矩阵的合同变换

矩阵的合同变换

摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵 秩 合同 对角化

定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ?

定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B

定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =

那么就说，在数域F 上B 与A 合同。

以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似

因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12

m P Q Q Q =。

此时71

1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积

若111T T T

T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以

A B ?，从而知合同变换是等价变换。

定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩

证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A

B B P AP -=

1||det ||del I B I P AP λλ--=-

又因为I λ为对称矩阵

所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=-

||I A λ=-

注①合同不一定有相同特征多项式

定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12

,n λλλ，

因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得

112[]Q AQ λλ-= 11

[]n P BP λλ-=

从而有11Q AQ P BP --=

11PQ AQP B -=

由11Q Q E PP E --==

从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=

又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=

T QQ = 1QQ -=

E =

1QP -∴为正交矩阵

所以A B 且A B ?

定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质

证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A =

()T T T B P AP =

T T P A P =

T P AP = B =

所以B 边为对称阵

[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？

引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.

证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则

||r n s n r s I A λ=-?-=?-1200

0n x x x ????

????

????=??????????

??，线性无关的解向量个数为n r -个，即5

个

又因属不同特征根的特征向量线性无关

?n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ?n 阶对称阵可对角化

从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用

例 求一非线性替换，把二次型

123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+

二次型`23(,,)f x x x 矩阵为

011103130A ??

??=-??

??-??

对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换

212103230A -????→-????--??→2

00020006??

??-?

?????

1001111

101110

01101E ????

????→→--????

????????

112233113111001x y x y x y ????

????????=--?????????????????? 可把二次型化为标准型

222

123123(,,)226f x x x y y y =-+

解法（2）

212103

230A -??

??→-????--??

2101020

22??

??→-????--??

2001022022??

????→--????--??

2001002006??????→-??????

此时222

123123

1(,,)262

f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为

11223311321112

001x z x z x z ??-??????

????????=-????????????????

??????

发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性

[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？ 例3．用可逆性变换化二次型

222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-

解：222

112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+

对二次型矩阵为

6

3336333

6A --????--?

?=??--???

?

1

006006

00010999

63

30

000

002223639

9000336012211

00111

12

101010

221010

101

02

10

01001A E ??????????

????--??????-??

??????--?

??????????---

????=→

→→??????

?????????????????

????

??

????????????

??????????

E B ??=???????标准形22

12f y y =+

，则11223310

10

1

x y x y x y ?????????????=????????????????

?????

?

PTA B =

[注]当P改变两行的位置交换后，发现

0001

6 3 3100

03631010

336000

001

111

????

????

????

--

????

??

????

--=

??

????

??

????

--

????????

????

????

定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T

P AP B

=，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。

证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然T T T

J J E J AJ JAJ A

===于是有

()()()()()()

t T T T T T T T

B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP

=====

而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，

因此任意调整P的行，所得对角阵相同。

[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？

例4．求实对称矩阵

220

212

020

A

-

??

??

=--

??

??

-

??

求可逆阵P使得T

P AP为对角阵

32

21

2132

2

2

220200200

212012010

020020004

100110112

010010012

001001001

c c

c c

r r r r

A

E

-

+

+-

-

??????

??????

-----

??????

??????

--

??

=???→???→

????????-

??????????????

-

??????

??????

??????

1

112400

112010

001002

T

P P AP B B

-

????

????

=-==-

????

????

????

1

211

211

000

P

-??

??

=-??

??

??

我们得到

11

T

P AP B

=

定理7：设,

T

P AP B A

=对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B对角线上任意两个

元素的位置得到

1

B，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得

11

T

P AP B

=，即P的列与B中元素的对应性。

证明：初等调换矩阵为J，显然T J J

=

11

11

()()

T T T T

B J BJ J P APJ PJ A PJ P AP

====

P

∴与

1

P相比，只是列的排列顺序发生了改变

P

∴的列与B的对角线上元素具有对应性

自己写例

定理8：如果对角线上的元素分别扩大22212,,n C C C -得2B ，则不要将P 中对应的对应

角线元素扩大11C ，即可得到2P 使得222T P AP B =

证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 对角线上第J 个元素1C ）形1221C J C ??

??=??????

，

则有22222()T T B J BJ J J ==

2222211()T T T T

B J P PJ PJ J APJ P AP ===

2B ∴中第J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =，且其2P 中对角线J 个元素是P 中对角

线元素CJ 倍。

例：已知对称矩阵121

1211

311311310A -????-?

?=???

?--??

求可逆矩阵P ，使T P AP 且对角形式 解101110

010

3110311113101221

1

1

011

2

0A --????????------?

??

?→→????--???

?----????

1

00

010********

01030

003117770001220003330

1

2

17000

30113??

??????--?

??

?-????---????→→→

??????-????????--?

???---????

????

对单位阵E 进行相应列初等变换得

1122310

10300

110

01E P ?

?--

????

??-→=??

??

-??????

则有1313733T

P AP ??

??-??==??????

-???? 141111B E ??

??

-??==??????

则此时有11122

3100300100

P ??--??????-??

