tan15°值的若干几何求法

立体几何空间角

D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1

高中数学-立体几何-线面角知识点

WORD文档 立体几何知识点整理 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内 l l A l α α α 二．平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。 l l // l l // m m m 方法二：用面面平行实现。 // l l l // m β m γ m α 方法三：用线面垂直实现。 若l ,m ，则l // m 。 方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且l、m 不重合，则l // m 。 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // m m l // l

l β// l // α l 方法三：用平面法向量实现。n l 若n为平面的一个法向量，n l 且l,则l // 。 α 2.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // // , m ', m l l 且相交 且相交 // α l βm l' m' 方法二：用线面平行实现。l // // m // β l m l ,m 且相交 α三．垂直关系： 3.线面垂直：

l AC l l AC AC, A l A α C B 方法二：用面面垂直实现。 β l m l m l m,l α

3.面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l βl C θ l α A B 方法二：计算所成二面角为直角。 4.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l l m l m α m 方法二：三垂线定理及其逆定理。 P PO l OA l PA l A O l α 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则l m 。 三．夹角问题。 （一）异面直线所成的角： （1）范围：(0 ,90 ] （2）求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理： a c cos 2 a 2 b 2ab 2 c θ b （计算结果可能是其补角）

2018年专题10(几何)最值问题(含详细答案)

专题10 几何最值问题【十二个基本问题】

1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（） A．61cm B．11cm C．13cm D．17cm 2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________． 3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则EF的最小值为（） A．2 B．C．D． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，

则BM＋MN的最小值为（） A．10 B．8 C．5 3 D．6 5．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当AB＝4,BC＝4,CC＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长． （3）在（2）的条件下，求点B到最短路径的距离． 6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P、P分别在OA、OB上，求作点P、P,使△PPP的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PPP的周长． 7．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．

第7题 第8题 第9题 8．如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,点D 是AC 边上一动点，连接 BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ． 9．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧(⌒)AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ） A ．1 2 B ． 22 C ． 32 D ． 34 10．如图，已知抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 与一直线相交于A (－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交 于点N ．其顶点为D ． (1)抛物线及直线AC 的函数关系式； (2)设点M (3，m )，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值； (3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； (4)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

立体几何中用传统法求空间角

-立体几何中的传统法求空间角 知识点： 一．异面直线所成角：平移法 二．线面角 1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有 面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三．求二面角的方法 1、直接用定义找，暂不做任何辅助线； 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一：如图,在正方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到 引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用 源。、错误！未找到引用源。的中点,则异面直线错误！未 找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩 形，AD⊥PD，BC=1， ，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1

练 习 ： 如图 ， 在 三棱锥 P ABC -中， PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，

∴1 2 DE BC = ， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB = ， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ? ∠=，∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中，sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==， 考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三：.定义法（2011广东理18） 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。 因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥ 平面DEF 。

