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等腰三角形经典练习题及详细答案

等腰三角形练习题

一、计算题：

1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数

2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数

3、AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数

4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数

5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数

6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若

BE=AC,BD=21

,DE+BC=1,

求∠ABC 的度数

7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值

二、证明题：

8. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系

9. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O

求证：AE+CD=AC

D F

12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD

13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线

求证：CD=21

14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED

A B

1 2 A

15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG

16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD

求证：AF=FC

17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD

18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC

19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED

20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH

一、计算题：

1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数

设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°

2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36°

3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点

F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°

4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA

求∠A的度数

设∠A为x

∠A=7

180

5. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD, 求∠EDC的度数

设∠ADE为x

∠EDC=∠AED－∠C=15°

x－15°

6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若

BE=AC,BD=21

,DE+BC=1,

求∠ABC 的度数延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90°

在Rt △DBF 中, BD=21

,DF=1

所以∠F =∠1=30°

7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值

在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED

由AC=AB+BD,得DE=EC,

所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题：

8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA 是等腰三角形

9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE

在AE 上取点B,使AB=AD

10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC 在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF

由∠B=60°，角平分线AD 、CE,

D E

D F

C D

得∠AOC=120°

所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC

11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD

延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD

也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE

先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可 12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD

在AB 上取点E ，使BE=BD ，在AC 上取点F ，使CF=CD

得△BDE 与△CDF 均为等边三角形，只需证△ADF ≌△AED

C D

13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线

求证：CD=21

延长CD 到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE ≌△BCE

14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED

在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD

由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED

15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG

A B

1 2

16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FC

17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD

由△AHE ≌△BCE,得BC=AH

18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,

∠ABD=30° 求证：AD=DC

作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E 可证得∠DAF=DAE=15°, 所以△ADE ≌△ADF 得AF=AE,

由AB=2AF=2AE=AC, 所以AE=EC,

因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DC

E C

19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED

延长BD 到点F,使DF=BC, 可得等边△BEF,

只需证明△BCE ≌△FDE 即可

20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH 延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°, ∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF, 由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形由三线合一,得EH ⊥

G 1

2 M

等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（） 2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（）二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ．三．解答题（共15小题） 4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且 ∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ． 5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ． 6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥ AC ，垂足分别为 E ，F ，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ．（1）∠E 等于多少度？（2）△DBE 是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ． 9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ． A ． 5cm B ． 3cm C ． 2cm D ．不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3

等腰三角形经典练习题(有难度)

等腰三角形练习题一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x

设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A

求∠ABC 的度数延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E

等腰三角形习题(含答案)

| 等腰三角形 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对 2. 如图，AB C ?是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。 C A 1 D B 2 3 3. AB C ?中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证： BC 2 1 DE = 。 A E D O B C 1 2 / 4. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 E 5. 如图，已知：AB C ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D }

6. 已知：如图，AB C ?中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。求证：DCB 2B AC ∠=∠。 C ~ 7、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。求证：AE ＝AF 。 A E F B D C 【 8、如图，AB C ?中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。求证：B C B D AD =+。 E F C "

— 等腰三角形答案： 1. B 2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。解：因为AB C ?是等边三角形所以 60ABC BC AB =∠=，因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠ 在AB D ?中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠，所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠ ] 3.分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC 的中点。证明：过点A 作BC 边的垂线AF ，垂足为F 。 4、分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝2 1 ∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点所以∠1＝ 2 1 ∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点（等腰三角形三线合一） 5、分析：题中所要求的BAC ∠在AB C ?中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。因此需要考虑DB A D =和CA DC =在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 因为DB A D =，所以C DAB B ∠=∠=∠；因为CD CA =，所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角）而 DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22， ~ 所以B 3B AC ∠=∠ 又因为 180=∠+∠+∠BAC C B 即 180B 3C B =∠+∠+∠ 所以 36B =∠ 即求得 108BAC =∠ 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 6、分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB = 所以BAC 2 1 21∠= ∠=∠（等腰三角形的三线合一性质）因为 90B 1=∠+∠ 又AB CD ⊥，所以 90CDB =∠ 所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余）所以31∠=∠（同角的余角相等）即DCB 2B AC ∠=∠ 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB ∠的等角等。》 7、证明：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 又因为AC DF AB DE ⊥⊥，

一次函数与全等三角形综合题

27题精选1（2011-11-27） 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式；（2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。（3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。（1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 x y x y 第 2题图① 第2题图② 第2题图③

