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最新人教版高中数学必修二平面与平面垂直的性质公开课优质教案

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§2.3.4 平面与平面垂直的性质

一、教材分析

空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是

空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点:(1)它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题.因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.

二、教学目标

1.知识与技能

(1)使学生掌握平面与平面垂直的性质定理;

(2)能运用性质定理解决一些简单问题;

(3)了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.

2.过程与方法

(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;

3.情感、态度与价值观

通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.

三、教学重点与难点

教学重点:平面与平面垂直的性质定理.

教学难点:平面与平面性质定理的应用.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

(一)复习

(1)面面垂直的定义.

如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直.

(2)面面垂直的判定定理.

两个平面垂直的判定定理:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直

.

两个平面垂直的判定定理符号表述为:

AB

AB α⊥β.

两个平面垂直的判定定理图形表述为:

图1

(二)导入新课

思路1.(情境导入)

黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?思路2.(事例导入)

如图2,长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,平面A ′ADD ′与平面ABCD 垂直,直线A ′A垂直于其交线AD.

平面A ′ADD ′内的直线A ′A与平面ABCD 垂直吗?

图2

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB ⊥CD,AB ∩CD=B.请同学们讨论直线

AB 与平面β的位置关系.

图3

②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明.

③设平面α⊥平面β,点P ∈α,P ∈a,a ⊥β,请同学们讨论直线a 与平面α的关系.

④分析平面与平面垂直的性质定理的特点,讨论应用定理的难点.

⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀

.

活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系.

问题②引导学生进行语言转换

.

问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a 与平面α的关系.

问题④引导学生回忆立体几何的核心,以及平面与平面垂直的性质定理的特点.

问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.

讨论结果:①通过学生作图或借助模型探究得出直线

AB 与平面β垂直,如图3.

②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面

.

两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为:如图

4.

图4

两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为:

B

CD

AB

CD AB CD

AB

AB ⊥β.

两个平面垂直的性质定理证明过程如下:

图5

如图5,已知α⊥β,α∩β=a,ABα,AB⊥a于B.

求证:AB⊥β.

证明:在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.

可知AB⊥BE.又AB⊥CD,BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.由α⊥β,

③问题③也是阐述面面垂直的性质,变为文字叙述为:

求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个

平面内.下面给出证明.

求证:aα.

如图6,已知α⊥β,P∈α,P∈a,a⊥β.

图6

证明:设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c,

∴b⊥β.

而a⊥β,P∈a,

∵α⊥β,

∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么aα.

利用“同一法”证明问题,主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法,这里

要求做到两点.一是作出符合题意的直线b,不易想到,二是证明直线b和直线a重合,相对容易些.点P 的位置由投影所给的图及证明过程可知,可以在交线上,也可以不在交线上.

④我认为立体几何的核心是:直线与平面垂直,因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的,

例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁,而且由它还可以转化为线线平行,即使作线面角和

二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几

何中最重要的定理.

⑤应用面面垂直的性质定理口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.

(四)应用示例

思路1

例1 如图7,已知α⊥β,a⊥β,aα,

试判断直线a与平面α的位置关系.

图7

解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,

∵α⊥β,

∴b⊥β.

∵a⊥β,

∴a∥b.

∵aα,

∴a∥α.

变式训练

如图8,已知平面α交平面β于直线 a.α、β同垂直于平面γ,又同平行于直线 b.求证:(1)a⊥γ;(2)b⊥γ.

图8 图9

证明:如图9,

在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC.

,β∩γ=AC.

(1)设α∩γ=AB

∵γ⊥α,∴PM⊥α.而aα,∴PM⊥a.

同理,PN⊥a.又PMγ,PNγ,∴a⊥γ.

(2)在a上任取点Q,过b与Q作一平面交α于直线a1,交β于直线a2.∵b∥α,∴b∥a1.

同理,b∥a2.

∵a1、a2同过Q且平行于b,∴a1、a2重合.

又a1α,a2β,∴a1、a2都是α、β的交线,即都重合于 a.

