贵阳市2015年高三适应性监测考试(二)理科数学含答案
贵阳市2015年高三适应性监测考试（二）
理科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 设集合{}2320A x x x =++<，集合124x N x ?
?=≥????
，则M N ?=（ ）。 A. {}2x x ≥- B. {}1x x >- C. {}1x x <- D. {}
2x x ≤- 2. 设复数1z ai =+（a 是正实数）
，且z =12z i
-等于 A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 3. 若,x y R ∈，则x y >的一个充实不必要条件是（ ）。
A. x y >
B. 22x y >
33x y > 4. 已知3(,
),tan()7224
πππαα∈-=-，则sin α的值等于（ ）。 A. 35 B. 35- C. 45 D. 45
- 5. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值等于（ ）。
A. 18
B. 20
C. 21
D. 40 6. 函数()sin cos f x x x =+的图像的一条对称轴方程为（ ）。
A. 4x π
= B. 2x π
= C. 4x π
=- D. 2x π
=-
7. 61
()ax x
-展开式的常数项为160-，则a 的值为（ ）。 A. 1- B. 2- C. 1 D. 2
8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则该几何体的所有棱中，最长的棱为
（ ）。
A.
B.
4
9. 函数(0,1)x y a a a =>≠与b
y x =的图像如图，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. 0a b >
B. 0a b +>
C. 1b a >
D. log 2a b > 10. 以双曲线22
2:1(0)3
x y C a a -=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（ ）。
A. π
B. 3π
C. 6π
D. 9π
11. ,A B 是半径为2的圆O 上的两点，M 是弦AB 上的动点，若AOB ?为直角三角形，则的OM AM ?最小值是（ ）。
A. 1-
B. 12
- C. 0 D. 2 12.
已知区域6(,)0x y T x y x ?+≤???????≤≤????
的面积为t ，当,x y T ∈时，113z tx y =-的最大值是（ ）。
A. 22-
B. 223
C. 0
D. 113
二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
13. 随机变量X 的分布列如下表，且43
EX =
，则a b -=_____。 14. 球O 与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O 的表面积与该圆柱的表面积的比值为 。
15. 如图，在ABC ?中，45B ∠=?, D 是BC 边上一点，5,7,3AD AC DC ===,则AB
的长为_____。
16.设奇函数()f x 与()g x 偶函数的定义域都为(,)-∞+∞，且满足()()f x g x +，有下列命题：
①()1g x ≥在(,)-∞+∞恒成立；②22()()1f x g x -=-在(,)-∞+∞恒成立；
③()()f x g x ≤在(,)-∞+∞恒成立；④(2)2()()g x f x g x =在(,)-∞+∞恒成立。
则真命题是 _____（填所有真命题的序号）。
三、解答题(本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，782n n S a =-对于*
n N ∈恒成立，且2log n n b a =。 （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式，并证明{}n b 是等差数列；
（Ⅱ） 设2n n n c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
18. (本小题满分12分)
市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士——12369”的绿色环保活动小组对2014年1月—2014年12月（一月）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：
（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：
0,01004400,1003001500,300t P t t t ≤≤??=-<≤??>?
，在这一年内随机抽取一天，估计该天经
济损失(]200,600P ∈元的概率；
（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中
有8天为重度污染，完成22?列联表，并判断是否有95%
的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关？。
下面临界值表功参考。 参考公式：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．(本小题满分12分)
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除,A B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O
所在的平面，//DC EB ,且1,4DC EB AB ===.
（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；
（2）当三棱锥C ADE -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值。
20. (本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为，1F 和
2F ，上顶点为2,B BF ，延长线交椭圆于点,A ABF ?的周长为8，且10BF BA ?=。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，点(4,3)T ，记直线,TM TN 的
斜率
分别为12,k k ，当12k k -最大时，求直线l 的方程；
21.已知函数()ln f x ax b x =+-表示的曲线在点(2(2))f 处的切线方程22ln 20x y --=。
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若()2f x kx ≥-对于(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围; （Ⅲ）求证，*
n N ∈时，1(1)21n e n n e -+≤-。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲
如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，2,1PA PB ==,BAC
∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .
（Ⅰ）求证：AB PC PA AC ?=?;
（Ⅱ）求AD AE ?的值.
23．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程是222
x y t ?=+????=??（t 为参数），以原点O 为极点，以轴正半轴x 为极轴，圆C
的极坐标方程为)4π
ρθ=+
（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求
11PA PB
+的值。
24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲设不等式12x -≤与关于x 的不等式20x ax b --≤的解集相同。 （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x =x 的值