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文科《导数》高考常考题型专题训练

1．已知函数()3()x f x e ax a R =--∈

（1）若函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x -y =0平行，求实数a 的值；（2）当a =2，k 为整数，且当x >1时，()()210,x k f x x '

-++>求k 的最大值.

1．【解析】（1）由()3x f x e ax =--，则'()x

f x e a =-，

又函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x -y =0平行，则(1)1f e a '

=-=，所以1a e =-；

（2）当2a =，且当1x >时，(

)

()2210x

x k e x --++>等价于

当1x >时，min 212x

x k x e +?

?<+ ?-?? 令21(),(1)2

x g x x x e +=+>-，则()()

(),(1)

x x x

e e x g x x e

--=>-，

再令()23(1)x

h x e x x =-->，则()20x

h x e -'=>，所以，()h x 在(1,)+∞上单调递增，且(1)0,(2)0h h <>，

所以，()h x 在(1，2)上有唯一的零点，设该零点为0x ，则0(1,2)x ∈，且0

023x e

x =+，

当()01,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以，()g x 在()01,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，所以，()0

0min 00021

()12

x x g x g x x x e +==+

=+-，而0(1,2)x ∈，故01(2,3)x +∈且()0k g x <，又k 为整数，所以k 的最大值为2. 2．已知函数()sin f x kx x =+，其中k ∈R .

（1）若函数()f x 在区间π5π,36??

???

上单调递增，求k 的取值范围；（2）若1k =时，不等式c (s )o ax f x x ≥在区间π0,2??

????

上恒成立，求实数a 的取值范围.

2．【解析】（1）由题意，()cos f x k x '=+，

因为()f x 在区间π5π,36??

???上单调递增，所以π5π,36x ??

∈ ???

时，()cos 0f x k x '=+≥恒成立，即cos k x ≥-，

因为函数cos y x =-在π5π,36??

???上单调递增，所以cos co 56s πx ≤-=-k ≥（2）1k =时，()sin f x x x =+，

令()cos c (o )sin s g x ax x x f x x x x a ==+--，π0,2x ??

∈????

，则()0g x ≥恒成立，

当0a ≤时，显然sin 0,cos 0x x ax x +≥-≥，即()0g x ≥，符合题意；当0a >时，()()11cos sin g x a x ax x '=+-+，若01a <≤，则10a -≥，显然0g x ，即()g x 在π0,2??

????

上单调递增，则()()00g x g ≥=，符

合题意；

若1a >，令()()()11cos sin g x a x ax h x x '=+=-+，则()()21sin cos a x ax h x x +'=-，

因为210,0a a ->>，所以()0h x '≥，即()g x '在π0,2??

????

上单调递增，则

()()20122ππa g g x g a ??

'''-=≤≤=+ ???

，

若12a <≤，则()20g x a '≥-≥，即()g x 在π0,2??

????

上单调递增，()()00g x g ≥=，符合题意；

若2a >，则20a -<，则存在0π0,2x ??∈????

，使得()00g x '=，

则()00,x x ∈时，0g x

，此时()g x 在()00,x 上单调递减，从而()()00g x g <=，不能使得

()0g x ≥恒成立.

综上所述，实数a 的取值范围是2a ≤. 3．设函数211

()ln 22

f x x x x ax =-

-+有两个极值点12,x x . （1）求实数a 的取值范围；

（2）求证：()()120f x f x +>. 3．【解析】（1）()1f x lnx x a '=-+-，

设()1g x lnx x a =-+-，则11()1x

g x x x

-'=

-=，令()0g x '=，得：1x =，可得：(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 递增；(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 递减．

()max g x g ∴=（1）a =-，

①当0a -，即0a 时，()0g x ，即()0f x '，所以，()f x 递减，()f x 无极值，不合题意，舍去； ②当0a ->，即0a <时，则g （1）0>， 101a e -<<，1

