实变函数复习题
实变函数复习题 一、填空题
1、()(())c c A B A A B ??--=_________ 答案：?
2、设E 是[]0,1上有理点全体，则E '=______,E =______,E =______.答案：[]0,1；?；
[]0,1
3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的. 答案：***()()m T m T E m T C E =?+?
4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）答案：充要
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________, 则称()f x 为 [],a b 上的有
界变差函数。答案：11|()()|n i i i f x f x -=??
-????
∑成一有界数集
6、设11[,2],1,2,n A n n
n
=-
= ，则=∞
→n n A lim _________。答案：()0,2
7、设P 为Cantor 集，则 =P ，m P =_____，P =_______。答案：?；0 ；?
8、设{}i S 是一列可测集，则1
1
______i
i
i i m S m S
∞
∞
==??
? ???
∑ 答案：≤
9、鲁津定理：___________________________________________________ _______________________________________________________________
答案：设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。
10、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果______________________________ _____________________________________________________________________________________________，则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。
答案：对任意0,0εδ>?>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间
(),,1,2,,,i i a b i n =
只要()1
n i i i b a δ=-<∑，就有1
|()()|n
i i i F b F a ε=-<∑
11、设集合N M ?，则()M M N --=__________答案：N
12、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有__________，则称E 是L 可测的。
***()()c m T m T E m T E =?+?
13、叶果洛夫定理： _________________________________________________________
答案：叶果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数
f 的可测函数，则对任意,0>δ存在子集E E ?δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。
14、设)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的 条件是|)(x f |在E 上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）答案：充要
15、设1
1[,2],1,2,n A n n n
=-
= ，则=∞
→n n A lim _________。答案：（0，2）
16、设E R ?,若,E E ?'则E 是 集；若0
E E ?，则E 是 __集；若'E E =，则E 是___ _____集. 答案：闭； 开； 完备
17、鲁津定理：
答案：设f 是n E ? 上几乎处处有限的可测函数，则对于0ε?>，存在闭集F E ?，使得f 在F 上连续，并且()m E F ε-<。
二、单项选择题
1、下列各式正确的是（ ） 答案：C
（A ）1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞
===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=??;
（C ）1lim n k n n k n
A A ∞
∞
→∞
===??; （D ）1lim n k n k n
n A A ∞
∞
==→∞
=??;
2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）答案：D （A ）P =? (B) 0m P = (C) P P ='
(D) P P =
3、下列说法不正确的是（ ）答案：B
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测
4、设f (x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）答案：D
(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('
x f 在],[b a 上L 可积 (D)
?
-=b a
a f
b f dx x f )()()('
5、设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ ）答案：C (A) M (B) N (C) M N ? (D) ?
6、下列说法不正确的是( ) 答案：C
(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点
(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点
7、下列断言( )是正确的。答案：B
（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 8、下列断言中( )是错误的。答案：C
（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 9、若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的。答案：A (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ?在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -?-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -?-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-?∞-在广义可积在a,+可积 10、设1
[,2(1)],1,2,n
n A n n =+-= ，则（ ）答案：B
(A) lim [0,1]n n A →∞
= （B ）=∞
→n n A lim (0,1]
(C) lim (0,3]n n A →∞
= （D ）lim (0,3)n n A →∞
=
11、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）答案：D （A ）'
[0,1]E = (B) o
E =? (C) E =[0，1] (D) 1m E = 12、下列说法不正确的是（ ）答案：C
(A) 若B A ?，则B m A m **≤ （B ） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D ）凡开集、闭集皆可测
13、设}{n E 是一列可测集， ????n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（ ）答案：A
（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞
→∞=≤???
???lim 1
（C ）n n n n mE E m ∞
→∞=
???lim 1;（D ）以上都不对
14、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ ）答案：B (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导 （C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数 15、设P 为Cantor 集，则 答案：C
（A ）=P ?0 (B) 1=mP (C) P P ='
(D) P P =
16、下列说法不正确的是( ) 答案：C
(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点
(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点
17、设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( ) 答案：C (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积
18、设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（ ）。答案：B
（A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞=→∞
??
?= ???
（C ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞
??
?= ???;（D ）以上都不对
19、设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的是( D ) (A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积
(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明. 1、若0=mE ，则E 一定是可数集. 解：错误
例如：设E 是C antor 集，则0m E =，但E =? ， 故其为不可数集 2、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。 解：错误。
例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;
(),,;x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??
则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数 3、设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则()0E
f x >?
解：错误
0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有
()0E
f x dx =?
4、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，
之间11-对应的映射。 解：错误
若记(0,1)中有理数全体0
12{,,}r r =
，定义映射:[01](01)?→，，如下
1
2
2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??
=??
==?
?=?
为，中无理数， 显然[01]0111?-是，到（，）上的对应的映射。
5、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 解：正确
证明：设i E 为零测度集， *
*
1
1
0()0i i i m E m
E ∞
∞
==≤≤
=∑ ，所以，*
1
()0i i m E ∞
==
因此，1
i i E ∞
= 是零测度集。
3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。
解：错误
例如：取(0,),E =+∞作函数列：1,(0,]()0,(,)
k x k f x x k ∈?=?
