一步一步学heatmap.2函数

一步一步学heatmap.2函数

数据如下：

library(gplots)

data(mtcars)

x <- as.matrix(mtcars)

rc <- rainbow(nrow(x), start=0, end=.3)

cc <- rainbow(ncol(x), start=0, end=.3)

X就是一个矩阵，里面是我们需要画热图的数据。

Rc是一个调色板，有32个颜色，渐进的

Cc也是一个调色板，有11个颜色，也是渐进的

首先画一个默认的图：

heatmap.2(x)

然后可以把聚类数可以去掉：就是控制这个dendrogram参数

heatmap.2(x, dendrogram="none")

然后我们控制一下聚类树

heatmap.2(x, dendrogram="row") 只显示行向量的聚类情况

heatmap.2(x, dendrogram="col")只显示列向量的聚类情况

下面还是在调控聚类树，但是我没看懂跟上面的参数有啥子区别！

heatmap.2(x, keysize=2) ## default - dendrogram plotted and reordering done.

heatmap.2(x, Rowv=FALSE, dendrogram="both") ## generate warning!

heatmap.2(x, Rowv=NULL, dendrogram="both") ## generate warning!

heatmap.2(x, Colv=FALSE, dendrogram="both") ## generate warning!

接下来我们可以调控行列向量的label的字体大小方向

首先我们调控列向量，也就是x轴的label

heatmap.2(x, srtCol=NULL)

heatmap.2(x, srtCol=0, adjCol = c(0.5,1) )

heatmap.2(x, srtCol=45, adjCol = c(1,1) )

heatmap.2(x, srtCol=135, adjCol = c(1,0) )

heatmap.2(x, srtCol=180, adjCol = c(0.5,0) )

heatmap.2(x, srtCol=225, adjCol = c(0,0) ) ## not very useful heatmap.2(x, srtCol=270, adjCol = c(0,0.5) )

heatmap.2(x, srtCol=315, adjCol = c(0,1) )

heatmap.2(x, srtCol=360, adjCol = c(0.5,1) )

然后我们调控一下行向量，也就是y轴的label

heatmap.2(x, srtRow=45, adjRow=c(0, 1) )

heatmap.2(x, srtRow=45, adjRow=c(0, 1), srtCol=45, adjCol=c(1,1) )

heatmap.2(x, srtRow=45, adjRow=c(0, 1), srtCol=270, adjCol=c(0,0.5) )

设置offsetRow/offsetCol 可以把label跟热图隔开！

## Show effect of offsetRow/offsetCol (only works when srtRow/srtCol is ## not also present)

heatmap.2(x, offsetRow=0, offsetCol=0)

heatmap.2(x, offsetRow=1, offsetCol=1)

heatmap.2(x, offsetRow=2, offsetCol=2)

heatmap.2(x, offsetRow=-1, offsetCol=-1)

heatmap.2(x, srtRow=0, srtCol=90, offsetRow=0, offsetCol=0)

heatmap.2(x, srtRow=0, srtCol=90, offsetRow=1, offsetCol=1)

heatmap.2(x, srtRow=0, srtCol=90, offsetRow=2, offsetCol=2)

heatmap.2(x, srtRow=0, srtCol=90, offsetRow=-1, offsetCol=-1)

## Show effect of z-score scaling within columns, blue-red color scale

##

hv <- heatmap.2(x, col=bluered, scale="column", tracecol="#303030")

hv是一个热图对象！！！

> names(hv)可以看到hv对象里面有很多子对象

"rowInd" "colInd" "call" "colMeans" "colSDs" "carpet" "rowDendrogram" "colDendrogram" "breaks" "col" "vline" "colorTable"

## Show the mapping of z-score values to color bins

hv$colorTable

## Extract the range associated with white

我们得到了热图的颜色的数值映射矩阵，接下来就可以进行一系列的操作~！！！

hv$colorTable[hv$colorTable[,"color"]=="#FFFFFF",]

首先得到了白色所对应的数值区间！

然后还可以通过一下命令，直接求出属于白色区间的那些数值。

whiteBin <- unlist(hv$colorTable[hv$colorTable[,"color"]=="#FFFFFF",1:2]) rbind(whiteBin[1] * hv$colSDs + hv$colMeans,

whiteBin[2] * hv$colSDs + hv$colMeans )

调整scale参数选择按照列还是行来进行数据的标准化

heatmap.2(x, col=bluered, scale="column", tracecol="#303030")

heatmap.2(x, col=bluered, scale="row", tracecol="#303030")

