数学分析2期末考试题库
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）
一、叙述题：（每小题6分，共18分）
1、 牛顿-莱不尼兹公式
2、
∑∞
=1
n n
a
收敛的cauchy 收敛原理
3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）
1、4
20
2
sin lim
x dt t x x ?→
2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞
=+1
)1(n n
n n x 的收敛半径和收敛域，并求和
4、已知z
y x u = ，求y
x u
???2
三、（每小题10分，共30分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
2、讨论反常积分
?
+∞
--0
1dx e x x p 的敛散性
3、讨论函数列),(1)(2
2+∞-∞∈+
=
x n x x S n 的一致收敛性
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设)2,1(1
1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞
=1
n n x 发散
2、证明函数??
?
??
=+≠++=0
00),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，
但它在该点不可微。，
一、叙述题：(每小题5分，共10分）
1、 叙述反常积分
a dx x f b
a
,)(?
为奇点收敛的cauchy 收敛原理
2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()
sin (π∈?
?
?-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积
3、求?
∞
+∞-++dx x x
cpv 2
11)(
4、求幂级数∑∞
=-1
2
)1(n n
n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求y
x u
???2
三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、y
x y x y x f +-=2
),(，求),(l i m l i m
),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？
2、讨论反常积分
?
∞
+0
arctan dx x x
p
的敛散性。 3、讨论∑∞
=-+1
33))1(2(n n
n
n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分）
1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>?
b
a
dx x f
2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu
五、叙述题：（每小题5分，共15分） 1、定积分 2、连通集
3、函数项级数的一致连续性 六、计算题：（每小题7分，共35分） 1、
?e
dx x 1
)sin(ln
2、求三叶玫瑰线],0[3sin πθθ∈=a r 围成的面积
3、求5
2cos 12π
n n n x n +=
的上下极限 4、求幂级数∑∞
=+1
2)1(n n
n
x 的和 5、),(y x f u =为可微函数， 求22)()(
y
u
x u ??+??在极坐标下的表达式 七、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、已知??
?
??==≠≠+=0
000,01cos 1sin )(),(2
2y x y x y
x y x y x f 或，求
),(lim )
0,0(),(y x f y x →，问
),(lim lim ),,(lim lim 0
00
0y x f y x f x y y x →→→→是否存在？为什么？
2、讨论反常积分
?
∞
++0
1
dx x x q
p 的敛散性。
3、讨论]1,0[1)(∈++=
x x
n nx x f n 的一致收敛性。
八、证明题：（每小题10分，共20分）
1、 设f （x ）在[a ,+∞）上单调增加的连续函数，0)0(=f ，记它的反函数f --1
（y ），
证明
)0,0()()(0
10
>>≥+??
-b a ab
dy y f dx x f b
a
2、 设正项级数∑∞
=1
n n
x
收敛，证明级数
∑∞
=1
2
n n
x
也收敛
《数学分析》（二）测试题（4）
一． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是[]b a ,本身。 2．函数 (
)
1ln 2-+
x x 是
1
12
-x 在区间()∞+,1内的原函数。
3．若()x f 在[]b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上必可积。 4．若()x f 为连续的偶函数，则 ()()dt t f x F x
?=0
亦为偶函数。
5．正项级数 ()∑
∞
=+1
!
110n n
n 是收敛的。
二．填空题（每小题3分，共15分）：
1．数列 ()
?
??
?
??
+-131n n n
的上极限为 ，下极限为 。 2．
=??? ??++++++∞
→222222221
1
lim
n n n n n n 。 3．
=?x t
dt e dx d tan 0
。 4．幂级数
∑
∞
=?1
3
n n
n
n x 的收敛半径=R 。 5．将函数 ()()ππ<<-=x x x f 展开成傅里叶级数，则
=0a ，
=n a ， =n b 。
三．计算题（每小题7分，共28分）：
1．
?+-x x e e dx
； 2．?e dx x x 0ln ；
3．
dx x x
?
