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数列与平面向量练习题

数列部分:

1.等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ,则()'

0f =

( ) A .62 B. 92 C. 122 D. 152

2.

2111lim 1333n x →∞?

?++++= ??? ( ) A. 5

3 B. 3

2 C. 2 D. 不存在

3、在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠.若12345m a a a a a a =,则m=( ) (A )9 (B )10 (C )11 (D )12

4.已知数列{}n a 的首项10a ≠,其前n 项的和为n S ,且112n n S S a +=+,则lim

n n n

a S →∞

=——

(A )0 (B )12

(C ) 1 (D )2

5、已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =,则数列1n a ??????

前5项和为( ) (A )

158

或5 (B )

3116

或5 (C )

3116

(D )

158

6、设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是( ) A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2Y XZ =

D 、()()Y Y X X Z X -=-

7、如图,在半径为r 的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n →∞

n S = ( )

A . 22

r π B.

83

2r π C.42r π D.62

r π

8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n=( )A .6

B .7

C .8

D .9

9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ,且25252(3)n

n a a n -?=≥,则当1n ≥时,

2123221log log log n a a a -+++=

( )

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n - 10、设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若

63

S S =3 ,则

6

9S S =( )

A. 2

B. 73

C. 83

D.3

11、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列。若1a =1,则4S =( ) A.7 B.8 C.15 D.16

12、已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99,以n S 表示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是( )A.21 B.20 C.19 D. 1813、数列{}n a 的通项2

2

2

(cos

sin

)3

3

n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S 为( )

A .470

B .490

C .495

D .510

14、已知数列{}n a 满足:434121,0,,N ,n n n n a a a a n *

--===∈则2009a =________;

2014a =_________.

15、等差数列{n a }前n 项和为n S 。已知1m a -+1m a +-2m

a

=0,21m S -=38,则m=_______

16、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2

lim

n n S n

→∞

= .

17、将正⊿ABC 分割成n 2(n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列,若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)=

,…,

f(n)=_______________.

18、设12a =,121

n n a a +=

+,21

n n n a b a +=

-,*n N ∈,则数列{}n b 的通项公式

n b = .

19、设112,,(2)(3)2

3n

n n n N x x ≥∈+

-+

2012n

n a a x a x a x =+++???+,将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ,则23453

3

5

5

11

110,,0,,,,2

3

2

3

n T T T T T ==

-

==

-

??????其中

n T =__________________ .

20、已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则

n a n

的最小值为__________.

21.若数列{}n a 满足:对任意的n N *∈,只有有限个正整数m 使得m a n <成立,记这样的m 的个数为()n a *

,则得到一个新数列{}()n a *.例如,若数列{}n a 是1,2,3,n …,…,则

数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…,….已知对任意的N n *∈,2n a n =,则5()a *

= ,

(())n a **

= .

解答题:

1、在数列{}n a 中,10a =,且对任意*

k N ∈.21k a -,2k a ,21k a +成等差数列,其公差为k d 。

(Ⅰ)若k d =2k ,证明2k a ,21k a +,22k a +成等比数列(*

k N ∈)

(Ⅱ)若对任意*

k N ∈,2k

a ,21k a +,22k a +成等比数列,其公比为k q 。证明:(i )11k q ??

??

-??

是等差数列。(ii) 对任意2n ≥,n N *

∈,有2

2

3222

n

k k

k

n a =<-

≤∑

2、数列{}*

()n a n N ∈中,11,

+=n a a a 是函数3

222

11()(3)33

2

n n n f x x a n x n a x =

-

++的

极小值点

(Ⅰ)当a=0时,求通项n a ;

(Ⅱ)是否存在a ,使数列{}n a 是等比数列?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

3、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3122a a a +=,数列{

}

n S 是公差

为d 的等差数列。

(1)求数列{}n a 的通项公式(用d n ,表示);

(2)设c 为实数,对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,,不等式k n m cS S S >+都成立。求证:c 的最大值为2

9。

4、在数列{}n a 中,11111,(1)2

n n n

n a a a n

++==++

(I )设n n a b n

=,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n

S

5、设{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足2222

23457,7a a a a S +=+=。(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (2)试求所有使得12

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项的正整数m 的值。

6、已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥ 具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A .

(Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由;

(Ⅱ)证明:11a =,且121

1

1

12n n n

a a a a a a a ---+++=+++ ;

(Ⅲ)证明:当5n =时,12345,,,,a a a a a 成等比数列.

