中考干货一张图读懂几何模型

今天，老师为大家整理了初中数学几何模型的快捷记忆，赶快来看看

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2018年中考常见几何模型分析

中考直通车·数学广州分册 第八章专题拓展 第24讲常见几何模型

【考点解读】 常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。 【考点分析】 2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。 2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。 【模型介绍】 手拉手模型： 1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结 AE 与CD ， 【结论】（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠

C D A B F E C D 2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。 【结论】 （1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG =CE （3）AG 与CE 之间的夹角为 90 （4）HD 是否平分AHE ∠？ 旋转模型： 一、邻角相等对角互补模型 【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】45ACB ACD BC CD ? ∠=∠=+= ① ② 二、角含半角模型：全等 角含半角要旋转：构造两次全等 F E D C B A G F E D C B A A C D E A C D E F

中考数学几何模型能力 共顶点模型(解析版)

中考数学几何模型2：共顶点模型 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论： 连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ?△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分 例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC =∠DAE =90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ． （1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．

变式练习>>> 1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°． （1）求证：BD=AE． （2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积． 例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.

变式练习>>> 2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点． 例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF. (1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；

【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：相似模型

中考必考几何模型（猿辅导） 最 新 讲 义

相似模型 模型1：A、8模型 已知∠1＝∠2 结论：△ADE∽△ABC 模型分析 如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形． 模型实例 【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证： 1 2 OF OE OD OA OC OB ===． 解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴ 1 2 DE BC =．，DE//BC ∴△EOD∽△COB（8模型）∴ 1 2 OE DE OC BC ==．同理： 1 2 OF OA =， 1 2 OD OB =． ∴ 1 2 OF OE OD OA OC OB ===．

证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴ 1 2 GF BF AD BC ==． ∵AD＝CD， ∴ 1 2 GF AD =．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型） ∴ 1 2 OF GF OA AD ==．同理 1 2 OE OC =， 1 2 OD OB =．∴ 1 2 OF OE OD OA OC OB ===． 【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G， 延长BF交CD的延长线于H，若AF DF ＝2，求 HF BG 的值． 解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD． 设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A ∴ 1 2 HD DF HF AB AF FB ===，∴HD＝1．5a， 1 3 FH BH =，∴FH＝ 1 3 BH ∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴ 1.53 24 HG HD a GB EB a ===，∴ 4 7 BG HB = ∴BG＝4 7 HB，∴ 1 7 3 412 7 BH HF BG BH == 跟踪练习： 1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．

中考数学必会几何模型：半角模型

半角模型 已知如图：①∠2=1 2 ∠AOB；②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′. （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 模型实例 例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．

证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ． ∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ． ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ． （2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ． 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?． 又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③

?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：

(完整版)中考数学常见几何模型简介

初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）

模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明 为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?<

?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等 边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90°

几何模型：一线三等角模型知识讲解

几何模型：一线三等 角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧

三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用

最新中考数学必会几何模型

目录 将军饮马模型 (3) 模型1：直线与两定点 (3) 模型2/角与定点 (10) 模型3两定点一定长 (15) 第十二章辅助圆 (20) 模型1 共端点，等线段模型 (20) 模型2 直角三角形共斜边模型 (23) 半角模型 (32) 模型实例 (33) 8字模型与飞镖模型 (50) 模型1：角的8字模型 (50) 模型2：角的飞镖模型 (54) 模型3 边的“8”字模型 (57) 模型4 边的飞镖模型 (58) 中点四大模型 (63) 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 (63) 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． (66) 模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 (71) 模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 (78) 二次函数 (85) 圆中的辅助线 (91) 模型1 连半径构造等腰三角形 (91) 模型2 构造直角三角形 (94) 模型3 与圆的切线有关的辅助线 (100) 相似模型 (111) 模型1：A、8模型 (111) 模型2 共边共角型 (116) 模型3 一线三等角型 (121) 模型4 倒数型 (127) 模型5 与圆有关的简单相似 (132) 模型6 相似和旋转 (136) 1.2空间几何体的三视图和直观图 (145)

1.3 空间几何体的表面积与体积 (145) 手拉手模型 (147) 模型手拉手 (147) 三垂直全等模型 (158) 模型三垂直全等模型 (158) 蚂蚁行程 (170) 模型立体图形展开的最短路径 (170) 截长补短辅助线模型 (180) 模型：截长补短 (180) 角平分线四大模型 (192) 模型1 角平分线的点向两边作垂线 (192) 模型2 截取构造对称全等 (194) 模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 (198) 模型4 角平分线+平行线 (200)

中考数学九大几何模型标准版

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

初中：数学几何模型大全

全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中考必会几何模型：角平分线四大模型

角平分线四大模型 模型1 角平分线的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口 模型实例 （1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是 解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE. ∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2. （2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC 证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F， ∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF 又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）

练习 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ， 求证：∠BAD＋∠BCD＝180° 证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°, ∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C ∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180° 2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝. 解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP， PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质) ∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80° ∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM ∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50° 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA 模型分析

中考常见几何模型分析与总结(含答案)

C D A B F E C D 初中几何经典模型 【模型介绍】 手拉手模型： 1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结 AE 与CD ， 【结论】（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为?60 （4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠ 2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。 【结论】 （1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG =CE （3）AG 与CE 之间的夹角为 90 （4）HD 是否平分AHE ∠？ 旋转模型： 一、邻角相等对角互补模型 【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】45ACB ACD BC CD ?∠=∠=+=① ②