∵b∥a1,∴b∥a.而a⊥γ,∴b⊥γ.

点评:面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直,见到面面垂直首先考虑利用性质定

理,其口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.

例2 如图10,四棱锥P—ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.

图10 图11

(1)证明侧面PAB⊥侧面PBC;

(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;

(3)求直线AB与平面PCD的距离.

(1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB,

又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.

又∵BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.

(2)解:如图11,取AB中点E,连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.

又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ,∴PE ⊥面ABCD. ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角.

PE=

2

3BA=

3,CE=2

2

BC

BE

=

3,

在Rt △PEC 中,∠PCE=45°为所求. (3)解:在矩形ABCD 中,AB ∥CD, ∵CD

侧面PCD ,AB

侧面PCD ,∴AB ∥侧面PCD.

取CD 中点F ,连接EF 、PF ,则EF ⊥AB. 又∵PE ⊥AB,∴AB ⊥平面PEF.又∵AB ∥CD, ∴CD ⊥平面PEF.∴平面PCD ⊥平面PEF. 作EG ⊥PF ,垂足为G ,则EG ⊥平面PCD.

在Rt △PEF 中,EG=

5

30PF

EC PE 为所求.

变式训练

如图12,斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成60°角,侧面BCC 1B 1⊥面ABC.求平

面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小

.

图12

活动:请同学考虑面BB 1C 1C ⊥面ABC 及棱长相等两个条件,师生共同完成表述过程,并作出相应

辅助线.

解:∵面ABC ∥面A 1B 1C 1,则面BB 1C 1C ∩面ABC=BC, 面BB 1C 1C ∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC ∥B 1C 1,则B 1C 1∥面ABC.

设所求两面交线为AE ,即二面角的棱为AE,

则B 1C 1∥AE ,即BC ∥AE.

过C 1作C 1D ⊥BC 于D ,∵面BB 1C 1C ⊥面ABC, ∴C 1D ⊥面ABC ,C 1D ⊥BC. 又∠C 1CD=60°,CC 1=a,故CD=

2

a ,即D 为BC 的中点.

又△ABC 是等边三角形,∴BC ⊥AD. 那么有BC ⊥面DAC 1,即AE ⊥面DAC 1. 故AE ⊥AD ,AE ⊥AC 1, ∠C 1AD 就是所求二面角的平面角

.

∵C 1D=

2

3a ,AD=

2

3a ,C 1D ⊥AD,故∠C 1AD=45°.

点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键

.

思路2

例1 如图13,把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置,使CD=AC,

图13

(1)求证:平面

ABD ⊥平面ABC ;

(2)求二面角CBDA 的余弦值.

(1)证明:(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO ⊥平面ABC ,O 为垂足,则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心,即AB 的中点. ∴O ∈AB ,即O ∈平面ABD. ∴OD

平面ABD.∴平面ABD ⊥平面ABC.

(证法二):取AB 中点O ,连接OD 、OC,

则有OD ⊥AB ,OC ⊥AB ,即∠COD 是二面角CABD 的平面角.

设AC=a ,则OC=OD=

a 2

2,

又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD 是直角三角形,即∠COD=90°.

∴二面角是直二面角,即平面

ABD ⊥平面ABC.

(2)解:取BD 的中点E ,连接CE 、OE 、OC,∵△BCD 为正三角形,∴CE ⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形

,∴OE ⊥BD.∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角.

同(1)可证OC ⊥平面ABD,∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形.

设BC=a ,则CE=

2

3a ,OE=

2

1a,∴cos ∠OEC=

3

3CE

OE 即为所求.

变式训练

如图14,在矩形ABCD 中,AB=33,BC=3,沿对角线BD 把△BCD 折起,使C 移到C ′,且C ′在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上.

图14

(1)求证:AC ′⊥BC ′;

(2)求AB 与平面BC ′D所成的角的正弦值;(3)求二面角C ′BDA 的正切值.

