第3课等差数列的概念和通项公式

听课随笔

第3课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】

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学习要求

1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象

的重要数学模型，理解等差数列的概念； 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的

方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；

【自学评价】

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列 （arithmetic progression ），这个常数就叫做 等差数列的公差（common difference ），常用字母“d ”表示。

⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +

，则此数列是等差数列，d 为公差

2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-；

4．如果a ,A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；且A =

2

a b

+。 【精典范例】

【例1】根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列； （1）1，1，1，1，1，1 （2）4，7，10，13，16

（3）-3，-2，-1，0，1，2，3 【解】

（1）1()n a n N *=∈ （2）31()n a n n N *=+∈ （3）4()n a n n N *=-∈

思考：如果一个数列{}n a 的通项公式为

b kn a n +=，其中b k ,都是常数，那么这

个数列一定是等差数列吗？

是

【例2】求出下列等差数列中的未知项： （１）３，ａ，５；

（２）３，ｂ，ｃ，－９．

【解】（１）根据题意，得

ａ－３＝５－ａ， 解得ａ＝４．

（２）根据题意，得

ｂ－３＝ｃ－ｂ， ｃ－ｂ＝－９－ｃ， 解得ｂ＝－１，ｃ＝－５ 【例3】

（1）求等差数列8，5，2…的第20项？ （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 【解】（1）2049a =- （2）是，第100项

【追踪训练一】：

１．判断下列数列是否为等差数列： （１）－１，－１，－１，－１，－１； （２）１，１２，１３，１４； （３）１，０，１，０，１，０； （４）２，４，６，８，１０，１２； （５）７，１２，１７，２２，２７． ２．目前男子举重比赛共有１０个级别，除１０８公斤以上级外，其余的９个级别从小到大依次为（单位：ｋｇ）５４，５９，６４，７０，７６，８３，９１，９９，１０８，这个数列是等差数列吗？

３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： （１）（ ），５，１０； （２）１，2，（ ）； （３）３１，（ ），（ ），１０．

4．已知数列8,,2,,,7a b c -是等差数列，求未知项,,a b c 的值。

【解】5,1,4a b c ==-=-

【选修延伸】

【例4】在等差数列{}n a 中，已知105=a ，

3112=a ，求n a a ,20

分析： 先根据两个独立的条件解出两个量a 1和d ，进而再写出a n 的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用. 【解法一】： ∵105=a ，3112=a ，则 ??

?=+=+31

1110411d a d a ???

?=-=3

2

1

d a

∴53)1(1-=-+=n d n a a n

5519120=+=d a a

思考：在此题中，有1257a a d =+，思考，能否不求首项1a ，而将n a 求出？ 【解法二】：

1257311073

a a d d d =+?=+?= 2012855

a a d =+=

53)12(12-=-+=n d n a a n

思维点拔：

等差数列的通项公式涉及到四个量a 1、a n 、n 、d ，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式：

d m n a a m n )(-+=

=n a d m n a m )(-+

【例5】若2

()4()()0z x x y y z ----=，则,,x y z 成等差数列。

【证明】由2()4()()0z x x y y z ----=得

22242440z x y zx xy yz +++--=，

即2

(2)0z x y +-=，2y x z ∴=+，

,,x y z ∴成等差数列。

思维点拔：

当已知a 、b 、c 成等差数列时，通常采用2b =a +c 作为解决问题的出发点.

【追踪训练二】：

1.数列｛a n ｝的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列（ A ）

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5

D.是公差为n 2.等差数列{a n }中，a 2=－5,d =3，则a 1为（B ） A.－9 B.－8 C.－7 D.－4 3.已知等差数列{a n }的前3项依次为a －1,a +1,2a +3，则此数列的通项a n 为（ B ） A.2n －5 B.2n －3 C.2n －1 D.2n +1

4.在等差数列{a n }中，若a 3=50,a 5=30，则a 7=______. 【解法一】 d=

3

550

303535--=--a a =－10∴

使这四个=______.

