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六年级图形问题综合(奥数)含答案

平面图形计算(一)

经典图形:

1. 任意三角形ABC 中,CD=31

AC ,EC=

43

BC ,则三角形CDE 的面积占总面积的31?43=4

1(为什么?)

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2. 任意平行四边形中任意一点,分别连接四个顶点,构成的四个三角形中,上下两个三角形面积之和

等于左右两个三角形面积之和。(为什么?)

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3. 任意梯形,连接对角线,构成四个三角形。(1)腰上的两个三角形面积相等;(2)上下两个三角形

面积之积等于左右两个三角形面积之积。(为什么?)

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4. 正方形的面积等于边长的平方,或者等于对角线的平方÷2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方

÷2,或者等于斜边的平方÷4.(为什么?)

例题: 例1. 如右图,三角形ABC 的面积是10,BE=2AB ,CD=3BC ,求三角形BDE 的面积。

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例2. 如图,已知三角形ABC 的面积是1,延长AB 至D ,使BD=AB ,延长BC 至E ,使CE=2BC ,延

长CA 至F ,使AF=3AC ,求三角形DEF 的面积。

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例3. 如图,三角形ABC 的面积是180平方厘米,D 是BC 的中点,AE=ED ,EF=2BF ,求AEF 的面积。

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例4. 如图,ABCD 是个长方形,DEFG 是个平行四边形,E 点在BC 边上,FG 过A 点,已知,三角形

AKF 与三角形ADG 面积之和等于5平方厘米,DC=CE=3厘米。求三角形BEK 的面积。

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D

例5. 如图,三角形ABC 的AB 和AC 两条边分别被分成5等分。三角形ABC 面积是500,求图中阴影部分

的面积?

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例6. 如图,设正方形ABCD 的面积为120,E 、F 分别为边AB 、AD 的中点,FC=3GC ,则阴影部分的

面积是多少?

A

B

C D

F

E

G

例7. 在如图所示的三角形AGH 中,三角形ABC ,BCD ,CDE ,DEF,EFG ,FGH 的面积分别是1,2,3,4,5,

6平方厘米,那么三角形EFH 的面积是多少平方厘米?

A

B

C

D E

F

G H

例8. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC 为对角线,EF 平行于AC ,如果三角形AED 的面积为12平方厘米,,

求三角形DCF 的面积。

D C F

练习:

1. 已知正方形ABCD 的边长是5cm ,又EF=FG ,FD=DG ,求三角形ECG 的面积。

E

B

C

G

D

A F

2. 正三角形ABC 的边长为12厘米,BD ,DE ,EF ,FG 四条线段把它的面积5等分,求AF ,FD ,

DC ,AG ,GE ,EB 的长。

A

B G E

C D

F

3. 如图所示是某个六边形公园ABCDEF ,M 为AB 中点,N 为CD 中点,,P 为DE 中点,Q 为FA 中

点,其中游览区APEQ 与BNDM 的面积之和为900平方米。中间的湖泊面积为361平方米,其余的部分是草地,问草地面积共有多少平方米?

A

B

C

D E

F

Q

P

N

M

4. 如图,AE=EC ,BD=2DC ,AF=3BF ,若三角形ABC 的面积为270平方厘米,求图中阴影部分的面

积。

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5. 如下图,正方形ABCD 的边长为12, P 是边AB 上的任意一点,M 、N 、I 、H 分别是边BC 、AD

上的三等分点,E 、F 、G 是边CD 上的四等分点,图中阴影部分的面积是

______.

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6. 如图正方形ABCD 的边长是4厘米,CG 是3厘米,长方形DEFG 的长DG 是5厘米,那么它的宽

DE 是______厘米

.

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7.如图,CE=4EA,BD=3CD,AF=5BF。若三角形ABC的面积为120平方厘米,求图中四个小三角

形的面积。

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8.DF与平行四边形ABCD的BC交于E点,与AB交于F点。若三角形ABE的面积是97平方厘米,

求三角形CEF的面积。

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9.梯形ABCD,AB,CD分别是梯形的上,下底。已知阴影部分的总面积为8平方厘米,三角形COD

的面积是16平方厘米,则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?

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图形与面积(一)

一、填空题

1. 如下图,把三角形ABC 的一条边AB 延长1倍到D ,把它的另一边AC 延长2倍到E ,得到一个较大

的三角形ADE ,三角形ADE 的面积是三角形ABC 面积的______倍.