(1)证明:由题意,知C ′O⊥面ABD,∵C ′OABC ′,∴面ABC ′⊥面ABD.

又∵AD ⊥AB,面ABC ′∩面ABD=AB,∴AD ⊥面ABC ′.∴AD ⊥BC ′.

∵BC ′⊥C ′D,∴BC ′⊥面AC ′D.∴BC ′⊥AC ′.

(2)解:∵BC ′⊥面AC ′D,BC ′面BC ′D,∴面AC ′D⊥面BC ′D.

作AH ⊥C ′D于H,则AH ⊥面BC ′D,连接BH,则BH 为AB 在面BC ′D上的射影, ∴∠ABH 为AB 与面BC ′D所成的角.

又在Rt △AC ′D中,C ′D=33,AD=3,∴AC ′=32.∴AH=

6.

∴sin ∠ABH=

3

2AB

AH ,即AB 与平面BC ′D所成角的正弦值为3

2.

(3)解:过O 作OG ⊥BD 于G,连接C ′G,则C ′G⊥BD,则∠C ′GO 为二面角C ′BDA 的平面角.

在Rt △AC ′B中,C ′O=

6''AB

BC AC ,

在Rt △BC ′D中,C ′G=

2

33''BD D C BC .

∴OG=

2

2

C

G

C =2

3.∴tan ∠C ′GO=

22'OG

O C ,

即二面角C ′BDA 的正切值为22. 点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础

,因此利用平面与平

面垂直的性质定理找出平面的垂线

,就显得非常重要了

.

例2 如图15,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=BB 1=1,直线B 1C 与平面ABC 成30°角,求二面角BB 1CA 的正弦值.

图15

活动:可以知道,平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直,故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另

一个半平面的垂线

.

解:由直三棱柱性质得平面

ABC ⊥平面BCC 1B 1,过A 作AN ⊥平面BCC 1B 1,垂足为N ,则AN ⊥

平面BCC 1B 1(AN 即为我们要找的垂线),在平面BCB 1内过N 作NQ ⊥棱B 1C ,垂足为Q ,连接QA ,

则∠NQA 即为二面角的平面角

.

∵AB 1在平面ABC 内的射影为AB ,CA ⊥AB ,∴CA ⊥B 1A.AB=BB 1=1,得AB 1=

2.

∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角,∴∠B 1CB=30°,B 1C=2. 在Rt △B 1AC 中,由勾股定理,得AC=

2.∴AQ=1.

在Rt △BAC 中,AB=1,AC=

2,得AN=

3

6.

sin ∠AQN=

AQ

AN =

3

6,

即二面角BB 1CA 的正弦值为

3

6.

变式训练

如图16,边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC=2

2,M 为BC

的中点.

(1)证明:AM ⊥PM ;(2)求二面角PAMD 的大小.

图16 图17

(1)证明:如图17,取CD 的中点E ,连接PE 、EM 、EA, ∵△PCD 为正三角形,

∴PE ⊥CD ,PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=

3.

∵平面PCD ⊥平面ABCD,∴PE ⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 是矩形,

∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得

EM=

3,AM=6,AE=3,

∴EM 2

+AM 2

=AE 2

.∴AM ⊥EM.

又EM 是PM 在平面ABCD 上的射影,∴∠AME=90°.∴AM ⊥PM. (2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM, ∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角.

∴tan ∠PME=

3

3EM

PE

=1.∴∠PME=45°.

∴二面角PAMD 为45°. (五)知能训练

课本本节练习. (六)拓展提升

(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S —ABC 中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为BC 中点.

(1)证明SO ⊥平面ABC; (2)求二面角ASCB 的余弦值.

图18

图19

(1)证明:如图

19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接

OA,△ABC 为等腰直角三角形

,所以

OA=OB=OC=

2

2SA,且AO ⊥BC.又△SBC 为等腰三角形,故SO ⊥BC,且SO=

2

2SA.