=－

(完整版)等差数列的通项公式及应用习题

等差数列的通项公式及应用习题 1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（） A. 12 B . 14 C. 16 D. 18 2. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（） A . 91 B. 93 C. 95 D. 97 3. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 A . 13 项 B . 14 项C. 15 项D. 16 项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.- 2 2 5. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于 A. 98 B . 99 C . 100 D . 101 6. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于 A. 56 B . 18 C . 15 D . 45 7. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的

A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项 3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于 -- A. 45 B. 48 C. 52 D. 55 11. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是 A. -5 B . 0 C . 5 D. 10 12. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二 A. -1 B . -3 C . -5 D . -7 13. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首 项a为 A. -56 B . -52 C . -48 D . -44 二、填空题 1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项. 2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ . 3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的 第_____ .

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n

高中数学人教A版必修5--数列的概念与通项公式

第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 双基达标 (限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是 ( )． A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列?? ?? ??n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1 k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)． 答案 C 2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项 解析 令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.

答案 C 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于 ( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C 4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24 5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1 2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递 减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝1 2a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1 2a n <0， ∴{a n }是递减数列． 答案 递减 6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1 3， (2) 53，( )，1715，2624，3735 ，… (3)2,1，( )，1 2，… (4)32，94，( )，65 16 ，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数 912 812 712 ( ) 512 4 12 于是括号内填6 12，而分子恰为10减序号． 故括号内填1 2，通项公式为a n ＝10－n 12. (2) 53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1 ，

高中数学必修五《等差数列的概念、等差数列的通项公式》优秀教学设计

2.2等差数列 2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新 知的创新意识 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子 (1)0，5，10，15，20，25， (2)48，53，58，63， (3)18，15.5，13，10.5，8， (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366， 请你们来写出上述四个数列的第7项 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为 师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征 生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数 师作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒 师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列 这就是我们这节课要研究的内容 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示

数列的概念及通项公式

数列的概念及通项公式 [教学设计思想] 本课是数列的第一课，目标让学生很好理解数列的概念。 对数列概念的理解，对学生来说是没有困难的。因此，通过对简单概念的学习，让学生体会通过自己的学习，理解数列的概念，从中培养自主学习能力。 另外，通过对概念的学习，规范数列的写法，让学生能用数学符合语言来准确描述数列 [教学目标] 1、通过创设实际情景，产生数列的概念，让学生在实际生活中感悟出数列的概念 2、通过对教材的阅读，掌握学习的技巧和方法，养成自主学习能力 3、通过例题对概念的剖析，了解数列通项的基本概念，函数概念和图像概念 4、通过对概念的学习，规范数列的写法，使得学生能用数学符合语言来准确描述数列 教学重点难点 用数学语言描述出数列的通项公式 [教学策略与方法] 1、利用多媒体，通过实际问题的引入数列的学习。 2、通过阅读教材学习数学的概念。 3、学会用符合语言表示数列的通项。 [教学过程] 【导入】 一．对半还价法 从他们的讨价还价中，我们得到一串数列： 600，300，500，350，450，380…… 二．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增 加一定数量的宝石，则第五件产品有多少颗珠宝？（1322++=n n a n ） 第4件 第3件 第1件 第2件

三．兔子繁殖问题（斐波那契数列）：有一天，意大利著名数学家斐波那契在外面散步，看见一个男孩在院子里养了一对可爱的白兔。几个月后，他又去那儿散步，看见里面大大小小的兔子很多。于是就问小孩：“你又买了一些兔子吗？”小孩回答说：“没有，小兔子都是原先一对老兔子繁殖出来的。”经过询问之后，斐波那契知道，一对兔子每月都要生一对小兔，并且小兔子出生后两个月就可以再生一对小兔子。这引起了他的浓厚兴趣，经过思考，他提出了一个问题： Fibonacci数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，………… 四．循环程序图 A＝3，N＝1 前5项是：3，6，30，870，756030 提问：同学们能不能再举出一两个这样的一列数，它们可能是你生活中遇到的，也可能是你最喜欢，最难忘的一列数 【过程】 1.阅读教材第二项内容（第一段到第三段） 提问1：谁能给出数列的定义 提问2：数列1，3，5，7，9与9，7，5，3，1是同一数列吗？为什么？