∈+∞?，1,2,k =
显然()1,k f x →当x E ∈。但当01σ<<时，[|1|](,)k E f k σ-≥=+∞ 且(,)m k +∞=+∞这说明()k f x 不测度收敛到1
6、连续函数一定是有界变差函数。 解：错误。
例如：cos
,01,()20,0.x x f x x
x π?
<≤?=??=?
显然是[]0,1的连续函数。 如果对[]0,1取分划1111:01221
3
2
T n
n <
<
<<
<
<- ，则容易证明
211
1
1
|()()|n
n
i
i i i f x f x i -==-
=
∑∑，从而得到10
()V f =∞
7、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ?B 是可数集.
解：成立.
证明：因A 可数,所以可设A={a 1, a 2, …, a n ,…},又B 至多可数,设B={b 1,b 2, …, b n } (当B 有限时), 或B={b 1,b 2, ?, b n , ?}(当B 可数时)
当B 有限时, {} ,,,,;,,,2121n n a a a b b b B A =? 当B 可数时, {} ,;,,,,2211n n a b a b a b B A =? 所以B A ?可数.
(注:可分φ=?B A 和φ≠?B A 讨论, 没讨论不扣分, 主要考察排序方法). 8、若0=mE ，则0=E m .
解：不成立.
反例：E 为]1,0[中的全体有理点集，则有0=mE ，而1=E m 注：其余例只要正确即可。
9、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数 解：不成立.
例如：设E 是[],a b 内的不可测集，[],;
(),,;x x E f x x x a b E ∈??=?
-∈-??
则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数 四、解答题
1、设2,()1,x x f x x ?=??为无理数
为有理数
，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，
若可积，求出积分值。
解．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集
因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的。因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]
12
0,10
1()3
f x dx x dx =
=?
?
2、求0
ln()
lim
cos x
k x k e
xdx k
∞-→∞
+?
解：设ln()
()cos x
k x k f x e
x k -+=，则易知当k →∞时，()0k f x →
又因2
ln 1ln (
)0t t
t t
-'=
<，(3t ≥)，所以当3,0k x ≥≥时，
ln()
ln()ln 3ln 3(1)33
x k k x x k k x x k k x k k
++++=
≤
≤++
从而使得ln 3|()|(1)3
x
k f x x e
-≤
+
而不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故由Lebesgue 控制收敛定理，有
0lim
()lim ()0k k k k f x dx f x dx ∞∞
→∞
→∞
=
=?
?
五、证明题.
1、证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为?.
解：设[0,1],E = A E =? ，B E A =-，则 E A B = ，A B φ=
因0A =?，[0,1]E ==?，所以0B ?+=?，即 0
B =?-?=?
2、 设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。
证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞
'?∈=则存在中的互异点列使
,()n n x E f x a ∈∴≥
()()lim ()n n f x x f x f x a →∞
∴=≥ 在点连续，
x E ∴∈
E ∴是闭集.
3、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.
证明：,()x E f x c ?∈>
()f x 在x 点连续，∴对()0,(,),f x c U x εδ=->?当(,)y U x δ∈时，有
()()f y f x ε-<
()()()()f x c f y f x f x c ∴-+<-<-()f y c ∴>，y E ∴∈
因此(,)U x E δ?，从而E 为开集
4、设E 是n 的子集合，若对任意正数ε，存在开集G ，使得G E ?且*()m G E ε-<，则E 可测。
证明：由假设，对任意正整数k ，存在开集k G ，使得k G E ?且1()k m G E k
-<
。令
1
k
k H G
∞
==
，则H 是G δ型集，H E ?，且
*
*
1()()k m H E m G E k
-≤-<
， (1,2,)k =
所以*
()0m H E -=，从而H E -可测，于是()E H H E =--也可测。
自证：设E 是n 的子集合，若对任意正数ε，存在闭集F ，使得F E ?且*
()m E F ε-<，则E 可测。
5、在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。
证明：易知()()x
a g x f V =是[],a
b 上的增函数，令()()()h x g x f x =-, 则对于
12a x x b ≤<≤有
2
1
212121212121()()()()[()()]
()[()()]|()()|[()()]0
x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥
所以()h x 是[],a b 上的增函数
因此()()()f x g x h x =-，其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限增函数…
6、设E 是n 中的可测集。设{}k f 和f 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若{}k f 在E 上基本一致收敛于f ， 则{}k f 在E 上几乎处处收敛于f 。
证明：因为{}k f 在E 上基本一致收敛于f ，所以对任意自然数k ，存在k E E ?，使得1()k m E k
<
且{}k f 在k E E -上一致收敛于f 。从而{}k f 在k E E -上处处收敛于f ，因
此{}k f 在1
1
()k k k k E E E E ∞
∞
==-=- 上处处收敛于f 。
下证：1
()0k k m E ∞
== 。
因为1k k k E E ∞
=? ，所以11
0()k k k m E m E k k ∞=??≤<→→∞ ??? ，因此1
()0k k m E ∞
== 。故
{}k f 在E 上几乎处处收敛于f 。
7、设E 是n 中的可测集，且()m E <∞。设{}k f 和f 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若{}k f 在E 上几乎处处收敛于f ， 则{}k f 在E 上依测度收敛于f 。
证明：因{}k f 在E 上几乎处处收敛于f ，且()m E <∞，所以由叶果洛夫定理，{}k f 在E 上基本一致收敛于f 。即对于任意正数δ，存在E 的可测子集E δ，满足()m E δδ<，而在E E δ-上，{}k f 一致收敛于f 。所以对0ε?>，存在0K >，当k K >，有
()k E E E f f δε-?-<
因此
()()k n E f f E E f f E δεε-≥=--
所以
()()k mE f f m E δεδ-≥≤<
再由δ的任意性，得
lim ()0k k mE f f ε→∞
-≥=
所以{}k f 在E 上依测度收敛于f 。
8、试用Fatou 引理证明Levi 定理.
