三垂直全等模型

三垂直全等模型

模型 三垂直全等模型

如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC .

结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE .

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

图①

图②

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

图③A

图④D

E A

B

C

例1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC .

证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，

∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.

∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.

∴∠BAE ＝∠CED .

在△ABE 和△ECD 中，

B C A CED AE ED ∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△ECD .

∴AB ＝EC ，BE ＝CD .

∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.

例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？

解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，

∴∠E ＝∠ADC ＝90°.

∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.

∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，

∴∠EBC ＝∠DCA .

在△CEB 和△ADC 中，

E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=?

∴△CEB ≌△ADC .

∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .

∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .

例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .

∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.

由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，

∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.

∴∠DBC ＝∠ACO .

在△BCD 和△CAO 中，

BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠??∠=∠??=?

∴△BCD ≌△CAO .

∴CD ＝OA ，BD ＝OC .

三垂直模型与全等综合剖析

D P F E B C A F E D C B A K 模型图与全等 知识点 基本图形 本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ， 过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ； （2）连接AF ，求证：AF ＝CF ． 22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF. 【例8】 【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ， 交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ； 【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、 F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形. H A B D C E F

F E D C B A H F E D C B A 【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。 【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。AF 是△ABC 的中线， FA 的延长线交DE 于点H ，求证：DE ＝2AF 【例6】如图，在正方形ABCD 中，点N 是BC 边上的点。连接AN ，MN ⊥AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。 求证：AN ＝MN

数学人教版九年级下册三垂直模型--相似三角形专题

三垂直模型相似三角形（教学设计） 广州市东晓中学王智君 一、学习目标 1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。 2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。 二、授课 （一）【导入新课】 相似三角形在初中的应用非常广泛，用于线段、面积的计算；用于线段关系式、线段的数量关系、位置关系的证明。前段时间我们学习了相似三角形的A字形、8字形等模型的应用，今天我们继续探索相似三角形的性质和应用。 （二）【探究活动】 【探究1】构造格点三角形 请在图1中画一个直角三角形ABC，满足条件： （1）以线段AC为斜边； （2）顶点B落在线段MT的格点上。 师问：怎样画出这样一个直角三角形？ 生答：用直角三角板，把直角顶点B放在线段MT的任一格点上，以点B为顶点旋转三角板，若使得两直角边与点A、点C同时重合，则三角形ABC为直角三角形了。 师问：你能确定你这个三角形一定是直角三角形吗？ 生答：利用格点图，易知AC=5，AB=5, BC=25,在利用勾股定理的逆定理，可以知道 AB2+BC2=AC2, 所以ΔABC必定为直角三角形。 师说：由于题目要求∠ABC恒为90°，由此我们还可以考虑直径所对的圆周角也恒为90°。那么我们以线段AC为直径作圆，圆弧与线段MT交点，便为点B.

师问：今天我们要研究不是ΔABC，而是ΔAMB与ΔBTC。请问ΔAMB与ΔBTC相似吗? 生答:相似。因为夹角为直角，两边对应成比例。 【探究2】构造三垂直模型 师问：我把图2中格线擦掉后，条件不变，依然在正方形中，且∠ABC=90°，请问图3中ΔAMB 与ΔBTC这两个三角形还相似吗？依据呢？ 生答：相似，由于∠1+∠2=90°且∠1+∠2=90°，所以∠1=∠3，又因为∠M =∠T = 90°,因此这两个三角形相似。 师说：很好。我们利用同角的余角相等，易于得出这两个三角形有两组角相等，所以相似。这种有三个直角，其顶点都在同一直线上的，构成这种相似三角形，我们俗称三垂直模型。 结论1：在三垂直模型中，至少有一对相似三角形。

初中几何模型：三垂直全等模型分析

三垂直全等模型 “三垂直模型”是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。 模型三垂直全等模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。 图①图② 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。 图③图④ D E A B C 例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC. D 证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC， A

∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°. ∴∠BAE ＝∠CED . 在△ABE 和△ECD 中， B C A CED AE ED ∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△ECD . ∴AB ＝EC ，BE ＝CD . ∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC. 例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E D A 解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA . 在△CEB 和△ADC 中， E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△CEB ≌△ADC . ∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm . ∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm . 例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。

(完整word版)全等三角形之三垂直模型

全等三角形之三垂直模型 模块一：三垂直模型 1.已知：如图(1)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于E，CD⊥BD，求证：ED AE CD =- 2.已知：如图(2)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求证：EC AB CD =-

3. 已知：如图(3)，AB =EC ，AE ⊥ED ，BE ⊥AB ，CD ⊥CE ，求证：BC AB CD =+ 4. 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E ∠=∠=?，则下列结论正确的个数有（ ） ①CD =AE ；②12∠=∠；③34∠=∠；④AD =BE . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，AB BC ⊥，CD BC ⊥，垂足分别为B 、C ，AB =BC ，E 为BC 中点，AE BD ⊥于F ，若CD =4cm ，则AB 的长度为（ ） A. 4cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 6. 如图，已知Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AC =BC ，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ，BF AC P ，交CE 的延长线于点F ，求证：AC =2BF .

7. 如图，在直角梯形ABCD中，90 ABC ∠=?，AD BC P，AB=BC，E是AB的中点，CE BD ⊥.求证：AE=AD. 模块二：勾股定理的证明 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222 a b c +=. 以毕达哥拉斯内弦图为例： 22 222 222 1 ()4() 2 22 a b ab c a a b b ab c a b c +=?+ ++=+ += 等面积法 8. 如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是3和4，则AB的长是.

三垂直模型与全等综合之欧阳学文创编之欧阳家百创编

D P F E B C A K 模型图与全等 欧阳家百（2021.03.07） 知识点 基本图形 本题8分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中 点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作 BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接 CF ． （1）求证：AD ⊥CF ； （2）连接AF ，求证：AF ＝CF ． 22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是 AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF. 【例8】 【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中 点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD.求证：AD ＝2BD ； 【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形. 【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ， 分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。 【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，

等腰Rt△ACE；连接DE。AF是△ABC的中线， FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF 【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。 求证：AN＝MN 9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点 B（0，b），且a 、b满足4 a+ |4－b|=0 （1）求A、B两点的坐标； （2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于E，求证∠BDO=∠EDA； （3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P 在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求 其值；若变化，求线段OQ的取值范围.

三角形全等中的三垂直模型

“三垂直”模型知识目标 模块一三垂直基本模型 知识导航 一、三垂直模型的构成 等腰直角△ABC 过直角顶点A的直线l 过两底角顶点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为M、N 题型一三垂直模型基本应用 例1 过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、B分别作AD⊥l于D，BE⊥l于E，已知AD＝5，BE＝3，求DE的长． C B A C B A C B A

练习 已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在线段BC 上 ，点D 在线段AC 上，且△BDE 为等腰直角三角形，∠BDE ＝90°，BD ＝DE ，当∠ACB ＝30°时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明． 模型二 三垂直模型与“婆罗摩笈多” 例2 如图，△ABE 和△ACD 为等腰直角三角形，AM ⊥BC 于M ，MA 交ED 于N 求证：EN ＝DN ． 练习 如图，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于点A （2，0）和点B （0，4），以B 为顶点在第一象限作等腰Rt △ABC ． （1）在y 轴上存在一点M ，使得MA ＋MC 最小，请画出点M ；（保留画图痕迹） （2）求点C 的坐标； （3）若P 点为y 轴正半轴上一个动点，分别以AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt △APC 和等腰Rt △OPD ，连接CD 交y 轴于N 点，当点P 在y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度． E D C B A N M E D C B A

模型三 三垂直模型与“八字”全等综合 例3 （1）如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 在AC 上，△BDE 为等腰直角三角形，∠DBE ＝90°，连AE 交BC 于F ，求证：BF ＋CF ＝CD ． （2）如图，D 点在AC 延长线上，其余条件不变，试探究BF 、CF 、CD 之间的关系． 练习 等腰Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 在BC 上，以AP 为腰在△ABC 外侧作等腰Rt △APQ ，连PQ 交AB 于N ，连CQ 交AB 于M ． （1）如图，当P 在边BC 上，且CP ＝2BP 时，求 CP BM 的值． F E D C B A D A B C E F N M Q P C B A

全等三角形专题之垂直模型

垂直模型 考点一：利用垂直证明角相等 1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC 交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长． 2.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. 图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由.