等差数列及其通项公式公开课教案

《等差数列及其通项公式》公开课教案教学时间：2009年12月25日上午第四节 授课班级：08商外 授课地点：职三（3） 授课教师：郭玲 一、教学任务及职业背景分析： 商务外语班学生多数数学基础较差，对数学学习也不够重视。但数学作为基础学科，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，特别是本专业学生多数准备出国，更应该加强能力的培养，以适应国外激烈竞争的环境。所以在学习数学过程中，我更强调学习的过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受。在设计本节课时，我所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是通过分组分享法，创造一些数学情境，让学生自己去讨论、去发现，去分享，去体验成功。学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，激发学习兴趣，培养团队精神，也提高他们提出问题、解决问题的能力和创造力。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 二、教学目标： 1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式，能根据通项公式解决 a n 、a 1 、d、n中的已知三个求另一个的问题。 2．能力目标：培养学生观察、推理、归纳能力，应用数学公式解决实际问题的能力。3．德育目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。 三、教学重点：等差数列的定义理解和对通项公式的熟悉与应用 四、教学难点：对等差数列概念中“等差”特点的理解及通项公式的灵活运用 五、教学方法：分组分享法 六、教学手段：多媒体辅助教学 七、教学过程： 【雅思、托福考试常识】 美国、英国、澳大利亚等国家都要求申请留学人员应具备雅思、托福成绩。如果达不到，就需要在国外就读价格昂贵的语言学校。雅思、托福考试词汇量一般在8000个单词左右。 （1）雅思要求：考试科目为阅读、听力、口语、写作4科，每科满分为9分，成绩一般要求平均分5分以上,费用为1450元。（2）托福要求：考试科目也为是阅读、听力、口语、写作4科，每科满分30分，总分为120，成绩一般要求总分达80分以上，费用为1370元。 （一）复习回顾:数列的定义 引例：（1）莺生原来只会500个单词，她决定从今天起每天背记15个单词，那么从今天起她的单词量逐日依次递增为： 500，515，530，545，560，575，…… （2）靓靓目前会1000个单词，她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉每周忘掉20个单词，那么从今天起她的单词量逐周依次递减为：1000 ，980，960，940，920 ，900，…… 【说明】：通过两个具体的数列，复习数列的定义，为后面学习等差数列的定义和等差数列的通项公式建立基础。 （二）导入新课： 这节课我们将学习这一类有特点的数列： 1000，980，960，940，920 ，900 ……① 500， 515 ，530，545，560，575 ……② 问题1：观察这些数列有什么共同的特征？请同学们思考后作答。 共同特点：从第2项起，后一项与它的前一项的差都等于同一个常数。也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列， 我们把它叫做等差数列。 【说明】：通过例题（1）和（2）引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学 生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的 总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。每相邻两项的 差相等——作差的顺序是后项减前项 问题2：请同学们分别用文字语言和数学语言描述等差数列的定义： 文字语言：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公 差，用字母d表示。 数学语言：a 2 – a 1 = a 3 - a 2 = a 4 - a 3 = ··· = d 即：a n - a n-1 = d （n∈N+且n≥2） 或a n= a n-1 +d （n∈N+且n≥2） 问题3：分组比赛抢答，观察下列数列是否为等差数列，如果是求出公差d （1）25，20，15，10，5……√d=-5