二、角含半角模型：全等 角含半角要旋转：构造两次全等 【条件】：如图，点分别是正方形的边上的点，，连接； 【结论】（1）AFE AGE △△? （2） ； 一线三等角模型: 【条件】 一条直线同一侧三个相等的角（如图）； 【结论】CDE ABC ∽△△ 1、锐角形一线三等角 2、直角形一线三等角 F E D C B A G F E D C B A A B C D E A B C D E F E F 、ABCD BC CD 、45EAF ∠=?EF EF BE FD = +

3、钝角形一线三等角 【真题拾遗】 1．（2014?广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2016?广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5 其中正确的结论是．

初中几何常考模型汇总(完整版)

O D C B A 第01讲 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 图1 2 图E A B C D E F D C B A 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 O O 图1 2 图E A B C D E D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 H G E F D C B A

D C B A 105 O O 120D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 M D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC>BD+CD 。 模型实例 如图，点O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ； （2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 可推导出 若△ABC 和△ADE 中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则ADE ABC S S ??=AE AD AC AB ?? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 四、相似模型

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型 模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．

中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题-12章全

中考必会几何模型 ——31个模型轻松搞定所有中考几何题 说明：本文档由hnkznhb@https://www.wendangku.net/doc/8415359028.html,收集自网络并整理。 大家如有兴趣，可以发送一些教学资料到本人电子邮箱，多谢！ 目录 第一章8字模型与飞镖模型 (2) 第二章角平分线四大模型 (5) 第三章截长补短 (10) 第四章手拉手模型 (13) 第五章三垂直全等模型 (15) 第六章将军饮马 (18) 第七章蚂蚁行程 (24) 第八章中点四大模型 (27) 第九章半角模型 (33) 第十章相似模型 (37) 第十一章圆中的辅助线 (47) 第十二章辅助圆 (54)

第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。 2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。 O D C B A 图1 2 图E A B C D E F D C B A O O 图1 2 图E A B C D E D C B A

模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ； 2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。 H G E F D C B A D C B A M D C B A O 135 E F D C B A

几何五大模型之精讲精练

五大模型 一、 等积变换模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； b a S 2S 1 D C B A 如左图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、 鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 推理过程连接BE ，再利用等积变换模型即可 三、 蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： A B C D O b a S 3 S 2S 1S 4 ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +． 四、 相似模型 相似三角形性质： G F E A B C D （金字塔模型） A B C D E F G （沙漏模型） ① AD AE DE AF AB AC BC AG === ； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样

“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备

3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB =2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB =∠ACP ，则线段 P B 长度的最小值为 _ 。 简答：因为∠PAB =∠PCA ，∠PAB +∠PAC =60°，所以∠PAC +∠PCA =60°，即∠APC =120°。因为 A C 定长、∠APC =120°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC =120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC =60°，故以 AC 为边向下作等边△AOC ，以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，P 在⊙O 上。当 B 、P 、O 三点共线时，BP 最短（知识储备一：点圆距离）， 此时 B P =2 -2 2. 如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD =30°， 顶点 A 在射线 O D 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为 。

2020中考数学专题1 几何模型之双子型

◆ 条件： CD ∥AB(△OCD ∽△OAB)，将△OCD 旋转至右图位置 ◆ 结论：右图中①△OCD ∽△OAB △OAC ∽△OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠AEB=∠AOB ； ③点 E 在△OAB 的外接圆上. 【模型解析】 2020 中考专题 1——几何模型之双子型 班级 姓名 . 【例题分析】 例 1.如图 1，直角坐标系中，点 A 的坐标为(1,0),以线段 OA 为边在第四象限内作等边△AOB ,点 C 为x 正半轴上一动点(OC ＞1),连接 BC ，以线段 BC 为边在第四象限内作等边△CBD ,直线 DA 交 y 轴于点 E ． (1) △OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论； (2) 着点 C 位置的变化，点 E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E 的坐标；若有变化， 请说明理由． 图 1 ◆ 条件：△OAB,△OCD 均为等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD ◆ 结论：①△OAC ≌△OBD ；②AC=BD ；③∠AEB=∠AOB ；④OE 平分∠AED(或 ∠AED 的外角）；⑤点 E 在△OAB 的外接圆上.

3 例 2. 如图 2-1，在 Rt △ABC 中，∠B ＝90°,cosC ＝ 5 ,点 6 D 、E 分别是边 BC 、AC 的中点，连接 DE ， AE 将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当 0°≤θ＜360°时, 仅就图 2-2 的情况给出证明． 图 2-1 图 2-2 的大小有无变化？请 BD 例 3．如图 3 所示，在四边形 ABCD 中，AD ＝3,CD ＝2,∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°,则 BD 的长为 ． 图 3 图 4 例 4.如图 4，在△ABC 中,∠ABC ＝60°,AB ＝ 2 ，BC ＝8，以 AC 为腰，点 A 为顶点作等腰△ACD , 且∠DAC ＝120°,则 BD 的长为 . 【巩固练习】 1. 如图 1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC ＝∠DAE ＝90°,AB ＝AC ＝2，O 为 AC 中点， 若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE ，则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是为（ ） A 1 B ． C ．1 ． 2 2 图 1 图 2 2. 如图 2,△ABC 为等边三角形,AB ＝2,点 D 为 BC 边上的动点,连接 AD ,以 AD 为一边向右作等边△ ADE ,连接 CE. (1)在点 D 从点 B 运动到点 C 的过程中,点 E 运动的路径长为 ; (2)在点 D 的运动过程中,是否存在∠DEC ＝60°,若存在,求出 BD 的长,若不存在,请说明理由. (3)取 AC 中点 P ,连接 PE ,在点 D 的运动过程中,求 PE 的最小值. 2 D ． 2