3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；的外部作一条直线3l ，过点 B 作BE ⊥3l 于E,过点 C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证： BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 4、如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、b 满足. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值；（3）过A 点的直线交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直线交AP 于点M ，试证明的值为定值．

一次函数与等腰三角形存在性培优专题

一次函数与等腰三角形存在性培优专题 1．已知一次函数1 y x =-+的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点P在x轴上，并且使以点A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 2．已知一次函数 4 4 3 y x =+的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，若ABC △为等腰三角形，则点C的坐标为______________________________________．3．如图，直线OB是一次函数2 y x =-的图象，点A的坐标为(02) ，，在直线OB上找点C，使ACO △为等腰三角形，则点C的坐标是______________________________________． 4．一次函数1 y x =+的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，且使得ABC △是等腰三角形，符合题意的点C坐标为______________________________________． 5．如果一次函数 3 6 4 y x =-+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为______________________________________．

6．如图所示，一次函数4 =-+与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点 y x （不包含A、B两个端点），C是线段OB上一点，45 △是等腰三角形， OPC ∠=?，若OPC 试求点P的坐标？ 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt ABC △的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，4 OB=． OA=，3 （1）求点C的坐标；（2）求经过点B，C的一次函数的解析式；（3）在x轴上是否存在点P，使PCB △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

等腰三角形及三线合一经典试题难题

等腰三角形及三线合一经典试题难题 1．等腰三角形的对称轴是（） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G

E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图，中，，试说明：． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1

等腰三角形的性质练习(含答案)

等腰三角形的性质一、基础能力平台 1．选择题：（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（） A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角 C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（） A．40°，40°B．100°，20° C．50°，50°D．40°，40°或100°，20° （3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20° C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20° （4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（） A．45°B．40°C．55°D．50° （5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（） A．顶角B．顶角的一半 C．顶角的2倍D．底角的一半（6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（） A．30°B．45°C．36°D．72°

（1）（2）（3）2．填空题：（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______； ②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________．（5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______． 3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数． 4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC?以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ c a

一次函数与三角形综合题

一次函数与三角形综合题培优试题 1.如图,在直角坐标系中,直线l⊥x轴交负半轴于点A(a,0),点C在直线l上,过点C的另一直线交y轴于点B(0,b),且a,b满足0 - + a -b )1 ( 22= (1)求AOB ?的面积 (2)求证:AB平分∠COB; (3)在y轴正半轴上有一动点M,CB的延长线上有一动点N,在运动的过程中,恰使∠AMB= ∠ANB,当M,N的位置发生变化时,MB-NB的值是否发生变化,如果不变,求其值,若变化,说明理由.

2、

3、如图①所示,直线y=x+1交x轴于点A,交y轴于点C,OB=3OAM在直线AC上,AC=CM, (1),求直线BM的解析式. (2)如图①所示,点N在MB的延长线上,BN=AC,连CN交x轴于点P,求点P的坐标; (3)如图②所示,连OM,在直线BM上是否存点K,使得∠MOK=45°,若存在,求点K的坐标,若不存在,说明理由. 图①图②

4、直线1l :y ＝mx ＋4m 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点. (1)当OA=OB 时，试确定直线1l 的解析式；（2）直线2l :y ＝-2mx ＋4m 过B 点交x 轴于C 点，直线y=t （t ＞4m ）分别交直线1l 、直线2l 、y 轴正半轴于M 、D 、N ，画出图形，求 DN DM 的值； (2) 如图分别以OB 、AB 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，问当m 变化时，现给出两个结论： ①BP 的长度不变；② OB BP 的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你证明正确的结论并求出其的长度.

等腰三角形经典试题(有难度)

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EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A 180°－2x 30°

6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD= 2 1,DE+BC=1, 求∠ABC的度数延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt△DBF中, BD= 2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30°E A C B D F 1 2

等腰三角形练习题(含答案)

等腰三角形第1课时等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm. 第2题图第3题图 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60° 4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.

