第八讲 二次根式的化简求值(含答案)-

第八讲 二次根式的化简求值

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．

有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．

例题求解 【例l 】已知21=+

x

x ，那么

1

91

322++-

++x x x x x x 的值等于 ．

(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)

思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x

x 1

+的代数式表示．

【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )

A ．1

B ．2

C ． 3

D ． 4 (2003年全国初中数学联赛题)

思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．

【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导．

(第20后俄罗斯数学臭林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．

【例4】 已知：a a x 1

+= (0

2422362222----+--

-+÷-+x x x

x x x x x x x x 的值． (2002半四川省中考题)

思路点拨 视x x x 4,22--为整体，把a

a x 1+

=平方，移项用含a 代数式表示

x x x 4,22--，注意0

【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，aad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积；

(第12届“五羊杯”竞赛题)

（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．

(2003年北京市竞赛题)

思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．

学历训练

1．已知2

323-+=

x ，2

323+-=

y ，那么代数式

2

2)

()(y x xy y x xy +-++值为 ．

2．若41

=+a a (0

a 1-

= ． 3．已知

1

2312

3

++=++x x ，则

)22

5

(423---÷--x x x x 的值．(2001年武汉市中考题) 4．已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4()24

42(

222a a a a a

a a a a -?++

++-+的值为 ． (2003年黄石市中考题)

5．若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (2003年河南省竞赛题) 6．已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( ) A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．2002

7．设9971003+=a ，9991001+=a ,10002=c ，则a 、b 、c 之间的大小关系是( ) A ．a

x -=1，则24x x +的值为( )

A ．a a 1-

B ．a a

-1 C ．a a 1

+ D ．不能确定

9．若a>0，b>0， 且)5(3)(b a b b a a +=+，求ab

b a ab b a +-++32的值．

10．已知x x =--2)1(1，化简x x x x +++-+4

1

4122． 11．已知31+=x ，那么

2

1

41212--

-++x x x = ． (2003年“信利杯”全国初中数学竞赛题) 12．已知514=-++a a ，则a 26-= ．

13．已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）

14．已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x ，则58664322+----y x y xy x = ．

(第17届江苏省竞赛题) 15．1+a2如果22002+=

+b a ，22002-=

-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3－c 3

的值

为( ) (2003年武汉市选拔赛试题)

A ．20022002

B ．2001

C ．1

D ．0

16．已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a

17．当2

2002

1+=

x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．一1 C ． 1 D ．－ 22003 (2002年绍兴市竞赛题)

18．设a 、b 、c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是( ) A ．1999 B ． 2000 C ． 2001 D ．不能确定 (2001年全国初中数学联赛试题)

19．某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近?

20．已知实数 a 、b 满足条件1<=-a b b a ，化简代数式2)1()1

1(--?-b a b

a ，将结果表示成不含

b 的形式．

21．已知a

a x 2

1+=(a>0)，化简：

2

222-++--+x x x x ．

22．已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)

答案：

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 4、，；5 745 屈4 422 1. . (5.48 6.27 4.15) , 3 yd时2,求代数式｛FP緒匚的值 5.已知: 1 2 3( 1■10)；7 . 10x . 10 1y .. 5 100z ?

的值. 17. 1 . 2 3、. 2 2 .5. x 3 .5 ab 0,b 4 .、、a 3b 6 ab a f 0,bf 0 1 3 5 ., 1 2 3 2 18.化简: 1 ..a 3b 5 a 0,b 0 19.. 把根号外的因式移到根号内: 2 .1 X 】1 20. 5； 2石 2.12 3 1

22. 7 4.3 7 4、. 3 35 23. .2 24. 2 1 "a 26.( 选 做） x. y 28.已知：x 3 /2 .3 2,y 2 1 . 3 2 25. —, Va a b /b 2 4 , 3xy2 3的值。 x y 2x y x y

29. 已知：a 1 .15，求a22的值。 a a 30. 已知：x, y为实数，且y p ?. x i ..^x 化简: y 3 ■, y2 8y 16。 31. v'x 3y 已知 x 3 x29 0,求 x-1 Y7! 的 值。 32 ( 1)—6 .45X(—4 48);(2) .(—64)X (—81); (3) ,1452—242; (4) 5b 2a 3能-3 33.化简： (1) 2700; (2) 202—162;