??=??

-??

????

得111T P AP B = 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。

主要参考文献

[1]北大数学系，高等代数第二版

[2]上海交大线性代数编写。线性代数（第三版）[M] [3]张禾瑞 高等代数[M]

[4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》 [5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》

[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154

矩阵的合同变换及性质

定义：设A ，B 是数域F 上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P 使得T B P AP =成立，那么 B 与A 合同

特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。 引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J 对角阵 证明：①数学归纳法 当1n =时，定理显然成立

设1n >时，定理对1n -阶对称阵成立，A 上阶对称囝 若0A =则A 本身已为对角阵 不妨设0A ≠

（1）讨论A 的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得

1112112

1000

0s

s a

E E E AE E E A ??

??=??????

这里1A 是1n -阶对称阵，由归纳假设，存在则有1n -阶可逆阵1a ，使

2

11100

T c

Q A Q cn ??

=????

现取12

1

1000,0

s Q P E E

E Q Q ????

??==??????

则1111

2112

2

1110

00000T T T

T T S S T n a a P AP Q E E E AE E E Q c Q A Q c ????

??????===??????????

????

（2）若0,1,2,,ii a i n ==，由0A =，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i

的情怀

合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型

12(,,)T n f x x x x AX =化简，一般都归结为对称实矩阵A 的合同变换在

特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性

定理1：若在对称矩阵A 的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时， 单位阵成为A 的合同变换矩阵。

特性2：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈

例：已知实对称矩阵0

1001

00000210

1

2A ?????

?=??????

求可逆矩阵P ，使()()T AP AP 为对角矩阵 解由于t A A =且2()()T T AP AP P A P =，可见为使()()T AP AP 为对角矩阵，实质上是

使0000010000540

45A ?????

?=??

????合同于对角矩阵 4334

25

4455100

01

00001000100005000549000

004551

000100001000100001

0400150

00

100

01A r r L c A E --??????

?

?????

??

????

???

???????=????→ ???????????

??

??

?

???????

-

??????

???

?

故可逆矩阵2100

01

00

001000100400500015900

00015T P P A P ?????????

??

?==?

???-???

?????????????

（2

）100001

000

000

P ???????

?=???????

当 2

()()T T AP AP P A P ==10000

10000100

9?????

???????

定理3：设,T P AP B A =为对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 的对角线上任意两

个元素的位置得到1B ，则只要调换P 中对应两列，可得到1P ，使得7

111P

AP B =，即P 的列与的列与B 具有对应性。

说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J ，显然1T J J =，

1111111111()T

B J BJ J P APJ PJ APJ P AP ''====

P ∴与11P PJ =相比， 列的排列顺序不同，因此，P 的列与B 的对角线上元素

具有对应性。

特性3：合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。

定理4：若要将B 的对角线上第j 个元素扩大2C 得到2B ，则只要得P 中对应第j 列扩大c 倍，即得到2P ，使得222T P AP B =

证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 的对角线上第j 个元素为c ，其余为1）

显然1

2

2J J = 111222222222()B J BJ J P APJ PJ APJ P AP ''====

2B ∴中的第j 个元素B 的

我们发现j 合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法（变换矩阵）和结果（对角阵）的

二、合同变换的本质

在n 阶实对称阵A 和B 的正负惯性指标都一样，则(,)a S A B 有表示为A 到B 的合同变换矩车构成的集合。

引理1：假设实对称矩阵A 和B 的正负惯性指标都一样，则1()c S A B 为群

证明：对于任意的12(,),(,)c c P S A B P S A B ∈∈，则存在1020(,),(,)C S A B C S A B ∈∈，

使得111122,P c c P c c --==因此11

12122(),PP c c P c c --==，因此1111121212()()()PP c c c c c c c c ----=?=?，而

11111111111111121221112222222()()()()c c c A c c c c c c Ac c c c c Bc c c Ac c Ac B ------=====，则

1120(,)c c c S A B -∈所以12(,)c P P S A B ?∈亦即有(,)c S A B ，

关于矩阵乘法封闭，易知(,)c s A B 关于矩阵乘法满足结合律，有单位矩阵，下设每个元素都有逆远，假设(,)c P S A B ∈存在

10(,)C S A B ∈，使得11P c c -=，所以11111()p c c c cc c ----==，因

11111111111111111()()()()cc A cc c c c c Acc c c c Bc c c Ac B ------====，则110(,)cc c S A B -∈所以11(,)c c c S A B -∈即1(,)c P S A B -∈，综上所述(,)c S A B 成群

注：10(,){|,,S A B c c AC B A B ==为已知的实对称矩阵}，c 为可逆复矩阵，

11010(,){|(,),(,)}c S A B c c c S A B c S A B =∈为中任一给定矩阵

引理2：假设实对称阵A 和B 正负惯性指标都一样，则(,)c S A B 有表示为

1(,){|,}c S A B m m BM B m ==为可逆阵

证明：110(,)(,)(),,.c m S A B cm S A B cm Acm B mJ M BM B M ∈?∈?=?=连可逆