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概率论与数理统计习题集及答案

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《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;

(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ;

B :两次出现同一面,则= ;

C :至少有一次出现正面,则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件:

(1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则

(1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则

(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .

§1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,

(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.

2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1 .5 条件概率与乘法公式

1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。

§1 .6 全概率公式

1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个

签,说明两人抽“中‘的概率相同。

2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中

随机地取一个球,求取到红球的概率。

§1 .7 贝叶斯公式

1. 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)

该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,

B 被误收作A 的概率为0.01,信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少?

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图,其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路(用T 表示)的概率。

A B L R C D

3. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相

互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .1 1:(1)},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =; (2)}3,2,

1,0{=S

2:(1)}6,5,4,3{}5,3,

1{==B A ;

(2){=A 正正,正反{},=B 正正,反反{},=C 正正,正反,反正}。 §1 .2 1: (1) ABC ;(2) C AB ;(3) C B A ;(4)C B A ??;(5) BC AC AB ??;

(6) C B C A B A ?? 或 C B A C B A C B A C B A +++;

2: (1)}41:{<<=?x x B A ;(2)}32:{≤≤=x x AB ;(3)}43:{<<=x x B A ;

(4)10:{≤≤=?x x B A 或}52≤≤x ;(5)}41:{<<=x x B A 。

§1 .3 1: (1) )(AB P =0.3, (2))(B A P = 0.2, (3) )(B A P ? = 0.7. 2:)(B A P )=0.4.

§1 .4 1:(1)103082228/C C C ,(2)(103082228922181022/C C C C C C )(++,(3)1-(10

30922181022/C C C C )+.

2: 3

344/P .

§1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。

§1 .6 1: 设A 表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10

设B 表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A ) =

10

2

9210891102=?+? 两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。

2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:

p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45

§1 .7 1:(1)94% (2)70/94; 2: 0.993;

§1 .8. 1: 用A,B,C,D 表示开关闭合,于是 T = AB ∪CD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

424222p p p p p -=-+=

2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念,离散型随机变量

1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X 表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X 的分布律.

2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X 表示射击的次数, 试写出X 的分布律。

§2.2 10-分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布,求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率; (3)每分钟最多有1次呼叫的概率;

2 设随机变量X 有分布律: X 2

3 , Y ~π(X), 试求: p 0.

4 0.6

(1)P(X=2,Y ≤2); (2)P(Y ≤2); (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

1 一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算

机是否被使用相互独立,问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少? (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少? (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少? (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?

2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?

§2.4 随机变量的分布函数

1设随机变量X 的分布函数是: F(x) = ??

?

??≥<≤--<11115.010

x x x

(1)求 P(X ≤0 ); P ()10≤

2 设随机变量X 的分布函数是:F(x) = ???

??≤>+0

01x x x

Ax , 求(1)常数A, (2) P ()21≤

§2.5 连续型随机变量

1 设连续型随机变量X 的密度函数为:?

??<<=他其01

0)(x kx x f

(1)求常数k 的值;(2)求X 的分布函数F(x),画出F(x) 的图形,

(3)用二种方法计算 P(- 0.5

2 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为:F(x) = ??

?

??≥<≤

x x x 11ln 10

(1)求X 的密度函数)(x f ,画出)(x f 的图形,(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

§2.6 均匀分布和指数分布

1设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42

x + 4Kx + K + 2 = 0

有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X 服从2.0=α的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。

§2.7 正态分布

1 随机变量X ~N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3); (2)确定c ,使得 P(X>c) = P(X

2 某产品的质量指标X 服从正态分布,μ=160,若要求P(120

§2.8

1设随机变量X 的分布律为; Y = 2X – 1, 求随机变量的分布律。

2设随机变量X 的密度函数为:?

