1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A :
(1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件}{两次出现的面相同=A ;
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω, )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则
},2,1,0|{ ===Ωk k X , }3,2,1,0|{===k k X A .
(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则
)},0({∞+∈=ΩX , )}2500,2000({∈=X A .
2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设=A {取得球的号码是偶数},=B {取得球的号码是奇数},=C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:
(1)B A ;(2)AB ;(3)AC ;(4)AC ;(5)C A ;(6)C B ;(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件; (2) φ=AB 是不可能事件; (3) =AC {取得球的号码是2,4}; (4) =AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) =C A {取得球的号码为奇数,且不小于5}={取得球的号码为5,7,9};
(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}; (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}
3. 在区间]2,0[上任取一数,记??????≤<=121x x A ,???
???≤≤=234
1x x B ,求下列事件的表达式:
(1)B A ;(2)B A ;(3)B A ;(4)B A .
解 (1) ???
???≤≤=234
1x x B A ;
(2) =??????≤<≤≤=B x x x B A 21210或?
?????
≤
?????≤≤231214
1x x x x ; (3) 因为B A ?,所以φ=B A ;
(4)=??????≤<<≤=223410x x x A B A 或 ?
?????≤<≤<<≤223
121410x x x x 或或 4. 用事件C
B A ,,的运算关系式表示下列事件:
(1) A 出现,C B ,都不出现(记为1E ); (2) B A ,都出现,C 不出现(记为2E ); (3) 所有三个事件都出现(记为3E ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为4E ); (5) 三个事件都不出现(记为5E ); (6) 不多于一个事件出现(记为6E ); (7) 不多于两个事件出现(记为7E ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为8E )。
解 (1)C B A E =1; (2)C AB E =
2; (3)ABC E =3; (4)C B A E =4
;
(5)C B A E =5; (6)C B A C B A C B A C B A E =6; (7)C B A ABC E ==7;(8)B AC AB E =8
. 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设i A 表示事件“第i 次抽到废品”,3
,2,1=i ,试用i A 表示下列事件: (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品;
(2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品;
(4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。 解 (1)21A A ; (2)321A A A
; (3)321A A A ; (4)321A A A ; (5)3
21321321A A A A A A A A A . 6. 接连进行三次射击,设i A ={第i 次射击命中},3
,2,1=i ,=B {三次射击恰好命中二次},=C {三次射击至少命中二次};试用i A 表示B 和C 。
解 3
21321321A A A A A A A A A B = 3
23121A A A A A A C =
习题二解答
1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取,样本点总数???
?
??=350n ,记求概率的事件为A ,则有利于A 的样本点数
???
? ?????? ??=15245k . 于是
39299!2484950!35444535015245)(=??????=???
? ?????? ?????? ??==n k A P 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率;
(2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式,样本点总数2
7=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为
D
C B A ,,,. (ⅰ)有利于A 的样本点数2
5=A
k ,故 492575)(2
=??? ??=A P (ⅱ) 有利于B 的样本点数25?=B k ,故 4910
725)(2
=?=B P (ⅲ) 有利于C 的样本点数252??=C
k ,故 4920
)(=C P (ⅳ) 有利于D 的样本点数57?=D k ,故 75
49357
57)(2
==?=D P . 3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式,样本点总数56?=n .
(ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利
样本点数为32?,所求概率为 5
1
5632=??.
(ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为22?,
所求概率为 15
2
5622=??.
4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:
(1) 2只都合格;
(2) 1只合格,1只不合格; (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C
B A ,,,则 522562342624)(=????=???? ?????? ??=A P 15856224261214)(=???=????
?????? ?????? ??=B P
注意到B A C =,且A 与B 互斥,因而由概率的可加性知
15
14
15852)()()(=
+=+=B P A P C P 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:
(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。
解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数2
6=n (ⅰ)A 含样本点)
2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6
1
66)(2==∴A P
(ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
18
5
610)(2==∴
B P (ⅲ)
C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
2
1
3618)(==∴
C P 6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为A ,样本点总数为35,而有利A 的样本点数为345??,所以
2512
5
345)(3=??=A P .
7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: (1) 事件A :“其中恰有一位精通英语”; (2) 事件B :“其中恰有二位精通英语”; (3) 事件C :“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为???
?
??35
(1) 53106345!332352312)(==????=???? ?????? ?????? ??=A P ; (2) 103345!33351322)(=???=???
?
?????? ?????? ??=B P ;
(3) 因B
A C =,且A 与
B 互斥,因而 10
9
10353)()()(=
+=+=B P A P C P . 8.设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴、y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线3/1=x 的左边的概率。 解 记求概率的事件为A ,则A S
为图中阴影部分,而2
/1||=Ω, 1859521322121||2
=?=??
? ??-=A
S 最后由几何概型的概率计算公式可得
9
52/118/5||||)(==Ω=A S A P . 9.(见前面问答题2. 3)
10.已知B A ?,4.0)(=A P ,6
.0)(=B P ,求 (1))(A P ,)(B P ;(2))(B A P ;(3))(AB P ;(4))(),(B A P A B P ;(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ,4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ; (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ; (3)4.0)()(==A P AB P ; (4)0
)()()(==-=φ
P B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ; (5).
2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P 11.设B A ,是两个事件,已知5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,8.0)(=B A P ,试求)(B A P -及).(A B P - 解 注意到 )()()()(AB P B P A P B A P -+= ,因而)
()()(B P A P AB P += )(B A P -4.08.07.05.0=-+=. 于是,)
()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=;3
.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .
习题三解答
1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ,随机事件B 的概率6.0)(=B P ,条件概率8.0)|(=A B P ,
试求)(AB P
及)(B A P . 解 4
.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )
()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-== 3.04.06.05.01=+--=
2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率。
解 1078
9989981989910090910=?=????=p
. 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19
y A S
1 Ω
h 1
1/3 O x
图2.3
(1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少? 解 记=A {基金},=B {股票},则1
.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P (1) .
