羊肉签

“羊肉签”与函数

——从一道中考题谈函数是初中数学数与代数学习的主线曾经，一个红遍祖国大江南北的小品《羊肉串》，让我们在捧腹大笑之余也获得了很多做人的道理，而我对其中的羊肉串却情有独钟。后来我自己亲身体验了吃羊肉串的过程，才明白了那根签子对于附属在签子上的食材的重要性。如果没有中间那根签子，那些东西怎么会整齐划一地有序罗列？

义务教务《数学课程标准》明确的将初中数学数与代数所研究的主要领域分为数与式、方程与不等式以及函数三部分，其中数与式是方程与不等式的基础，函数与数、式、方程密不可分，而函数就是那根“羊肉签”。下面来看一道中考题：（2011年山东威海市中考题第22题）

为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练。某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟。求自行车路段和长跑路段的长度。

这是一道典型的构建方程模型解决实际问题的题目，可以利用方程或者方程组进行求解，解法可以有以下几种：

解法一：威海市中考题所提供的参考答案是：

解：设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米，可得方程组：

解这个方程组，得

答：自行车路段的长度为3000米，长跑路段的长度2000米.

解法二：设自行车长度为x米，则跑步的长度为（5000-x）米.由题意得（x÷600）+[（5000-x）÷200]=15

x=3000

∴5000-x=2000米

答：自行车路段的长度为3000米，长跑路段的长度2000米

解法三：设骑自行车所用的时间为x分钟，则跑步的时间为（15-x）依题意得

600x +200(15-x )=5000

解得x =5

15-x =10

则自行车路段为600×5=3000

长跑路段为 200×10=2000

答：自行车路段的长度为3000米，长跑路段的长度2000米

解法四：设骑自行车用了x 分钟，跑步用了y 分钟。

???=+=+5000

20060015y x y x 解得

???==10

5y x ∴600×5=3000（米）

200×10=2000(米)

答：骑自行车行了3000米，跑步跑了2000米。

解法五：可以在直角坐标系中分别画出两条直线：x+y =15，600x +200y =5000，两条直线的交点横纵坐标就是方程组的解。（具体图象略）

以上五种解法中都闪烁着函数的存在，或许你看见了，或许没有看见。下面我主要从以下几个方面说明函数是数与代数学习领域的主线。

一、初中阶段对“函数”概念的阐述离不开数与式

函数概念有不同的定义，为了便于学生接受，初中函数概念一般采取如下定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。函数概念在表述时本身就用到了数（量）与式，两个变量x 、y ，一种对应：初中阶段常常通过“式”体现，从这个角度也说明了函数是离不开数与式的。

二、函数渗透在了方程中，我们在不知不觉中已经运用了函数思想来列方程，只是我们在教给学生这样列方程时并未点明是函数的观点。

我们看引例的解法一和解法四，解法一与解法四都是利用二元一次方程组来解决实际问题，二元一次方程组是由几个二元一次方程构成的，对于x+y =5000或者x+y =15，在这个问题背景下，从式子本身来看有两个未知的量满足某种关系：和为5000，单纯对于这个式子来讲，x 、y 的取值是任意的，也是无法确定的。在这个式子中给x 一个值，y 值就可以确定，这就是函数的观点。

同样对于解法二和解法三，我们在设了一个未知数后，则就可以表示出另一

个未知数，它的依据是什么，就是函数思想中用一个变量来表示另一个变量的方法。

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．

从方程组解的情况看：

（1）二元一次方程组1122

y k x b y k x b =+??=+?有唯一的解?直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ?k 1≠k 2．

（2）二元一次方程组1122

y k x b y k x b =+??=+?无解?直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ?k 1=k 2，b 1≠b 2．

（3）二元一次方程组1122

y k x b y k x b =+??=+?有无数多个解?直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合?k 1=k 2，b 1=b 2．

因此函数与方程（组）密不可分。

三、函数包含了与数、式、方程之间的联系

函数是运动的观点刻画世界，描述了运动变化的一般规律；方程是用刻画运动变化过程中的某一瞬间；不等式则刻画了运动变化过程中同类量的大小比较。通俗（不严格）讲，方程是静止的，不等式是有限制条件的，函数则是一般性的。

在解决函数问题时，由自变量的值求函数的值要涉及数及其运算；用含自变量的式子表示另一个变量涉及列代数式；由函数的值求自变量的值，实际上是解方程；自变量的取值范围的讨论，要用到不等式等等。

将引例做如下变式：

变式一：为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练。某次训练中，自行车路段和长跑路段共5千米，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，骑行了5分钟后开始长跑，如果要在15钟内完成训练。则李明跑步的速度至少为多少？。

变式二：为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列

赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练。某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，用时15分。设自行车骑行了x 分钟，求针对自行车和长跑训练的总长度y 与x 的关系式。

函数概念可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力。在这个题目中只要学生对变式二能顺利解决，变式一以及引例都非常容易。

三个模型（三道问题）都涉及一个等量关系：

自行车骑行长度+长跑长度=总长度

或者：

自行车速度×骑行时间+长跑速度×长跑时间=总长度

通过这个例子也说明函数是数、式、方程的高度概括或者说是表现了运动的一般情况。

同样在数与式规律探索问题中也都无一不体现着函数与他们的联系。 比如：

例1：用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是 _________cm （用含n 的代数式表示）．

反思：从形式上看是图形规律探索，实际上也蕴含了周长c 是次数n 函数。 例2：观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4……请你将猜想到的规律用自然数n （n≥1）表示出来 .

反思：第n 个式子与n 之间也渗透函数的观点，我们在实际解决这个问题，往往是看看当n （自变量）是1时，式子是什么样的，n （自变量）是2时，式子是什么样的……，哪些是变的，哪些是不变的。

四、函数还可以数与形紧密联系起来

从初中函数概念可以看到：自变量的一个值和与它对应的函数值组成了一个有序数对，而一个有序数对可以用平面直角坐标系的一个点表示。

所有这些有序第1次 第2次 第3次 第4次 ··· ···

数对对应的点组成一个图形，也就是函数的图象。函数的图象是两个变量对应关系的直观反映，建立了数与形的联系。函数图象特征与函数性质之间存在必然的联系。

纵观整个数与代数领域的学习，无不闪耀着函数的光芒，它或隐或显，你看得见，它在，你看不见，它依然在。

备注：附上学生写给函数的一首小诗：

中学数学有你真好

——致函数

因为有了你，数与代数得以延伸。

因为有了你，才把方程不等式紧密相连。

因为有了你，数形结合思想才得以落地生根。

因为有了你，我认识了变化莫测的世界。

very good，我的朋友。

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