??<<-=他其01

0)1(2)(x x x f ,

2X Y =;求随机变量Y 的密度函数。

3. 设随机变量X 服从(0, 1)上的均匀分布,X Y ln 2-= ,求随机变量Y 的密度函数。

第2章作业答案

§2.1 1:

2: §2.2 1: (2) P(X ≥1) = 0.981684,

(3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2:(1) 由乘法公式:

P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (222

22---++e e e

)= 22-e

(2)由全概率公式:P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3)

= 0.4×52

-e + 0.6×

3

2

17-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 (3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y ≤2)=

516.052458

.027067

.0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P

§2.3 1: 设X 表示在同一时刻被使用的台数,则 X ~B(5, 0.6),

(1) P( X = 2 ) = 32254.06.0C (2) P(X ≥3 ) = 5

44523356.04.06.04.06.0++C C (3) P(X ≤3 ) = 1 - 54456.04.06.0-C (4)P(X ≥1 ) = 1 - 5

4.0

2: 至少必须进行11次独立射击.

§2.4 1:(1)P(X ≤0 )=0.5; P ()10≤

(2) X 的分布律为: 2: (1) A = 1, (2) P ()21≤

§2.5 1:(1)2=k ,(2)??

???≥<≤<=1

11000)(2

x x x

x x F ; (3)P(- 0.5

4

120)(5

.00

5

.05

.05

.0=

+=???

--xdx dx dx x f ; 或= F(0,5) – F(-0.5) =

4

1041=-。 2: (1)???<<=他其01/1)(e

x x x f (2)2ln 1)2(-=>X P

§2.6 1: 3/5 2: 4

22

)2()1(----e e e

§2.7 1:

;(2) c = 3, 2:σ≤31.25。 §2.8 1: 2: ??

?

??<<-=他其010)1(1)(y y y y f Y , 3: ?????≤>=-0

002

1)(2

/y y e y f y Y ;

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X 表示取到的红球

个数,用Y 表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2. 设二维随机变量),(Y X

试根椐下列条件分别求a 和b 的值; (1)6.0)1(==X P ; (2)5.0)2|1(===Y X P ; (3)设)(x F 是Y 的分布函数,5.0)5.1(=F 。

§3.2 二维连续型随机变量

1. )(Y X 、的联合密度函数为:?

??<<<<+=他其01

0,10)(),(y x y x k y x f

求(1)常数k ;(2)P(X<1/2,Y<1/2);(3) P(X+Y<1);(4) P(X<1/2)。

2.)(Y X 、的联合密度函数为:?

?

?<<<<=他其00,10),(x

y x kxy y x f

求(1)常数k ;(2)P(X+Y<1);(3) P(X<1/2)。

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。

+∞<<∞-+∞<<∞-++=

y x y x y x f ,)

1)(1(1

),(222π

2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。

??

?<<=-他

其00),(x

y e y x f x

§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下, 试根椐下列条件分别求a 和b 的值; (1) 3/1)1(==Y P ; (2) 5.0)2|1(==>Y X P ; (3)已知X 与Y 相互独立。

2. (X,Y) 的联合密度函数如下,求常数c ,并讨论X 与Y 是否相互独立?

???<<<<=他其0

1

0,10),(2y x cxy y x f

第3

§3.1 1 2: (1) a=0.1 b=0.3

(2) a=0.2 b=0.2

(3) a=0.3 b=0.1

§3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8;(3) P(X+Y<1) = 1/3;(4) P(X<1/2) = 3/8。 2:(1) k = 8;(2) P(X+Y<1) = 1/6;(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1: +∞<<∞-+=++=

?∞

+∞-x x dy y x x f X )

1(2

)1)(1(1)(2222ππ;

+∞<<∞-+=

++=?

∞+∞

-y y dx y x y f Y )

1(2)

1)(1(1

)(22

22

ππ;

2: ??

?≤>=-000

)(x x xe x f x

X ; ???≤>=-0

0)(y y e y f y

Y ;

§3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a = 1/3, b = 2/9。

2: c = 6, X 与Y 相互独立。

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X 表示取到的红球的个数,则EX 是: (A )1; (B )1.2; (C )1.5; (D )2.

