广东省徐闻县梅溪中学中考数学第二轮复习专题 代数几何综合题

广东省徐闻县梅溪中学2013届中考数学第二轮复习专题 代数几何综合题

Ⅰ、综合问题精讲：

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1

2 BC·CE；

⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB

⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)

∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1

2 BC ，

∵∠CAE＝900，∴AC 2

＝CH·CE＝12 BC·CE

⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2

① ∵AC 2

＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②

①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2

＝17 ∵EC 2

＝AC 2

＋AE 2

，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠C AD ＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝13

2

点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化

为∠AEC 就非常关键.

【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分

别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90

○

。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长；

（2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 解：（1）在y=2x+2中 分别令x=0，y=0．

得 A （l ，0），B （0，2）．

易得△ACD ≌△BAO ，所以 AD=OB=2．

（2）因为A(1，0），B （0，2），且由（1），得C （3,l ）． 设过过B 、A 、C 三点的抛物线为2y ax bx c =++

所以560172 69312

a a

b

c c b a b c c ?=?++=??

??==-?

???

++=?=???

，解得 所以2517

266

y x x =

-+ 点拨：此题的关键是证明△ACD ≌△BAO ．

【例3】（2005，重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．

(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524

个平方单位？

解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b 由题意，得b=680

k b ??

+=? 解得346

k b ?=-??

?=? 所以，直线AB 的解析式为y ＝－

4

3

x ＋6． （2）由AO ＝6， BO ＝8 得AB ＝10 所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t

1° 当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB．

所以 6

t ＝10210t

- 解得 t ＝1130(秒)

2° 当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． 所以

10

t ＝6210t - 解得

t ＝13

50(秒)

（3）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ． 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝AB

BO ＝5

4

在Rt△AEQ 中，QE ＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t )·5

4＝8 －5

8t 所以，S △APQ ＝2

1AP·QE＝2

1t ·(8－5

8t ) ＝－2

54

t ＋4t ＝5

24 解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．

（注：过点P 作PE 垂直AB 于点E 也可，并相应给分）

点拨：此题的关键是随着动点P 的运动，△APQ 的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ ＝∠AOB

＝90○

②∠APQ ＝∠ABO ．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P 作 PE ⊥AB ． 【例4】（2005，南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，

对角线AC 上有一个动点P （不包括点A 和点C ）．设AP ＝x ，四边形PBCD 的面积为y ． （1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围． （2）有人提出一个判断：“关于动点P ，⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．

解：（1）过动点P 作PE ⊥BC 于点E ．

在Rt⊿ABC 中，AC ＝10， PC ＝AC －AP ＝10－x ． ∵ PE ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴⊿PEC ∽⊿ABC ．

故 AC PC AB PE =，即.54

8,10108x PE x PE -=-=

∴⊿PBC 面积＝.512

2421x BC PE -=? 又⊿PCD 面积＝⊿PBC 面积＝.5

1224x -

即 y x 524

48-=，x 的取值范围是0＜x ＜10． （2）这个判断是正确的． 理由： 由（1）可得，⊿PAD 面积＝.5

12x

⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和＝24．

点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC ＝10－x ，而面积y 是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC 、△PCD ．这样问题就非常容易解决了.

Ⅲ、综合巩固练习

（100分 90分钟）

1、如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC 各顶点坐标分别为 A （0，3 ），B （－1，0）、C （0，1）中，若△DEF 各顶点坐标分别为D （ 3 ，0）、E （0，1）、

F （0，－1），则下列判断正确的是（ ）

A ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90○

得到;

B ．△DEF 由△AB

C 绕O 点逆时针旋转90○

得到;

C ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转60○

得到;

D ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转120○

得到

2．如图2－5－9,已知直线 y=2x ＋1与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，直线y=2x —1与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，试判断四边形ABCD 的形状．

3．如图2－5－10所示，在矩形ABCD 中，BD=20，AD ＞AB ，设∠ABD=α，已知sin α是方程25z 2

－35z+ 12=0的一个实根．点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，EC+CF=8，设BE=x ，△AEF 面积等于y. ⑴ 求出y 与x 之间的函数关系式；

