线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)

《线性代数(经济数学2）》课程习

题集

一、计算题1

1. 设三阶行列式为2

310211

01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．

2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式

125

343276415499165

73411114--=D

3. 求解下列线性方程组：

??

?????=++++=++++=++++---1

1

113221

1

2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ

其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠

4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230

020

x x x x x x x x x λμμ++=??

++=??++=?有非零解？

5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)240

2(3)0(1)0

x x x x x x x x x λλλ--+=??

+-+=??++-=?有非零解？

二、计算题2

6. 计算6

14230215

1

032121----=

D 的值。 7. 计算行列式524142131

8320521------=D 的值。

8. 计算0

1

11

10111

101

1110

=

D 的值。 9. 计算行列式199119921993

199419951996199719981999

的值。

10. 计算

4

124120210520

117

的值。

11. 求满足下列等式的矩阵X 。

2114332X 311113---????

-=

? ?----????

12. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵。 13. 设矩阵

?

???

??-=212321A ?

???

?

??-=103110021B 求AB ．

14. 已知

?

???

??--=121311A ?

???

? ??--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B

15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中

????? ??--=011220111A ???

?

?

??-=121111B

16. 设矩阵

????

??

?

??--=2100430000350023A

求1-A

17. 求???

?

?

??=311121111A 的逆。

18. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。 19. 求矩阵

????

??

?

?

?-=110

0210000120025A 的逆。

20. 求矩阵121342541-?? ?

- ? ?-??

的逆。

三、计算题3

21. 设矩阵

??

?

?

?

?

?

?

?---=1401

131********

12211A

求矩阵A 的秩R (A )。

22. 求向量组4321,αααα,,的秩。其中，)1,0,1(1-=α，)1,3,2(2-=α，)1,1,2(3-=α，

)4,2,3(4-=α。

23. 设向量组1β，2β，3β可由向量组1α，2α，3α线性表示。

???

??++-=-+=+-=3213

32123

211α

ααβαααβαααβ

试将向量1α，2α，3α 由 1β，2β，3β线性表示。

24. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？

a 1=(a , 1, 1)T

, a 2=(1, a , -1)T

, a 3=(1, -1, a)T

.

25. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:

a 1=(1, 2, -1, 4)T

, a 2=(9, 100, 10, 4)T

, a 3=(-2, -4, 2, -8)T

。

四、计算题4 26. 求线性方和组的解

??

?

??=+-=-+-=+-22133

232321321x x x x x x x x

27. 求解下列线性方程组

??

?

??=+-+--=++-+=++-+4

32636242232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x

28. 当a 、b 为何值时，线性方程组

??????

?=-+++=+++=-+++=++++2

334562203235432154325

432154321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x 有解，当其有解时，求出其全部解。

29. 求解齐次线性方程组??

?

??=+-=+-+=+-+0

7505320

25242143214321x x x x x x x x x x x

30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:

1212341

2345

22153223

x x x x x x x x x x +=??

+++=??+++=?

31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．

32212

221

321442),,(x x x x x x x x x f --+= 32. 设矩阵

????

?

??=211110101A

求A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P 。

33. 求一个正交变换将二次型f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3化成标准形。

34. 求一个正交变换将二次型f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4化成标准形。

35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵220212020-?? ?

-- ? ?-??

化为对角阵。

五、计算题5 （略）……

答案

一、计算题1 1. 解： 1120

432M =

= 111111(1)4A M +=-=，

（3分） 121

212M =

=- 121212(1)2A M +=-=-，

（6分） 131

2

513

M =

=- 131313(1)5A M +=-=，

（8分） 2. 解： 对照范德蒙行列式，此处

a 1=4，a 2=3，a 3=7，a 4=-5 （3分）

所以有

441

()i j i j D a a ≥>≥=∏- （5分）

213141324243()()()()()()a a a a a a a a a a a a =------ (34)(74)(54)(73)(53)(57)=--------- =10368 （8分）

3. 解：写出系数行列式D

21111212222

1

111

n n n n

n n a a a a a a D a a a ---=

??????

?????? （3分）

D 为n 阶范德蒙行列式，据题设()i j a a i j ≠≠ 1()0i j i j n

D a a ≤<≤=∏-≠ （5分）

由克莱姆法则知方程组有唯一解。 易知 12,0,...,0n D D D D ===

121,0n x x x ∴==???== （8分）

4. 解 系数行列式为

11

1

1121

D λ

μμμλμ==-. （4分） 令D =0, 得

μ=0或λ=1. （6分）

于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解. （8分）

5. 解 系数行列式为

124134

2312111

1

11

1D λ

λλλλλ

λ

----+=

-=

---（4分） =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3+λ) =(1-λ)3

+2(1-λ)2

+λ-3. （6分） 令D =0, 得

λ=0, λ=2或λ=3.