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2. 如下图,在三角形ABC 中, BC =8厘米, AD =6厘米,E 、F 分别为AB 和AC 的中点.那么三角

形EBF 的面积是______平方厘米.

3. 如下图,,4

1

,31AC CD BC BE ==

那么,三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______.

4. 下图中,三角形ABC 的面积是30平方厘米,D 是BC 的中点,AE 的长是ED 的长的2倍,那么三角形

CDE 的面积是______平方厘米.

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5. 5. 现有一个5×5的方格表(如下图)每个小方格的边长都是1,那么图中阴影部分的面积总和等于

______.

6. 下图正方形ABCD 边长是10厘米,长方形EFGH 的长为8厘米,宽为5厘米.阴影部分甲与阴影部分乙

的面积差是______平方厘米.

7. 如图所示,一个矩形被分成A 、B 、C 、D 四个矩形.现知A 的面积是2cm 2,B 的面积是4cm 2

,C 的面积

是6cm 2

.那么原矩形的面积是______平方厘米.

8. 有一个等腰梯形,底角为450

,上底为8厘米,下底为12厘米,这个梯形的面积应是______平方厘米. 9. 已知三角形ABC 的面积为56平方厘米、是平行四边形DEFC 的2倍,那么阴影部分的面积是______

平方厘米.

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10. 下图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是

______. 二、解答题

11. 已知正方形的面积是50平方厘米,三角形ABC 两条直角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形ABC 的

面积.

六年级图形问题综合(奥数)含答案

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12. 如图,长方形ABCD 中, AB =24cm,BC =26cm,E 是BC 的中点,F 、G 分别是AB 、CD 的四等分点,

H 为AD 上任意一点,求阴影部分面积.

13. 有两张正方形纸,它们的边长都是整厘米数,大的一张的面积比小的一张多44平方厘米.大、小正方形

纸的边长分别是多少?

14. 用面积为1,2,3,4的四张长方形纸片拼成如图所示的一个长方形.问:图中阴影部分面积是多少?

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图形与面积(二)

一、填空题

1. 下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是

______厘米.

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2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1.

那么7,2,1三个数字所占的面积之和是______.

3. 下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是______平方厘米.

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4. 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是______平方厘米.

5. 在ABC ?中,DC BD 2=,BE AE =,已知ABC ?的面积是18平方厘米,则四边形AEDC 的面积等

于______平方厘米.

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6. 下图是边长为4厘米的正方形,AE =5厘米、OB 是______厘米.

7. 如图正方形ABCD 的边长是4厘米,CG 是3厘米,长方形DEFG 的长DG 是5厘米,那么它的宽

DE 是______厘米.

8. 如图,一个矩形被分成10个小矩形,其中有6个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是

______. 9.

六年级图形问题综合(奥数)含答案

10. 如下图,正方形ABCD 的边长为12, P 是边AB 上的任意一点,M 、N 、I 、H 分别是边BC 、AD 上的三等分点,E 、F 、G 是边CD 上的四等分点,图中阴影部分的面积是______.

11. 下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形ABCD 的

面积是______平方厘米.

二、解答题

六年级图形问题综合(奥数)含答案

12. 图中正六边形ABCDEF 的面积是54.PF AP 2=,BQ CQ 2=,求阴影四边形CEPQ 的面积.

13. 如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米.

14. 一个周长是56厘米的大长方形,按图35中(1)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长

方形面积的比是: 2:1:=B A ,2:1:=C B .而在(2)中相应的比例是3:1:=''B A ,3:1:=''C B .又知,长方形D '的宽减去D 的宽所得到的差,与D '的长减去在D 的长所得到的差之比为1:3.求大长方形的面积.

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15. 如图,已知5=CD ,7=DE ,15=EF ,6=FG .直线AB 将图形分成两部分,左边部分面积是38,

右边部分面积是65.那么三角形ADG 面积是______.

(一)答案:

1. 6.如下图,连接BE ,因为AC CE 2=,所以,ABC BCE S S ??=2,即ABC ABE S S ??=3.又因为

BD AB =,所以,BDE ABE S S ??=,这样以来,ABC ADE S S ??=6.