111()10a a a a g e

lne e a e ----=-+-=-<，

1()a g e g -∴?（1）0<，

()g x ∴在(0,1)有唯一零点1x ，

又11a e ->，且1111()12(1)a a a a g e lne e a a e ----=-+-=-- 设h （a ）12(1)a a e -=--，h '（a ）1220a e e -=->->，

h ∴（a ）在(,0)-∞上递增， h ∴（a ）(0)20h e <=-<．

1()a g e g -∴?（1）0<，

()g x ∴在(1,)+∞有唯一零点2x ，

从而，1(0,)x x ∈，()0f x '<，()f x 递减；1(x x ∈，2)x ，()0f x '>，()f x 递增；2(x x ∈，)+∞，

()0f x '<，()f x 递减；

所以，1x x =，2x x =为()f x 的两个极值点，符合题意．综上，(,0)a ∈-∞，

（2）证明：不妨设1201x x <<<，2212111122221111

()()()()2222

f x f x x lnx x ax x lnx x ax +=--++--+，

由12()0()0f x f x ''=??=?，有1122

11lnx x a

lnx x a -+=??-+=?，

∴

222212111111222222112211111111()()[(1)][(1)]()()22222222

f x f x x lnx x lnx x x x lnx x lnx x x x x x x +=---+++---++=-++-+

221211

(1)(1)022x x =-+->．得证． 4．已知函数()()()2

2ln ln 0f x ax a x a a x

=-+-

->. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12f x f x +的最小值.

4．【解析】（1）0x >，0a >，()222

22(2)2a ax a x a x f x x x +-++=-+=

'2(1)(2)

x ax x --=，由()0f x '=得1x =或2

x a

=， ①若02a <<，则

>，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得01x <<或2x a >，

所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,

a ??

???递减，在2,a ??+∞ ???

递增； ②若2a =，则

，()()2

210x f x x -'=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增；

③若2a >，则

1a <，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得20x a

<<或1x >，

所以，若2a >，则()f x 在20,a ??

???

递增，在2,1a ?? ???递减，在()1,+∞递增.

（2）由（1）知，()f x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =和22

x a

， ()()112ln f x f a a ==--，()222(2)ln ln 2a f a a a a f x ??

==-++- ???

，

所以()()12(2)ln 2ln 2

f x f x a a +=+-，设()(2)ln

2ln 2

h x x x =+-，则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，

()ln ln 21h x x '=-+，

由()0h x '<得20x e <<

，()h x 在20,e ??

???

内单调递减，由()0h x '>得2x e >

，()h x 在2,e ??+∞ ???

内单调递增.

所以当0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ??==--

???

. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12f x f x +的最小值为2

2ln 2e

--. 5．已知函数()2

ln 2

a f x x x x =

-+. （1）若函数()f x 在定义域内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当[

)1,a e ∈时，讨论方程()2

f x ax =-根的个数. 5．【解析】（1）()2ln 2

a f x x x x =

-+，定义域为()0,∞+，则()1

10f x ax x '=-+≥恒成立，

即221111124a x x x ??≥-=--+ ???，2max

1111244x ??????--+=?? ?

??????，故14a ≥. （2）()2

a f x ax =-，即2ln 22a a x x x ax -+=-，设()2ln 22a a

x x x ax g x -+-+=，

则()()()111

1ax x a x a x

g x x ---+

-='=，当1a =时，()

()2

10g x x x

-'=

≥，函数单调递增，()11g =-，()1

4ln 402

g =

+>，故函数有唯一零点；当()1,a e ∈时，()()()11x g x ax x

--'=

，

函数在10,a ??

???上单调递增，在1,1a ?? ???

上单调递减，在()

1,+∞上单调递增，极大值为11

1ln 1ln 122212a a a a a a

a a g ??= ???---+=---+，

设()1ln 122a H a a a =---+，则()()2

2211110222a H a a a a

-'=-+=>恒成立，故函数单调递增，故()()1

2022e H a H e e

<=--<，故函数在()0,1上无零点； ()11g =-，()91

44ln 4ln 4022

g a =-+>+>，故函数在()1,+∞上有唯一零点.

综上所述：方程()2

f x ax =-有且仅有一个根.

6．已知函数f （x ）＝（1﹣sinx ）e x .

（1）求f （x ）在区间（0，π）的极值；

（2）证明：函数g （x ）＝f （x ）﹣sinx ﹣1在区间（﹣π，π）有且只有3个零点，且之和为0. 6．【解析】（1）因为()()1sin x

f x x e =-，

所以()()114x

f x sinx cosx e x e π??