⑵ 当E 、F 两点在什么位置时y 有最小值？并求出这个最小值．

4．（10分）如图2－5－11所示，直线y=－4

3 x+ 4与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ．

（1）求M 、N 两点的坐标；

（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125 为半径的圆与直线y=－4

3

x+ 4相切，求点P 的坐标．

5．（10分）如图2－5-12所示，已知等边三角形ABC 中，AB=2，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与

点A 重合，但不与点B 重合），过点P 作PE ⊥BC ．垂足为E ；过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ；过点F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ．设BP=x ，AQ=y ． ⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式；

⑵ 当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合；

⑶ 当线段 PE 、FQ 相交时，写出线段PE 、EF 、FQ 所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）

6．（12分）如图2－5－13所示，已知A 由两点坐标分另为（28，0）和（0，28），动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒3个长度单位的速度向原点O 运动，动直线 EF 从 x 轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF ∥x 轴)并且分别交y 轴，线段AB 交于E 、F 点．连接FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒．

⑴ 当t ＝1秒时，求梯形OPFE 的面积，t 为何值时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积是多少？ ⑵ 当梯形OPFE 的面积等于△APF 的面积时，求线段 PF 的长．

⑶ 设t 的值分别取t 1，t 2时（t 1≠t 2），所对应的三角形分别为△AF 1P 1和△AF 2P 2 ，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

7．（12分）如图2－5－14所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点，A 的坐标为(1，0)，对角线的交

点P 的坐标为（5

2 ，1）

⑴ 写出B 、C 、D 三点的坐标；

⑵ 若在AB 上有一点 E 作，’入过 E 点的直线‘将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分，求直线l 的解析式；

⑶ 若过C 点的直线l 将矩形ABCD 的面积分为4：3两部分，并与y 轴交于点M ，求过点C 、D 、M 三点的抛物线的解析式．

8．（10分）已知矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标分别为A（0，0），B（m，0），D （0，4）其中m≠0．

⑴写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标（用含m的代数式表示）

⑵若一次函数y=kx－1的图象l把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式（用含m的

代数式表示）

⑶在⑵的前提下，l又与半径为1的⊙M相切，且点 M（0，1），求此矩形ABCD的中心P点的坐标．

9．（10分）如图2－5－15所示，等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2，若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．

⑴设△EGA的面积为S，写出S与 t的函数解析式；

⑵当t为何值时，AB⊥GH；

⑶请你证明△GFH的面积为定值．

10. (10分)如图2－5-16，在矩形ABCD中，AB=10。cm，BC=8cm．点P从A出发，沿A→B→C→D路线运

动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止，若点P、点Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q 的速度变为d cm/s，图 2－5－17是点 P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（s）的函数关系图象；

图2－5－18是点Q出发xs后面AQD的面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象．

⑴ 参照图2－5－17，求a、b及图中c的值；

⑵ 求d的值；

⑶ 设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点 P、Q改变速度

后，y1、y2与出发后的运动时间x（s）的函数解析式，并求出P、Q相遇时x的值．⑷ 当点Q出发_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．

中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)

2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1

【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

代数几何综合题含答案

代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2

B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B

代数几何综合题(含答案)

代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B

3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0

1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y

一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)

一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；

当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y

初三数学代数几何综合题

代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1)

(2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx,

中考数学代数几何综合题2

中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

代数几何综合题含答案

代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 B

2019届中考数学总复习：代数几何综合问题

2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.