∞
++0
4
1； 4．?-21
1
x xdx
四．解答题（每小题10分，共30分）：
1．求由抛物线 x y 22= 与直线 4-=x y 所围图形的面积。 2．判断级数
()∑
∞
=-1
1tan 1n n
n
是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3．确定幂级数 ∑
∞
=--1
1
21
2n n n x 的收敛域，并求其和函数。
五．证明题（12分）：
证明：函数 ()∑
∞
==
1
4
sin n n
nx
x f 在()∞+∞-,上有连续的二阶导函数，并求()x f ''。
《数学分析》（二）测试题（5）
二． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．设a 为点集E 的聚点，则E a ∈。 2．函数 (
)
1ln 2++
x x 是
1
12
+x 在()∞+∞-,内的原函数。
3．有界是函数可积的必要条件。 4．若()x f 为连续的奇函数，则 ()()dt t f x F x
?=
亦为奇函数。
5．正项级数 ∑
∞
=1
2
2n n
n 是收敛的。
二．填空题（每小题3分，共15分）：
1．数列 (){}n
12-+ 的上极限为 ，下极限为 。
2．
=??? ??++++++∞
→2222221
lim
n n n n
n n n n 。 3．
=?x t
dt e dx
d sin 0 。 4．幂级数
∑
∞
=+1
2
1
4n n n
x n 的收敛半径=R 。 5．将函数 ()()ππ<<-=x x x f 展开成傅里叶级数，则
=0a ，
=n a ， =n b 。
三．计算题（每小题7分，共28分）：
1．dx x x ?+2
3
9； 2．?10dx e x
；
3．?
∞+-+2
22
x x dx ； 4．?-1021x xdx
四．解答题（每小题10分，共30分）：
1．求由两抛物线 2x y = 与 22x y -= 所围图形的面积。 2．判断级数
()∑
∞
=+-1
1ln 1n n
n
n 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3．确定幂级数 ∑∞
=-1
1
n n x
n 的收敛域，并求其和函数。
五．证明题（12分）：
证明：函数 ()21
21n x n e n
x f -
∞
=∑
= 在 [)∞+,0 上连续。
《数学分析》（二）测试题（6）
一．判断（2*7=14分）
（ ）1. 设[]b a x f x ,)(0在为上的极值点，则0)(0='x f
（ ）2.若在[]b a ,内)()(],,[),()(),()(x g x f b a x b g b f x g x f ≤∈?='≥'有则对 （ ）3.若A x A x ∈的聚点，则必有为点集 （ ）4. 若()C x F dx x F x F +='?)()()(则
连续，
（ ）5.若[][])()(,,,(22x f dt t f b a x b a x f x a ='
??
?
??∈?则上连续，）在
（ ）6.若必发散）＋（则，发散收敛，∑∑∑n n n n b a b a （ ）7.若∑∑必收敛收敛，则3
2
n n a a
二．填空（3*7=21分）
1. 已知()____________
)(,2)(ln =-='
x f x x f 则 2．___________)1ln(sin 2=+?
dx x x π
π
－
3.?=->≤???=2
02
________)1(,)
0()0(dx x f x x e
x x f x 则）（设
4 .求?=→x
x dt t x 0
23
sin 1lim
________________
5.求(_______)123的拐点坐标+-=x x y 6．用定积分求________12111lim =??
? ??++++++∞→n n n n n
7.幂级数n
n
x n ∑
?2
1的收敛半径R ＝ 三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)
1. ?dx xe x
2. dx x x ?
-1
12
3. dx x ?1
arcsin
4．求曲线所围成的图形的面积与x y x y =-=2
2
四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程)
1 .∑∞
=?1!
2n n n n
n
2 .判别∑∞
=+-1
2
2)
1(n n
x
n n
在）（∞+∞-,上是否一致收敛，为什么 五．证明：(9+10=19分)
1．设级数∑2
n a 与∑2
n b 都收敛，证明：∑n n b a 绝对收敛
2．设[]b a x f ,)(在上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：存在 一点),(b a ∈ξ，使得 )()()
(4
)(2
a f
b f a b f --≥
''ξ
《数学分析》（二）测试题（7）
一．判断（2*7=14分）
（ ）1. 设0)(0='x f ，则)(0x f x 必为的极值点
（ ）2.若在[]b a ,内)()(],,[),()(),()(x g x f b a x b g b f x g x f ≥∈?='≥'有则对 （ ）3.若A x A x 可能不属于的聚点，则为点集
（ ）4. 若()C x F dx x F x F +='?)()()(则连续，
（ ）5.若[][])()(,,,(x f dt t f a b x b a x f b x -='??