7、对于正整数n ≥2,用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数,其中{},1,2,,a b n ∈ (a 和b 可以相等);对于随机选取的

{},1,2,,a b n ∈ (a 和b 可以相等),记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有

实数根的概率。

(1)求2

n T 和2

n P ; (2)求证:对任意正整数n

≥2,有1n P >-

.

8、等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +

∈ ,点(,)n n S ,均在函数

(0x

y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.

(1)求r 的值;

(11)当b=2时,记 22(log 1)()n n b a n N +

=+∈

证明:对任意的n N +

,不等式1212111

·······n n

b b b b b b +++>

9、已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== .从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为

(0)n n k k >的切线n l ,切点为(,)n n n P x y .

(1)求数列{}{}n n x y 与的通项公式;

(2

)证明:13521n n n

x x x x x y -????<< .

10、首项为正数的数列{}n a 满足2

11(3),.4

n n a a n N ++=

+∈

(I )证明:若1a 为奇数,则对一切2,n n a ≥都是奇数; (II )若对一切n N +∈都有1n n a a +>,求1a 的取值范围.

11、各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正整数,,,m n p q 都有

.(1)(1)

(1)(1)

p q m n

m n p q a a a a a a a a ++=

++++

(1)当14,25

a b =

=

时,求通项;n a

(2)证明:对任意a ,存在与a 有关的常数λ,使得对于每个正整数n ,都有1

.n a λλ

≤≤

12、已知数列{}n a 的前n 项和11

()22n n n S a -=--+(n 为正整数)。

(Ⅰ)令2n n n b a =,求证数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令1n n n c a n

+=,12........n n T c c c =+++试比较n T 与

521

n n +的大小,并予以证明。

13、已知数列{}n x 满足, *

1111,21n n

x x n N x ∈++’

.

()I 猜想数列{}n x 的单调性,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1

112|()65

n n n x x -+-|≤

。 14、已知等差数列{n a }的公差为d (d ≠0),等比数列{n b }的公比为q (q>1)。设

n s =11a b +22a b …..+ n n a b ,n T =11a b -22a b +…..+(-11

)

n - n n a b ,n ∈N +

(I)

若1a =1b = 1,d=2,q=3,求 3S 的值; (II)

若1b =1,证明(1-q )2n S -(1+q )2n T =

222(1)

1n

dq q q

--,n ∈N +

(Ⅲ) 若正数n 满足2≤n ≤q ,设1212,,...,,,...,12...n n k k k l l l 和是,

,,n 的两个不同的排列, 12112...n k k k n c a b a b a b =+++, 12212...n l l l n c a b a b a b =+++ 证明21c c ≠。

15、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的正整数n ,都有51n n a S =+成立,记

*

4()1n n n

a b n N a +=

∈-。

(I )求数列{}n b 的通项公式;

(II )记*221()n n n c b b n N -=-∈,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,求证:对任意正整数n 都有32

n T <

(III )设数列{}n b 的前n 项和为n R 。已知正实数λ满足:对任意正整数,n n R n λ≤恒成立,求λ的最小值。

16、已知{}n a 是公差为d 的等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列。 (1)

若31n a n =+,是否存在*m k N ∈、,有1?m m k a a a ++=说明理由; (2)

找出所有数列{}n a 和{}n b ,使对一切*

n N ∈,

1n n n

a b a +=,并说明理由;

(3)

若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ,使数列{}n a 中存在某个连续p 项的

和是数列{}n b 中的一项,请证明。

17、设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m ≥ 依次围成一个圆圈.

(Ⅰ)若2009m =,且121005,,,a a a 是公差为d 的等差数列,而1200920081006,,,,a a a a 是公比为q d =的等比数列;数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m ≤满足:

320092007115,12S S S a ==+,求通项()n a n m ≤;

(Ⅱ)若每个数()n a n m ≤是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:

2

2

16712m m a a a a m a a a +++++> ;

平面向量部分:

1、平面上O,A,B 三点不共线,设,O A=a O B b =,则△OAB 的面积等于( )

2、已知向量a ,b 满足0,1,2,a b a b ?===,则2a b -=( )

A. 0

B.