3.直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且． （1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠= ，则（填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是； （2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明． 考点2：利用角相等证明垂直 1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系. BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠< α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3

数学模型—三垂直模型,手拉手模型优质讲义(含答案)

全等三角形的综合复习（教师版） 学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容全等三角形的综合应用必杀技课型 教学目标1.掌握全等三角形的性质与判定，灵活运用各种判定方法证明三角形全等 2.理解与掌握全等三角形综合应用中的几个必杀技 重、难点重点：全等三角形性质与判定的灵活应用 难点：理解并掌握全等三角形的综合应用必杀技 知识导图 导学一：全等三角形的综合应用必杀技之“三垂直模型” 1.[全等三角形的判定与性质] [难度：★★★ ] 在中，，AC=BC，直线MN经过C点，且于D，于E， 当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE 当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE 当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？并加以证明。

【参考答案】

【思维对话】 常见思维障碍： （1）学生不清楚什么是“三垂直模型”； （2）学生想到了“三垂直模型”，但不知道怎么用； （3）“三垂直模型”的解题方法能不能用于其他题型呢？ 思维障碍突破方法： （1）如果题目中出现两个直角三角形，它们接触的部分也是一个直角三角形，这就是典型的“三垂直模 型”； （2）对于“三垂直模型”，我们根据直角相等，同角的余角相等，容易证明出三角形全等； （3）当两个三角形中出现相等的角，“公共的角”时，虽然不是直角，但是也可以用“三垂直模型”的方 法得到两个相等的角，从而证明三角形全等。 2.[全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★ ] 如图CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠a。若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图1，若∠BCA=90°，∠a＝90°，则： 则BE CF；EF |BE -AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）； 如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立， 并证明。 【参考答案】

三垂直模型与全等综合的

【例9】等腰 Rt △ ABC 中 / ACB= 90°, AC=BC F 是BC 上的中点，连 AF ,作CDL AF 于E , 交AB 于D; 连 FD.求证：AD = 2BD 【例3】已知△ ABC 中，/ C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP 丄CB,PFL AC,E 、 F 为垂足， 求证：△ DEF 是等腰直角三角形 K 模型图与全等 知识点 基本图形 本题8分)如图，在等腰 Rt △ ABC 中, / ACB 90°, D 为BC 的中点，DEL AB 垂足为E,过 点B 作 BF// AC 交DE 的延长线于点 F ,连接CF. (1) 求证：AD L CF ； (2) 连接AF,求证：AF = CF 22.边长为1的正方形 ABCD 中, E 是AB 中点，连CE 过 B 作 BFL CE 交 AC 于 F ,求 AF. 【例8】 C

【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C,分别以AC BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三 角形 ACE 与BCF 连结DE DF EF ,求证：△ DEF 为等腰直角三 角形。 【例5】如图，分别以厶 ABC 的边AB AC 向外作等腰 Rt △ ABD 等腰Rt △ ACE 连接DE, AF 是厶ABC 的中线， FA 的延长线交 DE 于点H,求证：DE = 2AF 【例6】如图，在正方形 ABCD 中，点N 是BC 边上的点。连接 AN MNL AN 交/ DCB 的外角平 分线于点M 求证：AN= MN A CD B E

9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A (a, 0),交y轴正半轴于点 B (0, b),且a、b 满足Ja 4 + |4 —b|=0 (1)求A B两点的坐标； (2)D为OA的中点，连接BD过点O作OEL BD于F,交AB于E, 求证/ BDO/ EDA