327.058.019
.0)()()|(===A P AB P A B P (2) 678
.028
.019
.0)()()|(===B P AB P B A P . 4.给定5.0)(=A P ,3.0)(=B P ,15.0)(=AB P ,验证下面四个等式: ),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )
()|(B P A B P =,).()|(B P A B P = 解 )
(21
3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ==== )
(5.07.035
.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--== )
(3.05
.015
.0)()()|(B P A P AB P A B P ==== )
(5
.015
.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--== 5.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 =B {迟到},=1A {坐火车},=2A {坐船},=3A {坐汽车},=4A {乘飞机},则 4
1==i i BA B ,
且按题意
25.0)|(1=A B P ,3.0)|(2=A B P ,1.0)|(3=A B P ,0)|(4
=A B P . 由全概率公式有:
∑==?+?+?==4
1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i
i A B P A P B P 6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率: (1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。 解 (1) 记=B {该球是红球},=1A {取自甲袋},=2A {取自乙袋},已知10/6)|(1
=A B P ,14/8)|(2
=A B P ,所以 70
41
1482110621)|()()|()()(2
211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P (2) 12
72414)(==B P
7.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。
解 0.04.004.035.005.025.0?+?+?? %45.30345.0008.00140.00125.0==++=
8.发报台分别以概率0.6,0.4发出""?和""-,由于通信受到干扰,当发出""?时,分别以概率0.8和0.2收到""?和""-,同样,当发出信号""-时,分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率;(2) 当收到""?时,发出""?的概率。
解 记 =B {收到信号""?},=A {发出信号""?}
(1) )
|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 5.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=
(2) 13
12
52.08.06.0)()|()()|(=
?==B P A B P A P B A P . 9.设某工厂有C
B A ,,三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间C
B A ,,生产的概率。 解 为方便计,记事件
C B A ,,为C
B A ,,车间生产的产品,事件=D {次品},因此 )|()()|()()|()()(
C
D P C P B D P B P A D P A P D P ++= 02.04.004.035.005.025.0?+?+?= 0345.0008.0014.00125.0=++=
362.00345.005
.025.0)()|()()|(=?==D P A D P A P D A P
406.00345.004
.035.0)()|()()|(=?==D P B D P B P D B P
232.00345
.002
.04.0)()|()()|(=?==D P C D P C P D C P
10.设A 与B 独立,且q B P p A P ==)(,)(,求下列事件的概率:)(B A P ,)(B A P ,)(B A P . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(
pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()( 11.已知B A ,独立,且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==,求)(),(B P A P . 解 因)
()(B A P B A P =,由独立性有 )
()()()(B P A P B P A P = 从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )
()(B P A P = 再由 9/1)(=B A P ,有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .
3/2)()(==A P B P 12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。
解 记 =B {命中目标},=1A {甲命中},=2A {乙命中},=3A {丙命中},则 3
1
==i i A B ,因
而
.989113121321)()()(11)(3213
1=-=??-=-=???
? ??-==A P A P A P A P B P i i 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p ,求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。
解 记 =A {通达},
=i A {元件i 通达},6
,5,4,3,2,1=i 则 6
54321A A A A A A A =, 所以 )()()()(654321A A P A A P A A P A P ++= )()()()(6
54321652165434321A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +--- 642)1()1(3)1(3p p p -+---=
14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 05.0)8.0()2.0(3523=???
? ??=p . 15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
2 1 4
3 6 5 图3.1
解 1.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(3323=+=?????
? ??+???? ??=p . 16.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19/27,求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .
解 记=i A {A 在第i 次试验中出现},.3,2,1=i )
(A P p = 依假设 33213
1)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=???? ??== 所以, 27
8
)1(3=-p , 此即 3
/1=p . 17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。
解 注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 =i A {第i 道工
序为次品},.3,2,1=i 则次品率
097.090307.0195.097.098.01)()()(13213
1≈-=??-=-=???
? ??==A P A P A P A P p i i 18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 =A {译出密码}, =i A {第i 人译出},.3,2,1=i 则
7075
.02925.016.065.075.01)()()(1)(3213
1=-=??-=-=???? ??==A P A P A P A P A P i i 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次,恰有5次出现正面的概率是多少?有4次至6次出现正面的概率是多少?
解 (1) 256632151010
=??? ?????
? ?? ; (2) 10642110??
?
?????? ??∑=k k . 20.某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T ,各电梯正在运行的概率均为0.75,求:
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解 (1) 256255)25.0(1)75.01(1
44=-=-- (2) 1282741436)25.0()75.0(242
222=??? ?????? ???=???
? ?? (3) 256
8143)75.0(4
4=??? ??=
习题四解答
1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由。
(1)5,4,3,2,1,0,15
==i i p i
; (2)()
3,2,1,0,6
52
=-=i i
p i ;
(3)5,4,3,2,
41
==i p i ; (4)5,4,3,2,1,25
1
=+=i i p i
。 解 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证i p 是否满足下列二个条件:
其一条件为 ,2,1,0=≥
i p i ,其二条件为1=∑i
i p 。 依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不是随机变量的分布律,
因为064
6953<-=-=
p ;(3)中的数列为随机变量的分布律;(4)中的数列不是随机变量的分布律,这是因为∑=≠=5
1
12520
i i
p 。 2. 试确定常数c ,使()()4,3,2,1,0,2
===i c
i X P i
成为某个随机变量X 的分布律,并求:()2≤X P ;??
?
??<<2521X P 。
解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律,必须有12
4
0=∑=i i c
,由此解得3116=c ;
(2) ()()()()2
102=+=+==≤X P X P X P X P 31
28
412113116=??? ??++=
(3)()()212521=+==?
