数列部分:
1.等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ,则()'
0f =
( ) A .62 B. 92 C. 122 D. 152
2.
2111lim 1333n x →∞?
?++++= ??? ( ) A. 5
3 B. 3
2 C. 2 D. 不存在
3、在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠.若12345m a a a a a a =,则m=( ) (A )9 (B )10 (C )11 (D )12
4.已知数列{}n a 的首项10a ≠,其前n 项的和为n S ,且112n n S S a +=+,则lim
n n n
a S →∞
=——
(A )0 (B )12
(C ) 1 (D )2
5、已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =,则数列1n a ??????
的
前5项和为( ) (A )
158
或5 (B )
3116
或5 (C )
3116
(D )
158
6、设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是( ) A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2Y XZ =
D 、()()Y Y X X Z X -=-
7、如图,在半径为r 的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n →∞
n S = ( )
A . 22
r π B.
83
2r π C.42r π D.62
r π
8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n=( )A .6
B .7
C .8
D .9
9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ,且25252(3)n
n a a n -?=≥,则当1n ≥时,
2123221log log log n a a a -+++=
( )
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2n
D. 2(1)n - 10、设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若
63
S S =3 ,则
6
9S S =( )
A. 2
B. 73
C. 83
D.3
11、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列。若1a =1,则4S =( ) A.7 B.8 C.15 D.16
12、已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99,以n S 表示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是( )A.21 B.20 C.19 D. 1813、数列{}n a 的通项2
2
2
(cos
sin
)3
3
n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S 为( )
A .470
B .490
C .495
D .510
14、已知数列{}n a 满足:434121,0,,N ,n n n n a a a a n *
--===∈则2009a =________;
2014a =_________.
15、等差数列{n a }前n 项和为n S 。已知1m a -+1m a +-2m
a
=0,21m S -=38,则m=_______
16、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2
lim
n n S n
→∞
= .
17、将正⊿ABC 分割成n 2(n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列,若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)=
,…,
f(n)=_______________.
18、设12a =,121
n n a a +=
+,21
n n n a b a +=
-,*n N ∈,则数列{}n b 的通项公式
n b = .
19、设112,,(2)(3)2
3n
n n n N x x ≥∈+
-+
2012n
n a a x a x a x =+++???+,将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ,则23453
3
5
5
11
110,,0,,,,2
3
2
3
n T T T T T ==
-
==
-
??????其中
n T =__________________ .
20、已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n a n
的最小值为__________.
21.若数列{}n a 满足:对任意的n N *∈,只有有限个正整数m 使得m a n <成立,记这样的m 的个数为()n a *
,则得到一个新数列{}()n a *.例如,若数列{}n a 是1,2,3,n …,…,则
数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…,….已知对任意的N n *∈,2n a n =,则5()a *
= ,
(())n a **
= .
解答题:
1、在数列{}n a 中,10a =,且对任意*
k N ∈.21k a -,2k a ,21k a +成等差数列,其公差为k d 。
(Ⅰ)若k d =2k ,证明2k a ,21k a +,22k a +成等比数列(*
k N ∈)
(Ⅱ)若对任意*
k N ∈,2k
a ,21k a +,22k a +成等比数列,其公比为k q 。证明:(i )11k q ??
??
-??
是等差数列。(ii) 对任意2n ≥,n N *
∈,有2
2
3222
n
k k
k
n a =<-
≤∑
2、数列{}*
()n a n N ∈中,11,
+=n a a a 是函数3
222
11()(3)33
2
n n n f x x a n x n a x =
-
++的
极小值点
(Ⅰ)当a=0时,求通项n a ;
(Ⅱ)是否存在a ,使数列{}n a 是等比数列?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由。
3、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3122a a a +=,数列{
}
n S 是公差
为d 的等差数列。
(1)求数列{}n a 的通项公式(用d n ,表示);
(2)设c 为实数,对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,,不等式k n m cS S S >+都成立。求证:c 的最大值为2
9。
4、在数列{}n a 中,11111,(1)2
n n n
n a a a n
++==++
(I )设n n a b n
=,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n
S
5、设{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足2222
23457,7a a a a S +=+=。(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (2)试求所有使得12
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项的正整数m 的值。
6、已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥ 具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A .
(Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由;
(Ⅱ)证明:11a =,且121
1
1
12n n n
a a a a a a a ---+++=+++ ;
(Ⅲ)证明:当5n =时,12345,,,,a a a a a 成等比数列.