从而OA 2

+SO 2=SA 2

.所以△SOA 为直角三角形,SO ⊥AO. 又AO ∩BC=O,所以SO ⊥平面ABC. (2)解:如图19,取SC 中点M,连接AM 、OM, 由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM ⊥SC,AM ⊥SC. 所以∠OMA 为二面角ASCB 的平面角.

由AO ⊥BC,AO ⊥SO,SO ∩BC=O,得AO ⊥平面SBC.

所以AO ⊥OM.又AM=

2

3SA,故

sin ∠AMO=

3

63

2AM

AO . 所以二面角ASCB 的余弦值为

3

3.

(七)课堂小结

知识总结:利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等

.

思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题.

(八)作业

课本习题 2.3 B 组3、4.

高中数学 必修二 平面

§2.1.1平面 【使用说明及学法指导】 1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲; 2.小组合作,动手实践。 【学习目标】 1.掌握平面的表示法,点、直线与平面的关系,有关平面的三个公理;2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系; 【重点】 1.与平面有关的三个公理; 【难点】 2.三个公理的理解和应用; 一、自主学习 (一)复习回顾 阅读课本P40的“思考?”内容; (二)导学提纲 阅读课本P40-43,并完成下列问题: 1.生活里的“平面”和几何里的“平面”的概念一样吗? 2.平面怎么画?怎么表示? 3.公理1: 公理2: 公理3: 4.你能举出生活中应用三个公理的例子吗? 二、基础过关 例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

变式1:用符号表示下列语句 (1) 点A 在平面α内,点B 在平面α外 (2)直线l 经过平面α外的一点M 例2 不共面的四点可以确定几个平面?共点的三条直线可以确定几个平面? 变式2:判断正误 1.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面( ) 2.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合( ) 方法、规律总结: 三、拓展研究 例3. 画出同时满足下列条件的图形: l =βα ,α?AB ,β?CD ,AB ∥l ,CD ∥l 变式训练: 如右图,试根据下列要求,把被遮挡的部分改为虚线:

(1) AB 没有被平面α遮挡; (2) 画出AB 被平面α遮挡; 方法、规律总结 四、课堂小结 1. 知识 2. 数学思想、方法 3. 能力 五、课后巩固 (一)完成课本P51第3题: (二)完成以下试题 1.空间中ABCDE 五点中,ABCD 在同一平面内,BCDE 在同一平面内,那么这五点( ) A 共面 B 不一定共面 C 不共面 D 以上都不对 2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线 3. 三条直线相交于一点,可能确定的平面有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 4.直线12l l ∥,在1l 上取3点,2l 上取2点,由这5点能确定的平面有( ) A.9个 B.6个 C.3个 D.1个 5.给出下列命题: 和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内; 三条两两相交的直线在同一平面内;

最新人教版高中数学必修二_全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体),你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表示。 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例说明,如图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? 3.课本P8,习题1.1 A组第1题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 四、巩固深化 练习:课本P7 练习1、2(1)(2) 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业

人教版高中数学必修二全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1.棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都). ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是,②其余各面(即侧面)是 . ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点, ②两底面是平行且相似的多边形。 2.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱: . ⑵圆锥: . ⑶圆台:①平行于底面的截面都是圆, ②过轴的截面都是全等的等腰梯形, ③母线长都相等,每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球: . 3.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个, ②若干个, ③若干个 . (2)表面积及体积公式: 4.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5.球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列命题正确的是() (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)由8个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他面都是全等的矩形。 (2)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3.五棱台的上下底面均是正五边形,边长分别是 6cm和16cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积。 4.一个气球的半径扩大a倍,它的体积扩大到原来的几倍? 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5 .如图:右边长方体由左边的平面图形围成的

高中数学必修二2.1.1 平面

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 【选题明细表】 1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B ) (A)a∈α,A?a?A?α (B)a?α,A∈a?A∈α (C)a∈α,A∈a?A?α (D)a∈α,A∈a?A∈α 解析:直线在平面内用“?”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B. 2.给出下列说法:(设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点) ①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l?α;

②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB; ③若l?α,A∈l,则A?α,则正确的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:③中点A可以是直线与平面的交点,所以错误.①,②正确.故选B. 3.下列图形中不一定是平面图形的是( D ) (A)三角形(B)平行四边形 (C)梯形 (D)四边相等的四边形 解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形, 故选D. 4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C ) (A)5部分(B)6部分(C)7部分(D)8部分 解析:如图所示,三个平面α,β,γ两两相交, 交线分别是a,b,c且a∥b∥c, 观察图形, 得α,β,γ把空间分成7部分. 故选C.