?? ??< 12 41213116=??? ??+=。 3. 一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3,1,2,且()()()6 1 2,211,313= ====-=X P X P X P ,即X 的分布律为 X -3 1 2 概率 31 21 61 X 的分布函数 0 3 - X P x F ≤== 31 13<≤-x 6 5 21<≤x 1 2≥x 4. 一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示取出的3个球中最大号码,写出X 的分布律和分布函数。 解 依题意X 可能取到的值为3,4,5,事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3, 则另两个球的只能为1号,2号,即()101 3513=??? ? ??==X P ;事件{}4 =X 表示随机取出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选,此时()103 352314=??? ? ?????? ???==X P ;同理可得 ()106352415=??? ? ?????? ???= =X P 。 X 的分布律为 X 3 4 5 概率 10 1 10 3 10 6 X 的分布函数为 0 3 ()=x F 101 43<≤x 10 4 5 4<≤x 1 5≥x 5. 在相同条件下独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X 的分布律。 解 依题意X 服从参数6 .0,5==p n 的二项分布,因此,其分布律 ()5,,1,0,4.06.055 =??? ? ??==-k k k X P k k , 具体计算后可得 X 0 1 2 3 4 5 概率 3125 32 625 48 625 144 625 216 625 162 3125 243 6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 (1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 (1)设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品,依题意, ,,,1n A A 相互独立,且() ,2,1,13 10==i A P i 而 ()()()() () ,2,1,13101331 1111=?? ? ??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数13 10 =p 的几何分布。 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为1,2,3,4, ()()()(). 286 1 10111213101234,143511121310233, 26 5 12131032,13101=??????===????===??====X P X P X P X P X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 13 10 26 5 143 5 286 1 (3)X 可能取到的值为1,2,3,4, ()()()(). 2197 6 1313131234,21977213131312233, 169 33 13131132,13101=????===????===??====X P X P X P X P 所求X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 13 10 169 33 2197 72 2197 6 由于三种抽样方式不同,导致X 的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量()p B X ,6~,已知()()51===X P X P ,求p 与()2 =X P 的值。 解 由于()p B X ,6~,因此()()6,,1,0,1666 =-??? ? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(), 165,1615 5p p X P p p X P -==-== 即 ()(), 161655p p p p -=- 解得2 1 =p ; 此时,()641521!25621212626 262=??? ????=??? ????? ????? ? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量X 表示出现国徽的次数,求X 的分布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21 ,因此X 服从2 1,4==p n 的二项分布,即 ()4,3,2,1,0,212144=??? ????? ????? ? ??==-k k k X P k k 由此可得X 的分布函数 0, 0 16 1, 10<≤x ()=x F 165, 2 1<≤x 1611 , 32<≤x 16 15 , 4 3<≤x 1, 4≥x 9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解 设至少要进n 件物品,由题意n 应满足 ()(), 99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0!4 1104<=-≤∑ -=-n k k e k n X P ()99.0!40 4 ≥=≤∑ =-n k k e k n X P 查泊松分布表可求得 9=n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该 段时间内有1000辆汽车通过,求事故次数不少于2的概率。 解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从00.0,1000==p n 的二项分布,即()0001 .0,1000~B X ,由于n 较大,p 较小,因此也可以近似地认为X 服从1.0000.01000=?==np λ 的泊松分布,即()1 .0~P X ,所求概率为 ()()(). 004679.0090484.0904837.01!11.0!01.011 0121 .01 1.00=--=--≈=-=-=≥--e e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试 验次数,写出X 的分布律。 解 设事件i A 表示第i 次试验成功,则()75.0=i A P ,且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功,但第k 次试验成功,因此有 ()()()()()75.025.01 1111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P 所求的分布律为 X 1 2 ... k ... 概率 0.75 75.025.0? (75) .025.01 ?-k … 12. 设随机变量X 的密度函数为 ()=x f x 2, A x <<0 0, 其他, 试求:(1)常数A ;(2)X 的分布函数。 解 (1)()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为()0 ≥x f ;其二为()?+∞ ∞-=1dx x f ,因此有?=A xdx 0 12,解得1±=A ,其中1-=A 舍去,即取1=A 。 (2)分布函数 ()()()?∞ -=≤=x dx x f x X P x F = ??????+++∞-∞-∞-x x x dx xdx dx xdx dx dx 1 010******** 1100 ≥<≤ = 10 2x 1 100 ≥<≤ 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,,求:(1)系数A ;(2)()1 0< 解 (1)系数A 必须满足?+∞∞ --=1dx Ae x ,由于x e -为偶函数,所以 ???+∞∞-+∞+∞---===12200 dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2 1 = A ; (2)()()1 10 1 012 1 2 12 110----===<?e dx e dx e X P x x ; (3)()()?∞ -=x dx x f x F = ???-∞--∞--+x x x x x dx e dx e dx e 0 02 12121 00≥ = ???-∞-∞-+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 00 ≥ = () x x e e --+1212121 00≥ = x x e e --2 1121 0 0≥ 14. 证明:函数 ()=x f 0 22c x e c x - 00<≥x x (c 为正的常数) 为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0 ≥x f ,且()120 220222 22=-=? ?? ? ??--==+∞-∞+-∞+∞-∞+∞--? ??c x c x c x e c x d e dx e c x dx x f , 因此()x f 满足密度函数的二个条件,由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 ()=x f 025.05.0x e 2 200 >≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。 解 当0≤x 时,()()??∞ -∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0 当20≤ 25.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时,()15.05.0025.05.00 2 2 0=+=++=???∞-x x dx dx dx e x F 综合有 ()=x F ,1,25.05.0,5.0x e x + . 2;20; 0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布,求方程012 =++Xt t 有实根的概率。 解 X 的密度函数为 ()=x f ,5 1 61 < 方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为0 42≥-X ,即42 ≥X ,因此所求得概率为 () ()()()?=+=≥+-≤=≥-≤=≥62 2 5 451022224dx X P X P X X P X P 或。 17. 设某药品的有效期X 以天计,其概率密度为 ()=x f () ,10020000 3 +x 0>x ; 0, 其他. 求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有200天有效期的概率。 解 (1) ()()?∞-=x dx x f x F = (),10020000,003 dx x x ?+ . 0; 0≥ 0; 0≥ ??? ?? +--=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为 ()=x F (), 11, 0x e x -+- 0>≤x x 求X 的密度函数,并计算()1≤X P 和()2>X P 。 解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系,可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=,因此 ()=x f , 0, x xe - 其他 0>x 所求概率()()()1 12111111---=+-==≤e e F X P ; ()()()()() 2 23211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。 