二项分布与超几何分布的区别

专题: 超几何分布与二项分布

[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布

判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即

可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N M

n

N

C C P X k C --==（0,1,2,,k m = ）进行处理就可以了. 二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.

典型例题

1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为

2

3

.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分 事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分

15

13

32104106)(=?+=

A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.

30463101(0)30C C P X C ===,21463103

(1)10

C C P X C ===,

12463101(2)2C C P X C ===,03463101

(3)6

C C P X C ===. ………………8分

故X 的分布列为

……………9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810

P B =

?=. ……………13分 2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会

在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为 “高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用错误！不能通过编辑域代码创建对象。表示所选志愿者中能担

任“礼仪小姐”的人数，试写出错误！不能通过编辑域代码创建对象。的分布列，并求错误！不能通过编辑域代码创建对象。的数学期望.

【解析】（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是

错误！不能通过编辑域代码创建对

象。

， ………………2分 所以选中的“高个子”有错误！不能通过编辑域代码创建对象。人，“非高个子”有

错误！不能通过

编辑域代码创建对象。

人．…………3分

用事件错误！不能通过编辑域代码创建对象。表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件

错误！不能通过编辑域代码创建对象。表示“没有一名“高个子”被选中”

， 则错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑

域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。．……5分 因此，至少有一人是“高个子”

的概率是错误！不能通过编辑域代码创建对象。

．…6分

（Ⅱ）依题意，错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值为错误！不能通过编辑域代码创建对象。． ………………7分 错误！不能通过编辑域代码创建对象。， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。． …………………9分

因此，

的分布列如下：

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

． …………12分

3、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.

,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为

25

. （Ⅰ）试确定a 、b 的值；

（Ⅱ）从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列. 【解析】（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有

(10)a +人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，

则102

()405

a P A +=

=，解得6a =，从而40(32)40382b a =-+=-=. （Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为3

40C ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或

超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏

高或超常的结果数为32416

k k

C C -，所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416

3

40

()k k

C C P k C ξ-==(0,1,2,3)k =.ξ的可能取值为0、1、2、3. 因为03241634014(0)247C C P C ξ===,12241634072(1)247C C P C ξ===,212416340552(2)1235C C P C ξ===,3024163

40253

(3)1235

C C P C ξ===，所以ξ的分布列为

42个球都投进者获奖；

否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

2

3

． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 【解析】（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X ~B (6，23

).

6621()33k

k

k P X k C -????==?? ?

???

??

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =) 所以X

所以(01112260316042405192664)729EX =?+?+?+?+?+?+?=4729

=. 或因为X ~B (6，23)，所以2

643

EX =?=. 即X 的数学期望为4．

（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则2241

56441212232()()()()().3333381

P A C C =??+??+=

答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81

（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A P B A ==.(此处为244

62

5

C C =会更好!因为样本空间基于:已知6个球中恰好投进了4个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概率为2

5

.

显然23232

58081

=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．

5、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频

率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）

岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20

岁

岁 人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．

析】（Ⅰ）①处填20，②处填35.0； 【解补全频率分布直方图如图所示.

500名志愿者中年龄在[)35,30 的人数为 0.35500175?=人．…6分 （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人, 则其中“年龄低于30岁”的有5人，

“年龄不低于30岁”的有15人． 故X 的可能取值为0，1，2；

21522021

(0)38

C P X C ===，

1115522015(1)38C C P X C ===， 252202

(2)38

C P X C ===所以X ∴ 0123838382

EX =?+?+?=． …………13分 6、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为1

6

，第二轮检测不合格的概率为

1

10

，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ). 【解析】（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则1

11()1(1)(1)6104

P A =--?-

=. 所以，该产品不能销售的概率为

1

4

. ……………………………………4分 （Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---. ………………………5分

411(320)()4256P X =-==， 1

34133(200)()4464

P X C =-=??=，

1222241327(80)(()44128P X C =-=??=，3341327(40)()4464P X C ==??=， 4381

(160)()4256

P X ===. ……………………………………10分

所以X 的分布列为

11分 E (X )11272781

32020080401602566412864256

=-?

-?-?+?+?

40=，故均值E (X )为40.……12分 7、张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1

2

；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

34，35

． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．

遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

【解析】（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0

31

2331

111

()=()()2

222

P A C C ?+??=．…4分 所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为

1

2

． （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2． …………5分

331(=0)=(1)(14510P X -?-=，33339

(=1)=(1)(1454520

P X ?-

+-?=，339(=2)=4520P X ?=．…8分

01210202020

EX =?+?+?=． ………………10分

（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1

(3,)2

Y B ，

所以13

322

EY =?=．……12分 因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好．……14分

8、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望. 【解析】（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,……………………1分

由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是1

3

， ……………………………3分

则4

265

()1()1381P A P A ??=-=-= ??? .