C. 4

D. 8

3、设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,

则AM ∣∣=

( ) (A )8 (B )4 (C ) 2 (D )1

4、定义平面向量之间的一种运算“ ”如下,对任意的a =(m ,n) ,b p,q)=

(,令a b =m q -n p

,下面说法错误的是( )

A.若a 与b

共线,则a b =0 B.a b =b a C.对任意的R λ∈,有

a )

b =(λλ (a b ) D. 2222

(a b)+(a b)=|a||b|

5、在R t A B C ?中,C ∠=90°AC=4,则→

?AC AB 等于( )

A 、-16

B 、-8

C 、8

D 、16

6.已知A B C ?和点M 满足0M A M B M C --→

--→

--→

+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→

--→

--→

+=成立,则m=( ) A .2 B .3 C .4 D .5

7、已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=,且α与βα-的夹角为120°,则α的取值范围是__________________ .

8.已知向量a ,b 满足1a = ,2b = , a 与b 的夹角为60°,则a b -=

9、在ABC ?中,AD AB ⊥,BC =

,1A D = ,则=?→

→AD AC .

10.若向量→

a =(1,1,x ), →

b =(1,2,1), →

c =(1,1,1),满足条件2)2()(-=?-→

b a

c ,则x = . 11、设向量a ,b 满足:||3=a ,||4=b ,0?=a b .以a ,b ,-a b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A .3 B.4 C .5

D .6

12、已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ,那么 ( ) A .1k =且c 与d 同向 B .1k =且c 与d 反向 C .1k =-且c 与d 同向 D .1k =-且c 与d 反向 13、设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=

,则( )

A.0PA PB +=

B.0PC PA +=

C.0PB PC +=

D.0PA PB PC ++=

14、设a 、b 、c 是单位向量,且a ·b =0,则()()a c b c -?-的最小值为 ( )

A.2- 2

C.1-

D.1-

15、已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合,则=?Q P ( )

A .{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}

16、已知向量()2,1,10,||a a b a b =?=+=,则||b =( )

5 D. 25

17、平面向量a 与b 的夹角为0

60,(2,0)a =,1b = 则2a b +=

( )

18、已知O ,N ,P 在A B C ?所在平面内,且,0O A O B O C N A N B N C ==++=,且

PA PB PB PC PC PA ?=?=?,则点O ,N ,P 依次是A B C ?的( )

A.重心 外心 垂心

B.重心 外心 内心

C.外心 重心 垂心

D.外心 重心 内心 19、已知1,6,()2==-= a b a b a ,则向量a 与向量b 的夹角是( )

A .

6

π

B .

4

π

C .

3

π

D .

2

π

20、函数cos(2)26

y x π

=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),

y f x =当()y f x =为奇函数时,向量a 可以等于( )

.(,2)6

A π

-

- .(,2)6

B π

-

.(

,2)6

C π

- .(

,2)6

D π

21、若平面向量a ,b 1=+,b a +平行于x 轴,)1,2(-=b ,则=a

22、已知向量a 和向量b 的夹角为30o

,||2,||a b ==

a 和向量

b 的数量积

a b ?

= . 23、给定两个长度为1的平面向量O A 和OB

,它们的夹角为120o .

如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB

上变动.

若,O C xO A yO B =+

其中,x y R ∈,则x y +的最大值是

________.

24、已知向量(3,1)a = ,(1,3)b = ,(,7)c k = ,若()a c -

∥b ,则k = .

解答题:

1、在平面直角坐标系xOy 中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0,求t 的值。

2、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-

(1)若a 与2b c -

垂直,求tan()αβ+的值;

图(2)求||b c +

的最大值;(3)若tan tan 16αβ=,求证:a ∥b

.3、已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直,其中(0,

2

π

θ∈.

(1)求θsin 和θcos 的值;

(2)若sin()010

2

π

θ??-=<<

,求cos ?的值.4、在A B C

?,已知2

23AB AC AC BC ?=

?=

,求角A ,B ,C 的大小.

5、已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.

(1)若5=c ,求sin ∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求c 的取值范围.

6、如图,已知点)1 , 1(A 和单位圆上半部分上的动点⑴若OB OA ⊥,求向量OB ; ⑵求||OB OA +的最大值.

参考答案

数列部分:1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B 13.A 14.

1,0

15.

10

16.

1

17.

)

2)(1(6

1,310+-n n 18.

1

2

+n

19.)(20123121*

N k k

n k n T n

n n ∈??