2. 设X 有密度函数:??

?

??=0

83)(2

x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求X

大于数学期望)(X E 的概率。

3. 设二维随机变量),(Y X

已知65.0)(=XY E , 则a 和b 的值是: (A )a=0.1, b=0.3; (B )a=0.3, b=0.1; (C )a=0.2, b=0.2; (D )a=0.15, b=0.25。

4.设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下:求)1(,,+XY E EY EX 。

???<<<<=他其

02

0,10),(y x xy y x f

§4.2 数学期望的性质

1.设X 有分布律: X 0 1 2 3 则)32(2

+-X X E 是: p 0.1 0.2 0.3 0.4

(A )1; (B )2; (C )3; (D )4.

2. 设),(Y X 有?????<<=他其0

1

45

),(2y x y y x f ,试验证 )()()(Y E X E XY E =,但X 与Y 不

相互独立。

§4.3 方差

1.丢一颗均匀的骰子,用X 表示点数,求DX EX ,.

2.X 有密度函数:?

??+=04

/)1()(x x f 他其20≤≤x ,求 D(X).

§4.4 常见的几种随机变量的期望与方差

1. 设)2(~πX ,)6.0,3(~B Y ,相互独立,则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是:

(A )-1.6和4.88; (B )-1和4; (C )1.6和4.88; (D )1.6和-4.88.

2. 设)3,4(~),

,(~N Y b a U X ,X 与Y 有相同的期望和方差,求b a ,的值。

(A ) 0和8; (B ) 1和7; (C ) 2和6; (D ) 3和5.

§4.6 独立性与不相关性 矩

1.下列结论不正确的是( )

(A )X 与Y 相互独立,则X 与Y 不相关; (B )X 与Y 相关,则X 与Y 不相互独立;

(C ))()()(Y E X E XY E =,则X 与Y 相互独立; (D ))()(),(y f x f y x f Y X =,则X 与Y 不相关; 2.若 0),(=Y X COV ,则不正确的是( )

(A ))()()(Y E X E XY E =;(B ))()()(Y E X E Y X E +=+; (C ))()()(Y D X D XY D =;(D ))()()(Y D X D Y X D +=+; 3.(Y X ,)有联合分布律如下,试分析X 与Y 的相关性和独立性。

-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4.)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的( )

(A )必要条件;(B )充分条件:(C )充要条件;(D )既不必要,也不充分。 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的( )

(A ) 必要条件;(B )充分条件:(C )充要条件;(D )既不必要,也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证X 与Y 不相关,但不独立。

???<<=他其01

4/21),(22y x y x y x f

第4章作业答案

§4.1 1: B ; 2:3/2, 2, 3/4, 37/64; 3: D ; 4: 2/3,4/3,17/9; §4.2 1: D ;

§4.3 1:7/2, 35/12; 2:11/36; §4.4 1:A ; 2: B ;

§4.5 1:0.2, 0.355; 2:-1/144, -1/11;

§4.6 1:C ; 2:C ; 3:X 与Y 不相关,但X 与Y 不相互独立;4:C ;5:A ;

第5章 极限定理

*§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理

1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,

其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。

2. 某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理

分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.2 2:0.1788; 3:0.889, 0.841;

第6章 数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念

1. 有n=10的样本;1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4,则样本

均值X

= ,样本均方差=S ,样本方差=2

S 。

2.设总体方差为2

b 有样本n X X X ,,,21 ,样本均值为X ,则=),(1X X Cov 。

§6.2 数理统计中常用的三个分布

1. 查有关的附表,下列分位点的值:9.0Z = ,)5(2

1.0χ= ,)10(9.0t = 。

2.设n X X X ,,,21 是总体)(2

m χ的样本,求)(),

(X D X E 。

§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布

1.设总体),(~2

σμN X ,样本n X X X ,,,21 ,样本均值X ,样本方差2

S ,则

~/n

X σμ

- ,

~/n

S X μ

- ,

∑=-n

i i

X X

1

2

2

)(1

σ~ ,

∑=-n

i i

X

1

22

)(1

μσ~ ,

第6章作业答案

§6.1 1.0646.0,254.0,

57.12===s s x ; 2. n b X X Cov /),(21=;

§6.2 1.-1.29, 9.236, -1.3722; 2.n m X D m X E /2)(,)(==;

§6.3 1.)(),1(),

1(),

1,0(22n n n t N χχ--;

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

1.设总体X 的密度函数为:????