……………………………6分

(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, ………………………7分

由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为

1，且每个人下电梯互不影响，所以1

(4,)3

X B .…9分

11分

14

()433

E X =?=.………………………13分

9、 “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．

（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；

（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列及其期望． 【解析】（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．共有9个基本事件，--------------------3分 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．所以，

在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率31

93

P ==．--------------------6分 （Ⅱ）X 的可能取值分别为0，1，2，3．

()3

03280327P X C ??==?= ???，()1

2

131212

13327P X C ????==??=

? ?????

， ()2

1

2312623327P X C ??

??==??= ?

???

??，()3

33113327

P X C ??==?=

???．--------------------10分 X

0123127272727EX =?+?+?+?=（或：~(3,)3X B ，1

313

EX np ==?=）．-----13分

10、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为12

3

p =，乙的命中率为2p ，在射击比武活动中每人射

击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”； （Ⅰ）若21

2

p =

,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； （Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果5E ξ≥,求2p 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）1

122211122111

()()()()332233223

P C C =?

???+??=---------6分 （Ⅱ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率

1

1222222222212284()[(1)]()333399

P C C p p p p p =?

??-+?=- 而(12,)B P ξ ，所以12E P ξ=,由5E ξ≥知2228412()599p p -≥,解得23

14

p ≤≤.-------12分

11、一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分。没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为2

.3

（Ⅰ）求此人得20分的概率； （Ⅱ）求此人得分的数学期望与方差。

【解析】（Ⅰ）此人得20分的概率为9

4

31)3

2

(2

2

3=?

=C p ……4分 （Ⅱ）记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～)3

2

,3(B ，ξ=10η…6分

∴203

2

310)(10)(=??==ηξE E ……9分

3

200

31323100)(100)(=???==ηξD D ……12分

12、设不等式224x y +≤确定的平面区域为U ,1x y +≤确定的平面区域为V ． （Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；

（Ⅱ）在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】（Ⅰ）依题可知平面区域U 的整点为()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,2,0,1,1±±±±±±共有13个，

平面区域V 的整点为()()()0,0,0,1,1,0±±共有5个， ∴21

583

13.40

143

C C P C == （Ⅱ）依题可得：平面区域U 的面积为224ππ?=，平面区域V 的面积为：1

2222

??=，

在区域U 内任取1个点，则该点在区域V 内的概率为2142ππ

=， 易知：X 的可能取值为0123，

，，，且 ()()320312

01

3333

213211111(0)1(1)1228228P X C P X C ππππππππ--????????==??-===??-= ? ? ? ?????????

， ， ()2

1

3

3

233333

32111111(2)1(3)1228228P X C P X C πππππππ

-??

??????==??-===??-= ?

? ? ???

????

??， ∴X

∴X 的数学期望：()()()333321321321130123=88882EX ππππππππ

---=?

+?+?+?……12分 （或者： 1~(3,)2X B π，故13=322EX np ππ

=?=） 13、A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其

中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服

用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为3

2

,服用B 有效的概率为

2

1. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。 【解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2； i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”

，i=0，1，2

依题意有1124()2339P A =??=,2224()339P A =?=,0111()224P B =?=,1111

()2222

P B =??=, 所求的概率为0102121414144

()()()4949299P P B A P B A P B A =++=?+?+?=

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，且 ξ~ B(3,49), 3345()()(),0,1,2,399

k k k

P k C k ξ-===

∴ ξ

所以数学期望393

E ξ=?

=. 14、盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如

果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元． （Ⅰ）若某人摸一次球，求他获奖励的概率；

（Ⅱ）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量错误！不能通过编辑域代码创建对象。为获奖励的人数，

（i ）求错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （ii ）求这10人所得钱数的期望． （结果用分数表示，参考数据：错误！不能通过编辑域代码创建对象。）

【解析】（Ⅰ）3

421021

=15

C p C =

（Ⅱ）（i ）由题意知110,)15B

ξ （，则101910141141(1)1(0)(1)1()()1515157

P P P C ξξξ>=-=-==--??= （ii ）设η为在一局中的输赢，则114610215155E η=?-?=-, 所以6

(10)1010()125E E ηη==?-=-,即这10人所得钱数的期望为12-.

15、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2

个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中：

①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列与数学期望.

【解析】（Ⅰ）①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3)i A i =，则21

32322531

()5

C C P A C C =?=.

②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A = ，又22111

322222222253531

()2

C C C C C P A C C C C =?+?=，

且2A 、3A 互斥，所以23117

()()()2510

P B P A P A =+=

+=. （Ⅱ）法1：由题意可知X 的所有可能取值为0、1、2.

279(0)(1)10100P X ==-

=；127721(1)(1)101050P X C ==-=；2749

(2)()10100

P X ===. X 的数学期望012100501005

EX =?+?+?=.

法2：因为7

(2,

)10

X B ，得X 的分布列同上,X 的数学期望772105EX =?=.

16、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为

0.3，设各车主购买保险相互独立.

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望.

【解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不

购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

（Ⅰ）()0.5P A =，()0.3P B =.因为C A B = ，且A 、B 互斥，所以()()()0.8P C P A P B =+=. （Ⅱ）因为D C =，所以()1()10.80.2P D P C =-=-=.而~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，所以X 的期望为1000.220EX =?=.