《导数及其应用》章末总结学案 2013.4.8
一、知识点归纳(要熟记)
1. 导数的概念
(1)如果当0x ?→时,y
x
??有极限,就说函数()y f x =在点0x x =处存在导数,并将这个极限叫做函数
()f x 在点0x x =处的导数(或变化率),记作0()f x '或0|x x y =',即
00()lim
__________________.x y
f x x
?→?'==?0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处
的 ;瞬时速度就是位移函数()s t 对 的导数;加速度就是速度函数()v t 对______________的导数.
(2)如果函数()f x 在开区间(,)a b 内的每一点都可导,其导数值在(,)a b 内构成一个新函数,这个函数叫做()f x 在开区间(,)a b 内的导函数,记作 或 .
2、 如何求过某点的曲线的切线方程?首先要确定该点是否在曲线上,
若在,则 ;若不在,则 3、导数公式
(1) '____C =(C 为常数);(2)()'________n x =, n ∈N +
;(3)(sin )'_______x =;
(4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) =)'(log x a .(9)复合函数求导:若(),()y f u u g x ==,则y '= 4.可导函数的四则运算法则
法则1'[()()]____________.u x v x ±=(口诀:和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=.(口诀:前导后不导,后导前不导,中间是正号)
法则3 ()
[
]_______________(()0)()
u x v x v x '=≠(口诀:分母平方要记牢,上导下不导,下导上不导,中间是负号)
5.函数的单调性
函数()f x 在某个区间(,)a b 内,若()0f x '>,则()f x 为 ;若()0f x '<,则()f x 为 ;若()0f x '=,则()f x 为 。
可导函数()f x 在某个区间(,)a b 内单调递增()0f x '?≥对(,)x a b ?∈恒成立; 可导函数()f x 在某个区间(,)a b 内单调递减()0f x '?≤对(,)x a b ?∈恒成立. 6.(1)函数极值的概念
班级 姓名 学号 小组
函数()y f x =在点x a =处的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都小,()0f a '=;而且在点x a =附近的左侧 ,右侧 ,则点x a =叫做函数()y f x =的 ,()f a 叫做函数()y f x =的 .
函数()y f x =在点x b =处的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都大,()0f b '=;而且在点x b =附近的左侧 ,右侧 ,则点x b =叫做函数()y f x =的 ,()f b 叫做函数()y f x =的 .
极小值点与极大值点统称为 ,极小值与极大值统称为 . (2)求函数极值的步骤:
① ;② ;③ 。
需注意:导数为0的点不一定都是极值点,例如:y =x 3,当x =0时,导数是0,但非极值点,导数为0的点是否是极值点,取决于这个点左、右两边的增减性,即两边的y ′的符号,若异号,则该点为极值点;若同号,则非极值点。一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得,如y=|x|在x=0处,但可导函数的极值点一定导数为0. 7.函数的最大值与最小值
在闭区间[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,()f x 在闭区间[,]a b 上求最大值与最小值的步骤是:(1) ;(2) 。 8.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
(1)设:设出未知量
(2)列:分析实际问题中各个量之间的关系,建立实际问题的 ,列出实际问题
中 ,根据实际问题确定函数的 。 (3)解:求函数()y f x =的 ,解方程 ,得出定义域内的实根,判断单调调性,获得所求函数的最大(小)值。
(4)答:还原到原实际问题中作答。
实际应用中准确地列出函数的解析式,确定函数的定义域是求解的关键! 10、积分
定积分的几何意义
(1)设函数()f x 在区间[,]a b 上连续. 在[,]a b 上,当()0f x ≥时,定积分
()b
a
f x dx ?
在几何上表
示由曲线()y f x =以及直线,x a x b ==与轴围成的曲边梯形的面积;当()0f x ≤时,由曲线()y f x =以及直线,x a x b ==与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分()b
a
f x dx ?
在几何上表示曲边梯形面积
的相反数;
(2) 在[,]a b 上,当()f x 既取正值又取负值时,曲线()y f x =的某些部分在轴的上方,而其他部分在轴下方,如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号,在轴下方的图形的面积赋予负号;
在一般情形下,定积分()b
a
f x dx ?
的几何意义是曲线()y f x =,两条直线,x a x b ==与轴所围成
的各部分面积的代数和.
(3)如图,由曲线112212(),(),()()y f x y f x f x f x ==≥及直线
,x a x b ==,围成图形的面积为:
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; (2)解方程组求出交点坐标,确定 积分的上、下限; (3)借助图形确定出被积函数; (4)写出平面图形的定积分表达式; (5)运用公式求出平面图形的面积.