5.(2018·昆明一中高一测试)如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D ) (A)点A (B)点B (C)点C但不过点D (D)点C和点D 解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ, 所以γ与β的交线必过点C和D. 6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. (1)A?α,a?α; (2)α∩β=a,P?α且P?β; (3)a?α,a∩α=A ; (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面. 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B 7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面

新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计

高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能:1、掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径; 2、会用两种方法求圆的标准方程:(1)待定系数法;(2)利用几何性质 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程: 情境设置: 问题:①圆的定义? 学生回忆所学知识:①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,确定圆的要素是圆心和半径。 问题:②如果把直线放在直角坐标系下,那么其对应的方程是二元一次方程,那么如果把一个圆放在坐标系下,其方程有什么特征?如何写出这个圆的所在的方程? 二、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出) P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得:222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法: (1)2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 (2)2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 (3)2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 (一)练习 1、指出下列方程表示的圆心坐标和半径: (1) 222=+y x ; (2) 5)1()3(22=-+-y x ; (3)222)1()2(a y x =+++(0≠a )。

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第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点:空间直线,平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义,判定和性质。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言,图形语言和符号语言的转化。平行,垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4.了解多面体的概念和分类. 【课堂互动】 自学评价 1. 棱柱的定义: 表示法: 思考:棱柱的特点:. 【答】 2. 棱锥的定义: 表示法: 思考:棱锥的特点:. 【答】 3.棱台的定义: 表示法: 思考:棱台的特点:. 【答】

4.多面体的定义: 5.多面体的分类: ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥; 丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。 以上各命题中,真命题的个数是(A)A.0 B. 1 C. 2 D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法: ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形; ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段; ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考7页例1 ⑷画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去. 互助参考7页例1 点评:(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔: 解柱、锥、台概念性问题和画图需要:(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点: 例如:棱锥的特点是:⑴两个底面是全等的多边形;⑵多边形的对应边互相平行;⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来,若一个几何体,具有上面三条,能构成棱柱吗?或者说,上面三条能作为棱柱的定义吗? 答:不能. 点评:就棱柱来验证这三条性质,无一例外,能不能找到反例,是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图,四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到. 2.右图中的几何体是不是棱台?为什么? 答:不是,因为四条侧棱延长不交于一点.3.多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体。 答:4个面,四面体. 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

高中数学必修一教案全套

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『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题:§1.1 集合 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方 面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于” 关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新 的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能 意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也简称集。 ——————————————第 1 页(共 70页)——————————————

高中数学必修二学案

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备 (预习教材P2~ P4,找出疑惑之处) 引入:小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等,现实生活中,我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体,它们占据着空间的一部分,比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状,有着不同的几何特征,现在就让我们来研究它们吧! 二、基础探究 1.观察下面的图片,请将这些图片中的物体分成两类,并说明分类的标准是什么? 图1 2.【研读课本】 (1)多面体的概念:叫多面体, 叫多面体的面,叫多面体的棱, 叫多面体的顶点。 ①棱柱:两个面,其余各面都是,并且每相邻两个四 边形的公共边都,这些面围成的几何体叫作棱柱 ②棱锥:有一个面是,其余各面都是的三角形,这些面 围成的几何体叫作棱锥 ③棱台:用一个棱锥底面的平面去截棱锥,, 叫作棱台。 (2)旋转体的概念: 叫旋转体,叫旋转体的轴。