于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解. （8分）

二、计算题2 6. 解：

（4分）

（8分）

（10分）7.解

（2分）（4分）

（6分）（8分）

=-60（10分）8.解：

（5分）

（10分）

9. 解：对于行列式，使用性质进行计算。

有 199119921993

199419951996199719981999

（第3列减第2列）（3分）

1

199819971199519941

19921991=（第2列减第1列）（6分） 1

119971119941

11991=（由于2，3列对应相等）（8分） =0（10分）

10. 解

412412021052001172343412101

202103214

70

1

0c c c c ---======--434110122(1)10

3

14

+--=?--（5分） 4

1101

2210314-=-23

11329910

0020171714

c c c c +======-=+.（10分）

11.解将上述等式看成2

A X B

-=（2分）

由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得

2

A B X

-=

∴

1

()

2

X A B

=-（4分）

=

211433

1

[]

311113

2

---

????

-

? ?

----

????

（6分）=

622

1

404

2

-

??

?

-

??

（8分）

=

311

202

-

??

?

-??

（10分）

12.证：对称阵：（20分）

（4分）

∴ 是对称阵. （6分）

（8分）

∴ 是对称阵（10分）13.解 AB

（2分）

（6分）（8分）

（10分）14.解

（3分）

∴（6分）而

线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)

《线性代数（经济数学2）?课程习 题集 【说明】：本课程《线性代数（经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有［计算题5］等试题类型未进入。 、计算题1 1. 设三阶行列式为D求余子式M1, Mb ， Mb及代数余子式A1，A12，A3. 2. 3. 1 1 1 1 4 3 7 5 D4 16 9 49 15 64 27 343 125 求解下列线性方程组： 2 n 1 X1 a1X2 a1X3 a1 X n 2 n 1 X 1 a2X282X3 a21 X n 2 n 1 X1 a n X2 a n X3 a n X n 其中a i a j (i j,i, j 1,2, n) 用范德蒙行列式计算4阶行列式 1 1 1 X 2 X3 4. 问取何值时齐次线性方程组X 1 X1 X2 2 X? X3 0有非零解? X 3

(1 )为 2X 2 4X 3 、计算题2 6.计算D 2 4 16 7.计算行列式D 2X 13.设矩阵 5.问 取何值时齐次线性方程组 2X 1 (3 )X ? X 3 0有非零解? % X 2 (1 )X 3 0 1991 1992 1993 9.计算行列式 1994 1995 1996 1997 1998 1999 1 1 1 0 的值。 1 2 4 4 12. A 为任一方阵，证明 A A T ， AA T 均为对称 阵。 的值。 的值。 8. 计算D 的值。 10.计算 10 的值。 11.求满足下列等式的矩阵 X 。

1 2 0 1 2 3 A B 0 1 1 212 3 0 1 求(AB )T 和 B T A T 15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中 1 1 1 11 A0 2 2 B 11 1 1 0 21 16. 设矩阵 3 2 0 0 5 3 0 0 A 0 0 3 4 0 0 1 2 求A 1 1 1 1 17. 求 A 1 2 1 的逆。 1 1 3 18.设n 阶方阵A 可逆，试证明 19. 求矩阵 5 2 0 0 2 1 0 0 A 0 0 1 2 0 0 1 1 的逆。 求 AB ． 14. 已知 1 1 3 A 1 2 1 1 1 2 3 B 3 0 1 1 2212 A 的伴随矩阵A 可逆，并求(A *)

《经济数学基础》线性代数

《经济数学基础》线性代数 第3章 线性方程组 1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念． 2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解． ? 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下： AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ； AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )． ? 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为： AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ； AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ． 例1 线性方程组?? ?=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ． A ．2×3矩阵 B ．3×2矩阵 C ．3阶矩阵 D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵． 正确的选项是A ． 例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ． A ．可能有解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）． 正确的选项是D ． 例3 若线性方程组的增广矩阵为???? ? ?=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解． A ．1 B ．4 C ．2 D ．12 解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ???? ??=41221λA ??? ? ??λ-λ→021021

线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)

《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12， A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 343276415 49 9 16 57341111 4--= D 3. 求解下列线性方程组： ?? ?????=++++=++++=++++---1 1 113221 1 2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠

4. 问 取何值时 齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解 5. 问取何值时 齐次线性方程组12312312 3(1)240 2(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=?? +-+=??++-=?有非零解 二、计算题2 6. 计算614 2302 1 51032121 ----= D 的值。 7. 计算行列式5 2 41 421318320521 ------= D 的值。 8. 计算0 111101111011 110= D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算 4 124120210520 117 的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---???? -= ? ?----????