(4)物体在变力()F x 的作用下做直线运动,并且物体沿着与()F x 相同的方向从移动到
,那么变力()F x 所作的功()b
a
W F x dx =
?
如:如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为
A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J 二、典型例题 一、导数的定义及运算
例1.(1)设函数()f x 在2x =处可导,且(2)1f '=,则0
(2)(2)
lim
2h f h f h h
→+--= ;
(2)cos y x x =在3
x π
=
处的导数值是___________.
(3)已知f x x xf ()'()=+2
21,则f '()1等于( )
A. 0
B. -2
C. -4
D. 2
二、导数的几何意义 例2.已知曲线314
33
y x =+.(1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程 (2)求曲线过点(2,4)P 的切线方程。
三、导数的应用:导数的应用包括以下几个方面:
(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间; (2)利用导数研究函数极值与最值;
(3)利用导数研究不等式的证明问题;(4)利用导数研究函数的零点;(5)利用导数求参数的取值范围等.
例3、(1)函数x x y ln =的单调递减区间是
( )
A .),(1+∞-e
B .),(1--∞e
C .),0(1-e
D .),(+∞e (2)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数...
的图象如下面左图所示,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是( )
(3)已知f x x x m ()=-+2632(m 为常数)在[]-22,上有最大值3,那么此函数在[]-22,
上的最小值为 ( )
A .-5
B .-11
C .-29
D .-37
(4)设a 为实数,函数3()3f x x x a =-++
(1)求()f x 的极值; (2)当a 为何值时,函数()y f x =恰好有两个零点?
(5)已知函数2
1()ln 2
f x x a x =-. (1)若函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为y x b =+,求,a b 的值;(2)若函数()f x 在(1,)+∞上为增函数,求a 的取值范围
(6)已知函数()ln(2)(1)(0)f x x a x a =+-+>.(1)求函数()f x 的单调区间; (2)若2,x >-证明:1
1ln(2)12
x x x -
≤+≤++
四、导数的实际应用 例4、甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km 的B 处,乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ,两厂要在此岸边合建一个供水站C ,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元,问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省?
五、积分的应用
例5、如右图,阴影部分的面积是 ( )
A .32
B .32-
C .
332 D .
3
35
变式训练:设a >0.若曲线与直线x =a ,y=0所围成封闭图形的面积为a ,则a=______
班级 姓名 学号 小组
三、自我检测题
1
、若函数
c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限,则函数)(x f '的图象是 ( )
2、曲线3cos (0)2y x x π
=≤≤
与坐标轴围成的面积是 A.4 B. 5
2
C.3
D.2
3、若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是 A. 1(,)3+∞ B. 1(,3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,3
-∞ 4、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是
( )
A .)2,(-∞
B .(0,3)
C .(1,4)
D . ),2(+∞
5、已知函数4
31()23,2
f x x x m x R =
-+∈,若()90f x +≥恒成立,则实数m 的取值范围是 A. 32m ≥ B. 32m > C. 32m ≤ D. 3
2
m <
6、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数),下面四个图象中()y f x =的
图象大致是( )
7、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则2010()f x =( )
A.x sin
B. x sin -
C.cos x -
D.cos x
8、如图所示的是函数d cx bx x x f +++=2
3
)(的大致图象,则2
22
1x x +等于 ( ) A .32 B .
34
C .3
8
D .3
16
9、若x
e
x f 1)(-
=,则0
(12)(1)
lim
t f t f t
→--= ___________.
10、函数1)ln(--=x x y 的单调减区间是 。
11、某食品厂进行蘑菇的深加工,没劲蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数,且
(25t ≤≤),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(2540)x ≤≤,根据市场调查,日销售量q 与x
e 成
反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100公斤。
(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式;
(2)若5t =,当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时,该工厂的日利润y 最大,并求最大值.
12、已知函数).(111)(R a x
a
ax nx x f ∈--+-= (Ⅰ)当处的切线方程;在点时,求曲线))2(,2()(1f x f y a
=-=
(Ⅱ)当1
2
a ≤时,讨论()f x 的单调性.
13、已知二次函数t t t t y l c bx ax x f .20(8:,)(212≤≤+-=++=其中直线为常数);2:2=x l .若直线l 1、l 2与函数f (x )的图象以及l 1,y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如阴影所示. (Ⅰ)求a 、b 、c 的值
(Ⅱ)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式;
(Ⅲ)若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ,使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有两个
不同的交点?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.
