解析几何版吕林根课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
?
??=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程
???=+-+=-+++-0
225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：02
35622=-
---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?
??==c z y x 的直线方程为： ?????=-=-=???
???=+=+=z z t y y t x x z z t
y y t x x 0
00000 而0M 在准线上，所以 ???=+--+=-++-+--0
2225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232
22=--+--++z y x xy z y x
此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为?
??=+=z x z y x 22
2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{
}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：
?????+==-=??????-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220
00000
而0M 在准线上，所以：
???+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*********=--+++z x xz z y x
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())3
4,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)15
13,1511,152(0--M ，圆的方程为： ?????=++=-++++0
7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为： ?????-=-=-=???
???+=+=+=t z z t y y t x x t z z t
y y t x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
S v u Y x +=)(
与
??
???+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()(
式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，
v M =' 即v M O OM ='- 亦即S v u Y Y =-)(，S v u Y Y +=)(
此即为柱面的矢量式参数方程。
又若将上述方程用分量表达，即：
{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=
??
???+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()(
此即为柱面的坐标式参数方程。
§ 4.2锥面
1、求顶点在原点，准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程。
解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z
Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：
0)()(222=-+--y z y z z x
即：02
22=-+z y x
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。 解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为： 2
21133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
?????++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00
将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。
解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1
∴与l 垂直的平面之一令为1=++z y x
平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，该圆的圆心为)3
1,31,31(，故该圆的方程为： ?????=++=-+-+-1
)32()31()31()31(2222z y x z y x 它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：
z
Z y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：
0=++zx yz xy
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：1
42221-=-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：
0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即： 01122=-++z y x
该平面与轴的交点为)9
37,920,911(，它与)1,2,3(的距离为： 3
116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d ∴要求圆锥面的准线为：
?????=-++=-+-+-0
11229116)937()920()911(222z y x z y x 对锥面上任一点),,(z y x M ，过该点与顶点的母线为：
4
42211--=--=--z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使,)1(10t x X -+=,)2(20t y Y -+= t z Z )4(40-+=
将它们代入准线方程，并消去t 得：
01299252516518525210412515122=+---+++++z y x zx yz xy z y x
6、已知锥面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，顶点A 决定的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
0()(1)v u v γγγ=+-
与
000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z =+-??=+-??=+-?
式中，v u ,为参数。
证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于((),(),())M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。
//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上）
AM vAM '∴=
即00(())v u γγγγ-=-
亦即0()(1)v u v γγγ=+-
第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
空间解析几何考题
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是 （ ）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 （ ）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ） Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。 Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1.在空间直角坐标系中，点( 1,— 2, 3 )在[D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2 2 2.方程2x y 2在空间解析几何中表示的图形为 [C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 X —1 y + 1 z +1 ” _x + y _1 = 0 3.直线11 j 与 >2 : — —> 的夹角是[C ] 4 2 3 x+y+z-2=0 A Ji n n A.— B. — C.— D. 0 4 3 2 4.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) A. 2 2 2 a b (a ?b) B. a 2 b 2=(a b)2 C. 2 2 (a 叱)=(a b) 2 2 2 2 D. (a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是 [B ] A. z 2 二 4(x y) B. z 2 _ _4.. x 2 y 2 C. y 2 z 2 =4x D. 2 2 y z = 4x 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 2 C. 3 关于 [B ] A 1 1 A. B.— 3 3 7.在空间直角坐标系中，点( B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3) C. (-1,-2,3) 1，2,3) 2 D.— 3 yoz 平面的对称点是[A ] 2 2 8.方程—2 弓二z ， a 2 b 2 表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D.球面 9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2}, 则 proj a b =[ C ] A. 1 3 B. 3 C. -1 D. 1 10.