如果选择了标准化，那么还可以手工调整标准化的参数：

rowMeans, rowSDs

mean and standard deviation of each row: only present if scale="row" colMeans, colSDs

mean and standard deviation of each column: only present if scale="column"

通过hclustfun参数来调整聚类方法

参考：https://www.wendangku.net/doc/854547421.html,/foreverycc/archive/2012/10/19/2730391.html

Cluster_Method<-c( "ward", "single", "complete", "average", "mcquitty", "median", "centroid")

#R语言里面自带的hclust函数共有7种聚类方法

for (i in 1:length(Cluster_Method)){

#make a function to extract the cluster method

myclust<-function(x){

hclust(x,method=Cluster_Method[i])

}

#make heatmap by jpeg

jpeg(filename=paste(Cluster_Method[i],'.jpg'),width=1024,height=728)

heatmap.2(as.matrix(Data_Top1k_Var),

trace='none',

hclustfun=myclust,

labRow=NA,

ColSideColors=c('black',grey(0.4),'lightgrey')[as.factor(CellLine_An

no$Type)],

xlab='CellLines',

ylab='Probes',

main=Cluster_Method[i],

col=greenred(64))

dev.off()

}

这样就可以一下子把七种cluster的方法依次用到heatmap上面来。而且通过对cluster树的比较，

我们可以从中挑选出最好、最稳定到cluster方法，为后续分析打好基础！

对下面这个数据聚类：

require(graphics)

hc <- hclust(dist(USArrests), "ave")

plot(hc)

首先对一个数据框用dist函数处理得到一个dist对象！

Dist对象比较特殊，专门为hclust函数来画聚类树的！

第三章 一元函数积分学

第三章 一元函数积分学 一．不定积分 例1：设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?，求?dx x )(?（答案： C x x +-+1ln 2） 例2：已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数，求?dx x f x )('3（答案： C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2） 例3：设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ，求?dx x f )( 例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4 2 )1(= F ，若当0>x 时，有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ，求)(x f 。（答案：) 1(21)(x x x f += ） 例5：求? dx x x )1,,max(23 例6：求?dx e e x x 2arctan 二．定积分 例1：求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2：设)(x f 在]1,0[上连续，且 )(1 =?dx x f ，试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3：已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ，求??? ??+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21）

例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ，求?2 1 )(dx x f 的 值。（答案： 4 3 ） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6：求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证： 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-； 0)()2(0 =?T dx x f 求证：LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=?

一元函数微分学综合练习题

第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤

专升本-一元函数积分学

第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一．原函数的概念 例1.下列等式成立色是（ ） ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2．下列写法是否有误，为什么？ ()1 .ln c dx e e x x +=?（c 为任意正常数） ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗？ ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5．求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2 π=x 时，这函数值为2，求 此函数. 解：因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=

一元函数积分学的应用

一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q

在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O

电子科技大学 一元函数积分学检测题(三)

1 2006级 微积分《一元函数积分学》检测题（三） 班级__________________ 学号______ 姓名_____________ 成绩________ (3,15) 1.()()arcsin _________________________________. 一、填空题每小题分共分设则f x f x xdx '==? 2._____________________________.= 4 1 3.____________________.-=? 740 4.sin 2__________________.xdx π =? ()2 05. sin ____________________.x d x t dt dx -=? ()()()()()()()()()()( )()()()()15sin 000 (3,15) sin 1.,1,0,. ;; ; 2.(),(),. ; ;; 二、选择题每小题分共分设则当时是的高阶无穷小低阶无穷小同阶但不等价的无穷小等价无穷小. 设连续则下列结论中正确的是是和的函数是的函数是的函数是常数. x x t s t t x dt x t dt x x x t A B C D f x I t f tx dx A I s t B I s C I t D I αβαβ==+→=??? ( )( )()()()5 226 0023.. cos ;0;11111 (2)();()22下列运算正确的是. x A xdx B dx x C f x dx f x C D d C x x x π π +∞ -∞ ==+'=+=+????? 884 4444 444 tan 4.(),sin ln(,1(tan cos cos ),,,( ).() () () ()设则的大小关系是x x x M x dx N x x dx x P x e x e x dx M N P A M N P B N M P C P M N D M P N π π πππ π----??=+=++??+=+->>>>>>>>??? 2sin 5.()sin ,() ( ). () () () ()设则为正常数;为负常数;恒为零;不为常数. x t x F x e tdt F x A B C D π +=?

