映射和函数补充练习题
映射习题补充：
1，设A= ?π,?π
3,0,π
3
,π
2
，B= ?1,0,1
2
,1，定义f:x→cosx是A到B的映射。g:x→πx是B到A的映射，若g f x=π
2
，则x=
答案：±π
3
2，已知A=a,b,c，B=?1,0,1，映射f:A→B满足f a+f b=f(c)，映射f:A→B的个数
答案：7个
3，设f:x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,2}，那么A?B等于（）
A．ΦB．1C．Φ或2D．Φ或1
答案：D
4，已知集合M=1,2,3,4，N={a,b,c,d}，从M到N的所有映射中满足N中恰有一个元素无原象的映射的个数是（）A．81 B．64 C．36 D．144
答案：D
5，已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:x→y=?x2+2x，对于实数k∈B在集合A中存在不同的两个原象，则k的取值范围是（）
A．k>1B．k≤1C．k≥1D．k<1
答案：D
6，设f:x→x是集合A到集合B的映射，如果A={?2,0,2}，那么A?B等于（）
A．0B．2C．0,2D．?2,0
答案：C
7，已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:x→y=?x2+2x，对于实数p∈B在集合A中不存在原象，则p的取值范围是（）
A．p>1B．p≤1C．p≥1D．p<1
答案：A
8，函数f:1,2,3→{1,2,3}满足f f(x)=f(x)，则这样的函数个数共有（）
A．1 B．4 C．8 D．10
答案：D
9.设集合A=a,b,c,d，B={1,2,3}，从A到B建立映射f，使f a+f b+f c+f d=8，则满足条件的映射f共有个。答案：19
10，已知集合A={1,2,3,4,5}，在从A到A的一一映射中，恰好有3个元素与自身对应的一一映射的个数为
答案：10
，11，已知集合A=Z，B=x x=2n+1,n∈Z，C=R，且从A到B的映射是f:x→y=2x?1，从B到C的映射是g:y→1
3y+1则从A到C的映射是。
答案：x→1
6x?2
12，判断下列是否为从A到B的映射，并判断哪些是一一映射。
（1）A=x x>0，B=y y>0，f:x→y=x2,(x?A,y?B)
（2）A=x x>0，B=R，f:x→y且y2=x,(x?A,y?B)
（3）A=2,3，B={3,5}，f:x→y>x,(x?A,y?B)
（4）A=x x>3，B=y y≥0，f:x→y=x?3,(x?A,y?B)
答案：（1）一一映射（2）不是（3）不是（4）映射
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
大一高数第一章--函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
《复变函数》考试大纲
《复变函数》考试大纲 课程名称：复变函数 一、考试的总体要求 本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。 二、考试的内容及比例 1、复数与复变函数（5%～10％）： (1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。 (2) 掌握复变函数、极限、连续性。 (3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。 2、解析函数（10%～20％）： (1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。 (2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。 (3) 掌握初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）。 (4) 了解初等多值函数（根式函数、对数函数）、初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）。 3、复变函数的积分（15%～25％）： (1) 掌握复积分的概念及基本性质。 (2) 掌握柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数。 (3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。 (4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。 4、解析函数的幂级数表示法（10～15％）： (1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。 (2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。
(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。 5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10%～15％）： (1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。 (2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。 (3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。 6、留数理论及基应用（10%～15％）： (1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。 (2) 会利用留数定理计算一些实积分（前三种类型）。 (3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。 7、共形映射（5%～10％）： (1) 掌握解析变换的特征、导数的几何意义、单叶解析函数的基本性质。。 (2) 掌握分式线性变换的映射特性、某些初等函数所构成的共形映射。 三、参考书目 《复变函数论》（第三版）钟玉泉编高等教育出版社2004.6
大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数
课时授课计划 课次序号：01 一、课题：§1.1 映射与函数 二、课型：新授课 三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念； 2.理解函数的概念，了解函数的四种特性； 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 5.会建立简单实际问题的函数关系式． 四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态. 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1） 八、授课记录： 九、授课效果分析：
第一章函数与极限 第一节映射与函数 高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识. 一、集合 1. 集合的概念 集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等． 通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记 作a?A（或a∈A）． 含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集； 全体实数组成的集合是无限集；方程2x+1=0的实根组成的集合是空集． 集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N={1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作 A ={x｜x具有性质p（x）}． 例如，正整数集N也可表示成N={n｜n =1，2，3，…}； 又如A={（x，y）｜2x+2y=1，x，y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合． 2. 集合的运算 设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B （或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A=B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B={x｜x∈A或x∈B}． 由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即 A∩B={x｜x∈A且x∈B}． 由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即 A\B={x｜x∈A但x?B}． 如图1-1所示阴影部分．
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
高等数学课件：函数的连续性