①圆柱:所围成的 几何体叫做圆柱. ②圆锥:所围成的 几何体叫做圆锥. ③圆台:的部分叫 圆台. ④球的定义 三、能力探究 例1.(1)如图,观察四个几何体,其中判断正确的是() A.(1)是棱台 B.(2)是圆台 C.(3)是棱锥 D.(4)不是棱柱 (2)下列说法错误的是() A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 (3)下列命题中正确的是() A.棱台各侧棱的延长线交于一点 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 (4)下列几个命题中, ①两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴,将矩形旋转,所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.() A.1 B.2 C.3 D.4 (5)下列说法中不正确的是() A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念 C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥,它的各个面都是直角三角形 (6)一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为______cm. 例2有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗?如果不是,请举例说明。

高中数学必修二平面解析几何知识点梳理

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. ②经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数. (4)共点直线系方程:经过两直线交点的直线系方程为 (除),其中λ是待定的系数. 9.曲线与的交点坐标方程组的解. 10.圆的方程: (1)圆的标准方程:(). (2)圆的一般方程:. (3)圆的直径式方程: 若,以线段为直径的圆的方程是:. 注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是,. (2)一般方程的特点: ①和的系数相同且不为零;②没有项;③ (3)二元二次方程表示圆的等价条件是: ①;②;③. 11.圆的弦长的求法: (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为,弦心距为,半径为, 则:“半弦长+弦心距=半径”——; (2)代数法:设的斜率为,与圆交点分别为,则 (其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或,利用韦达定理求解) 12.点与圆的位置关系:点与圆的位置关系有三种 ①在在圆外. ②在在圆内. ③在在圆上.【到圆心距离】 13.直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有三种(): 圆心到直线距离为,由直线和圆联立方程组消去(或)后,所得一元二次方程的判别式为.;;. 14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为,半径分别为, ;; ;; . 15.圆系方程: (1)过直线与圆:的交点的圆系方程:,λ是待定的系数. (2)过圆:与圆:的交点的圆系方程:,λ是待定的系数. 特别地,当时,就是 表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线. 16.圆的切线方程: (1)过圆上的点的切线方程为:. (2)过圆上的点的切线方程为: . (3)当点在圆外时,可设切方程为,利用圆心到直线距离等于半径, 即,求出;或利用,求出.若求得只有一值,则还有一条斜率不存在的直线. 17.把两圆与方程相减

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第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法:观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1. 教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体),你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平

最新高中数学必修二知识体系整合

第二章点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1、含义:平面是无限延展的 2、“3个公理” 公理内容图形符号 公理1如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线在此平面 内 A∈l,B∈l,且A ∈α,B∈α ?l?α 公理2过不在一条直线上的三点,有且 只有一个平面 A,B,C三点不共 线?存在唯一的α, 使A,B,C∈α 推论:①一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公 共点,那么它们有且只有一条过 该点的公共直线 P∈α,P∈β ?α∩β=l,且P∈l 二、空间中点、直线、面的位置关系(“3种关系”) 1、空间两条直线的位置关系 位置关系特点 共面相交同一平面内,有且只有一个公共点平行同一平面内,没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点

异面直线的画法 1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】 00<θ≤900 2.当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面 直线互相垂直,记作a⊥b; 2.直线与平面的位置关系 位置关系直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α=A a∥α 图形表示 3.两个平面的位置关系 位置关系图示表示法公共点个数 两平面平行α∥β没有公共点 两平面相交α∩β=l 有无数个公共点(在一条直线 上) 三、平行(3种)

线线平行 线面平行 面面平行 ?? ?? ?a ∥α a ?βα∩β= b ?a ∥b ?? ?? ?a ?α b ?αa ∥b ?a ∥α β ααα ββ //////?????? ???? =???b a p b a b a ?? ?? ?α∥β α∩γ=a β∩γ=b ?a ∥b αββα////a a ?? ?? ? β αααββ //////??? ? ? ?? ? ? ? ? ???=???=???m b n a Q n m n m p b a b a ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 垂直于同一平面的 两直线平行 βαβα//?? ?? ⊥⊥l l 垂直于同一条直线 的两平面平行 ? ??? ?a ∥b b ∥c ?a ∥c . βαγβγα//////?? ?? 四、垂直(3种)

