密 封 线
一、填空题 1、将复数
3
2)
3sin 3(cos )5sin 5(cos ????i i -+化为指数形式为
i
e
?19.
2、方程的解为i e z
31+-= Z k k i z ∈++=),23
2(2ln ππ.
3、函数z w e =将区域0Im z π<<映射成区域
π
< 注:也可写为0Im >ω也可为其它形式正确即可. 4、设解析函数)(z f 的实部,)1(2),(y x y x u -=则= ')(z f i x y )1(22--. 注:也可写为)22(2x y -+或)1(2z i -. 5、若2 21)(2 ++= z z z f ,则= ? =1 ||)(z dz z f 0 . 6、设C 是从0=z 到2的圆弧0,21≤≤-+=θπθ i e z ,则 =?C z d z z s i n 2 sin 2cos 2+-. 7、若n n n z c z z z f ) 1() 3)(1(1 )(0 2 -= -+= ∑∞ =,则n n n z c )1(0 -∑∞ =的收敛半径为__ 2 。 8、0=z 为函数 6 sin )(z z z f =的 5阶极点 ,(填奇点类型,若为极点指出阶 数),= =)(Re 0 z f s z ! 51. 9、若幂级数0 n n n c z ∞ =∑在12z i =+处收敛,则该级数在2z =处的敛散性为 绝对收敛 . 10、方程022312248=-+-+-z z z z 在单位圆1||=z 的内部的根的个数为 4个 . 二、判断分析题(要求写出答案给出充分的理由。) 1、函数z sin 在z 平面上有界吗? 答:z sin 在z 平面上无界。 这是因为:,2sin i e e z iz iz --= 于是,时,为实数当)(y iy z = i e e iy y y 2sin -= - 所以,+∞=-=-=-+∞ →-+∞ →+∞ →2 ||lim |2| lim |sin |lim y y y y y y y e e i e e iy 从而:z sin 在z 平面上无界。 2、函数z z f =)(在z 平面上解析吗? 答:z z f =)(在z 平面上处处不解析。 这是因为:设iy x z +=,则iy x y x iv y x u z f -=+=),(),()(, 于是,y y x v x y x u -==),(,),(, 所以, 1, 0,0, 1-=??=??=??=??y v x v y u x u 显然,柯西-黎曼方程x v y u y v x u ??-=????= ??,在整个z 平面上不成立, 从而,z z f =)(在z 平面上处处不可导,进而处处不解析。 三、计算题(40分) 1、计算积分 ?--=+5 3 3 ) 4(i z dz z z z 。 解:被积函数3 3 ) 4(--z z z 只有一个3阶极点4=z 且在区域 5||<+i z 内由高阶导 数公式有: ? =+--5 3 3 ) 4(i z dz z z z 43 |)(! 22=''-= z z z i π.24|6! 224i z i z ππ== = 2、已知函数 ) 1(1)(2 -+= z z z z f ,将 ) (z f 分别在以下的圆环域内展为洛朗 级数. (1)1||0< 1 212)(2 -+ -- =z z z z f (1) 在0<|z|<1内 ∑∞ =-=-021 2 n n z z , 于是, ∑∑∞ =-∞ =-- =-- - =0 1 2 2 21212)(n n n n z z z z z z f . (2)在+∞<<||0z 内, ∑∑∞ =--∞=-== -01 22 1 2n n n n z z z z 于是, ∑ ∑ ∞ =+∞ =++= +- - =0 3 2 1 2 1211212)(n n n n z z z z z z f . (3)在1|1|0<- ∑∞ =--= +-= ) 1() 1(1 111n n n z z z ∑∞ =----='-=1 1 2 ) 1() 1()1( 1n n n z n z z 于是, 1 2) 1() 1()1()1(2)(11 0-+ --+ ---=∑∑∞ =-∞ =z z n z z f n n n n n n 1 2 )1)(1() 1()1()1(20 1 -+ -+-+ ---=∑∑∞ =+∞ =z z n z n n n n n n ∑∞ =+-+-+ -= 1 ) 1)(3() 1(1 2n n n z n z 注:以上各小问结果形式不惟一,正确即可. 3、 . , )(3 )之值(试求平面上,并且轴割破了的确定在从原点起沿正实设i i i z z --== ωωω2 ,1,0,,3 2)(3 == =+k e r re z k z i k i π θθ ω则解:设 . 2)(03 πθω<<= z z z 平面上,故此处 轴割破了的 确定在从原点起沿正实由于, 2 3)(,2 )(2211πθπθ= == =z i z z i z 时,-当时,所以,当 ) 3 26 ( 3 22,)(ππππωk i k i e e i i i + +==--=所以因为, . 2=k 于是, .2 12 3)(6 113 423i e e i i i -= ==-+π ππω所以, 4、已知解析函数)(z f 在正实轴上的数值为纯虚数,且虚部2 2 ),(y x x y x v +=, 试求)(z f . 解:设),()(y x u z f 的实部为, 由于)(z f 为解析函数,故v u ,满足柯西-黎曼方程 ) 2() 1(x v y u y v x u ??- =????= ?? 由于: 2 22 ) (2y x xy y v +-= ??,由(1)可知 2 2 2 ) (2y x xy x u +-= ??,所以 )() (2),(2 2 2 22 y g y x y dx y x xy y x u ++= +-= ?, 密 封 线 于是 )() (2 2 2 22 y g y x y x y u '+--= ?? 而, 2 2 2 22 ) (y x x y x v --= ??,由(2)得: ,0)(='y g 从而C y g =)((其中C 为实常数) , 于是,C y x y y x u ++= 2 2 ),(,所以 C z i y x x i C y x y z f += ++++= 2 2 2 2)( 因为,)(z f 在正实轴上的数值为纯虚数,即当)(为正实数x x z =时,f(z)为纯虚数,而此时 C x i z f += )(,所以,C=0. 所以: .)(2 2 2 2 z i y x x i y x y z f =+++= 5、判别级数∑ ∞ =1n n n i 是否绝对收敛,是否收敛. 解:因为:∑∑∞ =∞ == 1 1 1 || n n n n n i 发散, 故级数 ∑ ∞ =1 n n n i 不绝对收敛. 由于 ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ =+== 1 121 2s i n 2 c o s )(n n n i n n n n i n n e n i ππ π ∑ ∑ ∞ =∞ =+= 1 1 2sin 2cos n n n n i n n ππ 而 ∑ ∞ =1 2cos n n n π, ∑ ∞ =12sin n n n π 都为收敛级数,所以原级数收敛, 故原级数条件收敛。 6、运用留数计算积分10 ||2 (1)(3)() z dz z z z i =---? 。 解:设10 1 ()(1)(3)() f z z z z i = ---,则()f z 的所有的奇点为:11z =为一阶 极点,23z =为一阶极点,3z i =为10阶极点,其中11z =,3z i =在||2z =的内部,故 10 ||2 (1)(3)() z dz z z z i =---? 1 2[Res ()Res ()]z z i i f z f z π===+ 3 2[Res ()Res ()]z z i f z f z π==∞ =-+ 而 310 10 3 3 11Res ()lim (3)()|(1)() 2(3) z z z f z z f z z z i i =→==-= = --- 20 11 R es ()R es ()z z f z f z z =∞ == 10 10 R e s 0(1)(1)(13) z z iz z z ===+--, 所以, 10 ||2 (1)(3)() z dz z z z i =---? 10 10 12( 0)2(3) (3) i i i i ππ=-+=- --. 