? ??--∈?-则上连续，）在
（ ）6.若收敛则级数，∑<=+∞
→n n
n n u l u u 1lim
1
（ ）7.∑至少存在一个收敛点幂级数n
n x a
二．填空（3*7=21分）
1. 已知()____________)(,2)1(2=-='
x f x x f 则＋
2．___________1
cos ,1
cos 1
4
1
1
4
=+=+?
?
dx x x A dx x x 则已知－
3.?=->≤???+=202________)1(,)0()
0(1dx x f x x x
x x f 则）（设 4 .求?=-→x x dt t
t
x 00cos 11lim
________________ 5.求_____(__)12
13
1
)(23=+-=f x x x f 的极大值为
6．用定积分求________211lim =???
?
??+++∞→n n n n n n 7.幂级数n
n x n
∑2的收敛半径R ＝
三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)
1. ?xdx x ln
2. dx x x ?-1
12
3. dx x x ?1
arctan
4．求曲线的弧长到从103===
x x x y
四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 .∑
∞
=??
?
??+12
121n n n n n
2 .判别∑∞
=+-1
2
2)
1(n n
x
n n
在）（∞+∞-,上是否一致收敛，为什么 五．证明：(9+10=19分)
1．设级数∑2n a 与∑2
n b 都收敛，证明：∑+2
)(n n b a 收敛
2．[][]b a x x f dx x f x f b a x f b
a ,0)(,0)(,0)(,)(∈≡=≤?，证明：上连续，在若
《数学分析》（二）测试题（8）
三． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．开区间(),a b 的全体聚点的集合是(),a b 本身。 2．函数 (
)
1ln 2-+
x x 是
1
12
-x 在区间()∞+,1内的原函数。
3．若()x f 在[]b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上必可积。
4．若()x f 为[]b a ,上的连续函数，则()()d x
a F x f t t =?在[]
b a ,上可导。
5．正项级数 1
1
n n
∞
=∑ 是收敛的。
二．填空题（每小题4分，共16分）：
1．
=??
? ??++++++∞
→2222222211
lim
n n n n n n 。 2．
d d x t
e t =? 。 3．幂级数
∑
∞
=?1
3
n n
n
n x 的收敛半径=R 。 4．将函数 ()()ππ<<-=x x x f 展开成傅里叶级数，则
=0a ，
=n a ， =n b 。
三．计算题（每小题10分，共30分）：
1．2d 1x x ?-； 2．1ln d e
x x ?； 3．dx x
x ?∞++041；
四．解答题（每小题10分，共30分）：
1．求由抛物线 x y 22= 与直线 4-=x y 所围图形的面积。 2．判断级数 ()
211
1n
n n
∞
=-∑ 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3．确定幂级数 ∑∞
=-1
1
n n x
n 的收敛域，并求其和函数。
五．证明题（9分）：
证明：函数 ()2
21
21n x n e n
x f -
∞
=∑
= 在 [)∞+,0 上连续。
参考答案（1）
一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
2、,0.0>?>?N ε使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a 21
3、设2
R D ?为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，
),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ??,无关的常数A 和B ，使得
)(22y x o y B x A z ?+?+?+?=?则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称
y B x A ?+?为在点),(000y x P 处的全微分
二、1、分子和分母同时求导
31
6sin 2lim sin lim
5406
20
2
==→→?x
x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）
所求的面积为：
3
1
)(1
2=
-?dx x x （3分） 所求的体积为：10
3)(105
ππ=-?dx x x （3分）
3、 解：设∑∞
=+=1)
1()(n n
n n x x f ，1)
1(1)2)(1(1lim
=+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）
),
10(),1ln(1
1)
1()(121'
<<---=+=∑∞
=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0
'<<--+
==?x x x
x
dt t f x f x
(3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分）
4、解： y u ??=z x x z y
ln （3分）=???y
x u
2
zx x x x z
y
z y
1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）
11
)1
11(lim !)1()!
