台州市2016年高三年级第一次调考试题

数 学 (理科) 2016.03

命题： 李柏青 (黄岩中学) 李建明（台州一中)

审题：余岳利（台州中学）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式：

参考公式：

柱体的体积公式：V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高

锥体的体积公式：1

3

V Sh =

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++= 其中1S 、2S 、h 分别表示台体的上、下底面积、高

球的表面积公式：2=4πS R 球的体积公式：34=π3

V R 其中R 表示球的半径

选择题部分（共40分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.{}Z ,14|∈+==k k x x A ，{}Z ,12|∈-==k k x x B ，则 A ．B A ? B ．A B ? C ．B A = D ．?=B A

2.已知直线:1l 0111=++y B x A ，直线:2l 0122=-+y B x A ，R ,,,2121∈B B A A ，则“21l l ⊥”的充分且必要条件是

A ．02121=-

B B A A B ．02121=+B B A A

C ．01221=-B A B A

D ．01221=+B A B A

3.已知平面向量，，，满足⊥，)R ,(∈+=y x y x ，且0,0?，

则下列结论一定成立的是

A ．0,0>>y x

B ．0,0<>y x

C ．0,0>

D ．0,0<

π

sin(2)(∈+

=x x x f ω，其中ω是正实数，若函数)(x f 图象上的一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，则ω的值是 A ．

5π2 B ．3π2 C ．5π D ．3

π 5.已知异面直线a 与b 所成角为锐角，下列结论不正确．．．

的是 A ．不存在一个平面α使得αα??b a , B ．存在一个平面α使得αα//,//b a C ．不存在一个平面α使得αα⊥⊥b a , D ．存在一个平面α使得αα⊥b a ,// 6.如果一个函数)(x f 在定义域D 中满足：①存在D x x ∈21,，且21x x ≠，使得

)()(21x f x f =；②任意D x x ∈21,，2)

()(22121x f x f x x f +≤

??

? ??+，则)(x f 可以是 A ．x x f 2log )(= B ．x x x f 2)(2+-= C ．x

x f 2)(= D ．x x f sin )(=

7.设双曲线C ：)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ，左、右顶点分别为21,A A ，以

21A A 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P （点P 在第一象限内），若直线FP 平行于另一条渐近线，则该双曲线离心率e 的值为 A ．2 B ．2 C ．3 D ．3 8.如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，点Q P ,分别是棱

BC ,CD 上的动点，32,3,4='==C C CD BC ，直线C C '

与平面C PQ '所成的角为?30，则△C PQ '的面积的最小值是

A

．

5 B ．8 C

．3

D ．10

(第8题图)

非选择题部分 (共110分)

二、填空题(本大题共7小题，共36分。其中多空题每小题6分；单空题每小题4分） 9.已知角α的终边落在直线2y x =-上，则tan α= ▲ ，3

cos(2)2

α+π= ▲ ． 10.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该 几何体的表面积是 ▲ 2cm ，体积是 ▲ 3

cm ． 11.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知161=S ，某同学经过计算得到,130,76,32432===S S S 检验后发现其中恰好一个数算错了，则算错的这个数是 ▲ ，该数列的公比是 ▲ ．

12.过抛物线τ：x y 82=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，若6||=AF ，则抛物线

τ的顶点到直线AB 的距离为 ▲ ．

13.在直角坐标系中，已知点)2,2(),2,2(),2,0(--C B A ，设M 表示△ABC 所围成的平面区域（含边界），若对区域M 内的任意一点),(y x P ，不等式2≤+by ax 恒成立，其中

R ,∈b a ，则以),(b a 为坐标的点所形成的区域面积为 ▲ ．

14.若函数()()()

b ax x x x f ++-=224的图象关于直线1-=x 对称，则=a ▲ ，

=b ▲ ，)(x f 的最小值为 ▲ ．

15.已知点C 是线段AB 上一点，2=

=

，则

2

AB

MB MA ?的

最小值为 ▲ ．

三、解答题(本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分14分）设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 已知()C a A c b cos cos 2=-. （Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若1=a ，求c b +的取值范围．

(第10题图)

俯视图侧视图

正视图

17．（本小题满分15分）如图，五面体ABCDE 中，

CD AB //，⊥CB 平面ABE ，AB AE ⊥，

1,2,2====CD BC AE AB .

（Ⅰ）求证：直线⊥BD 平面ACE ；

（Ⅱ）求二面角C BE D --的平面角的余弦值．

18．（本小题满分15分）已知函数2()3f x x x x a a =---,a >0.

（Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ，求

12

11

x x -的取值范围. 19．（本小题满分15分）如图,已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的上顶点为(0,1)A ,

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若过点A 作圆()2

2

2

1:r y x M =++

()10<

于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试

问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

20．（本小题满分15分）已知数列}{n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，

22-=n n a S (∈n N *

)，设n

n n

n S b 23=，数列}{n b 的前n 项和为n T ．

（Ⅰ）比较1+n b 与n b 4

3的大小(*

N ∈n )；

（Ⅱ）证明：()21213n n n b T --≤<，*

N ∈n ．

(第17题图)

(第19题图)

台州市2016年高三年级第一次调考试题参考答案

数 学 2016.03

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

ABBD DCAB

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9．-2，45-

； 10．12+4； 11．32（2S ），32

； 12．

3

2

2； 13．4； 14．4，0，-16； 15．29-

三、解答题（本大题共 5 小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分为14分）

解：（Ⅰ）由()C a A c b cos cos 2=-得：

()2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=， 2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=， ∴1

cos 2

A =， 故3π

=

A ； ---------------------------------7分 （Ⅱ）由3

π

,1==A a ，根据余弦定理得：

22

1b c bc +-=， ---------------------------------9分

∴2

()31b c bc +-=，

∴2

2()1332b c b c bc +??