证明：设{}k f 为可测集n E ? 上的一列非负可测函数，且在E 上有
1()(),1,2,k k f x f x k +≤= ，令()lim ()k k f x f x →∞
=
由{}k f 为单调可测函数列知，)(x f 可测，且()()k f x f x ≤，于是
()()k E
E
f x dx f x dx ≤
?
?
从而
lim
()()k E
E
k f x dx f x dx →∞
≤
?
?
（*）
另一方面，因{}k f 为可测集n E ? 上的一列非负可测函数，由Fatou 引理知
()lim ()lim ()k k E
E E k k f x dx f x dx f x dx →∞
→∞
=
=
?
?
?
lim
()lim
()k k E
E
k k f x dx f x dx →∞
→∞
≤=?
?
（**）
由（*）、（**）两式即证
lim
()()k E
E
k f x dx f x dx →∞
≤
?
?
注：Fatou 引理 设{}k f 是可测集E 上一列非负可测函数，则
lim ()lim
()k k E E
k k f x dx f x dx →∞
→∞
≤?
?
Levi 单调收敛定理 设{}k f 是E 上非负可测函数递增列，记lim ()()k k f x f x →∞
=，则
l i m ()()k E
E
k f x dx
f x dx →∞
=??
9、设f 是可测集n E ? 上的非负可测函数，且()E
f x dx <∞?，证明级数
(1)k k m E k f k ∞
=?≤
<+<∞∑。
证明：由于0
(1)k k m E k f k ∞=?≤<+∑是正项级数，所以它的部分和序列单调递增，从而只须证明部分和序列有界即可。为此令(1)k E E k f k =≤<+(0,1,2,)k = ，则01,,E E
可测且两两互不相交。对任意正整数N ，记*
N
N
k
k E
E
==
，则由定理2之积分区域的可性得
***()()()()()N E
k E E E E E E N
N N
k
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =--=
+
=+∑?
?
?
?
?
()()N
N
N
k
k k k E E k
k
f x dx kdx km E
===≥
≥
=
∑∑∑?
?
由N 的任意性知，这个级数的部分和序列有界，而()E
f x dx ?就是它的一个界，所以正项级
数0
(1)k k m E k f k ∞
=?≤<+∑收敛。
实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
实变函数论课后答案第三章1
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
实变函数论试题及答案
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数论课后答案第五章1
实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可
测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章
。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可
(0195)《实变函数论》网上作业题及答案
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数历年考试真题汇总
第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号
实变函数测试题与答案
实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、
10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余
第三版实变函数论课后答案
1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈， 则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ， 则 有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈
实变函数论习题选解
《实变函数论》习题选解 一、集合与基数 1.证明集合关系式： （1）)()()()(B D C A D C B A --?---Y ； （2）)()()()(D B C A D C B A Y I I -=--； （3）C B A C B A Y )()(-?--； （4）问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件是什么？ 证 （1）∵c B A B A I =-，c c c B A B A Y I =)(（对偶律）， )()()(C A B A C B A I Y I Y I =（交对并的分配律） ， ∴)()( )()()()(D C B A D C B A D C B A c c c c c Y I I I I I ==---第二个用 对偶律 )()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=?=Y I Y I I I Y I I 交对并 分配律 . （2）)()() ()()()(c c c c D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律 结合律 )()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -== 第二个用对偶律 . （3）)()() ()()(C A B A C B A C B A C B A c c c c I Y I Y I I I = ==--分配律 C B A C B A c Y Y I )()(-=?. （4）A C C B A C B A ??--=-)()(Y . 证 必要性（左推右，用反证法）： 若A C ?，则C x ∈? 但A x ?，从而D ?，)(D A x -?，于是)(C B A x --?； 但C B A x Y )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上， ∵A C ?，∴C C A =I ，如图所示： 故)()(C B A C B A --=-Y . 2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列 A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ 所成之集的势（基数）为c . 证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ，令ΛΛn a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ，]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ， 即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ，则f 是一一对
实变函数复习题
1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。
6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e
9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且
11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明
卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限
1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？