一元函数积分知识点完整版

一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1<

分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法

[考研类试卷]考研数学一(一元函数积分学)历年真题试卷汇编1.doc

[考研类试卷]考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (2011年试题，一)设则I，J，K的大小关系是( )． （A）I0，f'(x)''＞0．令 ，则( )． （A）S123 （B）S213 （C）S312 （D）S231 3 (2012年试题，一)设，则有( )? （A）I123 （B）I321 （C）I231

（D）I213 4 (2008年试题，1)设函数则f'(x)的零点个数是( )．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5 (1998年试题，二)设f(x)连续，则tf(x2一t2)dt=( )． （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 6 (1997年试题，二)设则F(x)( )． （A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为零 （D）不为常数

7 (2010年试题，一)设m，n为正整数，则反常积分的收敛性( )． （A）仅与m有关 （B）仅于n有关 （C）与m，n都有关 （D）与m，n都无关 8 (2009年试题，3)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1一3—3所示，则函数435的图形为( )．436 （A）

（B） （C） （D） 9 (2007年试题，一)如图1一3—4，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直 径为2的上、下半圆周，设则下列结沦正确的是( )。 （A）

第三章-一元函数积分学

第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础，要求在掌握基本积分法的基础上，更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系（互为逆运算） 3. 不定积分的性质 4．基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求，因 当时 ；当时 ； 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ，，，

二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法（凑微分法） ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若，则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数，且，又具有原函数，则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于，(其中，表示关于，的有理函数)，可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）

一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？

成人高考一元函数积分学整理.

一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1

11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1

高数一元函数积分学习题及答案

第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：

基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法

第三章一元函数积分学(下)

1 分析：如果构造函数 F(x) =xf(x) - ％ f(t)dt ，想用零点定理证明该结论，由于只能得到 F(0)F(1)冬0，无法证明F(x)在区间的端点处函数值异号，故应选择用罗尔定理证明?利 i i 用罗尔定理证明困难在于找辅助函数，只要注意到 x f (t )dt -Xf (X )二［X x f (t)dt 「，辅助 函数便可以得到了. i 证明：令 F(x) =x f (t)dt ，贝V F(x)在区间［0,1］上连续，在区间(0, 1)内可导，且F(0) = F(1) = 0，所以根据罗尔定 1 理可得：至少存在一点 x^ (0,1)，使得F'(X 0)= 0,艮卩x 0f(x °) = f f (t)dt ? 所以存在x^ (0,1)，使得在［0,沧］上以f(x 。)为高的矩形面积，等于在区间 ［x °,1］ 上 以y = f (x)为曲边的曲边梯形的面积. IV 已知被积函数有高阶导数，且最高阶导数连续的积分等式的证明 此种类型的积分等式一般用泰勒公式证明?解题一般思路：①对变上限定积分 F(x)二 x .f (t)dt 在适当的点(由已知条件或所证结论的形式来确定)泰勒展开；②令展开式中的 a 变量分别取积分等式中的积分的上下限， 得到两个关系式；③对上述关系式进行适当的运算 推出所证结论. ［例3232］设f(x)在［a,b ］上具有连续的二阶导数， 试证在(a,b)内存在一点 ，使得 a + b 1 3 u f(x)dx = (b-a)f(_2b) 24(b-a)3f (). x 分析：由于被积函数具有连续的二阶导数， 所以F(x) f(t)dt 在［a,b ］上具有三阶导数, a 于是将F(x)展开成二阶泰勒公式，根据结论的特点，应将 x a + b 证明：将函数 F( xr a f(t)dt 在点 1 处展开为二阶泰勒公式，则 F (x)在 X 。二

《高等数学》(上)一元函数微分学复习题

《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.

一元函数积分学部分综合练习及解答

一元函数积分学部分综合练习及解答 （一）单项选择题 1．下列函数中，（ ）是2cos x x 的原函数． A ．21sin x 2 B ．2 sin x 2 C ．-2 sin x 2 D ．-2 1 sin x 2 答案：A 2．下列等式不成立的是（ ）． A ．A ．x x x 1d d ln = B ．21d d 1x x x -= C ．x x x sin d d cos = D ．x x x 1d d 12= 答案：C 3. 设c x x x x f +=?ln d )(，则)(x f =（ ）． A ．x ln ln B ． x x ln C ．2ln 1x x - D ．x 2ln 答案：C 4. 若 c x x f x x +-=?11e d e )(，则 f (x ) =（ ）． A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x 答案：C 5．下列定积分中积分值为0的是（ ）． A ．x x x d 2e e 1 1?--- B ．x x x d 2e e 11?--+ C ．x x x d )cos (3?-+ππ D ．x x x d )sin (2?-+ππ 答案：A 6．?+∞1-d e 2x x x =（ ） ． A ．e B ． e 21 C ．e 21- D ．∞+ 答案：B （二）填空题 1．若c x x x f ++=?2)1(d )(，则=)(x f . 填写：)1(2+x