同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?

经济数学基础线性代数讲义

经济数学线性代数学习讲义 合川电大兰冬生 1, 矩阵: A =?? ?? ? ?????-012411210, 称为矩阵。认识矩阵第一步: 行与列, 横为行, 竖为列, 第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2 这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵 ?? ?? ? ?????-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。 ? ???? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211, 这个矩阵记作n m A ?, 表明这个矩阵有m 行, n 列, 注意行m 写在前面,列n 写在后面, 括号里面的称为元素, 记为ij a , i 是行, j 是列, 例如: ???? ??????-----12614231213252是三行四列矩阵, 也说成43?矩阵, 注意行3在

前面, 列4在后面, 这里211=a ( 就是指的第一行第一列那个数) 123-=a ( 就是指的第二行第三列那个数) 2, 矩阵加法 矩阵加法, 满足行列相同的矩阵才能相加, 对应位置的数相加。 例如: ??????????--011101010 +??????????-012411210=?????? ? ???-021512220 减法是对应位置的数相减。, 3, 矩阵的乘法 矩阵乘法参看以下法则: 注意字母对应 ???? ? ?????3332 31 232221131211 a a a a a a a a a ????? ? ?????3332 312322211312 11b b b b b b b b b ???? ? ??????+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+?=33332332133132 332232123131 332132113133232322132132232222122131232122112133132312131132132212121131 1321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明: ???? ? ?????3332 31 232221131211a a a a a a a a a ???????????3332 312322211312 11b b b b b b b b b =?? ? ?????3332 31 232221 1211 c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b , 注意是对应元素相乘, 再求和。 乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

(完整版 )2021年考研数学(二)线性代数考试大纲原文范围及内容

2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文范围 及内容 2021年考研数学（二）线性代数考试大纲由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社出版的，规定线性代数考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等政策，2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文如下： 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理 考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式； 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念、矩阵的线件运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价及其运算。 考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质； 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质；

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵； 4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法； 5．了解分块矩阵及其运算； 三、向量 考试内容 向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念； 2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法； 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩； 4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系； 5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法； 四、线性方程组 考试内容

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)

工程数学-线性代数第五版答案02教学教材

工程数学-线性代数第五版答案02

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ???? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211221323513122x x x y y y ???? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133212311542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3 213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ??? ? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ???? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)??? ? ??123)321(;

工程数学线性代数课后答案

习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + OX (-1)x(-1)+ 1X1X8 -1x(-4)x(-1)-2X (-1)X8-OX1X3 = -4； (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a 3 - b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2-l*c ,62-l*a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba' — cb 2 ~ ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z )-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x + y) + (?r + y)yx - (x + yV - d - =-2(x 3+y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； ⑶3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; ⑸1 3 …(2n - -1) 2 4 …(: 加) ； (6) 1 3 …(2n - ?1) (In) (2n - 2) … 2. 解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“?1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数为” -2;…；末位元素2n 的逆序数为0.故此排列的逆序数 2 0 1 仃) 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 ⑶ a b c a 2 b 2 c 2 ? t

《经济数学基础》综合练习(线性代数)

《经济数学基础》综合练习（线性代数） 一、单项选择题 1．设A 为23?矩阵，B 为32?矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB = C . 1T 11 T )() (---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB 3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111) (---=A B AB 4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A =-1 5．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --1 6．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ ）． A ．???? ??--6231 B ．??????--6321 C ．??????--5322 D ．?? ? ???--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立. A ．A B = A C ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BA D ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0 8．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1 （ ）． A .kA -1 B . 11k A n - C . --kA 1 D . 11k A - 9．设???? ? ?????----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

考研数学线性代数题型归纳.doc

三、线性方程组与向量常考的题型有：1.向量组的线性表出，2.向量组的线性相关性，3.向量组的秩与极大线性无关组，4.向量空间的基与过渡矩阵，5.线性方程组解的判定，6.齐次线性方程组的基础解系，7.线性方程组的求解，8.同解与公共解。 四、特征值与特征向量常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。 五、二次型常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型。 2019考研数学线性代数知识点总结 【行列式】 1、行列式本质——就是一个数 2、行列式概念、逆序数 考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算 考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。 4、余子式和代数余子式 考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。 5、行列式展开定理 考研：核心知识点，必考! 6、行列式性质 考研：核心知识点，必考!小题为主。 7、行列式计算的几个题型 ①、划三角(正三角、倒三角) ②、各项均加到第一列(行) ③、逐项相加 ④、分块矩阵 ⑤、找公因 这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。 考研：经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法 ⑦范德蒙行列式 ⑧代数余子式求和 ⑨构造新的代数余子式 8、抽象型行列式(矩阵行列式) ①转置 ②K倍 ③可逆 ③伴随 ④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型 (这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容) 考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。 【矩阵】 1、矩阵性质 考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。 2、数字型n阶矩阵运算