19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞ <<-∞+=x x B A x F ,arctan ,求(1) 常数B A ,;(2)()1 解:(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数,必须满足()()1lim ,0lim ==+∞ →-∞ →x F x F x x ,即 ()()1 arctan lim 0arctan lim =+=++∞ →-∞→x B A x B A x x 计算后得 1 202=+=- B A B A π π 解得 π 12 1= = B A 另外,可验证当π1,21==B A 时,()x x F arctan 1 21π+=也满足分布函数其余的几条性质。 (2) ()()()()1 1111--=<<-= ? ???-+-+=1arctan 1211arctan 121π π 2 4141πππππ=??? ??-?-?= (3)X 的密度函数 ()()()+∞ <<-∞+='=x x x F x f ,112π 。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min )服从5 1 = λ的指数分布,其密度函数为()=x f 0 ,515 x e - 其他0>x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min ,他就离开。 (1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率; (2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 (1)设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X 服从5 1 =λ的指数分布,且顾客等待时间超过10min 就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为 ()?∞+--==≥10 2 5 5 110e dx e X P x ; (2)设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y 服从2 ,5-==e p n 的二项分布,所求 概率为 ()()()()()() ()( ) 4 224 2252021411151051 01-------+=-??? ? ??+-???? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P 21. 设X 服从()1,0N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()2.2 ()176>X P ;(3)()78.0- 解 查正态分布表可得 (1)()()9861.02.22.2=Φ= .07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=- .155.155.155.155.1-Φ-Φ=<<-= .01939.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= (5)()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P ()()0124 .09938.0125.222=-=Φ-=。 22. 设X 服从()16,1-N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()44.2 .1->X P ;(3)()8.2- 5<<-X P ;(6)()11>-X P 。 解 当()2 ,~σμN X 时,()? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σ μσμa b b X a P ,借助于该性质,再查标准正态分布函数表可求得 (1)()()8051.086.04144.244.2=Φ=? ? ? ??+Φ= ?? ??+-Φ-=->X P ()()()5498 .0125.0125.011=Φ=Φ--=; (3)()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=? ?? ??+-Φ=- ?? ??+-Φ-??? ??+Φ= .07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=; (5)()()()175.041541225-Φ-Φ=? ? ? ??+-Φ-??? ??+Φ=<<-X P ()()9321 .018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=; (6)()()()? ? ??????? ??+Φ-??? ??+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253 .05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01 .0,05.2N ,合格品的规格规定为2.02±,求该厂滚珠的合格率。 解 所求得概率为 ()()()()()927.09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=? ?? ??-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100 ,30~N X (单位:min )已知上班时间为8:30,他每天7:50出门,求:(1)某天迟到的概率;(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。 解 (1)由题意知某人路上所花时间超过40分钟,他就迟到了,因此所求概率为 ()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=? ? ? ??-Φ-=>X P ; (2)记Y 为5天中某人迟到的次数,则Y 服从15.0,5==p n 的二项分布,5天中最多迟到一 次的概率为 ()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514 50=???? ? ??+????? ??=≤Y P 。 习题五解答 1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值:()()()0,2,31,1,1,1,0,0?? ? ??--,且取这些组值的概率依次为12 5 ,121, 31,61,求这二维随机变量的分布律。 解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为 X\Y 0 31 1 -1 0 121 31 0 61 0 0 2 12 5 0 0 2. 一口袋中有四个球,它们依次标有数字3,2,2,1。从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋 中任取一球。设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同。以X 、Y 分别记第一、二次取到的 球上标有的数字,求()Y X ,的分布律及()Y X P =。 解 X 可能的取值为3,2,1 ,Y 可能的取值为3,2,1,相应的,其概率为 ()()()()()()()()(). 03,3,6 1 34212,3,1211,3, 61 34123,2,6134122,2,6134121,2, 12 1 34113,1,6134212,1,01,1====??=======??====??====??====??====??======Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 1 2 3 1 0 61 121 2 61 61 6 1 3 12 1 6 1 0 ()()()()6 1 3,32,21,1= ==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。 3. 箱子中装有10件产品,其中2件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取2次,定义随机变量X 、Y 如下: X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。 解 (1)在放回抽样时,X 可能取的值为1,0,Y 可能取的值也为1,0,且 ()()()(), 25 1 1010221,1,2541010820,1, 25 4 1010281,0,25161010880,0=??====??====??====??===Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 0 1 0 2516 254 1 25 4 25 1 (2)在无放回情形下,X 、Y 可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样,具体为 ()()()(), 45 1 910121,1,458910820,1, 45 8 910281,0,4528910780,0=??====??====??====??===Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 0 1 0 4528 458 1 45 8 45 1 4. 对于第1题中的二维随机变量()Y X ,的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。 解 把第1题中的联合分布律按行相加得X 的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 12 5 61 12 5 按列相加得Y 的边缘分布律为 Y 0 31 1 概率 12 7 12 1 3 1 5. 对于第3题中的二维随机变量()Y X ,的分布律,分别在有放回和无放回两种情况下,写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。 解 在有放回情况下X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 在无放回情况下X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 54 5 1 6. 求在D 上服从均匀分布的随机变量()Y X ,的密度函数及分布函数,其中D 为x 轴、y 轴及直线1 2+=x y 围成的三角形区域。 解 区域D 见图5.2。 易算得D 的面积为4 1 21121=??=S , 所以()Y X ,的密 度函数 ()=y x f , , 0,4 ()其他 D y x ∈, ()Y X ,的分布函数 ()()??∞-∞- =y x dxdy y x f y x F ,, y 1 当21- ,=y x F ; 当120,021+<≤<≤-x y x 时, ()2 2 1244,y y xy dx dy y x F y x y -+==??-; 当12,02 1 +≥<≤-x y x 时,()1444,2 2 11 20 ++==??- +x x dy dx y x F x x ; 当10,0<≤≥y x 时,()2 2124,y y dx dy y x F y y -==??-; 当1,0≥≥y x 时,()??- +==02 11 20 14,x dy dx y x F 综合有 ,0 0 2 1 <- 242 y y xy +- 120021+<≤<≤-x y x 且 ()=y x F , ,1442 ++x x 1202 1+≥<≤-x y x 且 ,22 y y - 1 00<≤≥y x 且 ,1 1 0≥≥y x 且 7. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数。 解 X 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞ -=dy y x f x f X , = , 0, 41 20 ?+x dy 其他021<<- x = (), 0,124+x 其他 21 <<-x Y 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y , = , 0, 40 2 1?-y dx 其他 10< (),0, 12y - 其他 10< 8. 在第3题的两种情况下,X 与Y 是否独立,为什么? 解 在有放回情况下,由于()25 16 0,0===Y X P ,而()()25 16 545400=?===Y P X P ,即 ()()()000,0=====Y P X P Y X P ;容易验证()()(), 101,0=====Y P X P Y X P ()()()()()()1 11,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ,由独立性定义知X 与Y 相互独立。 在无放回情况下,由于()45280,0===Y X P ,而()()25 16 545400=?===Y P X P ,易见 ()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ,所以X 与Y 不相互独立。 9. 在第6题中,X 与Y 是否独立,为什么? 解 431,41=?? ? ??-f ,而3 4 31,241=??? ??=?? ? ??-Y X f f ,易见?? ? ????? ??-≠?? ? ??-314131,41Y X f f f ,所以X 与Y 不相互独立。 10. 设X 、Y 相互独立且分别具有下列的分布律: X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 41 31 121 3 1 概率 21 4 1 4 1 写出表示()Y X ,的分布律的表格。 解 由于X 与Y 相互独立,因此 ()()() ,3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i 图5.2 例如()()()8 121415.025.0,2= ?=-=-==-=-=Y P X P Y X P 其余的联合概率可同样算得,具体结果为 X\Y -0.5 1 3 -2 81 161 161 -1 61 121 121 0 241 481 481 0.5 6 1 12 1 12 1 11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量,X 服从[]2 .0,0上的均匀分布,Y 服从参数为5的指数分布,求()Y X ,的联合密度函数及()Y X P ≥。 解. 由均匀分布的定义知 ()=x f X , 0,5 其他2.00< 由指数分布的定义知 ()=y f Y , 0,55y e - 其他 0>y 因为X 与Y 独立,易得()Y X ,的联合密度函数 ()()()==y f x f y x f Y X , , 0, 255y e - 其他0,2.00>< =≥G dxdy y x f Y X P ,, 其中区域(){}y x y x G ≥=|,见图5.3,经计算有 ()() 1 2.00 52.00051525---=-==≥???e dx e dy e dx Y X P x x y 。 12. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (), 0, 43y x ke +- 其他0 ,0>>y x 求:(1)系数k ;(2)()2 0,10≤≤≤≤Y X P ;(3)证明X 与Y 相互独立。 解 (1)k 必须满足()??+∞∞-+∞ ∞-=1,dxdy y x f ,即()10 430=??+∞ +-+∞dx ke dy y x ,经计算得12=k ; (2)()()()()8 3201 43111220,10--+---==≤≤≤≤??e e dx e dy Y X P y x ; (3)关于X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞ -==dy y x f x f X , (), 0,12043dy e y x ?+∞+- 其他 0>x = ,0,33x e - 其他 0>x 同理可求得Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y , 0, 44y e - 其他0 >x 易见()()()+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y f x f y x f Y X ,,,,因此X 与Y 相互独立。 13. 已知二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (),0, 1y x k - 其他 x y x <<<<0,10 (1)求常数k ;(2)分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数;(3)X 与Y 是否独立? 解 (1)k 满足()??+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x f ,即()??=-100 11x ydy x k dx 解得24=k ; y 0.2 x 图5.3 (2)X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞ -==dy y x f x f X , (), 0,1240dy y x x ?- 其他 10< (), 0,1122x x - 其他 10< Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y (), 0,1241 ?-y ydx x 其他 10< 0, 1122 y y - 其他10< (3)3141212441,21=??=?? ? ??f ,而()()16271694112,23214112=??==??=y f x f Y X ,易见? ? ? ????? ??≠??? ??412141,21Y X f f f ,因此X 与Y 不相互独立。 14. 设随机变量X 与Y 的联合分布律为 X\Y 0 1 0 252 b 1 a 25 3 2 251 25 2 且()5 3 0|1===X Y P , (1) 求常数b a ,的值;(2)当b a ,取(1)中的值时,X 与Y 是否独立?为什么? 解 (1)b a ,必须满足∑∑===213 11j i ij p ,即 1 252251253252=+++++a b ,可推出25 17 =+b a ,另外由条件概率定义及已知的条件得 ()()()5 3 25 201,00|1= +=======b b X P Y X P X Y P 由此解得253=b ,结合2517=+b a 可得到2514 =a , 即 25 325 14= = b a (2)当253,2514==b a 时,可求得()()25 17 0,2550====Y P X P ,易见 ()()()0025 2 0,0==≠===Y P X P Y X P 因此,X 与Y 不独立。 15. 对于第2题中的二维随机变量()Y X ,的分布,求当2=Y 时X 的条件分布律。 解 易知()2 1 22=== ?Y P p ,因此2=Y 时X 的条件分布律为 X|Y=2 1 2 3 概率 3 1212=?p p 3 1 222=?p p 3 1 232=?p p 16. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布,求当? ? ? ??<<-=02 1,x x X 时Y 的条件密度函数。 解 X 的边缘密度函数为(由第7题所求得) ()=x f X (), 0, 124+x 其他0 21 <<- x 由条件密度函数的定义知当? ?? ??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数为 ()()()==x f y x f x y f X X Y ,|| (), 0,1244 +x 其他120+< 0, 121 +x 其他 120+< 习题六解答 1. 设X 的分布律为 X -2 -0.5 0 2 4 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 求出:以下随机变量的分布律。(1)2+X ;(2)1+-X ;(3)2X 。 解 由X 的分布律可列出下表 概率 81 41 81 61 3 1 X -2 -0.5 0 2 4 2+X 0 1. 5 2 4 6 1+-X 3 1.5 1 -1 -3 2X 4 0.2 5 0 4 16 由此表可定出 (1)2+X 的分布律为 2 +X 0 2 3 2 4 6 概率 81 41 81 61 3 1 (2)1 +-X 的分布律为 1 +-X -3 -1 1 2 3 3 概率 31 61 81 4 1 8 1 (3)2 X 的分布律为 2X 0 4 1 4 16 概率 81 41 247 3 1 其中()()()24 7 61812242=+=-=+===X P X P X P 。 2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布,记随机变量=Y , 1,1;1,0>≤X X 若若试求随机变量Y 的分 布律。 解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布,因此 ·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: 习题六 1. 设总体X ~)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2 S 小于9.1的概率. 解 X ~)6,(μN ,由2 2 )1(σS n -~)1(2-n χ,于是 {}()(){}(){}22 22 2519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-???-<=<=<=-≥???? 10.050.95.=-= 2. 设1210,,,X X X L 是取自正态总体2 (0,0.3)N 的样本,试求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解:由() 2 1 2 n i i X u σ=-∑~2 ()n χ,于是 () ()(){}10210221221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==?? ?????? >=>=>=???????????? ∑∑. 3. 设总体X ~(,4)N a ,n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立, () ( )() () () 2 10.1; 20.1; 3{1}0.95.E X a E X a P X a -≤-≤-≤≥ 解 (1) 因为X ~4(,),N a n X ~(0,1),N 从而() 2 4X a n -~2 (1),χ于是 224 1,0.1,40.X a E E X a n n n ? ?- ?=-=≤≥ ? ??? 所以 (2 X ~(0,1),N 所以 2 22222 2 2x x x x E dx xe dx e d ∞∞ ∞ -- - -∞??=== -= ??? ?? 所以( ) 0.1,E X a -= ≤从而800 254.7,255.n n π > =≥故 习 题 一 写出下列事件的样本空间: (1) 把一枚硬币抛掷一次; (2) 把一枚硬币连续抛掷两次; (3) 掷一枚硬币,直到首次出现正面为止; (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ). 