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2. 6.已知E 、F 分别是AB 和AC 的中点,因此ABF ?的面积是ABC ?的面积 的

21,EBF ?的面积又是ABF ?的面积的21.又因为24682

1

21=??=?=?AD BC S ABC (平方厘米), 所以6242

1

21=??=

?EBF S (平方厘米). 3. 21.由,41,31AC CD BC BE ==可知AC AD BC EC 4

,332==.因为ABC ?与AEC ?是同一个顶点,

底边在同一条线段,所以这两个三角形等高,则三角形面积与底边成正比例关系,因此ABC AEC S S ??=3

2.同理可知AEC AED S S ??=4

3.这样以来,AED ?的面积是ABC ?的3

2

的4

3,即是

ABC ?的面积的2

1.

所以,AED ?的面积是ABC ?的

2

1. 4. 5.因为D 是BC 的中点,所以三角形ADC 和三角形ABD 面积相等(等底、等高的三角形等积),从而三

角形ADC 的面积等于三角形ABC 面积的一半,即30÷2=15(平方厘米).在CDE ?与ADC ?中,DA DE 31=

,高相等,所以CDE ?的面积是ADC ?面积的31

.即CDE ?的面积是5153

1=?(平方厘米)

5. 10三个阴影三角形的高分别为3,2,2,底依次为2,4,3,所以阴影部分面积总和等于

10322

1

42212321=??+??+??. 6. 60设正方形ABCD 的面积为a ,长方形EFGH 的面积为b ,重叠部分EFNM 的面

积为c ,则阴影部分的面积差是:b a c b c a -=---)()(.即阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关,应等于正方形ABCD 的面积与长方形EFGH 的面积之差.所求答案:10×10-8×5=60(平方厘米).

7. 24图中的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的,矩形的面积等于一组邻边的乘积.从横的方向看,

两个相邻矩形的倍比关系是一致的,B 是A 的2倍,那么D 也应是C 的2倍,所以D 的面积是2×

6=122cm ,从而原矩形的面积是2+4+6+12=242cm .

8. 20如下图,从上底的两个端点分别作底边的垂线,则BCFE 是矩形, 22)812(=÷-==CD AB (厘

米).

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因为045=∠A ,所以ABE ?是等腰直角三角形,则2==AB BE (厘米).根据梯形的 求积公式得:()202

2128=?+=

梯形S (平方厘米).

9. 14由已知条件,平行四边形DEFC 的面积是:56÷2=28(平方厘米)如下图,连接

EC ,EC 为平行四行形DEFC 的对角线,由平行四边形的性质如,S S DEC 2

1=

?DEFC

281

?=

14=(平方厘米).在AED ?与CED ?中,ED 为公共底边,DE 平行于AC ,从而ED 边上的高

10. 97因为长方形的面积等于ABC ?与ECD ?的面积和,所以ABC ?与ECD ? 重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和,即97133549=++=影

阴S

.

11. 画两条辅助线如下图,根据条件可知,正方形面积是长方形ABCD 面积的2.5倍.从而 ABCD 的面积是50÷2.5=20(平方厘米).所以ABC ?的面积是20÷2=10(平方厘米).

12. 连结BH ,BEH ?的面积为)(21624)236(2

12cm =?÷?.把BHF ?和DHG ?结合起来考虑,这两

个三角形的底BF 、DG 相等,且都等于长方形宽的

4

1

,它们的高AH 与DH 之和正好是长方形的长,所以这两个三角形的面积之和是:)(2

12

112

DH AH BF DH DG AH BF +??=??+??

)(10836244

1

21212cm AD BF =???=??=.于是,图中阴影部分的面积为216+108=324)(2cm . 13. 把两张正方形纸重叠在一起,且把右边多出的一块拼到上面,成为一个长方形,如图:

这个长方形的面积是44平方厘米,它的长正好是两个正方形的边长的和,它的宽正好是

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两个正方形的边长的差.因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶,而44又只能分解成下面的三种形式: 44=1×44=2×22=4×11.所以,两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22与2.于是,两个正方形的边长是(22+2)÷2=12(厘米),12-2=10(厘米).

14. 如图大长方形面积为1+2+3+4=10.延长RA 交底边于Q ,延长SB 交底边于P .矩形ABPR 面 积是上部阴影三角形面积的2倍.矩形ABSQ 是下部阴影三角形面积的2倍.所以矩形RQSP 的面

积是阴影部分面积的两倍.知CD CA 31=

, CD CB 73=CD CD CD CA CB AB 212

3173=-=-=∴因此矩形RQSP 的面积是大矩形面积的212,阴影部分面积是大矩形面积的211.阴影部分面积=21

1×10=2110

.