试卷分类汇编_ 代数几何综合

代数几何综合 1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2 关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点?? ? ??232，D 在抛物线上，直线是一次函数 ()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以? ??=++=+-5.1240 c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又12=- a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以2 3 212++-=x x y . （2）由（1）知2 3 212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23 ,27k )， 令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2 k )， 根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE, 即： ,5 11),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(2 1 232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为2 2 1x y - = 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,

九年级数学代数几何综合题解析提高班教师版

1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b

代数几何综合题.doc

代数儿何综合题一、基础题 （大兴，2010期末，18） 18.已知：如图，在山8C中，ZC = 90°,P为43上一点，且 点p不与点刀重合，过点户作PE1AB交刀C边于点点厅不与点。 重合，若力3 = 10,4。= 8,设，户的长为x,四边形PEC3周长为*. （1）求证：/^APE s MCB ； （2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象 （丰台，2010期末，21） 22.（本小题满分6分） 已知：如图，渔船原本应该从A点向正南方向行驶回到港口P,但由于受到海风的影响，渔船向西南方向驶去，行驶了240千米后到达B点，此时发现港口P在渔船的南 偏东60°的方向上，问渔船现在距港口P多远？（结果精确到0.1千米）（参考数据: V2M.41, V3M.73,际"24, ^6^2.45) （丰台，2010期末，25） 25.（本小题满分7分） RtAABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，ZC=90°, AB=6, AC=3,点A在x轴上由原点。开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至与点。重合时，运动结束.在上述运动过程中，OG始终是一个以 AB为直径的圆.

（1）试判断在运动过程中，原点。与OG的位置关系，并说明理由； （2）设点C坐标为（x,y）,试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长.

二、提高题 （吕平，2010期末，25） 25. （7分）已知，抛物线y^ax1轴的两个交点分别 为A（1,0）, B（4, 0）,与y轴的交点为C. （1）求出抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P,M为顶点的三角形与AOCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （朝阳，2010期末，24） 24.（本小题7 分）如图，在z^ABC 中,ZA=90°, AB=8, 过M点作MN〃BC交AC于点N.以MN为 直径作。0,并在。0中作内接矩形AMPN.令 AM=x. （1）用含x的代数式表示AIVINP的面积S； （2）当x为何值时，。。与直线BC相切？ （3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的 面积为V，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？/ P \ B ------------------ C （第24题） （朝阳，2010期末，25） 25.（本小题8分） 已知：在/XABC中，ZACB=90°, CD_LAB于点D,点E在AC上，BE交CD于点G, EF1BE交AB于点F.

试卷分类汇编_代数几何综合

代数几何综合 一、选择题 1. （2012浙江义乌3分）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在【 】 A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 【答案】B 。 【考点】算术平方根，估算无理数的大小。 【分析】∵一个正方形的面积是15， ∵9＜15＜16＜4。故选B 。 2. （2012浙江杭州3分）已知抛物线()3y k x 1x k ? ?=+ ??? -与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是【 】 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 。 【考点】抛物线与x 轴的交点。 【分析】根据抛物线的解析式可得C （0，﹣3），再表示出抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，再根据ABC 是等腰三角形分三种情况讨论，求得k 的值，即可求出答案： 根据题意，得C （0，﹣3）． 令y=0，则()3k x 1x 0k ? ?+= ??? -，解得x=﹣1或x=3k 。 设A 点的坐标为（﹣1，0），则B （3k ，0）， ①当AC=BC 时，OA=OB=1，B 点的坐标为（1，0），∴ 3k =1，k=3； ②当AC=AB 时，点B 在点A 的右面时， ∵AC =B 1，0）， ∴31,k k == ③当AC=AB 时，点B 在点A 的左面时，B 0）， ∴ 3k k == 。

∴能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是3条。故选B 。 3. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】 A C ．3 D ．4 【答案】A 。 【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】过B 作BF⊥OA 于F ，过D 作DE⊥OA 于E ，过C 作CM⊥OA 于M ， ∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。 ∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA= 12OA=2。 由勾股定理得： 设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ， ∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。 ∴BF OF CM AM DE OE DE AE == ，，即F C M 2x 22-，解得：) 2x BF CM 2 -==，。 A 。 4. （2012浙江嘉兴、舟山4分）已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于【 】 A ． 40° B ． 60° C ． 80° D ． 90° 【答案】A 。

历年初三数学中考代数几何综合题及答案

中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题(含答案)

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．

2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

中考数学冲刺拔高：代数几何综合问题--巩固练习(有答案)

中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（） A. 2 B. 4－ C． D． 2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的 影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函 数关系的图象大致为（） 二、填空题 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．