??'=--=+

????

，

令()0f x '=，得42

sin x π??

= ??

?，()0,x π∈，从而2x π=，

当0,

2x π?

∈ ??

时，3,444

x π

ππ??+

∈ ???，42sin x π??+ ??

?＞，

所以104x π?

?+ ??

?＜，()0f x '<，从而()f x 单调递减；

当,2x ππ??∈

???，35,444x πππ??+∈ ???，42sin x π??+ ??

?＜，

所以104x π??

＞，()0f x '>，从而()f x 单调递增，故()f x 在区间()0,π有极小值02f ??

???

π，无极大值；（2）证明：因为()()sin 1g x f x x =--，所以()00g =，从而0x =是()y g x =的一个零点；

令()sin 1u x x =--，则()u x 在区间0,2π?? ???

单调递减，在区间,2ππ??

???单调递增，

所以()g x 在区间0,

2π?

单调递减，在区间,2ππ??

???

单调递增，又202g π??=- ???

＜，()10g e π

π=->，所以()g x 在区间()0,π有唯一的零点，记为1x ，又因为()()1sin +sin 1x

g x x e

x --=+-()()11x x

sinx e sinx g x e e ---=-=-

，所以对于任意的x ∈R ，若()0g x =，必有()0g x -=，所以()g x 在区间(),0π-有唯一的零点1x -，故()g x 在区间(),ππ-的零点为1x ，0，1x -，

所以()g x 在区间(),ππ-有且只有3个零点，且之和为0.

7．已知函数()ln ()a

f x x a R x

∈. （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）令(5)2

()a k g a a

--=，若对任意的x ＞0，a ＞0，恒有f （x ）≥g （a ）成立，求实数k 的最大

整数.

7．【解析】（1）此函数的定义域为()0,+∞，()221,a x a f x x x x

-='=

- （1）当0a ≤时，()0,f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，

（2）当0a >时， ()()()0,,0,x a f x f x <'∈单调递减，()()(),,0,x a f x f x '∈+∞> 单调增综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增

当0a >时， ()()0,,x a f x ∈单调递减，()(),,x a f x ∈+∞ 单调递增. （2）由（Ⅰ）知()()min ln 1,f x f a a ==+

()()f x g a ∴≥恒成立，则只需()ln 1a g a +≥恒成立，

则()52

ln 15,a k a k a

--+≥

=--

ln 6a k a

≥-，令()2

ln ,h a a a

=+则只需()min 6,h a k ≥-

则 ()22

122

,a h a a a a -='=- ()()()0,2,0,a h a h a '∴∈<单调递减， ()()()2,,0,a h a h a '∈+∞>单调递增，()()min 2ln21h a h ==+

即ln216,ln27,k k k +≥-∴≤+∴的最大整数为7. 8．已知函数()()2

232ln f x x a x a x =+-+，其中a ∈R ．

（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线210x y ++=平行，求实数a 的值及函数

()()4ln g x f x x =-的单调区间；

（2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()12100f x f x ++>． 8．【解析】（1）由()()2

232ln ,0f x x a x a x x =+-+>，

得()()2223a

f x x a x

'=+-+

，

又()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与直线210x y ++=平行，所以()1442f a '=-=-，解得12

a =．则()2

53ln g x x x x =--，

得()()()()2133250x x g x x x x x

+-'=--

=>．当()0,3x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，区间为()0,3；当()3,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，区间为()3,+∞．（2）证明：因为函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，所以()()22230a

f x x a x

'=+-+

= 在()0,∞+上有两个根1x ，2x ，且12x x <，

即()2

22320x a x a +-+=在()0,∞+上有两个不相等的根1x ，2x ，

则123x x a +=-，12x x a =，

由题意得()

()2230224316020a a a a ?--

>???

?=-->??>???