三垂直模型与全等综合之令狐文艳创作

D P F E B C A K 模型图与全等 令狐文艳 知识点 基本图形 本题8分）如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为 BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ， 过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线 于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ； （2）连接AF ，求证：AF ＝CF ． 22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF. 【例8】 【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上 的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD.求证：AD ＝2BD ； 【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形. 【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点 C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。AF是△ABC的中线， FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF 【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。 求证：AN＝MN 9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点 B（0，b），且a、b满足4 a + |4－b|=0 （1）求A、B两点的坐标； （2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA； （3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点 Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生 变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取 值范围.

【初中数学】初中数学三垂直全等图形模型

D E B A 图21图4图B A E C D 图3C D E B A C D E B A E D C B A A B C O x y (-1,0)(0,3)图2 1 图(0,3) (-2,0)y x O C B A 三垂直全等模型 模型 三垂直全等模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。 结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE 。 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。 模型实例 例1．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE 。 求证：AB+CD=BC 。 例2．如图，∠ACB-90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点D ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm 。 求DE 的长。 例3．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上， 求第三个顶点的坐标。

A B C D E F c b a A B C D E P A B C E F E D C B A P H F G E D C B A 热搜精练 1．如图，正方形ABCD ，BE=CF 。 求证：（1）AE=BF ； （2）AE ⊥BF 。 2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ， 若a 、c 的面积分别是5和11， 则b 的面积是 。 3．已知，△ABC 中，∠BAC-90°，AB=AC ，点P 为BC 上一动点（B P

《全等模型之一线三直角模型》教学设计1

《全等模型之一线三垂直模型》----教学设计 蠡县实验中学张娜 一、教学目标 1.学生学会利用一线三垂直模型判定两个三角形全等。 2.学生经历观察比较归纳的学习过程，归纳出一线三垂直模型的基本特征，并能够在不同的背景下认识和把握基本图形 3.学生在学习过程中认识到总结几何模型对几何学习的重要性。 二、教学重点、难点 1.重点：运用判定方法解决“一线三垂直”的相关计算和证明。 2.难点：在不同的背景中识别模型。 三、教学过程 1.模型介绍 如图，若红色部分为等腰直角三角形，请问黄色的两个直角三角形有什么关系？ 设计意图：激发学生思考，学生可以结合图形判断，并结合图形说明里理由。 方法总结：K“字模型往往以等腰三角形为依托，构造一组全等的直角三角形，从而实现边与角的转移. 2.模型应用 如图，点A（5，2）绕点O逆时针旋转90°到A'，则A'的坐标为____________ 设计意图：这个问题并没有直接给学生呈现出模型图，需要学生自己在平面直角坐标系这个背景中，将一线三垂直的模型构造出来。最后总结，只要有等腰+直角这两个条件，就能

通过做垂直把模型构造出来。 3，常见模型： 问题：有没有其他的方法呢？刚才同学们做了x轴的垂线，可不可以做y轴的垂线呢？ 然后展示常见的一线三垂直的模型。 设计意图：设计这个问题，是把k字模型进行变式，让学生增加对模型变式的了解。目的是拓展学生的思维。 4应用提升： （1）.如图，已知直线l: 与x,y轴分别交于A,B两点，直线m 经过点B且与l的夹角等于45°，求直线m的解析式。

设计意图：让学生明白等腰+直角的条件也会以不同的方式给出，比如45度。有了45度就可以构造等腰直角三角形。 （2）.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。 求证：∠ADP=∠EPB； 求∠CBE的度数； 设计意图：将模型应用在正方形的背景中，与正方形有关知识结合起来，再次对模型进行应用，提升。让学生能在不同的背景中识别出一线三垂直模型，对一线三垂 直的模型熟悉掌握。

中考数学必考几何模型：三垂直全等模型

三垂直全等模型 模型三垂直全等模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 图①图② 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的. 图③图④ D E A B C 例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC. A