7、对于正整数n ≥2,用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数,其中{},1,2,,a b n ∈ (a 和b 可以相等);对于随机选取的
{},1,2,,a b n ∈ (a 和b 可以相等),记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有
实数根的概率。
(1)求2
n T 和2
n P ; (2)求证:对任意正整数n
≥2,有1n P >-
.
8、等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +
∈ ,点(,)n n S ,均在函数
(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
(1)求r 的值;
(11)当b=2时,记 22(log 1)()n n b a n N +
=+∈
证明:对任意的n N +
∈
,不等式1212111
·······n n
b b b b b b +++>
9、已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== .从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为
(0)n n k k >的切线n l ,切点为(,)n n n P x y .
(1)求数列{}{}n n x y 与的通项公式;
(2
)证明:13521n n n
x x x x x y -????<< .
10、首项为正数的数列{}n a 满足2
11(3),.4
n n a a n N ++=
+∈
(I )证明:若1a 为奇数,则对一切2,n n a ≥都是奇数; (II )若对一切n N +∈都有1n n a a +>,求1a 的取值范围.
11、各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正整数,,,m n p q 都有
.(1)(1)
(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=
++++
(1)当14,25
a b =
=
时,求通项;n a
(2)证明:对任意a ,存在与a 有关的常数λ,使得对于每个正整数n ,都有1
.n a λλ
≤≤
12、已知数列{}n a 的前n 项和11
()22n n n S a -=--+(n 为正整数)。
(Ⅰ)令2n n n b a =,求证数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令1n n n c a n
+=,12........n n T c c c =+++试比较n T 与
521
n n +的大小,并予以证明。
13、已知数列{}n x 满足, *
1111,21n n
x x n N x ∈++’
=
=
.
()I 猜想数列{}n x 的单调性,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1
112|()65
n n n x x -+-|≤
。 14、已知等差数列{n a }的公差为d (d ≠0),等比数列{n b }的公比为q (q>1)。设
n s =11a b +22a b …..+ n n a b ,n T =11a b -22a b +…..+(-11
)
n - n n a b ,n ∈N +
(I)
若1a =1b = 1,d=2,q=3,求 3S 的值; (II)
若1b =1,证明(1-q )2n S -(1+q )2n T =
222(1)
1n
dq q q
--,n ∈N +
;
(Ⅲ) 若正数n 满足2≤n ≤q ,设1212,,...,,,...,12...n n k k k l l l 和是,
,,n 的两个不同的排列, 12112...n k k k n c a b a b a b =+++, 12212...n l l l n c a b a b a b =+++ 证明21c c ≠。
15、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的正整数n ,都有51n n a S =+成立,记
*
4()1n n n
a b n N a +=
∈-。
(I )求数列{}n b 的通项公式;
(II )记*221()n n n c b b n N -=-∈,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,求证:对任意正整数n 都有32
n T <
;
(III )设数列{}n b 的前n 项和为n R 。已知正实数λ满足:对任意正整数,n n R n λ≤恒成立,求λ的最小值。
16、已知{}n a 是公差为d 的等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列。 (1)
若31n a n =+,是否存在*m k N ∈、,有1?m m k a a a ++=说明理由; (2)
找出所有数列{}n a 和{}n b ,使对一切*
n N ∈,
1n n n
a b a +=,并说明理由;
(3)
若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ,使数列{}n a 中存在某个连续p 项的
和是数列{}n b 中的一项,请证明。
17、设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m ≥ 依次围成一个圆圈.
(Ⅰ)若2009m =,且121005,,,a a a 是公差为d 的等差数列,而1200920081006,,,,a a a a 是公比为q d =的等比数列;数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m ≤满足:
320092007115,12S S S a ==+,求通项()n a n m ≤;
(Ⅱ)若每个数()n a n m ≤是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:
2
2
16712m m a a a a m a a a +++++> ;
平面向量部分:
1、平面上O,A,B 三点不共线,设,O A=a O B b =,则△OAB 的面积等于( )
2、已知向量a ,b 满足0,1,2,a b a b ?===,则2a b -=( )
A. 0
B.