高中数学必修2知识点总结(史上最全)

高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体:一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体:我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD '几何特 征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 ( 5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影:我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影。 3.平行投影:我们把在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影。(又分为正投影和斜投影) 4 空间几何体的三视图

人教版高中数学必修2全部教案(最全最新)

人教版高中数学必修2 第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能:(1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法: (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 (2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观: (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪。 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、由六根火柴最多可搭成几个三角形?(空间:4个) 2在我们周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子 吗?这些建筑的几何结构特征如何?

3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。 问题:请根据某种标准对以上空间物体进行分类。 (二)、研探新知 空间几何体:多面体(面、棱、顶点):棱柱、棱锥、棱台; 旋转体(轴):圆柱、圆锥、圆台、球。 1、棱柱的结构特征: (1)观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片, 思考:它们各自的特点是什么?共同特点是什么? (学生讨论) (2)棱柱的主要结构特征(棱柱的概念): ①有两个面互相平行;②其余各面都是平行四边形;③每相邻两上四边形的公共边互相平行。 (3)棱柱的表示法及分类:

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1.棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都). ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是,②其余各面(即侧面)是 . ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点, ②两底面是平行且相似的多边形。 2.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱: . ⑵圆锥: . ⑶圆台:①平行于底面的截面都是圆, ②过轴的截面都是全等的等腰梯形, ③母线长都相等,每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球: . 3.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个, ②若干个, ③若干个 . (2)表面积及体积公式: 4.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5.球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列命题正确的是() (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)由8个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他面都是全等的矩形。 (2)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3.五棱台的上下底面均是正五边形,边长分别是6cm和16cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积。 4.一个气球的半径扩大a倍,它的体积扩大到原来的几倍? 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5.如图:右边长方体由左边的平面图形围成的是()(图在教材P8 T1 (3))

高中数学必修二《2.1.1平面》教学设计

2.1.1 平面 东莞市南城中学陈立 1.内容和内容解析 (1)内容 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节,教学内容安排一个课时,主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 (2)内容解析 平面是最基本的几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3,是研究立体图形的理论基础,也是进一步推理的出发点和根据。其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理2用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中,经历了对立体图形的整体把握,这节课以学生熟知的长方体为载体,引出本节课的主要内容,拓展学生已有的平面几何观念,帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此,本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念,了解平面的表示方法和画法;理解平面的基本性质即三个公理,会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2.目标和目标解析 (1)目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求,结合学生现有的知识水平和理解水平,确定本节课的教学目标如下: ①了解平面的描述性概念; ②了解平面的表示方法和基本画法; ③理解公理1、公理2、公理3; ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美,激发学习兴趣。 (2)目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识,借助学生已有的直线的描述性概念,通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后,首先给出平面的表示方法,然后类比画直线的方式,从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难,但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度,没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点,因此,将这些内容定位为了解。平面的三个公理,是本节课的重点内容,要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美,提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间,进而激发学生的求知欲。 3.教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度,因此,在教学时一定要让学生多感受,多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面,教学中要引导让学生通过观察,体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础,也是以后论证推理的逻辑依据,学生容易掌握文字语言、图形语言,但符号语言较难掌握,教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析,本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4.教学支持条件分析 立体几何教具,多媒体,直尺。 5.教学过程设计

高一数学必修二 课时分层作业7 平面

课时分层作业(七)平面 (建议用时:45分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是() ①A∈a,a?α?Aα;②A∈a,a∈α?A∈α;③A a,a?α?Aα;④A∈a,a?α?A?α. A.0 B.1C.2D.3 A[①不正确,如a∩α=A;②不正确,∵“a∈α”表述错误;③不正确,如图所示,A a,a?α,但A∈α;④不正确,“A?α”表述错误.] 2.下列命题中正确命题的个数是() ①三角形是平面图形; ②四边形是平面图形; ③四边相等的四边形是平面图形; ④圆是平面图形. A.1个B.2个 C.3个D.4个 B[根据公理2可知①④正确,②③错误.故选B.] 3.两个平面若有三个公共点,则这两个平面() A.相交B.重合 C.相交或重合D.以上都不对 C[若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.] 4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是() A.A,B,C,D四点中必有三点共线 B.A,B,C,D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交