解析几何练习题及答案
解析几何 一、选择题 1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A.3 B ．－3 C.33 D ．－33 解析：斜率k ＝－1－33－ －3 ＝－33 ，故选D. 答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2 a ， 则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 C. 51326 D ．71020 解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0， 由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 故选D. 答案：D 4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0 解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所
以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C. 答案：C 5．若直线l ：y ＝kx － 3 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.??????π6，π3 B ．? ????π6，π2 C.? ?? ??π3，π2 D ．???? ??π3，π2 解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角 的取值范围为? ?? ?? π6，π2.故选B. 答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝1 2 ， ∴方程为y －3＝1 2(x －2)，即x －2y ＋4＝0. 答案：A 二、填空题 7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________． 解析：由题意知截距均不为零． 设直线方程为x a ＋y b ＝1，
解析几何版吕林根课后习题集规范标准答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?? ?==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 2 2 =--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22 2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{ }2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：
??? ??+==-=? ?? ? ??-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220 0000 0 而0M 在准线上，所以： ? ? ?+=-++=-)2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 2 2 =--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为 ())3 4,31,3 1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为 )15 13 ,1511,152(0-- M ，圆的方程为： ??? ??=++=-++++0 7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： v u Y +=(
03级空间解析几何期末试卷B
2003--2004学年第一学期补考试题（卷） 03级数教《空间解析几何》 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e 共面,则a , c , e ( ) （A ）不一定共面 （B ）一定共面 （C ）一定不共面 （D ）一定共线 2、关于零矢量的描述不正确的是 ( ) （A ）模不定 （ B ）方向不定 （ C ）模为零 （ D ）模定方向不定 3、i i j j k k ?+?+?= ( ) （A ）0 （B ）3 （C ）1 （D ）0 4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c 的模为 ( ) （A （B ）3 （C ）0 （D ）1 5、平面的法式方程中的常数项必满足 ( ) （A ）≤0 （B ）≥0 （C ）< 0 （D ）＞0 6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 （ ） （A ）任意 （B ）与B 异号 （C ）与A 异号 （D ）与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足 ( ) （A ）D 1=D 2=0 （B ）D 1=0,D 2≠0 （C ）D 1≠0,D 2=0 （D ）D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( ) （A ）0 （B ）1 2 （C ）1 7 （D ） 114 9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( ) （A ）2 2 2 sin sin sin 1λμν++= （B ）2 2 2 cos cos cos 2λμν++= （C ）222cos cos cos 1λμν++= （D ） 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-= 10、下列方程中表示双曲抛物面的是 ( ) （A ）222x y z += （B ）2232x y z -= （C ）222x y z -= （D ）222x y z += 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。把答案填在题中横线上。 1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。 2、三矢量不共面的充要条件是 。 3、 叫方向余弦。 4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。 5、给定直线000 : x x y y z z l ---== ＸＹＺ 和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。 6、给定直线 111 1111: x x y y z z l X Y Z ---==与2222222 :x x y y z z l ---==ＸＹＺ则12l l 与异面的充要条件是 。 7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。 8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。 9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的 有 。 10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。 三、判断题：本大题共10小题，共10分，正确的打”√”,错误的打”×”。 1、若a ,b 共线, b ,c 共线,则a ,c 也共线。 ( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。 ( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b |。 ( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。 ( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。 ( ) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。 ( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。 ( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。 ( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。 ( ) 10、将抛物线220 y pz x ?=?=?绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=( ) 四、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
高等数学-向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
解析几何课后答案按
第1章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？ （1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=-
（5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, +=- （5）, ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. [证明]： )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ， ∴0=+=+OB OD OC OA ， 从而OA=OC ，OB=OD 。
5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++＝4. [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), ＝2 1 (OB +), 所以 2＝2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP ＝λ+1. 2. 在△ABC 中，设＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5
解析几何大题带答案
三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则
又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
空间解析几何试题
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是 _______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{ }{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→→b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+= -3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线123z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线? ??=-+-=-+0201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线???+==-+1 022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的方程分别 是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是________________(请用 x y x ,,的一个方程表示). 10. 曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面.
空间解析几何习题答案解析(20210120005111)
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
《空间解析几何》学习指导
《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式
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