解 (1) Ω={正面,反面} △ {正,反} (2) Ω={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)} (3) Ω={(正),(反,正),(反,反,正),…} (4) Ω={x ;0 ≤x ≤ m } 掷一颗骰子的试验,观察其出现的点数,事件A =“偶数点”, B =“奇数点”, C =“点数小于5”, D =“小于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系. 解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A Ω A 与B 为对立事件,即B =A ;B 与D 互不相容;A ?D ,C ?D. 3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务,i =1,2,3,B 表示至少有两个车间完成生产任务,C 表示最多只有两个车间完成生产任务,说明事件B 及B -C 的含义,并且用A i (i =1,2,3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务,即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++= B - C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321+++A A A A A A A A A A A A B = 321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =- 4. 如图1-1,事件A 、B 、C 都相容,即ABC ≠Φ,把事件A +B ,A +B +C ,AC +B ,C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解 B A A B A +=+ C B A B A A C B A ++=++ C B A B B AC +=+ BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明. 解 两个对立的事件一定互不相容,它们不可能同时发生,也不可能同时不发生;两个互不相容的事件不一定是对立事件,它们只是不可能同时发生,但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件,C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件,即ABC =Φ,问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图1-2,事件ABC =Φ,但是A 与B 相容. 7. 事件A 与B 相容,记C =AB ,D =A+B ,F =A -B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系. 解 由于AB ?A ?A+B ,A -B ?A ?A+B ,AB 与A -B 互不相容,且A =AB +(A -B). 因此有 A =C +F ,C 与F 互不相容, D ?A ?F ,A ?C. 8. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率. 解 记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目#A =1 315 C C .而组成试验的样本点总数为#Ω=235+C ,由古典概率公式有 图1-1 图1-2 第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 (设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产 品的总件数。 (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上 “正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品 就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的 结果。 (5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 (6)实测某种型号灯泡的寿命。 解(1)},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 (2)}18,,4,3{ =Ω。 (3)},11,10{ =Ω。 (4)=Ω{00,100,0100,0101,0110,1100, 1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中 0表示次品,1表示正品。 (5)=Ω{(x,y)| 0 (2)A 与B 都发生,而C 不发生。 (3)A ,B ,C 中至少有一个发生。 (4)A ,B ,C 都发生。 (5)A ,B ,C 都不发生。 (6)A ,B ,C 中不多于一个发生。 (7)A ,B ,C 至少有一个不发生。 (8)A ,B ,C 中至少有两个发生。 解 (1)C B A ,(2)C AB ,(3)C B A ++,(4)ABC , (5)C B A , (6)C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++, (7)C B A ++, (8)BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3.指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并作 图说明。 (1)B B A B A =(2)AB B A = (3)AB B A B =?则若,(4)若 A B B A ??则, (5)C B A C B A = (6)若Φ=AB 且A C ?, 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:C B A ++,C AB +,AC B -. 解:如图: 习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A: (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件两次出现的面相同}; (2) 记录某电话总机一分钟, (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设取得球的号码是偶数},取得球的号码是奇数},取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: ;(2)AB;(3)AC;(4)AC;(5);;解是必然事件; 是不可能事件; 取得球的号码是2,4}; 取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; 取得球的号码为奇数,且不小于取得球的号码为5,7,9}; 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6,8,10}; 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 在区间[0,2]上任取一数,记,,求下列事件的表达式: ;(2)B;(3)A; 解 或 (3) 因为,所以; 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件: (1) A出现,B,C都不出现(记为E1); (2) A,B都出现,C不出现(记为E2); (3) 所有三个事件都出现(记为E3); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E4); (5) 三个事件都不出现(记为E5); (6) 不多于一个事件出现(记为E6); (7) 不多于两个事件出现(记为E7); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8)。 解;AB; ;; ;; ; 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai表示事件“第i次抽到废品”,,试用Ai表示下列事件: (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。 解;(2)A1A2A3;(3)A1A2A3;; 6. 接连进行三次射击,设Ai={第i次射击命中},,三次射击恰好命中二次},三次射击至少命中二次};试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取,样本点总数,记求概率的事件为A, 则有利于A的样本点数 于是 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式,样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数,故 ⅱ) 有利于B的样本点数,故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数,故 ⅳ) 有利于D的样本点数,故 3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式,样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利 样本点数为,所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为, 第1章 随机变量及其概率 1,写出下列试验的样本空间: (1) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次,记录 投掷的次数。 (2) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次, 记录投掷的次数。 (3) 连续投掷一枚硬币直至正面出现,观察正反面出现的情况。 (4) 抛一枚硬币,若出现H 则再抛一次;若出现T ,则再抛一颗骰 子,观察出现的各种结果。 解:(1)}7,6,5,4,3,2{=S ;(2)},4,3,2{ =S ;(3)},,,,{ TTTH TTH TH H S =; (4)}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2,设B A ,是两个事件,已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ,求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解:625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P , 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P , 875.0)(1)(___--=AB P AB P , 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3,在100,101,…,999这900个3位数中,任取一个3位数,求不包含数字1个概率。 解:在100,101,…,999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??,所以所求得概率为 72.0900 648= 4,在仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中,任取一个三位数。(1)求该数是奇数的概率;(2)求该数大于330的概率。 解:仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。(1)该数是奇数的可能个数为48344=??个,所以出现奇数的概率为 48.0100 48= (2)该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?,所以该数大于330的概率为 习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水,其含碳量(%)分别为 问若标准差不改变,总体平均值有无显着性变化(α=) 【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0,认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量(%)经测定为: 设含镍量服从正态分布,问在α=下能否接收假设:这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0,认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下,某种牌子的香烟一支平均1.1克,若从这种香烟堆中任取36支作为样本;测得样本均值为(克),样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟(支)的重量(克)近似服从正态分布(取α=). 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0,认为这堆香烟(支)的重要(克)正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时,标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池,得到它们的寿命(以小时计)为19,18,20,22,16,25,问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地 课后答案网习w题w一w解.答https://www.wendangku.net/doc/8f3031148.html, 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A{两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次};{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ,A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 {X k | k0,1,2,LL} , A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则 {X (0,)} , A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球,分别编有号码1 至10,从中任取1 球,设A {取得球的号码是偶数},B {取得球的号码是奇数},C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B是必然事件; (2) AB 是不可能事件; (3) AC {取得球的号码是2,4}; (4) AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C{取得球的号码为奇数,且不小于5} {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数,记A (1) A U B ;(2) ;(3) ;(4) A U B .x 1 x 2 1 ,B x 1 x 4 3 ,求下列事件的表达式: 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ,所以AB ; (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现,B, C都不出现(记为E 1 ); (2) A, B 都出现,C 不出现(记为E 2 ); (3) 所有三个事件都出现(记为E 3 ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E 4 ); (5) 三个事件都不出现(记为E 5 ); (6) 不多于一个事件出现(记为E 6 ); (7) 不多于两个事件出现(记为E 7 ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E 8 )。 解(1) E 1 (3) E 3(5) E 5 AB C;(2) E 2 ABC ;(4) E 4 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1.设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r,试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2.若A,B,C相互独立,试证明:A,B,C 亦必相互独立。3.试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之,其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10},事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4.某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,只得逐把试开。问:恰好第三次打开房门锁的概率?三次内打开的概率?如果5把里有2把房门钥匙,则在三次内打开的概率又是多少?5.设有甲、乙两袋,甲袋中装有n个白 球、m个红球,乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中,再从乙袋中任意取一个,问取到白球的概率是多少?6.在时间间隔5分钟内的任何时刻,两信号等可能地进入同一收音机,如果两信号进入收音机的间隔小于30秒,则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率?7.甲、乙两船欲停靠同一码头,它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的,各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率?8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统,每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率:仓库发生意外时能及时发出警报;乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵?9.设A,B为两随机变量,试求解下列问题:已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求:P(A|B); 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A{两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次};{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ,A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 {X k | k0,1,2,LL} , A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则 {X (0,)} , A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球,分别编有号码1 至10,从中任取1 球,设A {取得球的号码是偶数},B {取得球的号码是奇数},C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B是必然事件; (2) AB 是不可能事件; (3) AC {取得球的号码是2,4}; (4) AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C{取得球的号码为奇数,且不小于5} {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数,记A (1) A U B ;(2) A B;(3) AB ;(4) A U B .x 1 x 2 1 ,B x 1 x 4 3 ,求下列事件的表达式: 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A B x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ,所以AB ; (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 或 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现,B, C都不出现(记为E 1 ); (2) A, B 都出现,C 不出现(记为E 2 ); (3) 所有三个事件都出现(记为E 3 ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E 4 ); (5) 三个事件都不出现(记为E 5 ); (6) 不多于一个事件出现(记为E 6 ); (7) 不多于两个事件出现(记为E 7 ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E 8 )。 解(1) E 1 (3) E 3 (5) E 5AB C;(2) E 2 ABC ;(4) E 4 A B C;(6) E 6 ABC ; A U B U C ; A B C U AB C U A B C U A B C; (7) E 7ABC A U B U C ;(8) E 8 AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设A i 表示事件“第i 次 第一章 随机事件与概率 1.对立事件与互不相容事件有何联系与区别? 它们的联系与区别是: (1)两事件对立(互逆),必定互不相容(互斥),但互不相容未必对立。 (2)互不相容的概念适用于多个事件,但对立的概念仅适用于两个事件。 (3)两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生,即肯定了至少有一个发生。特别地,A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2.两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别? 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立,其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容,则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生,或事件B 发生必然导致事件不发生,即A φ=AB ,这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3.随机事件与样本空间、样本点有何联系? 