高等数学课件：函数的连续性 1.7函数的连续性 教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。 教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容: 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量 yfx,()000 ，相应地函数值的增量 ,x ,,，,,yfxxfx()() 00 xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。 lim0,,y00,,x0 x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0 xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数 lim()()fxfx,000xx,0 xfx()在点处连续。 0 左连续及右连续的概念。 xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00
x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000 xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00 x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0 2 区间上的连续函数 如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。 yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。 x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x ,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,, ,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,, ,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,, 45 xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0 意性，在内连续。 yx,sin(,),,，, xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1 x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1) x由于时，，因此 axa,1lnx,0 xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，, 1.6.2 函数的间断点
大一微积分公式
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
考研数学高数公式：函数与极限解读
考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限
极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
大一高等数学公式(精华整理的)
高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
关于高等数学函数的极限与连续习题及答案
关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x
复变函数
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 [编辑本段] 内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和 复变函数说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。、关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也
大一高数公式
2 、 高等数学公式 导数公式： 基本积分表: tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x r C secxdx In secx tgx C cscxdx In cscx ctgx C dx 1 arctg x C 2 2 a x a a dx 1In 2a x a C 2 2 x a x a dx 1In 2a a x C 2 2 a x a x dx arcsi 吐 C / 2 2 va x a dx sec 2 xdx tgx C 2 cos x dx 2 . .2 csc xdx ctgx C sin x secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx x a C In a shxdx chx C chxdx shx C dx 2 2 ----------- In(x . x a ) C ；2 2 v 3 .x a 2 2 n sin n xdx n cos xdx ■- x 2 a 2dx x x 2 2 a 2 一 x 2 a 2dx x 2 -x 2 a 2 2 2 x 2 2 :a x dx 一 ：■ a x n 1 三角函数的有理式积分: 2 _____________________ a 2 2 In(x x a ) C 2 a (tgx) sec x (ctgx) csc x (secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x ) a x l na (log a x) 1 xl na (arctgx) (arcctgx) 1 1 x 2 * * * 1 1 x 2 (arcsin x) (arccos x) 1
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录： 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
高等数学-函数与极限-教案.
第一章 函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M.
集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C );
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 课时授课计划 课次序号：01 一、课题：§1.1 映射与函数 二、课型：新授课 三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念； 2.理解函数的概念，了解函数的四种特性； 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 5.会建立简单实际问题的函数关系式． 四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态. 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导 委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业
大学出版社． 七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1） 八、授课记录： 九、授课效果分析： 第一章函数与极限 第一节映射与函数 高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解 函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识. 一、集合 1. 集合的概念 集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等． 通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，
则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作a?A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x10的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A 记作 A {x｜x具有性质p（x）}． 例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}； 又如A{（x，y）｜2x2y1，x，y为实数}表示xOy 平面单位圆周上点的集合． 2. 集合的运算 设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B（或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B{x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即 A∩B{x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即 A\B{x｜x∈A但x?B}．如图11所示阴影部分．
高数函数-极限和连续总结
第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0|
高等数学大一题库
（一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-=?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷 小 4、 x =0是函数1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 101 4- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0；
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