+-=≤ ???

，

∴2()4b c +≤，得2b c +≤， ----------------------------------12分 又由题意知：1b c a +>=，

故：12b c <+≤． ---------------------------------14分

17.（本小题满分为15分）

解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD 中，2,1AB BC CD ===，

可得：ABC ?∽BCD ?，从而可得：BD AC ⊥①， 又∵⊥CB 平面ABE ，∴CB AE ⊥，

又AB AE ⊥，所以有AE ⊥平面ABCD ， 可得：AE BD ⊥②，

由①②可得：直线⊥BD 平面ACE ； -----------------------------7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，建立如图空间直角坐标系， 由题意知各点坐标如下：

(0,2,0),

(0,2,2),(0,1,2),(2,0,0)B C D E ， -----------------------9分 因此 (2,2,0),(0,0,2),(0,1BE BC BD =-==

-， 设平面BEC 的法向量为111(,,)m x y z =，

平面BED 的法向量为222(,,)n x y z =，

由1112200,00x y m BE m BC -=???=?

?

?=?=??即，

可取(1,1,0)m =--； --------11分

由22222200,00x y m BE y m BD -=???=??

??

-+=?=???

?即， 可取n =； -----------------------13分

于是2cos ,||||

m n m n m n ?=

=-?， 故二面角C BE D -- --------------------------------15分 18. （本小题满分为15分）

解：（Ⅰ）22

23,1,

()133, 1.x x x f x x x x x x ?--≤=---=?->?

根据函数的图象可得,

()f x 在1,4?

?-∞ ??

?上单调递减, 在1,4??+∞ ???上单调递增. -----------------------6分

（Ⅱ）22

23,,

()33

,.x ax a x a f x x x x a a ax a x a ?--≤=

---=?->?

① 当03a <<时,令()0f x =,可得

123,x x ==

, 3x

=

(因为2

()30,f a a a =-<所以3x a >舍去) --------------------8(第17题图)

x

分

所以

12

11111

332

x x

-==+=+

在03

a

<<上是减函数,所以()

12

11

1,

x x

-∈+∞.-----------------------------11分

②当3

a≥时,令()0

f x=,则可得

12

,x x是方程2

230

x ax a

--=的两个根, 所

以12

1212

111

,1

3

x x

x x x x

-??

-=== ?

??

, ------------------14分

综合①②得,

12

111

,

3

x x

??

-∈+∞

?

??

. -------------------------------------15分19．（本小题满分为15分）

解：（Ⅰ）由已知可得,

222

1,

,2,1

,

b

c

a b

a

a b c

=

?

?

?

=?==

?

?

?=+

?

,

所求椭圆的方程为

2

21

4

x

y

+=---------------------------5分（Ⅱ）设切线方程为1

y kx

=+，则

2

|1|

1

k

r

k

-

=

+

，即222

(1)210

r k k r

--+-=，设两切线,

AB AD的斜率为

1212

,()

k k k k

≠，则

12

,k k是上述方程的两根，所以12

1

k k?=；------------------------------------8分

由2

2

1

1

4

y kx

x

y

=+

?

?

?

+=

??

得：22

(14)80

k x kx

++=，

所以2

111122

11814,1414k k x y k k --==

++， 同理可得：2

2212122222

2

212188144

,144144

k k k k x y k k k k ----====++++，-----------------12分 所以22112

221111112211

4144141883414BD

k k k k k k k k k k k ---+++==----++， 于是直线BD 方程为

2211122

1111418()14314k k k y x k k k -+--=--++，

令0x =，得

2221111222

111114185205

143143(14)3

k k k k y k k k k -+---=+?==-+++， 故直线BD 过定点5

(0,)3

-. ----------------------------15分

20．（本小题满分为15分）

解：（Ⅰ）由22-=n n a S 得：1122n n S a --=-， 两式相减得：122(2)n n n a a a n -=-≥，

12n n a a -∴=， -----------------------------------2分

又12a =，∴2n n a =， 12222n n n S a +=-=-

∴1

3322(22)

n n

n n n n n b S +==- -----------------------------------5分 111

112123333442(22)2(24)2(22)

n n n n n n n n n n b ++++++++==>

?---， 即：13

4

n n b b +<； --------------------------------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：134b =，13

4

n n b b +<，

因此当2n ≥时，1

113

334

44n n

n n b b b --????<<

<< ? ???

??

，

则2

21

212112213333=31-34444n n n n T b b b ----??

??

????=++

+≤++

+

??

?????

?， ----------------------------------11分

又∵当12,,2,1,2-=≥n k n 时，

221221332(22)2(22)

k n k

k n k

k k n k n k b b

--+-+-+=+

--

≥

=

= = 322(21)

n

n n n b ≥==-， 当且仅当n k =时等号成立，

∴211221(21)n n n T b b b n b --=+++≥-，

∴()21213n n n b T --≤<，.N *

∈n -------------------------------------------15

分