，解得01a <<，

则()()()()2

12111222232ln 232ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+

()()()2

121212122232ln x x x x a x x a x x =+-+-++

()()()2

322332ln a a a a a a =--+--+22ln 49a a a a =-+-，

令()2

2ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<，

故()2ln 26g a a a '=-+．令()()2ln 26h a g a a a '==-+，()2

20h a a

->， ()()h a g a '=在()0,1上单调递增．

由于()3

0h --=-<，()140h =>，

所以存在常数()

1e ,t -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-，

且当()0,a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在()0,t 上单调递减；

当()1a t ∈,

时，()()0h a g a '=>，()g a 在(),1t 上单调递增，所以当01a <<时，

()()2min 2ln 49g a g t t t t t ==-+-()22234929t t t t t t =--+-=--．

又()

1e ,t -∈，()2

22911010t t t --=-->-，

所以()10g a >-，即()100g a +>，故()()12100f x f x ++>得证． 9．已知函数()()211x

f x ae

x x =--+，a R ∈，e 是自然对数的底数.

（1）若函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若当11x -<<时，函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.

9．【解析】（1）()()()2121211x x

f x ae x ae x '=-+-=+-，

∵()f x 在[)0,+∞上是增函数，∴()0f x '≥对0x ≥成立， ∴()

21x a e x ≥

+对0x ≥成立.

令()()21x

g x e

x =+，0x ≥，则()()230x g x e x '=+>对0x ≥成立，

∴()g x 在[)0,+∞上是增函数，∴0x ≥时，()()01g x g ≥=，∴()

01g x <≤， ∴1a ≥，即a 的取值范围是[

)1,+∞.

（2）由()()()211011x

f x ae x x x =--+=-<<得()()211

111x e x x x a

-=-<<-，

令()()211x e x h x x -=-，11x -<<，则()()()()()()()

232112111x x x e x x e x x e x h x x x -+---'==--，由()0h x '<得01x <<，

∴()h x 的单调增区间为(],0-1，单调减区间为[)0,1.

()01h =，102h ??= ???，()()1213

122e h e

----==

-，1x →时， ()h x →-∞，由题意知

12e a

<<， ∴a 的取值范围是21,

3e ??

???

. 10．已知函数()cos 3x

f x ae x =+-的图象在点()()

0,0f 处的切线与直线0x y +=垂直.

（1）判断()f x 的零点的个数，并说明理由；（2）证明：()1f x x >-对()0,x ∈+∞恒成立. 10．【解析】（1）解：()'

sin x f

x ae x =-，()()'011f a ?-=-=-，则1a =.

当0x ≤时，01x e <≤，1cos 1x -≤≤，则()0f x <，此时()f x 无零点；当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，()'

sin 0x f x e x =->，

所以()f x 在()0,∞+上单调递增. 因为()00f <，()20f >，

所以()f x 在()0,∞+上存在唯一的零点. 综上，()f x 的零点的个数为1.

（2）证明：设函数()()()()1cos 20x

g x f x x e x x x =--=-+->，

则()'1sin x g x e x =--，设()()'

h x g x =，则()'cos x

h x e x =-.

因为0x >，所以e 1x >，1cos 1x -≤≤，所以()'

0h x >，

则()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，即()'

0g x >，从而()g x 在()0,∞+上单调递增，

于是()()00g x g >=，

故()()10f x x -->，即()1f x x >-对()0,∞+恒成立. 11．已知函数21

()(1)(2)(0)2

x f x a x x e a =--+->．

（1）讨论函数()f x 的单调性：

（2）若关于x 的方程1

()02

f x a +

=存在3个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 11．【解析】（1）()(1)(1)(1)()x x f x a x x e x e a '=--+-=--，

0a >，由()0f x '=可得1x =或x lna =，

()i 当0a e <<时，1lna >，

在(1,)+∞，(,)lna -∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(,1)lna 上，()0f x '<，()f x 单调递减； ()ii 当a e =时，1lne =，()0f x '>在R 上恒成立，即()f x 在R 上单调递增；

()iii 当a e >时，1lna >，

在(,)lna +∞，(,1)-∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(1,)lna 上，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）

2111

()(2)(2)()0222

x x f x a ax ax x e x e ax +=-++-=--=有3个实数根，

2x =显然是方程的一个解，故1

e ax -

=有2个实数根且0x ≠，2x ≠，即2(2)x

e a x x =≠，令2()(2)x e g x x x =≠，则2

2(1)

()x e x g x x -'=，当(,0)x ∈-∞，(0,1)时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,2)∈，(2,)+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，

当0x <时，()0

2g e =，则22e a e <<或2a e >．

12．已知函数2

ln ()e 2

x m f x a =--

. （Ⅰ）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）当1a =时，求证：对任意[]2,2m ∈-，函数()f x 的图象均在x 轴上方．

12．【解析】（Ⅰ）根据题意，得1

()e x

f x ax

'=-

（0x >）.因为函数()f x 在[]1,2上是减函数，所以1()e 0x

f x ax '=-

≤在[]

1,2x ∈上恒成立，即1

e x x a

≥恒成立，故只需

()max 1

e x x a

≥（12x ≤≤）.