(二)答案:

1. 170.每个小正方形的面积为400÷16=25平方厘米,所以每个小正方形的边长为5cm,因此它的周长是

34×5=170厘米.

2. 25. 7,2,1所占面积分别为7.5,10和7.5 .

3. 6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正

方形3个,面积为1的三角形5个,面积为1.5的三角形一个,因此围成面积是4×4-3-5-1.5=6.5(平方厘米).

4. 24仿上题,大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和,所得的差就是阴影部分的面

积.]2

)84(42

88[8422+?+?-+=16+64-(32+24)=80-56=24(平方厘米)

5. 12如下图,连接AD ,因为DC BD 2=,所以ADC ABD S S ??=2;又18==+???ABC ADC ABD S S S ,

所以12=?ABD S .因为BE AE =,所以621

===???A B D

A D E

B D E S S S ;因此

12618=-=-=??BDE

ABC

AEDC

S

S

S

(平方厘米).

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6. 3.2如下图,连接BE ,则84421

21=??==?正方形S S ABE (平方厘米).从另一角度

看,OB S ABE ??=

?51,于是851

=??OB .528÷?=∴OB =3.2(厘米)

7. 3.2如下图,连接AG ,则AGD ?的面积是正方形ABCD 面积的

2

1

六年级图形问题综合(奥数)含答案

,也是长方形 DEFG 的面积的2

1

,于是长方形DEFG 的面积等于正方形ABCD 的面积4×4=16(平方

厘米).2.3516=÷=∴DE (厘米).

8. 243我们用A ,长是相同的.

六年级图形问题综合(奥数)含答案

因此它们的面积之比,就是宽之比,反之,宽之比,就是面积之比.这样就有:20:16=A :36,

45163620=?=

A ;20:16=25:

B ,20202516=?=B ;20:16=30:

C ,242030

16=?=C ; 20:16=D :12, 1516

1220=?=D .因此,大矩形的面积是:45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243

9. 60 如下图,连接PD ,则阴影部分就是由四个三角形: PDH ?,PGD ?,PEF ?和PMN ?组成.

PGD ?和PEF ?的底都有3,高为12,所以181232

1

=??==??PEF PGD S S .PDH ?和PMN ?的底都

是4,两条高分别为PA 和PB 则:PB PA S S PMN PDH ??+??=+??421

421

=2(PA +PB )=2×12=24所以,阴影部分的面积是: ++??PEF PGD S S PMN PDH S S ??+=18+18+24=60 10. 4长方形EFGH 的面积是6×4=24(平方厘米)122

1

==+∴??EFGH AHG AEF S S S (平方厘米)

阴影总面积S S S S S AHG AEF ADH EBA -+=+∴????=12-10=2(平方厘米)

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又6244

1

41=?==

?EFGH ECH S S (平方厘米)所以,四边形ABCD 的面积等于: )(ADH

EBA ECH S

S S ???+-=6-2=4(平方厘米)

11. 如图,将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形.根据平行四边形对角线平分平行四边形面积.

采用数小三角形的办法来计算面积.PEF ?面积=3;CDE ?面积=9;四边形ABQP 面积=11.上述三块面积之和为3+9+11=23,因此,阴影四边形CEPQ 面积为54-23=31.

12. 如图,涂阴影部分小正六角星形可分成12个与三角形OPN 全等(能完全重叠地放在一起)的小三角

形.三形OPN 的面积是

3

4

1216=平方厘米.正三角形OPM 面积是由三个与三角形OPN 全等的三角形组成.所以正三角形OPM 的面积等于433

4

=?(平方厘米). 由于大正方六角星形由12个与正三

角形

六年级图形问题综合(奥数)含答案

OPM 全等的三角形组成,所以大正六角星形的面积是4×12=48(平方厘米) 13. 设大长方形的宽为x ,则长为28-x .因为,x D 32=

宽,x D 4

3

='宽

, 所以,12x D D =-'宽宽. ()x D -=

2854长,()x D -='28109

,()x D D -=-'28101长长.由题设可知, 12

x :11028=-x :3 或 41028x x =-,于是20

71028x

=, 8=x .大长方形的长=28-8=20,从而大长方形的面积为8×20=160平方厘

15÷(5+7)=

45(倍).所以65-38×45等于三角形AEG 面积与三角形AED 面积的4

5

之差,因此三角形AED 的面积是(65-38×45)÷(3-4

5

)=10.三角形ADG 面积是10×(3+1)=40.