2020考研 线性代数_常用公式

考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也

可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组

2018考研数学线性代数六大考点

跨考考研线性代数在考研数学中占比22%，因此，学好线代很关键。一般，线性代数常考计算题和证明题，因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点，大家注意复习。 一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法 在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。 三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路 线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。 五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。 六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理 二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371

经济数学试卷及答案

成人教育学院 学年第一学期期末考试 课程名称 经济数学（线性代数、概率论部分） 一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中 [][]( ). ,5-,3,,,,B ,,,,4.143214321=+====B A B A A 则且阶方阵设αααβαααα ) (41*,2.2* 1 =+?? ? ??=-A A A A A A 的伴随矩阵，则是为三阶方阵，行列式设 ()()()( ). a 28,4,2,1,1,2,1-,1,5,3,1,1.3321=+=+==，则秩是的已知向量组a a ααα 4．n 个不同的球随机地放入n 个盒中，有空盒的概率为p = 5．同一寝室的6名同学中，至少有两人的生日在同一个月中的概率为 二．单项选择题（每题3分，共15分） ()()( )()()()()()()()(). 3,32,2 D ;,, ;-,, B ;-,-,- A . 3,2,1,,.1133221321211133221133221321αααααααααααααα αααααααααααααα++++++++===C A A i A A i 则的三个列向量，为，其中为三阶方阵，设 ( )..2等价，则与阶方阵若B A n ()()() ().D ..B .A 1-有相同的特征向量、有相同的特征值、有相同的秩、，使得存在可逆矩阵B A B A C B A B AP P P = 3．X 与Y 独立，且均在(0,)θ均匀分布，则[min(,)]E x y = [ ] .2A θ； .B θ； .3C θ； .4 D θ

()() ()()()()4 a 4- D -4;a C 4;a B 8;a 282,,.4212 32221321<<<><+++=A a x ax x x x x x x f 的取值范围是 是正定的，则实数设二次型 5．0DX ≠，0DY ≠，则()D X Y DX DY +≠+是X 和Y 的 （ ） A ．不相关的充分不必要条件； B.不相关的充分必要条件； C ．独立的充分不必要条件 ； D.独立的充分必要条件。 三、计算题：（4×12分=48分） 1 3 1 321 132333231 2 .1------计算行列式 .111111111111,.2A B X XX A AB T ，求，其中设????? ?????----=??????????-=+=

工程数学线性代数课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )

(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式

线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)

线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)

第 2 页 共 78 页 《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为 2 310 211 01--=D 求余子式M 11，M 12， M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 343276415 49 9 16 57341111 4 --= D 3. 求解下列线性方程组：

第 3 页 共 78 页 ?? ???? ?=++++=++++=++++---1 1113221 1 2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ) ,,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠ 4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组 1231231 230 020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解？ 5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 12312312 3(1)240 2(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=?? +-+=??++-=?有非零解？ 二、计算题2 6. 计算614 2302 1 51032121 ----= D 的值。 7. 计算行列式5 2 4 1 42131832 0521------=D 的值。 8. 计算0 1111 011 11011 110=D 的值。

(完整版)大学数学工程数学线性代数教材

第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1

2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ， 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，

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第一章行列式 1?利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)381141102---? 解3 81141102--- ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? (2)b a c a c b c b a ? 解b a c a c b c b a ?acb ?bac ?cba ?bbb ?aaa ?ccc ?3abc ?a 3?b 3?c 3? (3)222111c b a c b a ? 解2 22111c b a c b a ?bc 2?ca 2?ab 2?ac 2?ba 2?cb 2 ?(a ?b )(b ?c )(c ?a )?

(4)y x y x x y x y y x y x +++? 解y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1234? 解逆序数为0 (2)4132? 解逆序数为4?41?43?42?32? (3)3421? 解逆序数为5?32?31?42?41,21? (4)2413? 解逆序数为3?21?41?43? (5)13???(2n ?1)24???(2n )? 解逆序数为2 ) 1(-n n ? 32(1个) 52?54(2个) 72?74?76(3个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) (6)13???(2n ?1)(2n )(2n ?2)???2? 解逆序数为n (n ?1)? 32(1个) 52?54(2个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) 42(1个) 62?64(2个) ??????