令函数()e x t x x =，则()e e x x t x x '=+，

当[]

1,2x ∈时，()0t x '>，所以函数()e x t x x =在[]1,2上单调递增，

所以2

max ()(2)2e t x t ==，所以

212e a

≥，解得2102e a <≤；

所以实数a 的取值范围是210,

2e ?

???

. （Ⅱ）当1a =时，函数2()e ln 2

m f x x =--（0x >），则1()e x

f x x '=-.

令函数1()e x

g x x

，则21()e x

g x x '=+.因为()0g x '>，

所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增.

又因为1202g ??

???

，(1)e 10g =->，所以存在01,12x ??∈ ???

，使

01e x x =，可得00ln x x =-，所以对任意()00,x x ∈，()0g x ，即()0f x '>，函数()f x 在()0,x +∞上单调递增，所以()0

min

00()e ln 2

x m f x f x x ==--. 要证函数()f x 的图象均在x 轴上方，只需证min ()0f x >，

即当01,12x ??∈ ???时，0

0e ln 02

x m x -->恒成立，

即0

20001e ln 2x m x x x <-=+在0

1,12x ??∈ ???

上恒成立.

因为当01,12x ??∈ ???时，函数()0001u x x x =+是减函数，所以00

1522x x <+<，则2

m ≤，解得22m -≤≤，

所以当1a =时，对任意[]2,2m ∈-，函数()f x 的图象均在x 轴上方. 13．设函数()1x

f x e x

-，()0,x ∈+∞，e 为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的极值点个数；（2）当1

2a ≥

，()0,x ∈+∞时，证明：()()1a x f x x

-<. 13．【解析】（1）由题意，()22

x x e a f x x

-'=，记()2x

g x x e a =-，则()()

()2

200x

g x x x e x '+>>=，所以()g x 在()0,∞+上是增函数，()0g a =-.

①当0a ≤时，()()00g x g >≥，即()0f x '>在()0,∞+上恒成立，此时()f x 在()0,∞+上是增函数，无极值点.

②当0a >时，()00g a =-<

，

()

10g

a =->，

所以方程()0g x =在()0,∞+

上存在唯一零点(0x ∈.

所以，当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>.此时()f x 在()0,∞+上有唯一极小值点0x . （2）当12a ≥

，()0,x ∈+∞时，要证：()()1a x f x x

-<，只需证()()11x

x e a --<成立，即只需证明()()

112

x e --<

在()0,∞+恒成立. 而当[)1,x ∈+∞时，()()

1112x

x e --<

成立，从而只需证明()()1112

x e --<在()0,1恒成立即可. 令()()()

11x F x x e =--，()0,1x ∈，则()1x

f x xe ='-，

令()()1x

G x f x xe '==-，()0,1x ∈，则()()10x

G x x e '=-+<在()0,1上恒成立，

从而()()G x f x ='在()0,1

上为减函数，且1102f ??'=>

，()110f e '=-<. 因此，存在11,12x ??∈ ???

，使得()10f x '

当()10,x x ∈时，()0f x '>；()1,1x x ∈时，()0f x '<，故()F x 在()10,x 上单调递增，在()1,1x 上单调递减，所以，()()()()

111max 11x

F x F x x e ==--.

由()11110x f x x e '=-=，得1

e x =

，所以，()()()()1

1111

111111112x F x x e x x x x ??=--=--=+- ???

. 由于111x x +

在11,12x ??

∈ ???

上单调递减，所以111522x x <+<，()1111122F x x x =+-<，

即()max 12F x <

从而()1

F x <. 从而当1

2a ≥

，()0,x ∈+∞时，不等式()()1a x f x x

-<成立. 14．已知函数()()()10x

f x a x e

a =+≠.