7、? +∞ ++0 2 2 2 ) 4)(1(dx x x x 解:由于) 4)(1()(2 2 2 ++= x x x x f 为偶函数,故 ? ? +∞ ∞ -+∞ ++= ++dx x x x dx x x x ) 4)(1(2 1) 4)(1(2 2 2 2 2 2 而,函数) 4)(1()(2 2 2 ++= z z z z f 在上半平面内的奇点只有i z i z 2,==两个一阶 极点,且符合课本中定理6.7的条件. i i z z z s i z i z 6 1) 25(21|) 52(2Re 22= --=+= == i i z z z s i z i z 31)85(44|)52(2Re 22 22-=--= += == 故,.3 )3 16 1(2) 4)(1(2 2 2 π π= - =++? +∞ ∞ -i i i dx x x x 从而,.6 ) 4)(1(0 2 2 2 π = ++? +∞ dx x x x 四、证明题 若)(z f 在周线C 内部除有一个一阶极点外解析,且连续到C ,在C 上 .1|)(|=z f 证明:)1|(|)(>=a a z f 在C 内部恰好有一个根. 证明:令a z f -=)(ω则沿C 有1|)(|||==+z f a ω 即此变换将z 平面上的C 变为ω平面上-以a 为心以1为半径的圆Γ。 Γ∴>,1||a 不包含原点 从而ω不会绕原点转一周,于是.0))(arg (=-?a z f c 5分 因为)(z f 在周线C 内部除有一个一阶极点外解析,且连续到C , 所以f(z) - a 在C 内部具有同样的性质,且在C 上01|||)(|≠-≥-a a z f ,从而满足辐角原理及其推论的条件, 于是 02) )(arg(),)((),)((=-?= -=-π a z f C a z f P C a z f N c 即)1|(|)(>=a a z f 在C 内部恰好有一个根。 五、探讨题 设?? ???=≠=0 ,00, 1sin )(2 z z z z z f ,{}11|<-=z z D 。 1、求出函数)(z f 在区域D 内的所有零点,并判断其是否有无限个? 2、若上小题的答案是肯定的,是否与解析函数零点的孤立性相矛盾?为什么? 解:(1))(z f 在区域D 内的零点有: ,2,1,0,1== k k z k π 有无穷多个。 (2) 这与解析函数零点的孤立性是不矛盾的。 这是因为:这里)(z f 在D 内解析,)(z f 在D 内虽有无穷多个零点,但这无穷多个零点的惟一聚点为0,所以除零外的这些零点全部为f(z)的孤立零点,而0不在D 内,且0为)(z f 本质奇点而不是解析点它可为)(z f 的非孤立零点.故上述结论不与解析函数零点的孤立性相矛盾. 06-07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理:设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明:若E 有界,则m E *<∞. 证明:若n E R ?有界,则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . (0M >充分大)使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证:设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零, 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ,只要 0m E μ*≤≤,就有1E E ?,使1m E μ*=. 证明:因为E 有界,设[],E a b ?(,a b 有限), 令()(),f x m E a x b *=?<< , 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与,不妨设a x x x b ≤≤+?≤, 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?. 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ,0 2E ,2E 。 解:(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤, (){}222,1E x y x y =+< , (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?,12 m E =。 解:在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ,接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间,以此类推,一般进行到第n 次时, 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间,剩下的n 2个闭区间,如此重复 下去,这样就可以得到一个闭的疏朗集,去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13 实变函数试题库及参考答案(5) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 2.设n E R ?,如果E 满足0 E E =(其中0 E 表示E 的内部),则E 是 3.设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??,则(,)a b 必为G 的 4.设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设,A B 为可测集,B A ?且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 6.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是 7.若()E R ?是可数集,则__0mE 8.设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ?x E ∈(是否成立) 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则 ( ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 2.下列集合关系成立的是( ) (A )()()()A B C A B A C = (B )(\)A B A =? (C )(\)B A A =? (D )A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集,则 ( ) (A )0 E E = (B )E E = (C )E E '? (D )E E '= 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设{[0,1]}E =中的有理点 ,则( ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )0mE = (D )E 中的每一点均为E 的内点 实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数,则*0m Q =,()Q Q x χ可测,可测,有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可 测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时, 2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题(判断正误,正确的请简要说明理由,错误的请举出反例) 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。(×) 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。(√) 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×) 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ? 。 (×,比如{}()n f x 为单调递增时,由Levi 定理,这样的子列一定不存在。) 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×,比如课本上法都引理取严格不等号的例子。) 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≤?? 。 (√) 7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≥? ? 