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1997IMO中国国家队选拔(第十二届)

《数学奥林匹克报》 Mathematical Olympiad Express
http://www.wendangku.net/doc/82b58f0ef12d2af90242e649.html 1997 第 12 届
IMO 中国国家队选拔考试 第一天
一、给定 λ >1,设 P 是△ABC 外接圆的 BAC 上的一个动点,在射线 BP 和 CP 上分别取点 U 和 V, 使得 BU= λ BA,CV= λ CA,在射线 UV 上取点 Q,使得 UQ= λ UV。试求点 Q 的轨迹。 二、有 n 支足球队进行比赛,每两队都赛一场,胜队得 3 分,负队得 0 分,平局各得 1 分。 问一个队至少要得多少分,才能保证得分不少于该队的至多有 k − 1 支队,其中 2≤ k ≤ n − 1 。 三、求证:存在自然数 m ,使得有整数序列 {an } ,满足:① a0 =1, a1 =337; ② an +1an −1 − an
(
2
) + 3 (a 4
n +1
+ an −1 − 2an ) = m , ∀ n ≥1;③
1 ( an + 1)( 2an + 1) 都是整数的平方。 6
第二天 四、试求所有满足下列各条件的实系数多项式 f ( x ) : ① f ( x ) = a0 x + a2 x 2n 2n−2
+……+ a2 n − 2 x + a2 n >0; ②
2
∑a j =0
n
2 j 2n−2 j
a
≤ C2 n a0 a2 n ;
n
③ f ( x ) 的 2n 个根都是纯虚数。 五、设自然数 n >6,给定 n 元集合 X ,任取 X 的 m 个互不相同的 5 元子集 A1 , A2 ,……, Am 。
求证:当 m >
n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)( 4n − 15 ) 时,存在 Ai1 , Ai2 ,……, Ai6 600
,使得 (1≤ i1 < i2 <……< i6 ≤ m )
∪A k =1
6
ik
=6。
六、有 A、B、C3 个药瓶,瓶 A 中装有 1997 片药,瓶 B 和瓶 C 都是空的,装满时可分别装 97 片和 19 片药。 每片药含 100 单位有效成分,每开瓶一次该瓶内每片药都损失 1 个单位有效成分。某人每天开瓶一次、 吃一片药,他可以利用这次开瓶的机会将药片装入别的瓶中以减少以后的损失,处理后将瓶盖都关上, 问:当他将药片全部吃完时,最少要损失多少个单位有效成分? 1997 第 38 届 IMO 于 1997 年 7 月 18 日~7 月 31 日在阿根廷马德普拉塔举行 中国国家队队员是 邹 瑾 湖北武钢三中(高二)金牌 孙晓明 山东青岛二中 金牌 郑常津 福建福安一中 金牌 倪 忆 湖北黄冈中学 金牌 韩 嘉 深圳中学 金牌 安金鹏 天津一中 金牌
普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息。

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