若最简二次根式3 4^1与1是同类二次根式，则 已知x ..2, y .2，则x3y 3 xy 已知x 则x2 2000 g .3 2 2001 已知：x, y为实数，且y p ,x 1 .1x3，化简: y2 8y 16。 已知A x29 的 值。 时, J 3x是二次根式. 时, ?、3 4x在实数范围内有意义. 比较大小: 3一 2 2.3 . ;.252242 计算: 3 . 5a 2 .10b 计算: 2 16b2c a2 当a= J3 时，贝U V15 a2__________ 若，;x :成立，则x满足-------------------------- 已知xy v 0，化简;比较大小: 1 2、7 1 4、3 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a

例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -

二次根式的运算知识讲解

二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算

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二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 233232 6-- 3. 21 4 181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102 1 32531 -??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (() 2 771+--

16. 已知：24 20-=x ，求221x x +的值． 17. ()1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x -

20. ( 231 ?++ ? 22. (() 2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111- 24. 22 - 26. (选做

28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：11a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1 -039 32 2y x x x y x ，求 =+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452 －242 ； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (()2 771+--

16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20.

(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。

29. 已知：11a a + =221a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ，求=+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452－242； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简： （1）2700； （2）202－162； （3） 1681； （4）8a 2b c 2 ．

最新二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18

②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．

【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵

二次根式运算和化简超级经典

二次根式运算和化简(超级经典)

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二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。

二次根式化简与计算的方法和技巧

谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧 安陆市辛榨中学 周俊军 同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。 一、拿出来 当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。 例如：化简a 1- 解：a 1-=2a a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变 成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。 二、放进去 有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。 例如：化简a a 1- 解：a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。 此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。 再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ，再将括号中的各项分别与m n b a 22相除，运算更简便。 解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=

二次根式的化简与计算(讲义及答案).

a 2 a b b x -1 a -a 二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1） 二次根式： ①定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式． ②性质： ( a )2 = （a ≥0）， = （a ≥0）． = （a ≥0，b ≥0）， = （a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： a ? = （a ≥0，b ≥0）， = （a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并 ． （2） 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．同级运算， 从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： 对于二次根式 ，有 a 0 且 0 ． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （1） 若 + b + c 2 = 0 ，则 a = ， b = ，c = ． （2） 若 和 同时存在，则 a = ． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③每步推进一点点． 做运算时往往需要估．计．工．作．量．，观察式子结构，巧用公式， 可以大大简化运算． ab a b 2 - x a a a

x + 1 2 4 - x 2 3a - 6 2 - a 1 3 4. 二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过 构．造．直．角．三．角．形．借．助．勾．股． 定．理． 解决问题． ? 精讲精练 1. 若 x ，y 为实数，且满足 x -1 + = 0 ，则 xy = ． 2. 若 x ，y ，z 为实数，且满足 = ?． + ( y - 3)2 + 2x + z = 0 ，则 3. 若实数 x ，y 满足 + y 2 + 2 y + 1 = 0 ，则 x y = ． 4. 若实数 a ，b 满足为 ． 5. 若实数 x ，y 满足 y = - (b -1) + = 0 ，则 a 2+2b 的平方根 - 3 ，则 2xy = ． 6. 若实数 x ，y 满足 y = + +1，则 = ． 7. 已知 a ，b 为一等腰三角形的两边长，且 a ，b 满足等式 2 + 3 = b - 4，则此等腰三角形的周长为 ． 8. 计算： 3 ? 2 ? ? 3 ?-2 （1） 4 12 ? 3 -1? - - 3 ? + 3 ； ? ? ? ? y + 2 x 3 + 8 x 2 + 3y - z 1+ a 1- b 2x - 5 5 - 2x x 2 - 4 x + 2 y

二次根式的化简与计算(讲义及答案)

二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点．

做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???

二次根式的计算与化简练习题

二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知是的小数部分，求的值。 2、化简（1）（2） ~ （3） 3、当时，求的值。 （ 4、先化简，再求值：，其中。、

5、计算： 6、已知，先化简,再求值。。 7、已知：，，求的值。 8、已知：，，求代数式的值。 $ 9、已知，化简 ] 10、已知，化简求值

11、①已知的值。$ ②已知，求的值．③ 12、计算及化简： ⑴. ⑵. < ⑶. ⑷. ！ 13、已知：，求的值。

~ 14、已知的值。 二次根式提高测试一、判断题：（每小题1分，共5分） 1．＝－2．…………………（） 2．－2的倒数是＋2．（） 3．＝．…（） 4．、、是同类二次根式．…（） ； 5．，，都不是最简二次根式．（） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子有意义． 7．化简－÷＝_． 8．a－的有理化因式是____________． 9．当1＜x＜4时，|x－4|＋＝________________．10．方程（x－1）＝x＋1的解是____________． 11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简＝______．