。 (×) 8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数,则()f x 必为[0,1]上的可测函数。 (√,Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系) 9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在,则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。 (√,注意到黎曼反常积分的定义的前提条件,对任意自然数0n >,()f x 在[0,]n 上 黎曼可积,从而()f x 是[0,]n 上的可测函数,进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数) 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数,()[0,1],n G f 表示()n f x 在 二.判断题(每题3分,共30分) 1.n z z (在0=z解析。【】 f= z ) 2.)(z f 在0z 点可微,则)(z f 在0z 解析。【 】 3.z e z f =)(是周期函数。【 】 4. 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5. 设级数∑∞=0n n c 收敛,而||0∑∞=n n c 发散,则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6. 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π; 2. 三级极点 ; 3. 23z ; 4. 0 ; 5. 0 ; 6. e 1 ;7. 322)1(26+-s s ;8. 0; 9. 0 ;10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错;2.错;3.对的; 4. 错 ;5.对的 ;6.错; 7.错 ; 8. 错 ;9. 对的 ;10. 错 。 三(8分) 解:1)在2||1< 。习题2.1 1.若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集,求b E E E E ,,,' . 解 E =?;[0,1][0,1]b E E E '===?。 2.设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ,求b E E E E ,,,' . 解 E =?;{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3.下列各式是否一定成立? 若成立,证明之,若不成立,举反例说明. (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???; (2) )()(B A B A ''=' ; (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ; (4) B A B A =; (5) ???=B A B A )(; (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ,{}n n E r =(单点集),则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是,总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ,{}n n E r =(单点集),则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是,总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =,(,)B b c =,则A B =?,而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =,而 ()(,)A B a c =,(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此, 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>,20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈,即 ()A B A B ?。因此,()A B A B =. 4.试作一点集A ,使得A '≠?,而?='')(A . 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =,则{0}A '=,()A ''=?. 5.试作一点集E ,使得b E E ?. 解 取E =Q ,则b E =R 。 6.证明:无聚点的点集至多是可数集. 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集,所以只要证明:任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈,都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球(即中心为有理点、半径为正有理数的开球)(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈,从而 (,){}x x B P r A x =。显然,对于任意的,x y A ∈,当x y ≠时,有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠, 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =,则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可 [0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是() A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]2.闭集减去开集是() A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案:B [单选题]3.可数多个开集的交是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]4.可数多个闭集的并是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]6.可数集与有限集的并是() A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案:B [判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案:正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是() A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案:C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数,则f(x)的间断点集是()A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案:C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数,E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案:A [单选题]10.波雷尔集是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案:正确 [单选题]1.开集减去闭集是()。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]5.