（1）求()f x 的最值；

（2）若0x >时，恒有()2

2f x x x ≥--，求实数a 的取值范围.

14．【解析】（1）依题意()()'

2x f

x a x e =+，所以

当0a >时，()f x 在(),2-∞-上递减，在()2,-+∞上递增，所以()f x 在2x =-处取得最小值

()22a

f e

-=-

，没有最大值. 当0a <时，()f x 在(),2-∞-上递增，在()2,-+∞上递减，所以()f x 在2x =-处取得最大值

()2

f e -=-

，没有最小值. （2）依题意，当0x >时，恒有()2

2f x x x ≥--，即()2

12x

a x e x x +≥--，

即()()()()2122211x x x x x x x x a x e x e e +----≥==++，即max

2x x a e -??

≥ ???.

构造函数()()20x x h x x e -=

>，()()'

123x

x x x h x e e

---==，所以()h x 在()0,3上递增，在()3,+∞上递减，所以()()3max 1

3h x h e

，所以31a e

≥

. 所以实数a 的取值范围是31,e ??

+∞??

. 15．已知函数()ln 1x

f x ae x =--，a R ∈

（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()

1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1

,e e

??????

上有两个零点，求实数a 的取值范围 15．【解析】（1）当1a =时，()ln 1x f x e x =--，()1

f x e x

'=-

，()11f e =-，()11f e '=-．切线方程为()()()111y e e x --=--，化简得()e 1y x =-．曲线()f x 在点()()

1,1f 处的切线方程为()e 1y x =-．

（2）()ln 1x

f x ae x =--，定义域为()0,∞+，函数()f x 在1,e e

??????

上有两个零点，

即方程ln 10x ae x --=在1,e e ??????

上有两个正根，

即y a =与()ln 1x x g x e +=

的图象在1,e e ??

????

上有两个交点， ()1

ln 1

x x g x e --'=，令()1ln 1x x x ?=--，()2110x x x

?'=--<，所以()x ?在1,e e

??????

上单调递减，且()10?=．

所以当1,1x e ??∈????

时，中()0x ?>，即()0g x '>，()g x 单调递增；

当(]1,x e ∈时，()0x ?<，即()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()max 11g x g e

．又知10g e ??

= ???，()2e g e e

=．

结合y a =与()ln 1

x x g x e +=

图象可知，若有两个交点只需21e a e e

≤<．

综上可知满足题意的a 范围为21,e

e e ??

． 16．已知函数()()ln f x x x a =-，()3

F x x x m =-+，若()f x 在()()

,e f e 处的切线斜率为1.

（1）若()()f x F x <在()1,+∞上恒成立，求m 的最小值M ；（2）当m M =，(]0,1x ∈时，求证：()()x

f x e F x >?.

16．【解析（1）由题意，()ln 1f x x a '=-+，∴()ln 11f e e a '=-+=，∴1a =，

所以()()ln 1f x x x =-，又()3

ln f x x x m m x x x <-+?>-，

令()3

ln g x x x x =-，则()()2

1ln 3h x g x x x '==+-，

所以()2

1166x h x x x x

-'=-=，

∵当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()120h x h <=-<，即()0g x '<，∴()g x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()11g x g <=-， ∴m 的最小值1M =-.

（2）由（1）知，函数()()ln 1f x x x =-，()0,1x ∈，则()ln f x x '=. 当()0,1x ∈）时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递减．所以()()11f x f >=-.

设函数()()()

G x e F x x x e =?=--

则()()

23x

G x x x x e '--+=.

设函数()3

32p x x x x =+--，则()2

361p x x x '=+-，()p x '在()0,1上单调递增.

当()0,1x ∈时，()()0180p p ''?=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，从而函数()p x 在()00,x 上单调递减；在()0,1x 上单调递增. 当()00,x x ∈时，()()002p x p <=-. 当()0,1x x ∈时，()00p x <，()10p >，故存在()10,1x ∈，使得()10G x '=，

即当()10,x x ∈时，()0G x '

<，当()1,1x x ∈时，()0G x '

从而函数()G x 在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增. 因为()01G =-，()1G e =-，故当()0,1x ∈时，()()01G x G <=-，所以()()x

f x e F x >?.