所谓样本空间是指:随机试验的所有基本事件组成的集合,常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件;只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中,一定发生的事件叫做必然事件,记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件,记作??φ。为了以后讨论问题方便,通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化,即:无论是必然事件、随机事件还是不可能事件,都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化,事件的性质也发生变化。例如:抛掷两颗骰子,“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”,都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子,“出现的点数之和为3点”,则是不可能事件了;而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如: (1)将一颗骰子连续抛掷三次,观察出现的点数之和,其样本空间为 ?={34}。 518,,,,L (2)将一颗骰子连续抛掷三次,观察六点出现的次数,其样本空间为 ?={012}。 3,,, 在(1)、(2)中同是将一颗骰子连续抛掷三次,由于试验目的不同,其样本空间也就不一样。 4.频率与概率有何联系与区别? 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小,其严格的定义为: A A 概率的公理化定义:设E 为随机试验,?为它的样本空间,对E 中的每一个事件都赋予一个实数,记为,且满足 A P A () (1)非负性:01≤≤P A (); (2)规范性:P ()?=1; (3)可加性:若两两互不相容,有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比,即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时,频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小,并且在一定条件下做重复试验,其结果可能是不一样的,所以不能用频率代替概率。 概率统计课后答案 2 第 一 章 思 考 题 1.事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗?为什么? 2.医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很 重,在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时,医生继续说“但 你是幸运的.因为你找到了我,我已经看过九个 病人了,他们都死于此病,所以你不会死” ,医生的说法对吗?为什么? 3.圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后 七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不 断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士 公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费 林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 675844625664686762609 876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答:因为π是一个无限不循环小数,所以,理论上每个数字出现的次数应近似相等,或它们出现的频率应都接近于0.1,但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4.你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗? 5.两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系?对立事件与互不相容事件又有何区别和联系? 6.条件概率是否是概率?为什么? 习题一 1.写出下列试验下的样本空间: (1)将一枚硬币抛掷两次 答:样本空间由如下4个样本点组成Ω=正正,正反,反正,反反 {(,)(,)(,)(,)} (2)将两枚骰子抛掷一次 答:样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6} Ω== i j i j (3)调查城市居民(以户为单位)烟、酒的年支出 3 概率论与数理统计统计课后习题答案 第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解:因为随机变量X ={这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为:0,1,2,3,4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈; 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈; 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈; 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈; 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为: 3. 5. 解:设X ={其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈; 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈; 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈; 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈; 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈; 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为: 6. 考试的形式、试卷结构 1. 考试形式为闭卷、笔试。满分100分,考试时间为120分钟。 2. 试卷内容比例:第一、二、三章约占27%,第四章约占29%,第六章约占14%,第七章约 占16%,第八、九、十章约占14%。 3. 试卷题型比例:填空题占15%,选择题占15%,计算题占49%,综合题占21%. 题型示例与答案 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。) 1.在随机事件A ,B ,C 中至多有一个发生的事件可表示为_________________; 2.设随机事件A 与B 互斥,则P(AB)等于___________; 3.设随机变量X 的数学期望E(X)=a ,则E(2X+5)等于______________________; 4.设随机变量X 的方差D(X)=b, 则D(2X+5)等于______________________; 5.设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2), 则其密度函数f(x)=_______ __________。 二、单选题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。) 1. A 与B 是两个随机事件,若AB ≠φ,则A 与B 关系是( )。 (A) 对立; (B) 独立; (C)互斥; (D) 相容 2. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p ,则在成功2次之前已经失败3 次的概率为: A .32)1(4p p - B .3)1(4p p - C .32)1(10p p - D .3 2)1(p p - 3. 设F(x)是随机变量X 的分布函数,则F(x)具有性质( )。 x x x x A F x 1B F x 1C F x 0D F x →+∞ →-∞ →+∞ →+∞ ====+∞()lim (),()lim (),()lim (),()lim (). 4. 设随机变量X 服从分布N(μ,σ2),其数学期望和标准差分别是( )。 (A) μ,σ; (B) μ,σ 2; (C) σ, μ; (D)σ2,μ 5. 设?θ 是总体参数θ的无偏估计量,则有( )。 (A)D θ =θ?(); (B)E θ=θ?(); (C)θ=θ?; (D)2D θ =θ?() 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分。要求解题有过程) 1.设两事件A 与B 互斥,且()()0.3,0.8P A P A B ==,求()P B 。 2.袋内装有4个白球,5个黑球,今从中任取两个球,求两个球均为白球的概率; 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ,B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生,则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”,C 表示“乙种商品滞销”,根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色; (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数; (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}; (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}; (3) {0,1,2}; (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品,则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件: (1) 仅有A 发生; (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件: (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2-A 3; (5)2 3A A ; (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )=p ,求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
(完整版)山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社
经济数学基础-概率统计课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案
概率论课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案
概率统计简明教程课后习题答案(工程代数同济大学版)
概率论与数理统计及其应用课后答案
概率论与数理统计课后习题及答案
《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】
概率统计习题带答案
《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw-lxywyl】
概率论习题答案
概率统计课后答案
概率论与数理统计统计课后习题答案
最新版概率统计简明教程期末复习题(含答案)
概率论课后答案