D 证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°. ∴∠BAE ＝∠CED . 在△ABE 和△ECD 中， B C A CED AE ED ∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△ECD . ∴AB ＝EC ，BE ＝CD . ∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC. 例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E D A 解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA . 在△CEB 和△ADC 中，

E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△CEB ≌△ADC . ∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm . ∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm . 例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. x y 图①B A (0,3) C (-2,0) O 解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D . ∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°. 由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°. ∴∠DBC ＝∠ACO . 在△BCD 和△CAO 中， BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△BCD ≌△CAO . ∴CD ＝OA ，BD ＝OC . ∵OA ＝3，OC ＝2. ∴CD ＝3，BD ＝2. ∴OD ＝5. ∴B （－5，2）.

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。 “一线三垂直”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 “一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种： 其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。 【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为多少？

【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm） 【例2】如图，在△ABC中，CA=CB，点D 为BC中点，CE⊥AD于点E，交AB于点F，连接DF。求证：AD=CF+DF. 【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。 从要证明的结论来看，需要把AD这条线段“转化”到直线CF上。如图，过点B作BG⊥CB，交CF的延长线于点G。 则易证△ACD≌△CBG，于是AD=CG=CF+FG； BG=CD=BD，BF=BF，∠DBF=∠GBF=45o， 故△BDF≌△BGF，于是FD=FG，所以AD=CF+DF。

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（二） “一线三垂直”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，分别过B，C向过A点的直线作垂线，垂足分别为E，F。 （1）如图1，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=EB+CF； （2）如图2，过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3.求EF的长。 【提示】（1）图1是“一线三垂直”的基础模型，△ABE≌CAF； （2）图2是“一线三垂直”的变形4，和【例1】相同。 【例4】如图，已知△AEB中，∠AEB=90o，以AB为边向外作正方形ABCD，连接AC、BD，交于点O，连接EO。若BE=2，EO=3√2，求五边形AEBCD的面积。 【解析】因为∠ABC=∠AEB=90o，故构造“一线三垂直”模型，如图。

三垂直模型与全等综合

三垂直模型与全等综合 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

F E D C B A K 模型图与全等 知识点 基本图形 本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥ AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ； （2）连接AF ，求证：AF ＝CF ． 22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF. 【例8】 【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ； H B C F

D P F E B C A F E D C B A H F E D C B A 【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥ CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形. 【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。 【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。AF 是△ABC 的中线， FA 的延长线交DE 于点H ，求证：DE ＝2AF

等腰直角三角形模型、三垂直模型

45°45° C B A D C B A 题型一：等腰直角三角形模型 思路导航 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 全等三角形的经典模型（一）

A B C O M N A B C O M N 典题精练 【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保 持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形． 【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如 图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由． 【解析】EMC △是等腰直角三角形． 证明：连接AM ．由题意，得 ,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠= ∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =， M E D C B A A B C O M N M E D C B A

三垂直模型与全等综合剖析上课讲义

三垂直模型与全等综合剖析上课讲义 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三垂直模型与全等综 合剖析 2

F E C F E C B A K 模型图与全等 知识点 基本图形 本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ， 垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ； （2）连接AF ，求证：AF ＝CF ． 22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF. 【例8】 【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作 CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ； 【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥ CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形. H B C F

F E D C B A H F E D C B A 【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。 【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。AF 是△ABC 的中线， FA 的延长线交DE 于点H ，求证：DE ＝2AF 【例6】如图，在正方形ABCD 中，点N 是BC 边上的点。连接AN ，MN ⊥AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。 求证：AN ＝MN

三垂直全等模型

三垂直全等模型 模型 三垂直全等模型 如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC . 结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE . 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 图① 图② 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的. 图③A 图④D E A B C 例1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC . 证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°. ∴∠BAE ＝∠CED . 在△ABE 和△ECD 中， B C A CED AE ED ∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△ECD .