14、已知函数a ax
x
x x f 其中,1ln )(-+
=为大于零的常数。 (1)若函数),1[)(+∞在区间x f 内调递增,求a 的取值范围;(2)求函数)(x f 在区间[1,2]上的最小值。 (3)求证:对于任意的n
n n N n 1
3121ln ,1,*
+++>>∈ 都有时且成立。
2019-2020年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学 案北师大版选修2-2 一、导数与函数的单调性 1.若f′(x)>0,则f(x)是增加的;若f′(x)<0,则f(x)是减少的;若f′(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数;若f′(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上是增加的,则f′(x)≥0;若函数y=f(x)在区间(a,b)上是减少的,则f′(x)≤0. 3.利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求导数f′(x); (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; (3)写出单调增区间或减区间. 特别注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. 二、导数与函数的极值和最值 1.极值 当函数f(x)在x0处连续可导时,如果x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;若左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.2.利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)解方程f′(x)=0的根; (3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号. 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是f(x)的极值点. 3.最值 对于函数y=f(x),给定区间[a,b],若对任意x∈[a,b],存在x0∈[a,b],使得f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x)),则f(x0)为函数在区间[a,b]上的最大(小)值.4.利用导数求函数最值的一般步骤 (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 5.函数最值与极值的区别与联系
高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?) -f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处 可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就 说函数在点x 0处不可导,或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2.导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 3.几种常见函数的导数: ①0;C '= ② ()1 ; n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)'''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
导数知识点 一.考纲要求 考试内容8 要求层次 A B C 导数及其应用 导数概念及其几何意义 导数的概念 √ △ 导数的几何意义 √ 导数的运算 根据导数定义求函数y c =,y x =, 2 y x =, 1y x = 的导数 √ 导数的四则运算 √ 导数公式表◇ √ 导数在研究函数中的应 用 利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次) ☆ √ 函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次) ☆ √ 利用导数解决某些实际问题 √ 二.知识点 1.导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为 ).)((0' 0x x x f y y -=- 2.、几种常见函数的导数 ①'C 0=;②1')(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos ' -=; ⑤a a a x x ln )('=;⑥x x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log ' = ;⑧x x 1)(ln ' = 3.导数的运算法则 (1)'''()u v u v ±=±. (2)''' ()uv u v uv =+. (3)'' ' 2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 4. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的 极大值,极小值同理) 当函数)(x f 在点0x 处连续时, ①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值;
导数知识点归纳及应用 一、相关概念 1.导数的概念 略 二、导数的运算 1.基本函数的导数公式: ①0;C '=(C 为常数) ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '= ; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1:下列求导运算正确的是 ( ) A .(x+2 11)1 x x +=' B .(log 2x)′=2ln 1x C .(3x )′=3x log 3e D . (x 2cosx)′=-2xsinx 2.导数的运算法则 法则1:(.)' ''v u v u ±=± 法则2:.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3:='?? ? ??v u 2''v uv v u -(v ≠0)。 3.复合函数求导 三、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f ’(x 0)。 相应地,切线方程为y -y 0=f /(x 0)(x -x 0)。 例:曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( ) A .(1,0) B .(2,8) C .(1,0)和(1,4)-- D .(2,8)和(1,4)--
四、导数的应用 1.函数的单调性与导数 (1)如果' f )(x 0>,则)(x f 在此区间上为增函数; 如果'f 0)( 高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ,则 的值是______ . 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数,为 的导函数,则 的值为______. 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ,则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ,则 A. B. C. D. 2:设函数满足,则 ______. 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________. 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切,则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切,则直线方程为: 考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切,则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴,则 ________. 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动,设P 点处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ( ) A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中,斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点,则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为( ) A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1:函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11:已知单调性,求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数,则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增,则实数a 的取值范围是______. 考点12:解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数, ,对任意实数都有,则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ,且 , ,则不等式 的解集为______ . 