高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式练习（含解析） 新人教A 版必修5 知识点一 根据数列的前几项求通项公式 1．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) 答案 A 解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23 －1，15＝24 －1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)． 2．根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式． (1)0．9，0．99，0．999，0．9999，…； (2)112，245，3910，416 17，…； (3)12，34，78，15 16，…； (4)3，5，9，17，…． 解 (1)0．9＝1－0．1＝1－10－1， 0．99＝1－10 －2， 0．999＝1－10 －3， 0．9999＝1－10－4 ， 故a n ＝1－10－n (n ∈N * )． (2)112＝1＋112＋1，245＝2＋22 22＋1，3910＝3＋32 32＋1，41617＝4＋42 42＋1，故a n ＝n ＋n 2 n 2＋1(n ∈ N * )． (3)12＝21 －121＝1－121，34＝22 －122＝1－122， 78＝23 －123＝1－123，1516＝24 －124＝1－124， 故a n ＝2n －12n ＝1－12 n (n ∈N * )． (4)3＝1＋2，5＝1＋22， 9＝1＋23， 17＝1＋24 ， 故a n ＝1＋2n (n ∈N * )．

第1课 数列的概念及其通项公式

学习札记 第2章 数列 【知识结构】 重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法； 难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论； 等差等比数列的应用和性质。 第1课 数列的概念及其通项公式 2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3．理解数列的通项公式的概念，并会 用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式； 4．提高观察、抽象的能力． 【自学评价】 1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number). 【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的， 因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别. __________________________________________________________________________. 2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项 与 之间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…； ⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 2 )1(11 +-+=n n a ， 也可以是|2 1 cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可 以看作是一个定义域为正整数集N * （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：____________________ ____________________________________. 【精典范例】

等差数列的通项公式

2.2.2 等差数列的通项公式 2.2.2 等差数列的通项公式 （共 1 课时） 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题 二、过程与方法 1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣 教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 一些相关问题 导入新课 师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？ 生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n-a n-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示

师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；②11--=n a a d n ；③m n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--= n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差 ［合作探究］ 探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？ 师 本题在这里要求的是什么 生 当然是要用a ，b 来表示数A 师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答 生 由定义可得A -a =b -A ，即2 b a A += 反之，若2b a A += ，则A -a =b -A 由此可以得?+=2 b a A a ,A , b 成等差数列 推进新课 我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项 ［方法引导］ 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列A =a +b ，

高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第

2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式 数列的概念 [提出问题] 观察下列示例，回答后面问题 (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，12，13，14，15，1 6. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，1 32 ，…. 问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列． [导入新知] 数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)， a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [化解疑难] 1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． 2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． 3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项. 数列的分类 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？

中职数学(人教版)拓展模块教案：数列的概念和通项公式

数列公式数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法： 理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观： 提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式 难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理: (1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理: (1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式

数列的概念与通项公5

数列的概念与通项公式 一、【教学目标】 1、掌握数列与通项公式的概念，了解数列的分类。 2、 掌握数列的通项的意义，并能根据通项公式写出数列的任一项。 重点：理解数列的概念； 难点：由通项公式写出前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。 二、【基本知识】 三、【典型例题】 例题1：已知数列的通项公式为a n =n 2 —5n +4 2、已知数列 ￡(n +2)} (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2) 323 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项? 3、已知数列 & h 勺通项公式为a n =n 2 —8 n +5 2 1, 4, 9, 16 (1) 18是该数列的项吗？若是，则求出是第几 项。 (2)数列中有多少项是负数? (3) n 为何值时，a n 有最小值？并求出。 例题2、 写出下列各数列的一个 通项公式: 1 1 1 1 (1) — 1X2 2 X 3 3X 4 4X5 (3) 0, 2, 0, 2 变题1 : 1, 3, 3 1 3 ⑷ -1, _， —— 1 2 3 4 (6) 3, 33, 333, 3333 (8) 5, 0, —5, 0, 5, 0, — 5, 0, 根据数列的前几项, 1, 3 (5 ) (2) 3，5, 7, 9 变题 四、【当堂反馈】 1、写出数列的一个. 1 3 2, 48'16 (7) 11, 102, 1003, 7 15 10004 通项公式，使它的前四项分别是下列各数: (1)2, 4，6, 111111 (3) 1- 1 2 2 3 3 4 4 5

