同角的三角函数基本关系式

教学目标：

⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2. 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

3. 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 教学重点：同角三角函数的基本关系.

教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 容分析：

本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用． 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系． 如:由

αα

α

tan cos sin = 得:αααtan cos sin ?=, 同样可以有:αααcot sin cos ?= α

α22

cos 1

1tan =

+，

α

α2

2sin 11cot =

+，αα2

2cos sin 1=-等等,可以引导学生和用三个基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯．

教材中的3个基本关系式，只有：sin 2α+cos 2

α=1是绝对恒等式，即对于任意实数α都成立,另外两个公式,仅当α取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点．

这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件．教材中指出：“在第二个式子中)k (2

k Z ∈+

≠π

πα时，式子两边都有意义；

在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值围，并从中发现，两边的取值围经常是不相同的，如果一个

等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的． 教学过程：

一、复习引入：

1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222

2>+=

+=

y x y

x r

2．任意角的三角函数的定义及其定义域.

r

y

=

αsin R y

r

=

αcsc {}Z k k ∈≠,|παα r

x

=αcos R

x r =

αsec ???

???∈+≠Z k k ,2|ππαα

x y =

αtan ?

??

???∈+≠Z k k ,2|ππαα

y

x

=

αcot {}Z k k ∈≠,|παα 以上六种函数，统称为三角函数. 3. 三角函数在各象限的符号规律： 第一象限全为正,二正三切四余弦. 4. 终边相同的角的同一三角函数值相等

诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成

ααsin )360sin(=??+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=??+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=??+k απαtan )2tan(=+k

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

二、讲解新课：

r

y)

(x,α

P cot α<0

tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0

tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0

1

csc αsec αcot α

tan α

cos α

sin α1．公式: 1cos sin

22

=+αα

αα

α

tan cos sin = 1cot tan =?αα 2．采用定义证明： 1cos sin cos ,sin 1222

2

2

=+∴==

=+ααααr

x r y r

y x 且

α

ααππαtan cos sin )(22==?=÷=∈+≠x

y

x r r y r x r y Z k k 时，当 1cot tan ,2

3=?=

?+

≠≠y

x

x y k k ααπ

παπα时且当 3．推广：1cos sin 2

2

=+αα这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：

1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα

αααtan cos sin =这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：αα

α

cot sin cos = 1cot tan =α?α这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：

1sin csc =α?α 1cos sec =α?α

4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。 5．注意：

1?“同角”的概念与角的表达形式无关， 如： 13cos 3sin 2

2

=+αα

2tan 2

cos

2sin

ααα

=

2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。

3?据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其

余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 6．这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).

②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).

③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 三、讲解例：

例1． 已知5

4

sin =

α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值． 分析：由平方关系可求cos α的值，由已知条件和cos α的值可以求tan α

的值，进而用倒数关系求得cot α的值．

解：∵sin 2α+cos 2

α=1，α是第二象限角

,5

3

)54(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα

3

4

5354

cos sin tan -=-==∴ααα

.4

3

tan 1cot -==αα

例2．已知17

8

cos -

=α，求sin α、tan α的值． 分析：∵cos α＜0 ∴α是第二或第三象限角．因此要对α所在象限分类．

当α是第二象限角时， .

8

15

17

81715

cos sin tan ,17

15)178(1cos 1sin 22-=-===--=-=ααααα

当α是第三象限时

.8

15tan ,17

15cos 1sin 2=

-

=--=ααα 提问：不计算sin α的值，能否算得tan α的值？

由于αα22

tan 1cos 1

+=而α在Ⅱ或III 象限 .815117181cos 1tan 2

2±=-?

?

?

??-±=-±=∴αα 221cos 1tan αα

=

+

例3．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin α，cos α．

解：由1tan sec 22+=αα 即 αα2

2

tan 11cos +=

??????

?+-

+=∴为第二、三象限角

当为第一、四象限角

当αααα

α22tan 11

tan 11cos

而 αααcos tan sin ?=

??????

?

+-

+=∴为第二、三象限角

当为第一、四象限角

当αα

ααα

αα22tan 1tan tan 1tan sin

四、课堂练习：

1．已知2

1

cos =

θ ， 求θtan 的值． 解法1：)tan sin (cos θθθ???→????→?商数关系平方关系

∵2

1

cos =

θ， ∴α在Ⅰ、Ⅳ象限， 当α在Ⅰ象限时，

,2

3

)21(1cos 1sin 22=-=-=θθ

∴.32

123

cos sin tan ===

θ

θ

θ 当α在Ⅳ象限时

,2

3cos 1sin 2-

=--=θθ ∴.3cos sin tan -==

θ

θ

θ 解法2：)tan cos 1

(cot θθ

θ???→????→?平方关系倒数关系 当α在Ⅰ象限时，

.

3121cos 1tan ,2cos 1

2

1cos 2

2

=-=-??

? ??=∴=∴

=

θθ

θ

当α在Ⅳ象限时

31cos 1tan 2

-=-??

?

??-=θθ

2．已知2tan =α，求αsin 的值

解∵ tan α= 2 > 0，∴α在Ⅰ、Ⅲ象限 ①当α在Ⅰ象限时．

，

521tan 1cos 1

22=+=+=αα

，5

1cos =

∴α .5

5

225

1tan cos sin =

?=

?=∴ααα ②当α在Ⅲ象限时

521tan 1cos 1

22-=+-=+-=∴

αα

, ,5

1cos -

=∴α .5

5

2tan cos sin -

=?=∴ααα 注意：此题在求出cos α的值以后，若直接用平方关系求sin α的值，有符号判断问题，需要再分类，就出现二次分类增添了解决问题的复杂性．本题采用了商数关系，避开了引用平方关系求sin α值，使得问题轻松获解．

3．已知tan α=－3，则sin α= ，cot α = ． 思路分析：由tan α＝－3＜0知，α在第二或第四象限， ∴可分类后用同角三角函数基本关系求解．（略） 由于这是一个填空题，

∴可先将角α视为锐角，求出sin α和cot α的值，然后具体的再看α角所在象限得出sin α、cot α的符号．

将α视为锐角α′，则有tan α′=3，

∴αsin ′=.10

3 cot α′=31

,

03tan <-=α ∴α在第Ⅱ或第Ⅳ象限．

∴???

?

???-=)

IV (3103)

(10

103sin 象限在第象限在第ααα

3

1cot -=α.

五、小结与总结

已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，应用平方关系确定符号是个难点，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定符号；⑵已知值，由值分情况讨论；⑶值是字母，开平方时，分情况讨论. 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：

思考题：

1.已知2

1

cos sin =

+αα，求下列各式的值. ①sin 3

α＋cos 3

α ②sin 4

α＋cos 4

α ③sin 6

α＋cos 6

α 分析：由21cos sin =

+αα两边平方，整理得83cos sin -=αα 然后将各式化成关于sin α＋cos α，sin αcos α的式子将上两式的值代入即可求得各式的值.答案：①

1611 ②32

23

③6437

注意：sin α＋cos α、sin α·cos α称为关于角α的正弦和余弦的基本对

称式，关于sin α、cos α的所有对称式都可以用基本对称式来表示.

2.已知sin α·cos α＝81，且24π

απ<<，则cos α－sin α的值是多少? 分析：由sin α·cos α＝81得2sin αcos α＝4

1

sin 2α－2sin αcos α＋cos 2

α＝1－4

1

（cos α－sin α）2

＝4

3

∵

2

4

π

απ

<

<，∴cos α＜sin α，

即cos α－sin α＜0. ∴cos α－sin α＝－

2

3.