考点13:求具体函数的极值问题 1:函数 ,则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点 高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0), 比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x ) 在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函 数在点x 0处不可导,或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2.导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 导数及其应用-(章末测试带答案) 2 选修1-1《第三章 导数及其应用》质量评估 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.曲线y =12x 2-2x 在点? ????1,-32处的切线的倾 斜角为( ). A .-135° B .45° C .-45° D .135° 2.下列求导运算正确的是( ). A.? ????x +3x ′=1+3 x 2 B .(log 2x )′= 1x ln 2 C .(3x )′=3x log 3e D .(x 2 cos x )′= -2x sin x 3.函数y =x 4-2x 2 +5的单调减区间为( ). A.(-∞,-1)及(0,1) B.(-1,0)及(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-1)及(1,+∞) 4.函数y=1+3x-x3有( ). A.极小值-1,极大值1 B.极小值-2,极大值3 C.极小值-2,极大值2 D.极小值-1,极大值3 5.函数f(x)= x2 x-1 ( ). A.在(0,2)上单调递减 B.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增 C.在(0,2)上单调递增 D.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减 6.函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最 3 小值为( ). A.72 B.36 C.12 D.0 7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值 和极小值,则a的取值范围为( ). A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1或a>2 D.a<-3或a> 6 8.已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的( ). 4 第三章 章末总结 知识点一 导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q (x 1,y 1),则切线方程为y -y 1=f ′(x 1)(x -x 1),再由切线过点P (x 0,y 0)得y 0-y 1=f ′(x 1)(x 0-x 1) ① 又y 1=f (x 1) ② 由①②求出x 1,y 1的值. 即求出了过点P (x 0,y 0)的切线方程. 例1 已知曲线f (x )=x 3-3x ,过点A (0,16)作曲线f (x )的切线,求曲线的切线方程.知识点二 导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为: (1)求导数f ′(x ); (2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0; (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间. 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接.例2 求下列函数的单调区间: (1)f (x )=+sin x ; x 2(2)f (x )=x (x -a )2. 知识点三 导数与函数的极值、最值 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用. 1.应用导数求函数极值的一般步骤: (1)确定函数f (x )的定义域; (2)解方程f ′(x )=0的根; (3)检验f ′(x )=0的根的两侧f ′(x )的符号. 若左正右负,则f (x )在此根处取得极大值; 若左负右正,则f (x )在此根处取得极小值; 否则,此根不是f (x )的极值点. 2.求函数f (x )在闭区间[a ,b ]上的最大值、最小值的方法与步骤: (1)求f (x )在(a ,b )内的极值; (2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值; 特别地,①当f (x )在(a ,b )上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得,②当f (x )在(a ,b )内只有一个极值点时,若在这一点处f (x )有极大(小)值,则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值,这里(a ,b )也可以是(-∞,+∞). 例3 设0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件,而其充要条件是:f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0),且f ′(x )不恒为零.利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路:一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立,用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意;另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0),求出参数的取值范围后,再令参数取“=”,看此时f (x )是否满足题意. 例4 已知函数f (x )=x 2+ (x ≠0,常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2,+∞)上是单调a x 递增的,求a 的取值范围. 例5 已知f (x )=x 3-x 2-2x +5,当x ∈[-1,2]时,f (x ) 高考导数文科考点 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0), 比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x ) 在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函 数在点x 0处不可导,或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2.导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f :A →B 概念 (1)A 中元素必须都有________且唯一; (2)B 中元素不一定都有原象,且原象不一定唯一。 2、函数 f :A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示,其中 x 是自变量,y 是自变量 x 的函数,f 是表示对应法则,它可以是一个解析式,也可以是表格或图象, 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点,但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有,也可能是任意个。(即一个x 只能对应一个y ,但一个y 可以对应多个x 。) (2)、函数三要素是________,________和________,而定义域和对应法则是起决定作用的要素, 因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上,如果对于任意两数x 1,x 2∈A 。当x 1 第三章章末总结 知识再 靈点解读? 知识点一导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两 种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方 程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点 为Q(x i, y i),则切线方程为y—y i = f' (x i)(x—x i),再由切线过点P(x o, y o)得 y o—y i= f' (x i)(x o—x i) ① 又y i= f(x i) ② 由①②求出x i, y i的值. 即求出了过点P(x o , y o)的切线方程. 【例il已知曲线f(x) = x3—3x,过点A(0,佝作曲线f(x)的切线,求曲线的切线方程. 知识点二导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为: (i)求导数f' (x); ⑵解不等式f' (x)>0或f' (x)<0; (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间. 特另幾注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“U”连接. 【例2】求下列函数的单调区间: x ’ (1)f(x)= 2+ sin x; 知识点三导数与函数的极值、最值高中数学函数与导数章节知识点总结
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导数及其应用-(章末测试带答案)
第三章《导数及其应用》章末总结(含答案)
高考文科导数考点汇总
高考复习文科函数与导数知识点总结
第三章《导数及其应用》章末总结