1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n
n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：
???
+∞----+∞
--+=111010
1dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分）
，对?--1
1dx e x x
p ，由于)0(111+→→---x e
x
x
x
p p
故p >0时?--1
1dx e x
x
p 收敛（4分）
；?+∞
--1
1dx e x x
p ，由于)(012+∞→→--x e x
x x
p （4分）故对一切的p
?
+∞
--1
1dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分
收敛
3、解：221
)(n
x x S n +
=
收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）
四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：
1
1
123221213423-=
-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞
=-2
11
n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）
2、证明：||||
02
2
xy y
x xy ≤+≤（4分）
2
2
)
0,0(),(lim
y
x xy y x +→=0所以函数在（0，0）
点连续，（3分）又00
l i m
0=?→?x
x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但
2
2)0,0(),(l i m
y x y
x y x ?+???→??不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）
参考答案（2）
1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<
--2
1
)(a a dx x f
2、设2
R
D ?为点集，m
R
D f →:为映射，,0.0>?>?δε使得
D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f
二、1、由于
x
+11
在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→ =2ln 11)11211111(
1lim 10=+=+++++?∞→dx x n
n n n n n （6
分）
4、 、所求的面积为：220
23)cos 1(a dx x a ππ
=-?
（8分）
5、 解：π=++=++??-+∞→∞
+∞-A A A dx x x dx x x
cpv 2
211lim 11)
( (3分） 4、解：11
lim 2=∞
→n
n x
，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）
5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3
22112212y
x
f xy f y f f y x u -++=???（5分） 三、1、解、
0lim lim lim ,1lim lim lim 2
02000200==+-==+-→→→→→→y
y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k
+11
所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p
（2分），对?10arctan dx x x
p ，由于)0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p
，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π
（4分）故p >1?∞+1arctan dx x
x p 收敛，综上所述1
3、解：13123])1(2[lim 3<+=-++∞→n
n n n n 所以级数收敛（10分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在包含x 0的区间],[],[b a d c ?，有0)(>x f （4分），0)()(>≥??
d
c
b
a
dx x f dx x f （4分）
2、证明：以二元函数为例
ugradv
vgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）
参考答案（3）
一、1、设有定数I ，,0.0>?>?δε使得对任意的分法
b x x x a n =<<<= 10和任意的点],[1i i i x x -∈ξ，只要δλ
i x ，成立
εξ<-?∑=n
i i
i
I x
f 1
)(
2、 S 的任意两点x ，y 之间，都存在S 中的一条道路r ，则称S 为连通集
3、,0)(.0>?>?εεN 使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a 21 二、1、??
?
-
+-=-=e
e
e
e
dx
x e e dx x x x dx x 1
1
11
)sin(ln 11cos 1sin )cos(ln |ln sin )sin(ln （5分）
)11cos 1sin (2
1
)sin(ln 1
+-=
?
e e dx x e
（2分） 6、 由对称性知，所求的面积为：4
3sin 2
62
20
2
2
a d a πθθπ
=
?
?