2．若c x F x x f +=?)(d )(，则x f x x )d e (e --?= . 填写：c F x +--)e ( 3．=-? -112d )2sin (x x x ． 填写：-4 4． x x d e 02?∞- ．． 填写：2 1 5. 微分方程2e +='-x y 的通解是 . 填写：c x y x ++-=-2e （三）计算题 ⒈ ?+x x x x x )d ln sin ( 解 ?+x x x x x )d ln sin (=?+4774)d(ln ln sin x x x c x x ++-=477 4ln cos 2．? +x x x d 1)ln ( 解 ?+x x x d 1)l n (=?+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122 =c x x x x x +--+4 )ln 2(212 2 3．x x x d ) e 1(e 1 02?+ 解 x x x d ) e 1(e 1 02?+)e d(1)e 1(1102x x ++=? e 1121)e 1(11 0+-=+-=x

《高等数学》(上)一元函数积分学复习题(1)

《高等数学》（上）“一元函数积分学”复习题 1.求不定积分?dx x x 3cos sin . 2.求不定积分?+dx x x x 2)ln (ln 1. 3.求不定积分?-dx x x 2 2 1)(arcsin . 4..求不定积分?xdx 3sin . 5.求不定积分?+dx x 211 . 6.求不定积分?-dx x x 21. 7.求不定积分?-dx x x 92. 8.求不定积分?xdx x ln 2 9.求定积分? π20sin dx x . 10.求定积分?-+123)511(1dx x . 11.定积分?++4 01 22dx x x . 12.求定积分?--1145dx x x . 13.求定积分?+4 094dx e x . 14.求定积分?-121 221dx x x . 15.求定积分 ?21cos π xdx x . 16.求定积分?e xdx x 1ln . 17.若C e dx e x f x x +-=?--1 1 )(，则)(x f 等于多少？ 18.求?''dx x f x )(. 19.已知)(x f 的一个原函数为x 2ln ，求?'dx x f x )(. 20.设函数? =x x dt t f x F ln 1)()(，求)(x F '. 21.设函数? +=32411)(x x dt t x F ，求)(x F '. 22.计算极限x dt e x x x t x --?→002sin lim . 23.当k 为何值时，反常积分dx x x k ?+∞ 2) (ln 1收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？ 24.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成图形的面积. 25.求由曲线2,32x y x y =+=所围成图形的面积.

一元函数积分学综合练习题

一元函数积分学与微分方程综合练习题 一、选择题 1、函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的（ ）条件。 A 、充分； B 、必要； C 、充分必要； D 、无关 2、已知C xe dx x f x +=-?)(，则= A 、C xe x f x +=-)(， B 、x xe x f -=)(， C 、x e x x f --=)1()(， D 、x e x x f -+=)1()(。 3、广义积分1ln e dx x x +∞ ? ( ) A 、发散 B 、收敛 C 、 既不收敛也不发散 D 、不能确定。 4、设无关，则与上连续，且在t x b a t f y ],[)(=（ ） A 、 ??=b a b a dt t f t dt t tf )()(， B 、??=b a b a dt x f t dt t tf )()(， C 、 ??=b a b a dt t f x dt t xf )()(， D 、??=b a b a dt t f t dt t xf )()( 5、='?1 0)2(dx x f （ ） A 、)]0()2([21f f -， B 、)0()2(f f -， C 、)]0()1([2 1f f -，D 、)0()1(f f - 6、下列微分方程中为4阶线性微分方程的是（ ） A 、(4)2560y y x +-= B 、(4)6x y y e x ''-+= C 、 4sin cos y xy x x '''++= D 、(4)sin tan y y xy x += 二、填空题 1、微分方程02)(2=+-'t tx x 的阶数 。 2、若?=,sin )(xdx x f 则)0(f '= 。 3、设f (x )的一个原函数为cos x ，则?='dx x f x )( 。 4、?+21π x t dt dx d = 。 5、='?)arcsin (10xdx 。 6、)1(2 1'-?x t dt t e = 。