C. 4
D. 8
3、设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,
则AM ∣∣=
( ) (A )8 (B )4 (C ) 2 (D )1
4、定义平面向量之间的一种运算“ ”如下,对任意的a =(m ,n) ,b p,q)=
(,令a b =m q -n p
,下面说法错误的是( )
A.若a 与b
共线,则a b =0 B.a b =b a C.对任意的R λ∈,有
a )
b =(λλ (a b ) D. 2222
(a b)+(a b)=|a||b|
5、在R t A B C ?中,C ∠=90°AC=4,则→
→
?AC AB 等于( )
A 、-16
B 、-8
C 、8
D 、16
6.已知A B C ?和点M 满足0M A M B M C --→
--→
--→
+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→
--→
--→
+=成立,则m=( ) A .2 B .3 C .4 D .5
7、已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=,且α与βα-的夹角为120°,则α的取值范围是__________________ .
8.已知向量a ,b 满足1a = ,2b = , a 与b 的夹角为60°,则a b -=
9、在ABC ?中,AD AB ⊥,BC =
,1A D = ,则=?→
→AD AC .
10.若向量→
a =(1,1,x ), →
b =(1,2,1), →
c =(1,1,1),满足条件2)2()(-=?-→
→
→
b a
c ,则x = . 11、设向量a ,b 满足:||3=a ,||4=b ,0?=a b .以a ,b ,-a b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A .3 B.4 C .5
D .6
12、已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ,那么 ( ) A .1k =且c 与d 同向 B .1k =且c 与d 反向 C .1k =-且c 与d 同向 D .1k =-且c 与d 反向 13、设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=
,则( )
A.0PA PB +=
B.0PC PA +=
C.0PB PC +=
D.0PA PB PC ++=
14、设a 、b 、c 是单位向量,且a ·b =0,则()()a c b c -?-的最小值为 ( )
A.2- 2
C.1-
D.1-
15、已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合,则=?Q P ( )
A .{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}
16、已知向量()2,1,10,||a a b a b =?=+=,则||b =( )
5 D. 25
17、平面向量a 与b 的夹角为0
60,(2,0)a =,1b = 则2a b +=
( )
18、已知O ,N ,P 在A B C ?所在平面内,且,0O A O B O C N A N B N C ==++=,且
PA PB PB PC PC PA ?=?=?,则点O ,N ,P 依次是A B C ?的( )
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心 19、已知1,6,()2==-= a b a b a ,则向量a 与向量b 的夹角是( )
A .
6
π
B .
4
π
C .
3
π
D .
2
π
20、函数cos(2)26
y x π
=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),
y f x =当()y f x =为奇函数时,向量a 可以等于( )
.(,2)6
A π
-
- .(,2)6
B π
-
.(
,2)6
C π
- .(
,2)6
D π
21、若平面向量a ,b 1=+,b a +平行于x 轴,)1,2(-=b ,则=a
22、已知向量a 和向量b 的夹角为30o
,||2,||a b ==
a 和向量
b 的数量积
a b ?
= . 23、给定两个长度为1的平面向量O A 和OB
,它们的夹角为120o .
如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB
上变动.
若,O C xO A yO B =+
其中,x y R ∈,则x y +的最大值是
________.
24、已知向量(3,1)a = ,(1,3)b = ,(,7)c k = ,若()a c -
∥b ,则k = .
解答题:
1、在平面直角坐标系xOy 中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0,求t 的值。
2、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-
(1)若a 与2b c -
垂直,求tan()αβ+的值;
图(2)求||b c +
的最大值;(3)若tan tan 16αβ=,求证:a ∥b
.3、已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直,其中(0,
2
π
θ∈.
(1)求θsin 和θcos 的值;
(2)若sin()010
2
π
θ??-=<<
,求cos ?的值.4、在A B C
?,已知2
23AB AC AC BC ?=
?=
,求角A ,B ,C 的大小.
5、已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.
(1)若5=c ,求sin ∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求c 的取值范围.
6、如图,已知点)1 , 1(A 和单位圆上半部分上的动点⑴若OB OA ⊥,求向量OB ; ⑵求||OB OA +的最大值.
参考答案
数列部分:1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B 13.A 14.
1,0
15.
10
16.
1
17.
)
2)(1(6
1,310+-n n 18.
1
2
+n
19.)(20123121*
N k k
n k n T n
n n ∈??