17．函数()x

f x e =，()sin

g x x ax =-.

（1）若()()()h x f x g x =+在[)0,+∞单调递增，求a 的取值范围；

（2）若12a =，证明：当0x >时，()()2112g x f x ->????

????

. (参考公式：函数2x y e =的导数：()

222x x y e e ''==)

17．【解析】（1）依题意有：()sin x

h x e x ax =+-，x ∈R ，()cos x

h x e x a '∴=+-.

函数()y h x =在[)0,+∞单调递增，()0h x '∴≥对[)0,x ∈+∞恒成立. 即：cos 0x e x a +-≥对[)0,x ∈+∞恒成立(*)

令()cos x

x e x a ?=+-，0x ≥，则()sin x

x e x ?'=-，

当[)0,x ∈+∞时，1x e ≥，1sin 1x -≤-≤，sin 0x e x ∴-≥，()0x ?'∴≥，

∴函数()y x ?=在[)0,+∞单调递增，

()()min 020x a ??∴==-≥，解得2a ≤.

因此，实数a 的取值范围是(],2-∞；

（2）当12a =时，要证：当0x >时，()()2112g x f x ->????

????

. 即要证：当0x >时，()22sin 11x

x x e -+>.

构造函数：()()()22sin 10x

F x x x e x =-+>，

则()()()()2221324sin 2cos 12cos 22sin x x

x F x x e

x x e x x x e '=-=+-+-+-，

先证：当0x >时，sin x x >，

要证：sin x x >，即要证：sin 0x x ->，

构造函数：()()sin 0x x x x μ=->，则()1cos x x μ'=-，当()0,x ∈+∞时，1cos 1x -≤≤，1cos 0x -≥，

()0x μ'∴≥，则函数()y x μ=在()0,∞+单调递增. ()()00x μμ∴>=，即sin 0x x ->，sin x x ∴>，

()()()

222324sin 2cos 32sin cos 304x x

x F x x x x e x x e x e π????'∴=+-->-+=-+>?? ????????

?，

∴函数()y F x =在()0,∞+单调递增，()()001F x F e ∴>==，

即：当0x >时，()22sin 11x

x x e -+>，故原不等式成立.

18．函数()()x

f x e ax a a R =--∈.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明120x x +>.

18．【解析】（1）由题意得()()x

f x e a x R '=-∈,

①当0a ≤时,()0f x '>,所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时,由()0f x '=,得ln x a =,

当ln x a <时,()0f x '<,()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；当ln x a >时,()0f x '>,()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增. （2）由于()f x 有两个零点12,x x ,不妨设12x x <,

由（1）可知,当0a ≤时,()f x 在R 上单调递增,不符合题意；

当0a >时,x ∈R ,min ()(ln )(ln 1)ln 0f x f a a a a a a ==-+=-?<,即ln 0a >,解得1a >, 此时有1

(1)0,(0)10f f a e

>=-<,所以存在1(1,0)x ∈-,使得()10f x =, 由于ln 1(1)x

y e x x x =--->,所以1

y e x

'=--

在(1,)+∞上单调递增, 所以当1x >时,20y e '>->,所以ln 1x

y e x x =---在(1,)+∞上单调递增,

所以当1x >时,ln 120x

y e x x e =--->->；所以()ln (ln )(ln 1)ln 10a a

a f a a e

a a a a e a a ++=-++=--->,

所以存在2(ln ,ln )x a a a ∈+,使得()20f x =, 综上,当1a >时,()f x 有两个零点12,x x .

证明:由于()111x e a x =+,()221x

e a x =+,且1210ln x a x -<<<<,则12011x x <+<+,

所以()11ln ln 1x a x =++,()22ln ln 1x a x =++,所以22111

x x x x +-=+, 设

211(1)1x t t x +=>+,有212111ln x t x x x t +?=?+??-=?,则12ln 11ln 11t x t t t x t ?+=??-??+=

?-?