???=+=-= 20. 221 21. 2 ,2n

解答题:1、(Ⅰ)证明:由题设,可得*

4,21

21

a a

k k N k k -=∈+-。

所以131()()...()212121

21

23

a

a a

a

a

a

a a k k k k k -=-+-++-++---

=44(1)...41k k +-++?=2k(k+1) 由1a =0,得2

2

2(1),22,2(1).21

221

22

a

k k a

a

k k a

k k k

k k =+=-==++++从而

于是1121222221

,,221212a

a a a

k k k k k k a k a k a a k k k k

++++++===++所以。

所以*

2,,,221

22

k d k k N a a

a

k

k k =∈++时,对任意成等比数列。

(Ⅱ)证法一:(i )证明:由2,,21

21k a

a a

k k -+成等差数列,及,,22122

a

a

a

k k k ++成

等比数列,得212112,2221

21

221

k

a

a

k k a

a

a

q k

k k a a q k k k -+=+=

+

=+-+-

当1q ≠1时,可知k q ≠1,k ∈*N ,

从而)2(1111

1211

11

1

≥+-=

--

=---k q q q k k k 所以11q k ????

??-????

是等差数列,公差为1。 (Ⅱ)证明:10a =,22a =,可得34a =,从而142,

2

q =

=1

11

q -=1.由(Ⅰ)有 *

1111,,1

k k k k q k N q k

k +=+-==∈-得

所以2

*

2

22211221,,21

22a a

a

k k k k k k N a

a k a k k k k

+++++=

==∈+()

从而 因此,

2222*2222(1)222214...........22..

2(1),2212(1)(2)122242

k

a

a

a k k k

k k a a k a a k k k N k k a a a k k k

k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论:

(1) 当n 为偶数时,设n=2m(*m N ∈)

若m=1,则2

222n

k k

k

n a =-=∑

.

若m≥2,则

2

2221

2

2

1

1

1

221

(2)(21)42n

m

m m

k k k k k

k

k k

k k k a a a k

-====++=

+

=

+

221

1

1

1

1

1441441

1112222(1)

2(1)2(1)21113122(1)(1)222.

m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n m

n ---===??+++????=++=+

+- ?????

++++??????=+-+

-

=-

-∑

所以2

2

2

2

3132,22,4,6,8 (2)

2

n

n

k k k

k

k

k

n n n a n

a ==-=+

<-

<=∑

从而

(2)当n 为奇数时,设n=2m+1(*m N ∈)

2

22

2

22

2

21

(21)31(21)

42

22(1)

n

m

k k k

k

m k

k

m m m a a a m

m m ==+++=

+

=-

-

+

+∑

1131422

2(1)

2

1

m n m n =+

-

=-

-

++

所以2

2

312,2

1

n

k k

k

n a n =-=

+

+∑

从而2

2

322,3,5,72

n

k k k

n n a =<-

<=∑

···

综合(1)(2)可知,对任意2n ≥,n N *

∈,有

2

2

3222

n

k k

k

n a =<-

≤∑

证法二:(i )证明:由题设,可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-

2

12221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d +=

23221

112

22

22

221111k k k k k k k k k k k

k k

k a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-=

=

=+

=+

=+

由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。可得

111

111

1

1

1

k

k k k k q q q q q +-

=

-

=----,

所以11k q ????-??

是等差数列,公差为1。

(ii )证明:因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。 所以3214a a d =+=,从而312

2a q a =

=,

11

11q =-。于是,由(i )可知所以11k q ??

??-??

是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得

11

k q -= ()11k k +-=,故1k k q k

+=

从而

11k k k d k q d k ++==

所以

1

21

12

1

1

2.........

.

......

12

1

k k

k k k d d d d k

k k d d d d k k ----=

=

=--,由12d =,可得2k d k =。

于是,由(i )可知()2

21221,2,*k k a k k a k k N +=+=∈以下同证法一。

2

3、(1)由题意知:0d >,

(1)(1)n d n d =

-=

-

21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=,2

2

2

1)]2),d a d -=

化简,得:22

11,a d d d a d -+===

22

(1),n d n d nd S n d =+-==,

当2n ≥时,22222

1(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-,适合1n =情形。

故所求2

(21)n a n d =-

(2)(方法一)

2

2

2

2

22222

m n k S S cS m d n d

c k

d m n c k +>?+>??+>?, 22

2

m n c k +<

恒成立。

又n m k n m ≠=+且3,22

2222

2

92()()92

m n m n m n k k

++>+=?