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

几何法求最值技巧

几何法求最值技巧 一、教学目标: 使学生掌握几何法求最值的常规技巧.会用几何法求某些函数的最值. 二、教学重难点: 如何平移线段和如何构造图形是本课的重点又是难点. 三、教学方法:探研法. 四、教 具:多媒体. 五、教学过程: 1.引入课题 函数的最值(值域)是高中数学的重点内容,也是近几年高考的热点，对最值的求 解可分为两大类： 对能写出解析式(较简单的)可用配方法、判别式法、有界法、函数单调性、重要 不等式、导数法. 对不能写出解析式(或解析式较复杂)可用线段平移、构造图形、表面展开、线性 规划等方法. 2.例题选讲 例1.在直线L:y= x+3上取一点P ,过点P 且以双曲线12x 2-4y 2=3的焦点为焦点作椭圆, 求椭圆长轴的最小值及此时P 点的坐标与椭圆方程. 解:易求得双曲线的两焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),由此设椭圆为: )2,3('F L F 1),(a 11 a y a x 12 2 2 2->=-+ 的对称点为 关于直线易求得 )3 4,35(P )1x (2 1y :'F F L o 2- -- =的交点为与直线则直线 由椭圆定义与平面几何的结论得: 52)20()31(|F 'F ||P F ||P 'F ||P F ||P F |a 22 2 2221=-++= ≥+=+= 当且仅当点P 重合于点P o 时，上式取"="号， )3 4,35(:P ,52)a 2(min - =为点为故椭圆长轴长的最小值 .14 y 5 x 2 2 =+ 椭圆方程为 例2.如图,有一条河,两个工厂P 和Q 位于河岸L(直线)的同侧，工厂P 和Q 距离河岸L 分别为10km 和8km,两个工厂的距离为14km,现要在河岸的工厂一侧选一处R,在R 处修一个水泵站,从R 修建直线输水管分别到两个工厂和河岸,使直线输水管的总长度最小.请确定出水泵站R 的位置,并求出R 到各处的距离. 解: 将⊿PRQ 绕P 点逆时针旋转60o 到PR'Q'(如图) 当Q',R',R 三点共线且垂直L 时总长最小. 此时∠PRQ=120o , ∠PRR'=∠QRR'=60o , 延长QR 交P 到L 的垂线于A 点,则⊿PRA 为正三角形 作QB 垂直PA 于B,可求得BA=8,又PB=2,所以 PR=PA=10,R 到L 的距离为5,QR=QA-RA=6. 回归:若R 点在河岸L 上时如何求解？结果如何？ 引申:若将上述三个距离改为任意正数a,b,c 时

初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结

几何最值问题大一统 追本溯源化繁为简 目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。纲举则目张，执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。 关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形。 AD一定，所以D是定点，C是直线 的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为 是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。

中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)

中考数学几何模型：阿氏圆最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=2 5 OB ， 连接 PA 、PB ，则当“PA+ 2 5 PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2 5 PB=PC 。故本题求“PA+ 2 5 PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。

【技巧总结】 计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值

立体几何之空间角(经典)

中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：o o 900≤<α； 注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。 （2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90； ③斜线与平面所成的角：范围o o 900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 （3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法； 注意：还可以用射影法：S S ' cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封 闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注

【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． EF平面P AD； （1）求证：// （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， EF平面PCD？ 直线 例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a， F为CD的中点. （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.

新课标高考立体几何线面角的计算归类分析知识分享

新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析 深圳市第二实验学校 李平 作者简介 李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。 摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. 关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法 线面角——直线和平面所成的角 1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角. 若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90?; 若直线l //平面α或直线l ?平面α, 则l 与α所成角为0?. 2．线面角的范围: [0]2 π ，. 3．线面角的求法： (1)定义法(垂线法)． (2)虚拟法(等体积法). (3)平移法． (4)向量法. 线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中. 求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法. 总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分

中考数学复习--几何最值及路径长 精讲及测试题

初三数学几何最值及路径长 一、知识点睛 1.解决几何最值问题的通常思路 ①分析定点、动点，寻找不变特征； ②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢． 理论依据： 两点之间，线段最短（已知两个定点） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定） 过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦 常用模型、结构示例： ①奶站模型 l l 求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值， 使点在线异侧使点在线同侧 ②天桥模型 l 固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为奶站模型解决 ③折叠求最值结构 A M A' N B C 求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）2.解决路径长问题的思路 ①分析定点、动点，寻找不变特征； ②猜测、验证，确定运动路径；猜测常通过“起点、终点、特殊点”，结合不变特征验 证． ③设计方案，求出路径长． 二、精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点 A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，点C的坐标为( 1 2 ，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为____． Q P E D C B A 第1题图第2题图 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两 动点，且PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小． 3.如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点A作直线l平行于 BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值之差为__________． l P C N B M A 第3题图第4题图 4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M，N两点分别是边AB，AC上的动点， 将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A'，连接BA'，则BA'的最小值是___________．5.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运 A M A' N B C 第1页第2页

解析几何范围最值问题(教师)