???=+=-= 20. 221 21. 2 ,2n
解答题:1、(Ⅰ)证明:由题设,可得*
4,21
21
a a
k k N k k -=∈+-。
所以131()()...()212121
21
23
a
a a
a
a
a
a a k k k k k -=-+-++-++---
=44(1)...41k k +-++?=2k(k+1) 由1a =0,得2
2
2(1),22,2(1).21
221
22
a
k k a
a
k k a
k k k
k k =+=-==++++从而
于是1121222221
,,221212a
a a a
k k k k k k a k a k a a k k k k
++++++===++所以。
所以*
2,,,221
22
k d k k N a a
a
k
k k =∈++时,对任意成等比数列。
(Ⅱ)证法一:(i )证明:由2,,21
21k a
a a
k k -+成等差数列,及,,22122
a
a
a
k k k ++成
等比数列,得212112,2221
21
221
k
a
a
k k a
a
a
q k
k k a a q k k k -+=+=
+
=+-+-
当1q ≠1时,可知k q ≠1,k ∈*N ,
从而)2(1111
1211
11
1
≥+-=
--
=---k q q q k k k 所以11q k ????
??-????
是等差数列,公差为1。 (Ⅱ)证明:10a =,22a =,可得34a =,从而142,
2
q =
=1
11
q -=1.由(Ⅰ)有 *
1111,,1
k k k k q k N q k
k +=+-==∈-得
所以2
*
2
22211221,,21
22a a
a
k k k k k k N a
a k a k k k k
+++++=
==∈+()
从而 因此,
2222*2222(1)222214...........22..
2(1),2212(1)(2)122242
k
a
a
a k k k
k k a a k a a k k k N k k a a a k k k
k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论:
(1) 当n 为偶数时,设n=2m(*m N ∈)
若m=1,则2
222n
k k
k
n a =-=∑
.
若m≥2,则
2
2221
2
2
1
1
1
221
(2)(21)42n
m
m m
k k k k k
k
k k
k k k a a a k
-====++=
+
=
∑
∑
∑
∑
+
221
1
1
1
1
1441441
1112222(1)
2(1)2(1)21113122(1)(1)222.
m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n m
n ---===??+++????=++=+
+- ?????
++++??????=+-+
-
=-
-∑
∑
∑
所以2
2
2
2
3132,22,4,6,8 (2)
2
n
n
k k k
k
k
k
n n n a n
a ==-=+
<-
<=∑
∑
从而
(2)当n 为奇数时,设n=2m+1(*m N ∈)
2
22
2
22
2
21
(21)31(21)
42
22(1)
n
m
k k k
k
m k
k
m m m a a a m
m m ==+++=
+
=-
-
+
+∑
∑
1131422
2(1)
2
1
m n m n =+
-
=-
-
++
所以2
2
312,2
1
n
k k
k
n a n =-=
+
+∑
从而2
2
322,3,5,72
n
k k k
n n a =<-
<=∑
···
综合(1)(2)可知,对任意2n ≥,n N *
∈,有
2
2
3222
n
k k
k
n a =<-
≤∑
证法二:(i )证明:由题设,可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-
2
12221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d +=
23221
112
22
22
221111k k k k k k k k k k k
k k
k a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-=
=
=+
=+
=+
由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。可得
111
111
1
1
1
k
k k k k q q q q q +-
=
-
=----,
所以11k q ????-??
是等差数列,公差为1。
(ii )证明:因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。 所以3214a a d =+=,从而312
2a q a =
=,
11
11q =-。于是,由(i )可知所以11k q ??
??-??
是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
11
k q -= ()11k k +-=,故1k k q k
+=
。
从而
11k k k d k q d k ++==
。
所以
1
21
12
1
1
2.........
.
......
12
1
k k
k k k d d d d k
k k d d d d k k ----=
=
=--,由12d =,可得2k d k =。
于是,由(i )可知()2
21221,2,*k k a k k a k k N +=+=∈以下同证法一。
2
、
3、(1)由题意知:0d >,
(1)(1)n d n d =
-=
-
21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=,2
2
2
1)]2),d a d -=
化简,得:22
11,a d d d a d -+===
22
(1),n d n d nd S n d =+-==,
当2n ≥时,22222
1(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-,适合1n =情形。
故所求2
(21)n a n d =-
(2)(方法一)
2
2
2
2
22222
m n k S S cS m d n d
c k
d m n c k +>?+>??+>?, 22
2
m n c k +<
恒成立。
又n m k n m ≠=+且3,22
2222
2
92()()92
m n m n m n k k
++>+=?