可数多个开集的并是() A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案:A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案:错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案:错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案:正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案:正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案:正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是() A:0 B:1 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,50 75100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 试卷一: 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都有 实变函数论考试试题及答案 证明题:60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?,且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立,Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?,则存在{}{}i n n f f ?,使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>,则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上,()i n f x 收敛到()f x , 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x (单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外,()n f x 收敛于()f x ,就是()n f x . 收敛到()f x 。 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 321+- (D )i 2 1 23+- 3.复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ) )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i -- 4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无 界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( ) 实变函数试题库及参考答案(4) 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) )(b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.(填“一定”“不一定”) 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1.设(){},001E x x =≤≤,则( ) A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2.设()f x ,()g x 是E 上的可测函数,则( ) A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3.下列集合关系成立的是() A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集,则 ( ) A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 i (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 0) Im()Im(z z -) 1 1.设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π = -=i z z ,则=z 实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则()\A B B U A B U (用描述集合间关系的符号填写) 2.设A 是B 的子集,则A B (用描述集合间关系的符号填写) 3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是 4.有限个开集的交是 5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E U 12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写) 6.设n E ??是可数集,则*m E 0 7.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ?∈?,()E x f x a ??≥??是 ,则称()f x 在E 上可测 8.可测函数列的上极限也是 函数 9.设()()n f x f x ?,()()n g x g x ?,则()()n n f x g x +? 10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上 二、选择题 1.下列集合关系成立的是( ) 2.若n R E ?是开集,则( ) 3.设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数,则( ) 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设[]{}0,1E =中无理数,则( ) A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2.设n E ??是无限集,则( ) A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥(a 为自然数集的基数) 3.设()f x 是E 上的可测函数,则( ) A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限 4.设()f x 是[],a b 上的有界函数,且黎曼可积,则( ) A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. ( ) 2. 可数个可测集的并是可测集. ( ) 3. 相等的集合是对等的. ( ) 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. ( ) 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合,但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点,聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系? 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系? 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??,其中E 为[]0,1中有理数集,求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数,(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ,求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1.证明集合等式:(\)A B B A B =U U 2.设E 是[0,1]中的无理数集,则E 是可测集,且1mE = 3.设(),()f x g x 是E 上的可测函数,则[|()()]E x f x g x >是可测集 4.设()f x 是E 上的可测函数,则对任何常数0a >,有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5.设()f x 是E 上的L -可积函数,{}n E 是E 的一列可测子集,且lim 0n n mE →∞ =,则 实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题实变与泛函期末试题答案
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