12．比较大小：－_________－． 13．化简：(7－5)2000·(－7－5)2001＝______________． ` 14．若＋＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________． 15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知＝－x，则………………（） （A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0 17．若x＜y＜0，则＋＝………………………（）（A）2x （B）2y （C）－2x （D）－2y 18．若0＜x＜1，则－等于………………………（）（A）（B）－（C）－2x （D）2x 19．化简a＜0得………………………………………………………………（） ！ （A）（B）－（C）－（D） 20．当a＜0，b＜0时，－a＋2－b可变形为………………………………………（） （A）（B）－（C）（D） 四、在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分） 21．9x2－5y2；22．4x4－4x2＋1． & 五、计算题：（每小题6分，共24分） 23．（）（）；

二次根式计算化简专题(2)

二次根式计算化简专题（2） 1.若a 、b 、c 分别是三角形的三边长，化简 2.先化简，再求值: 2111a a a --，其中1a =; 3. 已知 a b = =求22a b a b ++的值. 4.已知实数x 、y 、a 试问长度分别为x 、y 、a 的 三条线段能否组成一个三角形?如果能，请求出该三角形的面积;如果不能，请说明理由. 5.先化简，再求值：2221412211 m m m m m m --?÷+-+-，其中m ． 6.先化简，再求值 22 2x y xy x y x y x y +++--，其中x =-y =． 7.先化简，再求值：2232()111 x x x x x x +÷---，其中1x =．

8.先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x = 11()b a b b a a b ++++，其中a b ==． 9.已知1x =，求2211( )21x x x x x x x +-÷--+的值． 10.已知12a =，12 b =，求代数式225a ab b -+的值． 11.已知a 、b 、c 0, ab a c ab ===a c - 12. 32x x +=+，求35(2)242x x x x -÷----

13.已知152 a b c +-=-，求a b c ++的值． 14. 的整数部分为m ，小数部分为n ，求2212m mn n ++的值． 15. 若0m >，0n >= 16. ()f x = ，求(1)(3)(2011)f f f +++的值 17. 先化简，后求值：当14,4x y ==时，求391441y x y x x ---的值 18. 已知22446100x y x y +--+=，求 253__________. 19. 已知,a b =a b +=___________

二次根式计算乘除法化简

二次根式乘除法 1·一般地,对于二次根式的乘法有:=?b a 2·化简：(１ ；(２ = 3·计算:=?y xy 82 ,=?2712 = 2b a 2 ·a b 8＝ ４·对于b a b a ?= ?成立的条件是 5·下列计算正确的是( )A 、563224=? B 、653525=? ６C 、363332=? D 、15153553=? 7 =b,用含a,b ,则下列表示正确的是( ) (A ）0.3ab. (B ）3ab. (C)0.１ab 2 . （D)0.1a 2 b. 8·对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ） Ａ . 2 a b =+ a b =+ C ． 22 a b =+ a b =+ 9·计算 :（１ ( )2 ( )(() 30,0a b -≥≥ （4） 10·如果 )3(3-?=-?x x x x ,那么x 的取值范围是( ) A 、x 0≥ B 、3≥x C 、03≤≤x Ｄ、x 为一切实数

１1·下列计算正确的是( ） A 、2122423=? B 、632)3(323 2=?-=- C 、 259)25()9(-?-=-?-)3(-=15)5(=-? Ｄ、 5)1213)(1213(12132 2=-+=- １2·若一个正方体的长为cm 62,宽为cm 3,高为cm 2，则它的体积为 3 cm 。 13·下列各式不是最简二次根式的是（ ） C. 4 D. 14·化简： 7 7 7-= ；=>>÷)0,0(43 b a a b a 1５·下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 Ｃ．b a Ｄ.44+a 16 ( ) （Ｃ）3 1 面积为 （精确到0.0１）。 1 ８·计算： _____________ = １9·计算：=?÷182712 ; 20·计算 ÷= ２1·已知: 1.69,x = 求2x +的值。

二次根式的化简及计算

二次根式的化简及计算 一、学习准备： 1、平方根：如果 x 2 = a ，那么x 叫做a 的平方根。 若0a ≥, 则a 的平方根记为 ． 2、算术平方根：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。若0a ≥, 则a 的算术平方根记为_____． 3100的_______，结果为_______． ②表示4964的_______，结果为_____． ③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________． __________，__________． 二、阅读理解 4、二次根式的概念： ”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。 5、积的算术平方根 = = . = × = ，所以 一般地b = (0,0)a b ≥≥（注意：公式中,a b 必须都是非负数） 积的算术平方根，等于 ． =应该等于多少？