4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2 的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________ (用含的式子表示）． 三、解答题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

代数几何综合题含答案

，即t DH=﹣﹣（ ，∴，即

，∴t= ，即BM= t=t （t ，∴，即CN=t t=10t t t t t t 化简得：t t= t=． t=秒或t=秒时， °， DE= ，

＜ DFE=，∴∠ == MN ，即MN= BD﹣ （x ﹣

NF= MN MN+x=MN MN= AB BF ×x ＜=（=﹣ y= y=﹣、

争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015 分析：（1）令y=0，解方程x 2 ﹣x ﹣3=0可得到A 点和D 点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C 点坐标； （2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离； （3）根据梯形定义确定点P ，如图所示：①若BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1与D 点重合，即可求得点P 1的坐标；②若AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．先求出直线CP 2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标． 解：（1）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴当y=0时，x 2 ﹣x ﹣3=0， 解得x 1=﹣2，x 2=4．当x=0，y=﹣3． ∴A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（﹣2，0），C 点坐标为（0，﹣3）； （2）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴对称轴为直线x= =1． ∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上， ∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况： ①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x=1对称， ∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M 点坐标为（2，﹣3）； ②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3．当y=4时，x 2 ﹣x ﹣3=3，解得x 1=1+，x 2=1﹣ ， ∴M 点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）． 综上所述，所求M 点坐标为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）； （3）结论：存在． 如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1． 由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合， ∴P 1（﹣2，0）．∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A ≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形； ②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2． ∵A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，﹣3），∴直线AB 的解析式为y=x ﹣6， ∴可设直线CP 2的解析式为y=x+n ，将C 点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3， ∴直线CP 2的解析式为y=x ﹣3．∵点P 2在抛物线y=x 2 ﹣x ﹣3上， ∴x 2 ﹣x ﹣3=x ﹣3，化简得：x 2 ﹣6x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=6， ∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2（6，6）． ∵AB ∥CP 2，AB ≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形． 综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

广东省2019中考数学复习检测专题训练十：解答题突破_代数几何综合题(涉及二次函数)_含答案

专题训练十 解答题突破 ——代数几何综合题(涉及二次函数) 1．(2016·新疆)如图1，抛物线y ＝ax 2 ＋bx －3 (a ≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－1 3 x ＋1与y 轴交于点D ． 图1 (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO ∽△EBC ； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图2，图3，在每一个四边形ABCD 中，均有AB ∥DC ，AD ⊥AB ，∠ABC ＝30°，CD ＝6，AB ＝12. 图2 图3 (1)如图图2，点M 是四边形ABCD 边AB 上的一点，求△DMC 的面积； (2)点M 是四边形ABCD 边AB 上的任意一点，请你求出△DMC 周长的最小值； (3)如图3，如果点M 在AB 上，是以1个单位/秒的速度从A 向点B 运动，是否存在一个时刻t ，使得△MCB 是等腰三角形？如存在，请求出此时的t 值；如不存在，请说明理由． 3．(2016·青羊区模拟)如图4所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形(如图5所示)．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B (A →B 方向)平移(点A ，D 1，D 2，B 始终在同一直线上)，当D 1与点B 重合时，停止平移．在平移的过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2，BC 2分别交于点F ，P .

各省市中考数学分类汇总代数几何综合题

2016中考分类汇总（28）代几综合题 （2016安徽）22．如图，二次函数bx =2的图象经过点)4,2(A与)0,6(B． ax y+ （1）求b a,的值； （2）点C是该二次函数图象上B A,两点之间的一动点，横 坐标为)6 x．写出四边形OACB的面积S关

（2016毕节）如图，已知抛物线bx x y +=2 与直线42+=x y 交于A(a,8)、B 两点， 点P 是抛物线上A 、B 之间的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 和点E. （1）求抛物线的解析式； （2）若C 为AB 中点，求PC 的长； （3）如图，以PC,PE 为边构造矩形PCDE ，设点D 的 坐标为（m,n ）,请求出m,n 之间的关系式。

（2016滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数（2016长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E 运动的时间为t秒. （1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示）