D.直线AB与CD平行 B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面,选B.] 5.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为() A.0 B.1 C.0或1 D.1或3 D[当三条直线是同一平面内的平行直线时,确定一个平面,当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时,确定三个平面,选D.] 二、填空题 6.设平面α与平面β相交于l,直线a?α,直线b?β,a∩b=M,则M________l. ∈[因为a∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.] 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条. 5[由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条.] 8.已知平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条. 1或2或3[当β与γ相交时,若α过β与γ的交线,有1条交线;若α不过β与γ的交线,有3条交线;当β与γ平行时,有2条交线.] 三、解答题 9.已知:A∈l,B∈l,C∈l,D l,如图所示. 求证:直线AD,BD,CD共面.

高中数学人教B版必修二学案:2.2.3 两条直线的位置关系

2.2.3两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想. [知识链接] 1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α<180°. 2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k= y2-y1 x2-x1 . 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引] 1.两条直线相交、平行与重合的条件 (1)两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系, 可以用方程组 ?? ? ??A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下: 方程组的解位置关系 交点个 数 代数条件无解平行无交点 A1B2-A2B1=0且 B1C2-B2C1≠ 0(A2C1-A1C2≠0) 或 A1 A2= B1 B2≠ C1 C2 (A2B2C2≠0)

有唯一解 相交 有一个 交点 A 1 B 2-A 2B 1≠0 或A 1A 2 ≠B 1 B 2 (A 2B 2≠0) 有无数个解 重合 无数个 交点 A 1=λA 2, B 1=λB 2, C 1=λC 2(λ≠0)或A 1 A 2=B 1B 2 =C 1 C 2 (A 2B 2C 2≠ 0) (2)两条直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行 重合 相交一般 相交垂直 图示 k ,b 满足 条件 k 1=k 2且b 1≠b 2 k 1=k 2且b 1=b 2 k 1≠k 2 k 1·k 2=-1 对坐标平面内的任意两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,有l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0. 如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1=-A 1B 1,l 2的斜率k 2=-A 2 B 2. 又可以得出:l 1⊥l 2?k 1k 2=-1. 要点一 直线的交点问题 例1 求经过原点,且经过直线2x +3y +8=0和x -y -1=0的交点的

高中数学必修2《二面角》教案

◆教案 二面角 教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2 【教学目标】 1、知识目标: (1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念,能根据定义正确地作出二面角的平面角,并能初步运用它们解决相关问题。 (2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。 2、能力目标: 培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。 3、过程与方法目标: 引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程,以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。 4、情感、态度、价值观目标: (1) 使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。 (2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程,培养学生的辩证唯物主义观点。 (3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神,体验数学中转化思想的意义和价值; (4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会,如:探究活动,让学生自主探究新知,例题则采用练在讲之前,讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能,促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法,获得广泛的数学活动经验,提高综合能力,学会学习,进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。 【教学重点与难点】 重点:“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。

难点:“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。【教学方法与手段】 (1)教学方法: 采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。 (2)教学手段: 借助实物模型,和利用多媒体制作课件来辅助教学。通过上述方法与手段,再现知识的产生过程,突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣,发挥学生的主体作用;同时通过学生参与动手操作,亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。 【学法指导】 通过设计环环相扣的思考问题,引导学生主动地参与探究活动,体验学习的乐趣,教师在这个过程中不打断学生的思路,期望有能力的学生走在老师的前面,同时,学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助,以更好地在课堂上完成学习任务。使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动,以获得理智和情感体验,让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式,体现在整个教学过程中。 【教学流程】

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