例1、化简:（1 （2 （3 （40,0)a b ≥≥ 即时练习：计算（1 （2 （3 （4 6、二次根式的乘法 = (0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥≥．即：二次根式相乘，根指数 不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。 例2、计算 （1 （2） 即时练习：计算（1 （2 （3）(- 7、商的算术平方根 == ，23= == (0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于 。 化简（1 （2 （3

即时练习：化简（1 （2 （3 课堂检测 1、计算:（1 （2 （3 （4 2、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c. （1）如果6,9,a b c ==求； （2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求 3、计算：（1 （2） （3 （4 4、化简（1 （2 （3

二次根式的化简及计算

二次根式的化简及计算 、学习准备: 1平方根：如果x 2= a，那么x叫做a的平方根。若a _ 0,则a的平方根记为___________________ . 2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。若a 3 0,则a的算术平方根记为 __________ 3、填空：① J100表示100的_________ ，结果为 ______ ? ②49表示49的 __________ ，结果为 _____ ? ,64 64 ③0.81的算术平方根记为_____________ ，结果为 _________ ? ④计算：阿+736 = _____________ , T004 —T025 = _____________ ? 二、阅读理解 4、二次根式的概念: 对于形如100^,81，-、a 这样的式子，我们将符号“ja ”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。 在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。 5、积的算术平方根 计算..= = . _______ .4 .9 x_= ______________ ，所以盲 一般地，-.晶“菱电(a_0,b_0)(注意：公式中a,b必须都是非负数) 积的算术平方根，等于 ___________________________________ ? 想一想：.、(《) (-9)= 二?一匚9成立吗？为什么？、.(-4) (-9)应该等于多少？ 例1、化简：(1) .16 81 (2) 2000 (3)27 15 (4) . 16ab2 (a - 0,b - 0) 即时练习：计算(1) 49 121 (2) 18 ( 3) 3x3(4)、27m2n3

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简 （，②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ）③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析．．公式法1 ②；】计算①【例1 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便． ．观察特征法2 】计算：2【例 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 ，即得分子，于是可以简解如下：察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以

．【解】原式 把下列各式的分母有理化．3】【例 ））1（）；（2（【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系 ”了！因此，②可以解答如下：1数若为“1”，那么原式的值就等于 “ 【解】②原式 ．运用配方法3 】化简4【例 【解】原式

二次根式的化简与计算

二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 【化简以及分母有理化】 |a = 内移：， 当0a > 时，=当0a < 时， 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

方法:①单项a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如: a +与a - 例题. 化简：（1＝ ； （2= . = . ＝ ； 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 (2)判断方法： 注意以下三点： ①都是二次根式，即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如：=== = 2．根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如==253? 3．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如： x ==(1x x + 4．单项的分母有理化，可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如： 3== 、233====?

二次根式化简和运算

二次根式化简和运算 本周内容:二次根式的化简和运算 本周重点、难点：二次根式的化简和运算。 本周重点、难点分析： 1. 最简二次根式 (1) 最简二次根式的概念 我们已经知道，根据二次根式的性质可以把二次根式化简，就是把一个二次根式化成最简单的形式．那么，什么是最简二次根式呢？ 满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式． (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对应上面两个条件，最简二次根式可以这样理解： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方． 1．下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？ 分析：根据最简二次根式的条件来判断，不满足其一个条件的，都不是最简二次根式． 解： 因数；被开方数含有能开得尽方的因数；的被开方数不是整数； 被开方数含有能开得尽方的因式；被开方数不是整数． （2）将二次根式化为最简二次根式的方法步骤 把一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况： (1)如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化化简． (2)如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简． 化二次根式为最简二次根式的步骤： (1)把被开方数(式)分解质因数(式)，化为积的形式；(2)把根号内能开得尽方的因数(或式)

移到根号外；(3)化去根号内的分母．若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数． 2．把下列各式化成最简二次根式： ； 分析： 根据化简二次根式的方法步骤，进行化简． 解法： （3）分母有理化时有理化因式的选择 对于分母中含有根号的二次根式，把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母同乘以一个不等于零的整式，分式的值不变．因此化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号．如 一般地，两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如，

二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技巧 (初二初三) 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与 b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0， ( ) 0≠-b a 而同时公式： () b a -2 =a 2 -2ab +b 2 ，a 2 -2 b =()b a +()b a -，可以帮助我们将 b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式= ()b a b a --2 +( )( )b a b a b a +-+=( )b a -+ ( ) b a -=2a -2b 二、适当配方法。 例2．计算： 3 2163223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+ 32-的因式，于是可以发现3+2 2=() 2 2 1+，且 () 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。 解：原式= ()()3 216 3223-++-+=() ( )=-+ +-+3 212 13212 1+ 2 三、正确设元化简法。