第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，

八年级的培优初中几何中的最短路径与最值问题.doc

初二几何中的最短路径与最值问题 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） L B A 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短． 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. A O N M 例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） B 河 流 练习1：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ C B O A 练习2：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 草 地 河 流 B D C D

例：如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程. B A 例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（） A．5cm B．cm C．4cm D．3cm B A 例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（） A．4.8 B．C．5 D． 例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的． 例：如图，在一个长AB为10米，宽为AD为5米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块是底面边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米． 例：如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。（顺带探索PE+PC的最大值、PE PC 的最大值与最小值。） E P D

立体几何空间直角坐标系解法典型例题

立体几何坐标解法典型例题 1、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 2、如图，在Rt AOB △中， π6 OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （1）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． A B C D

3．(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点． (1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的正弦值； (2)求点B 1到平面AEF 的距离． 4.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =o ∠， 2AB = ，BC = SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． D B C A S

5．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB → 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．任意实数 5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.25 <二>选择题辨析 [注]： ①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×） ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. [注]： ①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×） ②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×） ③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×） ⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×） [注]： ①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） αααb a ,b a =b a ,a αa αa αa αa ααa l αβαβ

立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法

A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C

利用旋转法解几何最值问题应用举例 教师版

利用旋转法解几何最值问题应用举例解析 一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值 例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为 ． M N 解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2． 例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为． 解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°， ∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG， ∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°， ∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS） ∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线， ∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD， ∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2， 例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．

立体几何空间角习题

立体几何空间角习题 【基础】空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 一、选择填空题 1．（1）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则 A 1 B 与A C 1所成的角为（ ） （A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200 （2）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ． 1 3 B C D ． 23 （3）Rt ABC ?的斜边在平面α内，顶点A 在α外，BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠，则 BA C '∠的范围是________________。 （4）从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线，A 为垂足，B 为斜足，射线BC α?，这时 PBC ∠为钝角，设,PBC x ABC y ∠=∠=，则（ ） A.x y > B.x y = C.x y < D.,x y 的大小关系不确定 （5）相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° （6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线 段与平面α所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 。 （7）PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A B A 1 1

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题 一、 异面直线所成的角 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积； （2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值

二、直线与平面所成夹角 1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ， 90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2P A A D A B B C ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．

2、如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线 段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。 （1）证明：EB FD ⊥； （2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，2 3 FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

数学人教版七年级下册几何最值问题的求解方法

几何最值问题的求解方法 歙县上丰中心学校程秀霞第一课时.直接运用定理求最值 第二课时.结合图形变换求最值 第一课时直接运用定理求最值 教学目标： 1.会直接应用定理求最值 2.本类试题均立足教材，解决途径都是运用转化思想------化折为直教学重难点： 1.会利用定理求最值 2.活运用定理化折为直解决问题 教学过程： 常用定理：1）两点之间线段最短 2）三角形的两边之和大于第三边（由（1）得出） 3）直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短 1.应用“两点之间线段最短”（七上） 书例： 如图A、B、C、D，表示四个村庄 你能给出一种使水井到各村庄距离之和最 小的方案吗？若能，请标出，并说理。

A C D 中考链接： 如图，已知边长为a的正三角形ABC（第一象限），两顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，求OC长的最大值。 x 解析：教材模型是在两定点之间求最小值 对无法或较难量化的两点间距离则可利用几何图形的性质转化为“折线和”,再利用三角形三边关系或两点之间线段最短得出最值.

解: 作线段AB 的垂直平分线,垂足为D,连接OD 、CD 则OD+CD ≥OC ∴当OD+CD=OC 时，OC 最大 2.应用“垂线段最短”（七下） 书例： 如图，直线ｌ表示一段河道，点A 表示集镇，比例尺1：2000000。现要从河ｌ向A 引水，问沿怎样的路线挖水渠，才能使水渠的长度最短？ 中考链接： 如图，⊿ABC 中，有一点P 在AC 上移动，若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP 的最小值为何？ A.8 B.8.8 C.9.8 D.10