∠B=60°。AD，CE是角平分线，求证：AE+CD=AC 全等形 4 1已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，ΔADE是直角三角形， AD=AE，连接CD，BE，M是BE中点，求证：AM⊥CD。 2已知ΔABC，AD，BE是高，AD交BE于H，且BH=AC，求∠ABC。
专题复习证明线段相等角相等的基本方法
专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力. 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展. 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、 E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等． 证明：∵AB=AC∴∠B=∠C． 图1
在△BDF 和△CED 中， 点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方 法． 例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC. 分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵于点， ∴， 易证． ∴. ∴． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来 证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂． 例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ． 分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就 ,,,... BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =?? ∠=∠??=? ∴???∴=∴∠=∠图1 图1-2 图1-1
三年级上数学一课一练数学广场——周期问题沪教版(附答案) (1)
2015年小学数学沪教版三年级上册数学广场——周期问题 1．一串数字按如下规律排列：5，7，9，11，…，47，49．请问： （1）这列数的第16个数是多少？ （2）43是这列数的第几个？ 2．有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5，…第26个数是几？ 3．有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… 问：第100个数是几？ 4．有一数列：1，4，7，10，13，16，…．这个数列中第100个数是几？ 5．有一数列：1，5，9，13，17，…，这数列的第300项是几？305是这个数列中的第几项？6．数列5，8，11，14，…，179，182，一共有几项？ 7．已知一列数：2，5，8，11，14，…，44，…，问：44是这列数中的第几个数？ 8．已知有一串数：1，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，4，… 试问：（1）12是这串数中的第几个到第几个数？ （2）这串数中的第50个数是几？ 9．用三条边都是l厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去． 想一想：用29个这样的三角形拼成的图形是什么图形？ 10．有一些图形按的顺序排列。请你算一算第50个图形是什么图形？ 11．根据下图的排列规律，算出第36个图形是什么？ 12．根据下图的排列规律，算出第36个图形是什么？ 13．画出图中紧接着的三个图形 （1）第38个图形是什么颜色？说说你的理由。 （2）第19个图形是什么颜色？说说你的理由。
14．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 第5个图形有多少黑色棋子？ 15．根据日历回答问题： （1）这个月的第一天是星期几？ （2）如果这个月是二月，这个月可能有几个星期二？（3）如果这个月是九月，那么国庆节是星期几？ 16．昨天是9日，今天是星期三，29日是星期几？17．今天是星期日，从今天算起，第30天是星期几？18．今天是3月10日，星期一，再过10天是星期几？19．今天是星期三，再过27天是星期几？ 20．今天是星期二，再过100天是星期几？ 21．今天是星期日，再过23天是星期几？ 22．今天是星期二，再过25天是星期几？ 23．找规律，画一画。
中考数学几何证明专题训练
中考数学几何证明专题 1、 已知：AB=CD 、AD//BC ，OA=OD ，求证：OB=OC 2、 已知：AB=CD 、AD//BC ，OA=OD ，求证：OB=OC 3、在菱形ABCD 中，GE ⊥CD 、HF ⊥AD ，求证：GE=HF C B C B D B
4、 图，平行四边形ABCD 中，AE=CF ， 求证：∠EBF=∠FDE 5、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，OE ⊥AB 、OF ⊥BC 、 OG ⊥CD 、OH ⊥AD ，求证：E 、F 、G 、H 共圆 6、在矩形ABCD 中，∠ABC 、∠CDA 的平分线交AD 、BC 于F 、E ，求证：BE=DF 、DE=BF D B B D D A C
7、如图，点E 是正方形ABCD 内一点 ，△BEC 绕点C 顺 时针方向旋转90°到△DFC 的位置，求证：BE ⊥DF 8.如图,E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上两点,AE=CF. 求证:(1)△ABE ≌△CDF.(2)BE ∥DF. F E D C B A F A
9.如图,在□ABCD 中,点E 、F 在对角线AC 上,且AE=CF, 请你以F 为一个端点,和图中已标有字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.(只需证明一组线段相等即可). (1)连结_________, (2)猜想______=________. (3)证明: 附加1.如图,已知正方形ABCD 中,E 为BC 上一点, 将正方形折叠起来,使点A 和点E 重合,折痕为MN,若tan ∠AEN=13 ,DC+CE=10. (1)求△ANE 的面积.(2)求sin ∠ENB 的值. K M E N D C B A
最新中考数学圆证明典型题
中考复习圆（二） 1．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A． （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长． 2. 已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E. （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的直径. 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC 交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于 点F，FB恰为⊙O的直径． （1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当BC＝4，AC＝3CE时，求⊙O的半径．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A． （1）证明:DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径R=5，tan A= ，求线段CD的长. 6．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D， E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若 2 cos 3 C ，AC=6，求BF的长． 1、粗糙的美丽 河北省沧县高川乡前高龙华小学沈培岗 4 3 F O A D B C
周五走进教室，看到一双双明亮的眼睛紧盯着我，一个个红红的小嘴抿着笑意——孩子们等着我评价他们的小制作。尽管有心理准备，看到学生摆在课桌上的手工“作品”，我依然有种失落感。红土粘泥做的五角星、小花朵、甚至半圆半瘪的小泥球……一个个裂纹遍布，丑陋、粗糙、单调、呆板…… 因为要上口语交际课“我的小制作”，我根据本地红土多的条件，提前一周布置下了用粘土做小制作的活动。今天，是展示手工成果的时间。 尽管我脸上保持着习惯性的微笑，心中却打鼓：这样的手工如何描述呢？这些孩子又能说出什么样的话来。但我知道，我不能以我自己的标准去评判孩子。 我肯定了大家能够完成作业，然后先让同学们在组内交流，说说制作过程，说说自己的想法，听听别人的说法，交流一下制作心得…… 立刻，班里热闹起来。大家七嘴八舌，谈笑风生，一改往日的拘束和沉闷：这个告诉怎么找到的红土，那个讲请谁帮了忙，这个说开始水浇多了团不成形状，那个说越摔觉得泥越有粘劲儿，做小花的告诉怎么掐的花瓣，做小鸡的介绍头是怎么按在身子上的…… 小组交流的热烈让我始料未及，全班交流的精彩更让我惊喜不已。有的说，找粘土不费劲，我们家里团煤球时剩下好多呢！不过，我嫌表层的泥土不粘，自己深挖了一些；有的说，我团泥球团了好多，要多大团多大，滚起来一点也不比玻璃球差，可好玩了；有的说我做了小母鸡，我知道我二叔家有两只，便到他家里照着做，开始怎么也不能把鸡头按在身子上，还是二叔告诉我用小棍给连上的。 …… 一节课，孩子们说的意犹未尽，我听得如醉如痴。 原来，只要我们给了孩子们创造的机会，孩子就能心灵手巧；只要我们给了孩子表达的自由，孩子就能畅所欲言；只要我们用孩子的眼光去欣赏孩子的世界，粗糙何尝不是最精致的美丽！