∴AB ＝EC ，BE ＝CD . ∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC. 例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ 解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA . 在△CEB 和△ADC 中， E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△CEB ≌△ADC . ∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm . ∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm . 例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. 解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D . ∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°. 由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°. ∴∠DBC ＝∠ACO . 在△BCD 和△CAO 中， BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△BCD ≌△CAO . ∴CD ＝OA ，BD ＝OC .

最新全等三角形之三垂直模型资料

全等三角形之三垂直模型 模块一：三垂直模型 2?已知：如图(2), AB=BC , AB 丄 BC , AE 丄 BD 于 F , BC 丄 CD ，求证：EC 二 AB - CD 3.已知：如图（3）, AB=EC , AE 丄 ED , BE 丄 AB , CD 丄 CE ，求证： BC=AB CD AABE =ABCD (1) AABfeABCD ⑵ AE 丄BD 于 E , CD 丄BD ，求证: ED =AE_CD 1?已知：如图 ⑴,AB=BC , AB 丄BC , C

4.如图，NABC 是等腰直角三角形， DE 过直角顶点A , . D =/E =：90，则下列结论正确的个数有（ ） ① CD=AE ;②.1= 2 ;③.3=4 :④ AD = BE. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.如图所示， AB_BC ，CD_BC ，垂足分别为 B 、C ，AB=BC ，E 为 BC 中点，AE _ BD 于 F ，若 CD=4cm ， 则AB 的长度为（） A. 4 cm B. 8 cm C. 9 cm D. 10cm 6.如图，已知 Rt ABC 中，? ACB=90，AC=BC ，D 是 BC 的中点，CE _ AD ，垂足为 E ，BF L AC ，交 CE 的延长线于点 F ，求 证：AC=2BF. 7.如图，在直角梯形 ABCD 中，? ABC=90，A D L B C ，AB=BC ，E 是 AB 的中点，CE _ BD .求证： AE=AD. B

模块二：勾股定理的证明 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a , b ，斜边长为c ,那么a 2亠b 2 =c 2 . 以毕达哥拉斯内弦图为例: (a b) =4 -ab c (等面积法) 2 2 , , 2 , 2 a 2a b b 2ab c 2 . . 2 2 a b c 8.如图，直线I 过等腰直角三角形 ABC 顶点B ，A 、C 两点到直线I 的距离分别是3和4,则AB 的长是 赵爽弦图 毕达哥拉斯内弦图 总统证法

全等三角形之三垂直模型

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全等三角形之三垂直模型 模块一：三垂直模型 1.已知：如图(1)，AB =BC ，AB ⊥BC ，AE ⊥BD 于E ，CD ⊥BD ，求证：ED AE CD =- 2.已知：如图(2)，AB =BC ，AB ⊥BC ，AE ⊥BD 于F ，BC ⊥CD ，求证：EC AB CD =- 3. 已知：如图(3)，AB =EC ，AE ⊥ED ，BE ⊥AB ，CD ⊥CE ，求证：BC AB CD =+ 4. 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E ∠=∠=?，则下列结论正确的个数有（ ） ①CD =AE ；②12∠=∠；③34∠=∠；④AD =BE . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，AB BC ⊥，CD BC ⊥，垂足分别为B 、C ，AB =BC ，E 为BC 中点，AE BD ⊥于F ，若CD =4cm ，则AB 的长度为（ ） A. 4cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 6. 如图，已知Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AC =BC ，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ，BF AC ，交CE 的延长线于点F ，求证：AC =2BF . 7. 如图，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=?，AD BC ，AB =BC ，E 是AB 的中点，CE BD ⊥.求证：AE =AD . 模块二：勾股定理的证明 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=. 以毕达哥拉斯内弦图为例： 8. 如图，直线l 过等腰直角三角形ABC 顶点B ， A 、C 两点到直线l 的距离分别是3和4，则AB 的长是 . 9. 如图，直线123l l l ，，分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、B 、D ，且相互平行，若12l l ，之间的距离为1，23l l ，的距离为1，则正方形ABCD 的面积是 .