>,
故92
c ≤,即c 的最大值为
2
9。
d =(1)n d =
-,得0d >,22
n S n d =。
于是,对满足题设的k n m ,,,m n ≠,有
2
222
2
22
()
99()2
2
2
m n k m n S S m n d d d k S ++=+>
=
=
。 所以c 的最大值m ax 92
c ≥
。
另一方面,任取实数92
a >
。设k 为偶数,令331,12
2
m k n k =
+=
-,则k n m ,,符合条件,
且2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1()[(1)(1)](94)2
2
2
m n S S m n d d k k d k +=+=++-=
+。
于是,只要22
942k ak +<,即当
k >
时,22
122
m n k S S d ak aS +=。
所以满足条件的92
c ≤,从而m ax 92
c ≤
。 因此c 的最大值为
92
。
4、(I )由已知有
111
2
n n n
a a n n +=++112
n n n
b b +∴-=
利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1
122
n n b -=-(*n N ∈)
(II )由(I )知1
22
n n n a n -=-
, ∴n S =1
1
(2)2
n
k k k k -=-
∑1
1
1
(2)2
n
n
k k k k k -===-∑
∑
而1
(2)(1)n
k k n n ==+∑,又1
1
2
n
k k k -=∑
是一个典型的错位相减法模型,
易得1
1
1
242
2
n
k n k k n --=+=-
∑
∴n S =(1)n n +1
242
n n -++
-
5、(1)设公差为d ,则2
2
2
2
2543a a a a -=-,由性质得43433()()d a a d a a -+=+,因为0d ≠,所以430a a +=,即1250a d +=,又由77S =得176772
a d ?+=,
解得15a =-2d =
,
(2)
(方法一)12
m m m a a a ++=
(27)(25)
23m m m ---,设23m t -=,
则
12
m m m a a a ++=
(4)(2)
86t t t t
t
--=+-, 所以t 为8的约数
(方法二)因为
12222
2
2
(4)(2)
86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--=
=-+
为数列{}n a 中的项,
故
m +2
8 a 为整数,又由(1)知:2m a +为奇数,所以2231,1,2m a m m +=-=±=即
经检验,符合题意的正整数只有2m =。6、(Ⅰ)由于34?与
43
均不属于数集{}1,3,4,∴该数集不具有性质P.
由于661236
12,13,16,23,
,,,,,231236
????都属于数集{}1,2,3,6,∴该数集具有性质P. (Ⅱ)∵{}12,,n A a a a = 具有性质P ,∴n n a a 与
n n
a a 中至少有一个属于A ,
由于121n a a a ≤<<< ,∴n n n a a a >,故n n a a A ?.从而1n n
a A a =
∈,∴11a =.
∵121n a a a =<<< , ∴k n n a a a >,故()2,3,,k n a a A k n ?= . 由A 具有性质P 可知
()1,2,3,,n k a A k n a ∈= . 又∵
1
2
1
n n n n n
n a a a a a a a a -<<<
< ,
∴
2112
1
1,
,,
n n n n n n n
n a a a a a a a a a a a --==== ,
从而
1211
2
1
n n n n n n n
n a a a a a a a a a a a a --=++
+
=++++ , ∴
12111
12n n n
a a a a a a a ---+++=+++ .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当5n =时,有
55234
3
,
a a a a a a ==,即2
5243a a a a ==,
∵1251a a a =<<< ,∴34245a a a a a >=,∴34a a A ?, 由A 具有性质P 可知
43
a A a ∈.
2
243a a a =,得
3423
a a A a a =
∈,且322
1a a a <
=,∴
3423
2
a a a a a =
=,
∴
534224
3
2
1
a a a a a a a a a =
=
=
=,即12345,,,,a a a a a 是首项为1,公比为2a 成等比数列。
7、
8、解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的
图像上.所以得n
n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2
n ≥时,111
1()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以
1r =-,公比为b ,1
(1)n n a b b
-=-
(2)当b=2时,11(1)2n n n a b b --=-=, 1
222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=
则
1212n n
b n b n
++=
,所以
121211135721
·······2462n n b b b n b b b n
++++=??
下面用数学归纳法证明不等式
121211135721
·······2462n n b b b n b b b n
++++=??> 成立.
① 当1n =时,左边=32
,右边
因为
32>
所以不等式成立.
② 假设当n k =时不等式成立,
即
121211135721
·······2462k k b b b k b b b k
++++=??> 成立.
则当1n k =+时,左边=
11212111113572123
(246222)
k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=?????+
2322
k k +>=
=
=>
+所以当1n k =+时,不等式也成立.