（7分）
7、 解：上极限为0.5，下极限为
5
4cos 21π (7分） 4、解：21
21lim =∞
→n
n
n ，r=2（3分） 收敛域为（-3，1），级数的和为x
-11
（4分）， 5、解： 设极坐标方程为
θ
θsin ,cos r y r x ==x u
??=θ
θsin cos y x u u +y x u r u r u
θθθ
cos sin +-=??（5分）22)()(
y
u
x u ??+??=222)(1)(θ??+??u r r u （2分）
三、1、解、由于y
x 1
cos 1sin
有界，22y x +为无穷小，=→),(lim )0,0(),(y x f y x 0 （5分）
)1
cos 1sin lim 1cos 1sin lim (lim 1cos 1sin )(lim lim 202002200y x y y x x y x y x y y x y x →→→→→+=+，
而
y x x y 1c o s 1
s
i n l
i m 2
→极限不存在，
y
x y y 1cos 1sin lim 20→极限存在，故整体极限不存在，同理),(lim lim 0
0y x f x y →→不存在（5分）
2、解：
???∞+∞
++++=+1100111dx x x dx x x dx x x q p q p q p （2分），对?+101
dx x x q p ，
由于)0(11)
,m i n (+→→+x x x x q
p q p 故1),min( p ，由于)(11),m a x ( +∞→→+x x x x q p q p （4分）故 1),max(>q p ? ∞ ++1 1 dx x x q p 收敛，综上所述1),min( 敛（2分） 3、解：)()(lim x f x x f n n ==∞→（3分），0 1sup lim )()(sup lim 2 =+++=-∞→∞→x n n n x n x x x f x f 所以函数列一致收敛（7分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1 证明：当)(a f b =时，)0,0()()(0 10 >>=+?? -b a ab dy y f dx x f b a （4分） 当)(a f b >时，)0,0()()() (0 10 >>>+? ? -b a ab dy y f dx x f a f a （3分） 当)(a f b <时， )0,0()()(0 1) (0 1>>>+?? --b a ab dy y f dx x f b b f （3分） 2、证明：由于收敛 ∑∞ =1 n n x ，故0lim =∞ →n n x （2分），于是，总存在0n ?使得0n n ≥时， 有10<≤n x ，从而，当0n n ≥时，有n n x x <≤2 0（5分），由于级数 ∑∞ =1 n n x 收敛，当然 ∑∞ =0 n n n x 收敛，故级数 ∑∞ =0 2 n n n x 收敛，从而 ∑∞ =1 2n n x 也收敛（3分） 标 准 答 案 （4） 四． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）： 1．√ 2．√ 3．× 4．× 5．√ 二．填空题（每小题3分，共15分）： 1． 31， 3 1-； 2．2ln 21； 3．x e x 2tan sec ； 4． 3 ； 5．=0a 0 ， =n a 0 ，=n b () n n 2 11 -- 三．计算题（每小题7分，共28分）： 1． ? +-x x e e dx ＝() ?+x x e e d 21＝() C e x +arctan ； （4分） （3分） 2． ? e dx x x 1 ln ＝ ? ?? ? ??e x d x 1 221ln ＝dx x x x e e ?-11221ln 21＝e x e 1 224121-＝ () 14 12 +e ； （4分） （3分） 3． dx x x ? ∞++0 41＝lim +∞→b dx x x b ?+04 1＝lim 21 +∞ →b () ?+b x x d 042 1＝lim 21+∞ →b () b x 0 2 arctan ＝ 4 π ； （2分） （2分） （2分） （1分） 4． ? -2 1 1 x xdx ＝ lim 1 + →a ? -21 a x xdx ＝ lim 1+ →a ()()2 212312132a x x ??? ??-+-＝3 8。 （2分） （3分） （2分） 四．解答题（每小题10分，共30分）： 1．求由抛物线 x y 22= 与直线 4-=x y 所围图形的面积。 解：两交点为()()4,8,2,2-，则 （3分） =???? ? ?-+=?-dy y y S 422 244 2 3 2 642-???? ??-+y y y ＝18 （3分） （3分） （1分） 2．判断级数 ()∑ ∞ =-1 1tan 1n n n 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：设 n a n 1 tan =，0≥n a ， 则 ()∞→→≥+n a a a n n n 0,1， （3分） 由Leibniz 判别法知，级数 () ∑∞ =-1 1 tan 1n n n 收敛。 （3 分） 而由 111 tan lim =∞ →n n n 知，级数 ∑ ∞ =1 1 tan n n 发散，故原级数条件收敛。 （4 分） 3．确定幂级数 ∑ ∞ =--1 1 21 2n n n x 的收敛域，并求其和函数。 解： 因为 2121 1 212lim x n x n x n n n =-+-+∞→， 所以 （2 分） 当1 又当1±=x 时幂级数发散，故收敛域为()1,1-。 （2 分） 设 ()∑∞ =--=1 1 212n n n x x S ，则()2 12211x x x S n n -=='∑∞ =-，从而 （2分） ()x x dx x x S x -+=-=? 11ln 211102， ()1,1-∈x 。 （2 分） 五．证明题（12分）： 证明：函数 ()∑ ∞ == 1 4 sin n n nx x f 在()∞+∞-,上有连续的二阶导函数，并求()x f ''。 证明：因为 ()∞+∞-∈?,x ，有 441sin n n nx ≤，3341cos sin n n nx n nx ≤='??? ??，2 231sin cos n n nx n nx ≤-=' ?? ? ?? （3分） 而级数∑∑∑2341, 1, 1n n n 都收敛，故级数∑∑∑∞ =∞ =∞ =-1 2 1314 sin ,cos ,sin n n n n nx n nx n nx ，都在 ()∞+∞-, 上一致收敛。 （3 分） 又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性和可微性知， ()()()x f x f x f ''',, 都在()∞+∞-,上连续，且 （3 分） ()∑∞ =='13cos n n nx x f ， ()∑∞ =-=''1 2s i n n n nx x f ， (),x ?∈-∞+∞ 。 （2分） 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续. 