, 要证120x x +>,只需证

(1)ln 201

t t t +->-,即证2(1)

ln 1t t t ->

+, 设2(1)()ln (1)1

t h t t t t -=->+,则222

14(1)()0(1)(1)t h t t t t t '

-=-=>++, 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增,所以当1t >时,()()10h t h >=,即2(1)

ln 1

t t t ->+, 故120x x +>

19．数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43

. (1)求函数()f x 的解析式；

(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围.

19．【解析】（1）因为()3

4f x ax bx =-+，所以2

'()3f x ax b =-，

由2x =时，函数()f x 有极值43

，得()()20423f f ?=??=-'??

，即12048243a b a b -=??

-+=-??，解得134a b ?=???=? 所以()3

1443

f x x x =

-+；（2）由（1）知()3

1443

f x x x =-+，

所以2

'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，

所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，

当2x =-时，()f x 有极大值

283；当2x =时，()f x 有极小值4

-，

因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根，所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点，则k 的取值范围是428

k -

. 20．函数()()ln f x x x a a R =--∈.

（1）讨论()f x 的零点个数；（2）若()()ln 1x a

g x e

x x a x -=-+-，(]1,1a e ∈-，求()g x 的极小值()h a 的值域.

20．【解析】（1）因为()ln f x x x a =--，所以()11

1x f x x x

-'=-

=，则当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-. ①当1a <时，()f x 无零点； ②当1a =时，()f x 有一个零点； ③当1a >时，因为(

)20a

f e

e a =->，11

0a a f e e

??=> ???，

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。解析： ()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +，则(1)(1)f f '+= 。解析：因为 21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251= f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ： x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 0300 23x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得： 2 30= x 或00=x （舍），此时， 830-=y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 41 -=，切点坐标是??? ??-83,23。考点四：函数的单调性。例5.已知 ()132 3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。解析：函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。所以，当3->a 时，函数()x f 在R 上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。答案：3-≤a 考点五：函数的极值。例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。解析：（1） 2 ()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=?? ++=?，．，解得3a =-，4b =。（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++， 2 ()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A. B ．11+ i 2 - C ． D ．【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1 1+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为 13 . 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) C 的渐近线方程为( )． A ． B ． C ．1 2 y x =± D ．【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。【解析】∵2e = 2c a =，即2254 c a =.

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增，在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ，若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

人教版2017年高考数学真题导数专题

2017年高考真题导数专题　一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考文科数学专题复习导数训练题

高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 在0x 处有增量x ?，称为函数)(x f y =在则称函数)(x f y =在)0或0|'x x y =，即 f . )(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(2121x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u *复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??= 或x u x u y y '''?= 4.几种常见的函数导数： I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin ' = 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1 )(log '= x x e e =')(a a a x x ln )('= 二、经典例题剖析考点一：求导公式

高考文科数学练习题高考常考的6大题型

第3课时题型上——全析高考常考的6大题型题型一圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． [典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标． [解] (1)由题意得，c ＝3，a b ＝2，a 2＝b 2＋ c 2， ∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立，得? ???? y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4 4k 2＋1 . ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→ ＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2 ＝0， ∴(k 2＋1) 4m 2－44k 2 ＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1 ＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－3 5 或m ＝1(舍去)．

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习第1讲变化率与导数、导数的计算知识梳理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3；解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ，所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S

4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．

1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -= ． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

高考数学导数题型归纳(_好)

导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案（08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．（09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分）如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1

（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。（Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。（14年）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。（Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳高度重视：首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间) 与定义域的关系（２）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2０10省统测2）例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。二、经典例题剖析考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案：学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

(完整版)2017年全国1卷高考文科数学试题及答案-

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，满分150分。考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?< ??? ? B ．A I B =? C ．A U B 3|2x x ? ?=

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在的解，附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条件12】“对任意 B．必要而不充分条件，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（）．既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选所述，“ 对任意B．，

【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意；当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0，， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一的零点，需，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意；当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0，，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当时，不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是（）

2020高考文科数学各类大题专题汇总

2020高考文科数学各类大题专题汇总一、三角函数二、数列三、立体几何四、概率与统计五、函数与导数六、解析几何七、选做题大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=,

所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=.

(完整word版)高考导数题型归纳

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。二、经典例题剖析考点一:求导公式。例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是。解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。考点二:导数的几何意义。例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3

例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'