(1)写出这个数列的前 5项，并作出它的图像; (2 )这个数列所有项中有没有最小的项？

(完整word版)等差数列通项公式

等差数列通项公式： 1、 等差数列{}n a ，375,7a a ==，求546,,a a a 2、 等差数列{}n a ，385,9a a ==，求457,,,n a a a a 3、 在等差数列{}n a 中，47104561417,77a a a a a a a ++=+++ +=，若13k a =，则 ?k = 4、 在等差数列{}n a 中，357911100a a a a a ++++=，则9133?a a -= 5、 已知等差数列{}n a 中，11 25 a = ，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的范围？ 6、 在等差数列{}n a 中，34567250a a a a a ++++=，则5a ？28a a +？ 7、 已知等差数列{}n a ，18a a 与45a a 大小？18a a +与45a a +大小？ 8、 已知数列{}n a ，32a =，71a =，又1n a ?? ? ??? 是等差数列，则11a 9、 已知数列{}n a 满足，()112 323 n n n a n N a a a *+=?? ∈?=?+? ，求{}n a 的通项公式。 10、 已知数列{}n a 满足，()111 2 222n n n n a n a a a a --=?≥? -=?，求{}n a 的通项公式。 11、 已知数列{}n a 满足，()122 123n n a n N a a * +=?∈?=+?，求{}n a 的通项公式。 12、 已知数列{}n a 满足，()112 2332n n a n a a -=?≥?=+?，求使得20n n a a +<的n 范围。 13、 已知数列{}n a 满足，)113n a n N a * +=??∈?=??，求{}n a 的通项公式。 14、 已知数列{}n a 满足，()111212n n n a n N a a a *+?=?? ∈??= +?? ，求{}n a 的通项公式。 15、 已知2 2 2 ,,a b c 成等差，求证 111 ,,b c a c a b +++成等差？ 16、 若x y ≠，且两个数列12,,,x a a y 和123,,,,x b b b y 等差，则 21 21 a a b b -=-？

等差数列的概念与通项公式 (1)

第 1 页 共 2 页 2.2.1等差数列的概念与通项公式 学习目标: 1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式． 2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念 的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力． 3．情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 学习重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 学习难点: 理解等差数列“等差”的特点及通项公式含义；等差数列的通项公式的推导过程． 学习过程： 一、新课导学:请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 10，12，14，16，… ③ 5，5，5，5，5，… ④ 101，100，99，98，97，96，95，… 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 共同点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ______. 1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的差等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示。 思考1：等差数列的递推公式为： 思考2：上面的四个数列都是等差数列，公差依次是______,______,______,______. 思考3：一个等差数列至少有几项，中间项与前一项、后一项有什么关系？ 2.等差中项的概念：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列是最简单的等差数列，这时数A 叫做数a 和b 的 等差中项，用等式表示为A = 3.等差数列的通项公式： 思考4：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 思考5：如果等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，你能否根据等差数列的递推公式得出通项公式 公式推导： 若一等差数列}{n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 方法一（归纳法）：21a a -= ，即：21a a =+ ， 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 4 3a a -= ，即：431a a d a =+=+ ， …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d a a n ____1+=. 方法二（累加法）：____, ___,___,...... _____, _____,_____,12132342312=-=-=-=-=-=------n n n n n n a a a a a a a a a a a a 累加得： 结论：如果等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则数列的通项公式为：d a a n ____1+= 反思：（1）从方程的角度考虑，等差数列通项公式未知量有 个，知三求一； （2）从函数的角度考虑：n a 是有关n 的_______函数，有2 个待定系数_____ （3）从单调性来考虑：①当d ＞0时，｛n a ｝为 数列；②当d ＜0时，｛n a ｝为 数列； ③当0,d =｛n a ｝为 数列。 三．典型例题与练习： 题型1：求等差数列的通项公式 例1：（1）求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项。 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项。如果是，是第几项？ 变式1：（1）求等差数列3，7，11，……的通项公式和第10项. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1．准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题. 2．通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力. 3．激情参与、惜时高效，利用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值. 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用. 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用. 【学法指导】 1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法; 2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处. 一、知识温故 1.数列有几种表示方法？ 2.数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1.一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母_______________ 表示。 2. 由三个数a 、A 、b 组成的 数列可以看成最简单的等差数列。这时A 叫做a 与b 的等差数列即 3.如果数列{n a } 是公差为d 的等差数列，则+=12a a ，+=13a a ， +=14a a +=15a a +=1a a ,......,n 4．通项公式为n a =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗？ 【预习自测】 1. 等差数列d a 2-，a ,d a 2+…….的通项公式是（ ） A ．d n a a n )1(-+= B. d n a a n )3(-+= C ．d n a a n )2(2-+= D. nd a a n 2+= 2.已知数列{n a } 的通项公式为n a n 23-=，则它的公差为（ ） A ．2 B.3 C. -2 D. -3 3．已知231+= a ，2 31 -=b ，则a 与b 的等差中项为