>,

故92

c ≤,即c 的最大值为

2

9。

d =(1)n d =

-,得0d >,22

n S n d =。

于是,对满足题设的k n m ,,,m n ≠,有

2

222

2

22

()

99()2

2

2

m n k m n S S m n d d d k S ++=+>

=

=

。 所以c 的最大值m ax 92

c ≥

另一方面,任取实数92

a >

。设k 为偶数,令331,12

2

m k n k =

+=

-,则k n m ,,符合条件,

且2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

1()[(1)(1)](94)2

2

2

m n S S m n d d k k d k +=+=++-=

+。

于是,只要22

942k ak +<,即当

k >

时,22

122

m n k S S d ak aS +

所以满足条件的92

c ≤,从而m ax 92

c ≤

。 因此c 的最大值为

92

4、(I )由已知有

111

2

n n n

a a n n +=++112

n n n

b b +∴-=

利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1

122

n n b -=-(*n N ∈)

(II )由(I )知1

22

n n n a n -=-

, ∴n S =1

1

(2)2

n

k k k k -=-

∑1

1

1

(2)2

n

n

k k k k k -===-∑

而1

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又1

1

2

n

k k k -=∑

是一个典型的错位相减法模型,

易得1

1

1

242

2

n

k n k k n --=+=-

∴n S =(1)n n +1

242

n n -++

-

5、(1)设公差为d ,则2

2

2

2

2543a a a a -=-,由性质得43433()()d a a d a a -+=+,因为0d ≠,所以430a a +=,即1250a d +=,又由77S =得176772

a d ?+=,

解得15a =-2d =

,

(2)

(方法一)12

m m m a a a ++=

(27)(25)

23m m m ---,设23m t -=,

12

m m m a a a ++=

(4)(2)

86t t t t

t

--=+-, 所以t 为8的约数

(方法二)因为

12222

2

2

(4)(2)

86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--=

=-+

为数列{}n a 中的项,

m +2

8 a 为整数,又由(1)知:2m a +为奇数,所以2231,1,2m a m m +=-=±=即

经检验,符合题意的正整数只有2m =。6、(Ⅰ)由于34?与

43

均不属于数集{}1,3,4,∴该数集不具有性质P.

由于661236

12,13,16,23,

,,,,,231236

????都属于数集{}1,2,3,6,∴该数集具有性质P. (Ⅱ)∵{}12,,n A a a a = 具有性质P ,∴n n a a 与

n n

a a 中至少有一个属于A ,

由于121n a a a ≤<<< ,∴n n n a a a >,故n n a a A ?.从而1n n

a A a =

∈,∴11a =.

∵121n a a a =<<< , ∴k n n a a a >,故()2,3,,k n a a A k n ?= . 由A 具有性质P 可知

()1,2,3,,n k a A k n a ∈= . 又∵

1

2

1

n n n n n

n a a a a a a a a -<<<

< ,

2112

1

1,

,,

n n n n n n n

n a a a a a a a a a a a --==== ,

从而

1211

2

1

n n n n n n n

n a a a a a a a a a a a a --=++

+

=++++ , ∴

12111

12n n n

a a a a a a a ---+++=+++ .

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当5n =时,有

55234

3

,

a a a a a a ==,即2

5243a a a a ==,

∵1251a a a =<<< ,∴34245a a a a a >=,∴34a a A ?, 由A 具有性质P 可知

43

a A a ∈.

2

243a a a =,得

3423

a a A a a =

∈,且322

1a a a <

=,∴

3423

2

a a a a a =

=,

534224

3

2

1

a a a a a a a a a =

=

=

=,即12345,,,,a a a a a 是首项为1,公比为2a 成等比数列。

7、

8、解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的

图像上.所以得n

n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2

n ≥时,111

1()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以

1r =-,公比为b ,1

(1)n n a b b

-=-

(2)当b=2时,11(1)2n n n a b b --=-=, 1

222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=

1212n n

b n b n

++=

,所以

121211135721

·······2462n n b b b n b b b n

++++=??

下面用数学归纳法证明不等式

121211135721

·······2462n n b b b n b b b n

++++=??> 成立.

① 当1n =时,左边=32

,右边

因为

32>

所以不等式成立.

② 假设当n k =时不等式成立,

121211135721

·······2462k k b b b k b b b k

++++=??> 成立.

则当1n k =+时,左边=

11212111113572123

(246222)

k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=?????+

2322

k k +>=

=

=>

+所以当1n k =+时,不等式也成立.

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