第2课时等腰三角形的判定 1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．钝角三角形 2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________．第3题图第4题图 4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形． 5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC. 6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G. 求证：△EFG是等腰三角形．

等腰三角形知识点+经典例题

第一讲等腰三角形【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2A ?-∠. （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数与等腰三角形的存在性问题一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为．三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________．三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．

等腰三角形常用辅助线专题练习含答案

等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证： B D= C E。证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F，D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD∴∠B=∠C，∠E=∠ADE∴∠B+∠E=∠C+∠ADE∵∠ADE=∠CDG∴∠B+∠E=∠C+∠CDG∵ ∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC∴AF⊥DE．

解法2：过A点作△ABC底边上的高，再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE,即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点，DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。

证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4.如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°×1/2=90°，∴DF⊥BC; 若把“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5.如图，AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,A求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED∴△ABC≌△AED(SAS) ∴AC=AD ∵AM⊥CD∴∠AMC=∠AMD=90°∵AM=AM(公共边)∴RT△ACM≌RT△ ADM(HL)

一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).

一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）?课前预习 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A， B 是两个格点，若点 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个． 2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征． ②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等． 2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．

?精讲精练 1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．

2.如图，直线y =-1 x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3 在直线y =-1 x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为 3 ． 3 2 （1）求直线y =-1 x +b 的表达式及点C 的坐标；3 （2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．

培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性.docx

一次函数与三角形存在性问题相关知识点 1 %两点距离公式3（兀2，旳），则AB二____________________ 2、等腰三角形相关性质及作法 3、对于一次函数y二kx+b （k=#0） ①当k> 0时，y随x的增大而_____________ ,向 _______ 当k<0时，y随x的增大而_____________ o向 ________ ②|刈越—，倾斜角度越_________ o直线y二x,与x轴夹角为 ______ , y-V3x,与x轴正方向夹角为______ , 丫二牛、与x轴正方向夹角为 _________ ③ _____________________________________________ 经过点（0, k）且平行于x轴的直线叫做直线_______________________________________________ ,经过点（k , 0）且平行于y轴的直线叫做直线______ ④对于直线厶:丁二心兀+也和厶:y = k2x-^-b2 当l x//l2时， ________；当厶丄&时，__________ ? ⑤若3（兀2，夕2），则直线AB的斜率P肋二 ______ 若直线斜率k二3,且过点（1,4）,则直线解析式为

类型一、等腰三角形存在性如图，直线歹=』3兀+ 2与x轴、y轴分别交于A, B两点, 例1?点P是X轴上的动点, 3 若使AABP为等腰三角形，则点P的坐标是___________ 例2、如图，直线y二x+3与y轴交于点A,与直线x二1交于点B,点P是直线x二1上的动点, 若使AABP为等腰三角形，则点P的坐标是___________ 例3、如图，直线h： y—x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直3线I2： y= - -x+b经过点C,且与直线h交于点D,与y轴交于点E,连结AE. 4 (1) 当点C的坐标为(2, 0)时, ①求直线J的函数表达式; ②求证：AE平分ZBAC；

等腰三角形经典练习题(有难度)整理版

1 等腰三角形练习题一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x

2 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15°

3 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 C D E P E A C B D F 1 2 A B C D E

2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

新知：等腰三角形 1.等腰三角形的定义： 2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 7.等腰三角形的判定： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2.在同一三角形中，等角对等边 8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 9.等边三角形的性质： ⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。 ⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。 ⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一） ⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 10.等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义） ⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 (4)两个内角为60度的三角形是等边三角形 (5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。 (6)等边三角形的性质与判定理解： 11、三角形中的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：等腰三角形的性质应用及判定例1如图，△ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

2021年中考数学专题训练：等腰三角形(含答案)

2021中考数学专题训练：等腰三角形一、选择题 1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为() A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm 2. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于() A.15° B.30° C.45° D.60° 3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是() A.12 B.13 C.14 D.15 4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是() A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于() A. 6 5 B. 9 5 C. 12 5 D. 16 5 6. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为()

A .(1，1) B .(1，) C .(，1) D .( ) 7. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N.若△AMN 的周长为18，BC=6，则△ABC 的周长为 ( ) A .21 B .22 C .24 D .26 8. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150° 9. (2019?梧州)如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 10. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，且AB △ED ，△EAB ＝120°，则△BCD 的度数为( )

一次函数与三角形

引例：面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动． ⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）； ⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．图2 图1 图2

【例1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作 BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．【例2】已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，， ()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限． ⑴ 求直线AB 的解析式； ⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标； ⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由．【例3】已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，． ⑴求直线()0y mx m =≠的解析式； ⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积．【例4】已知：一次函数1 32 y x = +的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）． ⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标； ⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．