第二章 2.1 第1课时 数列的概念与通项公式 【教师版】

§2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式 学习目标

1.理解数列及其有关概念. 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项. 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 知识点一数列及其有关概念 1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}． 思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案不是．顺序不一样． 知识点二通项公式

如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 知识点三数列的分类 1．按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．

1．1,1,1,1是一个数列．( √ ) 2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × ) 3．每一个数列都有通项公式．( × ) 4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × ) 题型一 数列的分类 例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，1 4，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－1 8，… D ．1，2，3，…，n

二阶等差数列及其通项公式

二阶等差数列及其通项公式 李清振 青岛城市管理职业学校 一、引子： 在《数列》知识的学习中有一种求数列通项公式类型的题目。如，试求出下列数列的通项公式： ⑴ 21、32、43、54、6 5，… ⑵ - 1、21、31-、41、51 -，… ⑶ 211 ?、321?、431?、5 41?，… 上述数列，都易于通过观察、分析，而总结推断出其通项公式，分别为 1 +=n n a n ，n n n a 1)1(-=，)1(1+=n n a n . 再如等差数列、等比数列，教材中已分别介绍过其通项公式。但有数列，如： ⑷ 1，2，4，7，11，16，22，… ⑸ 1，3，6，10，15，21，28，… ⑹ 1，3，7，13，21，31，43，… 通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。

本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。 二、预备知识： 1、等差数列的定义：如果一个数列 a1，a2，a3，…，a n，…， 从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2 - a1 = a3 - a2=… = a n - a n-1 = d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。 2、等差数列的通项公式：a n =a1 + ( n - 1 ) d， 公差： d = a2 - a1. 三、二阶等差数列的定义及其通项公式： a)定义：如果一个数列 a1，a2，a3，…，a n，…，（★） 从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。 相应地，d =（a3 - a2） - （a2 - a1）= a3 + a1 - 2a2称为二阶等差数列的二阶公差。 显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。 其二阶公差分别为1、1、2. 说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.

数列的概念与通项公式

数列的概念与通项公式 【基本概念】 1．数列、数列的项 按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式 数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列与函数的关系 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值． 4．数列可用图象来表示 在直角坐标系中，以序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描点画图孤立的点，它们位于 第一象限、第四象限或x 轴的正半轴. 5．数列的递推公式 如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1 (或前几项)(n ≥2，n ∈N *)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 6．通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项a n 是序号n 的函数式a n ＝f (n ) 都是数列的一种表示方法， 可求出数列中任意一项 递推公式 已知a 1及相邻项间的关系式 1.数列的有关概念与分类 例1 已知下列数列： （1）2019,2019,2019,2019； （2）0，12，23，…，n －1n ，…； （3）1，12，14，…，12 n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n － 1·n 2n －1 ，…； （5）1,0，－1，…，sin nπ2，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是______，递增数列是_______，递减数列是________，