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行程问题

行程问题

一、 相遇与追及

1、路程和路程差公式

【例 1】 如下图,某城市东西路与南北路交会于路口A .甲在路口A 南边560米的B 点,

乙在路口A .甲向北,乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距A 的距离相等.再继续行走24分钟后,二人距A 的距离恰又相等.问:甲、乙二人的速度各是多少?

行程问题

【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2003年,明心奥数挑战赛

【解析】 本题总共有两次距离A 相等,第一次:甲到A 的距离正好就是乙从A 出发走的路

程.那么甲、乙两人共走了560米,走了4分钟,两人的速度和为:5604140÷=

(米/分)。第二次:两人距A 的距离又相等,只能是甲、乙走过了A 点,且在A 点

以北走的路程=乙走的总路程.那么,从第二次甲比乙共多走了560米,共走了

42428+=(分钟),两人的速度差:5602820÷=(米/分),甲速+乙速140=,显然

甲速要比乙速要快;甲速-乙速20=,解这个和差问题,甲速

14020280=+÷=()(米/分),乙速1408060=-=(米/分).

【答案】甲速80米/分,乙速60米/分

2、多人相遇

【例 2】 有甲、乙、丙3人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75

米.现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后,甲又与丙相遇. 那么,东、西两村之间的距离是多少米?

【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程:()1007561050+?=(米);

甲、乙相遇的时间为:()10508075210÷-=(分钟);

东、西两村之间的距离为:()1008021037800+?=(米).

【答案】37800米

3、多次相遇

【例 3】 甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相对开出,第一次在离A 地95千米处相遇.相

遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B 地25千米处相遇.求A 、B 两地间的距离是多少千米?

【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线):

行程问题

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A 、B 两地间距离,第二次相遇意味着

两车共行了三个A 、B 两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个A 、B 两地间的

距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A 、B 两地间的距离时,甲车就行了

3个95千米,即95×3=285(千米),而这285千米比一个A 、B 两地间的距离多

25千米,可得:95×3-25=285-25=260(千米).

【答案】260千米

二、典型行程专题

1、火车过桥

【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟?

【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答

a)根据另一个列车每小时走72千米,所以,它的速度为:72000÷3600=20(米/秒),

某列车的速度为:(25O-210)÷(25-23)=40÷2=20(米/秒)某列车的车长为:20×25-250=500-250=250(米),两列车的错车时间为:(250+150)÷(20+20)

=400÷40=10(秒)。

【答案】10秒

2、流水行船

【例5】甲、乙两艘游艇,静水中甲艇每小时行3.3千米,乙艇每小时行2.1千米.现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发,甲艇从下游上行,乙艇从相距27千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地.水流速度是每小时千米.

【考点】行程问题之流水行船【难度】2星【题型】填空

【关键词】2009年,学而思杯,六年级

【解析】两游艇相向而行时,速度和等于它们在静水中的速度和,所以它们从出发到相遇所用的时间为27(3.3 2.1)5

÷+=小时.

相遇后又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地,说明甲艇逆水行驶27千米需要

549

+=小时,那么甲艇的逆水速度为2793

÷=(千米/小时),则水流速度为

3.330.3

-=(千米/小时).

【答案】0.3千米/小时

3、猎狗追兔

【例6】猎人带猎狗去捕猎,发现兔子刚跑出40米,猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步,猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等,求兔子再跑多远,猎狗可以追上它?

【考点】行程问题之猎狗追兔【难度】3星【题型】解答

【解析】设狗跑2步的时间为1(分钟),兔跑3步的时间也为1(分钟);再设狗的步长为7(米),则兔的步长为4(米),推出狗的速度是2×7=14,兔的速度是3×4=12。用40÷(14

-12)=20,20为追击时间。再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程,即

12×20=240(米)。

【答案】240米

4、环形跑道

【例7】甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长?

行程问题

【考点】行程问题之环形跑道【难度】2星【题型】解答

【解析】注意观察图形,当甲、乙第一次相遇时,甲乙共走完1

2

圈的路程,当甲、乙第二

次相遇时,甲乙共走完1+1

2

3

2

圈的路程.所以从开始到第一、二次相遇所需的

时间比为1:3,因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程

的3倍,即100×3=300米.有甲、乙第二次相遇时,共行走(1圈-60)+300,为3

2

圈,所以此圆形场地的周长为480米.

【答案】480米

5、走停问题

【例 8】 小红上山时每走30分钟休息10分钟,下山时每走30分钟休息5分钟.已知小

红下山的速度是上山速度的2倍,如果上山用了3时50分,那么下山用了多少时间?

【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 上山用了3时50分,即60×3+50=230(分),由230÷(30+10)=5……30,得到上

山休息了5次,走了230-10×5=180(分).因为下山的速度是上山的2倍,所以下

山走了180÷2=90(分).由90÷30=3知,下山途中休息了2次,所以下山共用

90+5×2=100(分)=1时40分.

【答案】1时40分

6、 变速问题

【例 9】 (时间相同模型)甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行.出发

时,甲,乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B 地时,乙离A 地还有10千米.那么A 、B 两地相距多少千米?

【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 出发时,两车的速度之比为5:4,所以相遇以后两辆车的速度之比为

()()5120%:4120%5:6?-?+=,而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4,所

以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为4:5,所以甲还需要行驶全部路程的

49,当甲行驶这段路程的同时,乙行驶了全程的4856915

÷?=,距离A 地还有481191545-+=,所以A 、B 两地相距11045045

÷=千米. 【答案】450千米

【例 10】 (路程相同模型)一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的

3/4前进,最终到达目的地晚1.5 小时.若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的3/4前进,则到达目的地仅晚1 小时,那么整个路程为多少公里?