数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ） 数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3. ; 二、数列极限 1. 已知2lim >=∞ →A a n n ,则正确的选项是( B ). (A) 对+N ∈?n ,有2>n x ; (B) + N ∈?N ,当N n >时,有2>n a ; (C) N N N >?N ∈?+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈?+n a n . 2. 设+ N ∈?N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞ →lim ,B b n n =∞ →lim .则正确的选项 是: ( A ). (A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若() 0tan 1 lim 1cos 1≠=---∞→a n e k n n π ,则 ( A ) (A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21 =a ; (C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π 21 -=a ; 4. 设32lim 1kn n e n -→∞ ?? += ??? ,则k =( C ) (A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3. 5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞ =,则下列命题正确的是( D ) (A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ?? ???? 为无穷小量,则{}n y 必为无穷小 量. ( 数. 三、函数极限 1. 极限=+-∞→3 3 21 213lim x x x ( D ). (A) 3 2 3 ; (B) 3 2 3 - ; (C) 3 2 3 ± ; (D) 不存在. 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 A 一、填空题（每题5分，共30分） 1． 设向量场),,(222xyz z xy yz x A =，求=divA =rotA 2．求=+?→x x dx ααcos 12100lim 3．设),(y x f 在原点领域连续， 求极限=??≤+→dxdy y x f y x ),(12222 0lim ρρπρ 4．设为自然数，n z y x z y x D },10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤= 求=+++???dxdydz z y x y x n n n n n D 5．设,)(2)1(cos sin dt e x f t x x +?= 求=)('x f 6．)为右半单位圆 设L (,sin cos :???==θ θy x L 求=?ds y L || 二、（本题满分１0分） 设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算dxdydz xy z I )2(2+=???Ω 三（本题满分１0分） 计算曲面积分,)(dS z y x ++??∑ 其中∑是平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所 截得的部分。 四（本题满分3０分，每题10分） 1． 计算曲线积分 ?-+-+-=L dz y x dy x z dx z y I ,)()()(02222=++=++z y x a z y x L 与平面是球面其中取逆时针方向。轴正向看去的交线，从L z 2．计算曲面积分.zdxdy ydzdx xdydz ++??∑ 其中)0(:22h y z x y ≤≤+=∑，方 向取左侧。 3．计算,4)4()(.22y x dy y x dx y x L +++-?其中L 为单位圆周,.122=+y x 方向为逆时针方向。 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； （一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z= x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3 4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1 n n ∞ = C ． 21 (1)n n n ∞ =-∑ D ． 1 1 (1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2 f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原 函数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 0 (0)1dx k kx +∞>+?收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<< 二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，10 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+? ? 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。 三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分 得分 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2_______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 2、 设),(2x y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。 3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。q p 时，积分收
数学分析试题库--证明题
数学分析期末考试题
数学分析试题库--选择题
数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)
数学分析1-期末考试试卷(A卷)
北航数学分析期末考试卷
数学分析试题及答案解析
数学系一年级《数学分析》期末考试题
数学分析试题集锦
数学分析 期末考试试卷
数学分析试题库--证明题--答案
数学分析(2)期末试题
上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)
数学分析习题
数学分析3期末测试卷
(汇总)数学分析3试卷及答案.doc
数学分析试题及答案解析
数学分析试题及答案
数学分析各校考研试题与答案
第三学期 数学分析(3)试卷