一元函数积分学

一元函数积分学 考试要求： 1. 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法。 2. 了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法. 3. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题. 4. 了解反常积分的概念，会计算反常积分. 考试内容解析： （一） 不定积分 1. 基本概念 （1）原函数：若在某区间I 内， ()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为 ()f x 在该区间内的一个原函数（有时候区间略而不提）. （2）原函数与不定积分的关系： 若已知()F x 是()f x 一个原函数，则 ()()f x dx F x C =+?，其中C 为任意常数. 注：若()f x 有一个原函数()F x ，则()f x 必有无穷多个原函数，并且所有原函数皆为()F x C +的形式。 例1设()f x 的导数是sin x ，则()f x 的原函数是 （3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系： (())()f x dx f x '=?或()()d f x dx f x =? ()()F x dx F x C '=+?或()()d dF x F x C =+? （4）不定积分的性质： []()()()()af x bg x dx a f x dx b g x ±=+???，,a b 为任意常数. （5）不定积分的几何意义： ()f x 的不定积分()f x dx ?表示具有斜率为()f x 的“平行”曲线组. 2. 基本积分表（式中C 为任意常数，0a ≠） (1)0dx =? (2)x dx α=? (3)dx x =? (4)x a dx =? (5)x e dx =? (6)sin xdx =? (7)cos xdx =?

一元函数的积分学试题

一元函数的积分学 试题 1.求积分： (1) 2 (2) 1 (1) x x dx x e x ++? (0)x > 2.求2 3 ()()()() ()f x f x f x I dx f x f x ''?? =- ?''???. 3. 设()f x 连续单值单调，-1()f x 为其反函数，且()()f x dx F x C =+?, 求1()f x dx -?. 4.求1 =ln(()()) ()() x a x b I x a x b dx x a x b ++++++?. 5.设()f x 在[0,1]上连续，(0)3f =，且对,[0,1]x y ?∈，恒有 ()()f x f y x y -≤-，估计1 ()f x dx ?的值. 6.设0a b <<,证明在[,]a b 上存在一点ξ，使得2 2 2 3a ab b ξ++=. 7.试证：11 1 ln(1)123 x n +<+++ +. 8.求12 0ln(1) =1x I dx x ++?. 9.设20 cos (2) x dx A x π =+? ，求2 0sin cos =1x x I dx x π +?. 10.设1 ()sin()x t x f x e dt +=? ,试证()2x e f x ≤. 11.设()f x 在[,]ππ-上连续，2()= ()sin 1cos x f x f x xdx x ππ -++?,求()f x . 12.设(2) ()a x y a y f x e dy --=?，求0 =() a I f x dx ?. 13.求. 14.求1 1sin cos dx x x +-? . 15.设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=，求()x dx ??. 16.设()f x 为非负连续函数，当0x >时，有1 20 ()()cos f xt f x dt x =?， 求2()(1)() x xf x x f x dx x e '-+? . 17.求(11)x x dx --+?. 18.设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且()f x x =， [0,]x π∈,求3()f x dx π π ? . 19.设()f x 在[0,1]上连续，且1 ()f x dx A =?，求1 1 [()(1)()]x f t dt x f x dx +-??. 20.设()x ?为可微函数()y f x =的反函数，且(1)0f =，试证 1() 1 [()]2()f x t dt dx xf x dx ?=?? ?. 21.设(,)f u v 在区域{}(,)01,01D u v u v =≤≤≤≤上连续，求证： 220 (cos ,sin )(sin ,cos )f x x dx f x x dx π π=? ?,并计算2 1 1tan dx x πα +?()α为常数. 22.设2 ()sin x x f x t dt π+ =? ,求证：(1)试证：()f x 的周期为π;(2)求()f x 的值域. 23.求曲线231y x =--与x 轴所围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得旋转体的体积. 24.设一抛物线过x 轴上的点(1,0)A ，3,0B （）, (1)试证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积; (2)求上述两平面图形绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体的体积之比. 25.求sin cos =cos sin x x I dx a x b x ++? (0)ab ≠. 26.求(1) lim 1 nx nx n x e dx e →∞-+?. 27.设1 sin n n I dx x =? (2)n ≥,试建立递推公式. 28.2220 2x x e dx e -≤≤?. 29.求1 sin n n n I x xdx π =-??. 30.求2 2+2 lim n x n n x dx e →∞? . 31.设1 sin n n x dx α=?，1 (sin )n n x dx β=?，试证：(1) 0n n αβ≥≥; ·····················阅····················卷·····················密·····················封·····················线·····················系别：_____________ ____________ 专_________________姓名：学号：····················装···················订····················密····················封····················线· ··················