【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的

34前进,最终到达目的地晚1.5 小时,所以后面以原速的34

前进的时间比原定时间多用1.50.51-=小时,而速度为原来的34,所用时间为原来的43,所以后面的一段路程原定时间为41(1)33

÷-=小时,原定全程为 4 小时;出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的

34

前进,则到达目的地仅晚1 小时,类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为4(10.5)(1) 1.53

-÷-=小时.所以原速度行驶 90 公里需要1.5 小时,而原定全程为 4 小时,所以整个路程为 90 1.54240÷?=公里.

【答案】240公里

7、 自动扶梯

【例 11】 小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶,

电梯运行后,他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼,分别用时28秒和20秒,那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒?

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答

a) 小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都攀登了28256?=级和20360?=级,小刚

比小志多走了60564-=级,这4级台阶实际上是小志多走的8秒钟内,电梯“缩”

进去的,因此电梯的运行速度为每秒半个台阶,那么在小刚登梯的20秒内,电梯

也“缩”了10级,所以电梯所能见到的部分是60+10=70级,所以,小志攀登静止的

电梯分别需要用时70÷2=35秒.

【答案】35秒

8、发车间隔

【例 12】 某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行,每7.2分钟有一辆电

车迎面开过,每12分钟有一辆电车从后面追过,如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行.问:电车的速度是多少?电车之间的时间间隔是多少?

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设电车的速度为每分钟x 米.人的速度为每小时4.5千米,相当于每分钟75米.根

据题意可列方程如下:()()757.27512x x +?=-?,解得300x =,即电车的速度为

每分钟300米,相当于每小时18千米.相同方向的两辆电车之间的距离为:

()30075122700-?=(米),所以电车之间的时间间隔为:27003009÷=(分钟).

【答案】9分钟

9、接送问题

【例 13】 甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动,他们租了一辆大巴,但大巴只够

一个班的学生坐,于是他们计划先让甲班的学生步行,乙丙两班的学生步行,甲班学生搭乘大巴一段路后,下车步行,然后大巴车回头去接乙班学生,并追赶上步行的甲班学生,再回头载上丙班学生后一直驶到终点,此时甲、乙两班也恰好赶到终点,已知学生步行的速度为5千米/小时,大巴车的行驶速度为55千米/小时,出发地到终点之间的距离为8千米,求这些学生到达终点一共所花的时间.

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如图所示:

F

E D C B A

丙乙甲

行程问题

虚线为学生步行部分,实线为大巴车行驶路段,由于大巴车的速度是学生的11倍,所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的6倍,如果

将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话,大巴车第一次折返点到出发点的距离

为6份,大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5分距离,……如此大巴车一

共行驶了6+5+6+5+6=28份距离,而A 到F 的总距离为8份,所以大巴车共行驶

了28千米,所花的总时间为28/55小时.

【答案】28/55小时

10、钟表问题

【例 14】 小红在9点与10点之间开始解一道数学题,当时时针和分针正好成一条直线,

当小红解完这道题时,时针和分针刚好第一次重合,小红解这道题用了多少时间?

【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 9点和10点之间分针和时针在一条直线上的时刻为:14151161211

?

?÷-= ???(分),时针与分针第一次重合的时刻为: 11451491211??÷-= ???

(分),所以这道题目所用的时间为:14849

1632111111-=(分) 【答案】83211

分 三、 综合行程(主要运用比例法)

【例 15】 A 、 B 两地相距 7200 米,甲、乙分别从 A , B 两地同时出发,结果在距 B

地 2400 米处相遇.如果乙的速度提高到原来的 3倍,那么两人可提前10分钟相遇,则甲的速度是每分钟行多少米?

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答

a) 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米,根据时间一定,速度比等于路程之比,最初

甲、乙的速度比为 (7200 -2400) : 2400 =2 :1,所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3.乙的速度提高 3倍后,两人速度比为 2 : 3,根据时间一定,路程比等于速度之比,所以第二种情况中相遇时甲走了全程的22325

=+.两种情况相比,甲的速度没有变化,只是第二种情况比第一种情况少走 10 分钟,所以甲的速度为

227200()1019235

?-÷= (米/分). 【答案】192米/分

【例 16】 甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度

是甲的2.5倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米,那么这条环形跑道的周长是 米.

行程问题

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】2003年,迎春杯

【解析】 如图,设跑道周长为1,出发时甲速为2,则乙速为5.假设甲、乙从A 点同时出

发,按逆时针方向跑.由于出发时两者的速度比为2:5,乙追上甲要比甲多跑1圈,所以此时甲跑了21(52)23÷-?=

,乙跑了53

;此时双方速度发生变化,甲的速度变为2(125%) 2.5?+=,乙的速度变为5(120%)4?-=,此时两者的速度比为

2.5:45:8=;乙要再追上甲一次,又要比甲多跑1圈,则此次甲跑了

51(85)53÷-?=,这个53

就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程.从环形跑道上来看,第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离,既可能是52133-=个周

长,又可能是51233-=个周长. 那么,这条环形跑道的周长可能为21001503÷=米或11003003

÷=米. 【答案】300米或150米

【例 17】 A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船

从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是

米/秒.

【考点】行程问题与几何综合 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】2009年,迎春杯,复赛,高年级组

【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.

行程问题

如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.

由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.

那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.

而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-?=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.

【答案】10米/秒