?≤≤=-他

10)(1

x x

x f θθ,有样本n X X X ,,,21 ,求未

知参数θ 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ,为估计λ的值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下:次数: 2 3 4 5 6

量数: 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。

§7.2 极大似然估计

1.设总体X 的密度函数为:????

?≤≤+=他

10)1()(x x

x f θ

θ,有样本n X X X ,,,21 ,求

未知参数

θ 的极大似然估计。

§7.3 估计量的评价标准

1.设总体X 服从区间)1,(a 上的均匀分布,有样本n X X X ,,,21 ,证明=a

?12-X 是a 的无偏估计。

2.设总体X ~)(λπ,有样本n X X X ,,,21 ,证明2

)1(S a X a -+是参数λ的无偏估计

(10<

§7.4 参数的区间估计

1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度),(~2σμN X ,抽取9根纤维,测

量其纤度为:1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求μ的置信度为95.0的置信区间,(1)若22

048.0=σ

,(2)若2σ未知

2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得075

.12=x ㎜,s = 0.0494㎜, 设另件长度),(~2

σμN X ,取置信度为95.0,(1)求2σ的置信区

间,(2)求σ的置信区间。

第7章作业答案

§7.1 1:2

)1(

X

X -; 2: 5, 4.97; §7.2 1:21

)1ln (

+∑=n

i i

X

n

§7.3

§7.4 1:(1.377,1.439),(1.346,1.454); 2:(0.0013,0.0058);(0.036, 0.076)

第8章 假设检验

§8.1 假设检验的基本概念

1. 某种电子元件的阻值(欧姆))400,

1000(~N X ,随机抽取25个元件,测得平均电

阻值992=x ,试在1.0=α下检验电阻值的期望μ是否符合要求?

2. 在上题中若2

σ未知,而25个元件的均方差25=s ,则需如何检验,结论是什么?

§8.2 假设检验的说明

1. 设第一道工序后,半成品的某一质量指标)64,(~μN X ,品质管理部规定在进入下一工

序前必需对该质量指标作假设检验

00:μμ=H ,01:μμ≠H ;16=n ,当X 与0μ的绝对偏差不超过3.29时,许进入下一

工序,试推算该检验的显著性水平。

§8.3 一个正态总体下参数的假设检验

1. 成年男子肺活量为3750=μ毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一

定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为3808=x 毫升,设方差为2

2120=σ,试检

验肺活量均值的提高是否显著(取02.0=α)?

第8章作业答案

§8.1 1:拒绝1000:0=μH ; 2: 接受1000:0=μH ; §8.2 1:0.1; §8.3 1:拒绝0H ;

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数三概率论与数理统计教学大纲

数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材:四川大学数学学院邹述超、何腊梅:《概率论与数理统计》,高等教育出版社出,2002年8月。 参考书:袁荫棠:《概率论与数理统计》(修订本),中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室:《概率论与数理统计学习指导》 总学时:60学时,其中:讲课50学时,习题课10学时。 学分:3学分。 说明: 1.生源结构:数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生(如:旅游管理,行政管理),有些专业约占1/4~1/3的理科生(国贸,财政学,经济学),有些专业全是理科生(如:国民经济管理,金融学)。 2.高中已讲的内容:高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率,即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外,其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布(包括二项分布、几何分布)和离散型随机变量的期望与方差,统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求:学生的数学基础差异大,不同专业学生对数学课重视程度的差异大,这就给讲授这门课带来一定的难度,但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解,学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时,既要照顾数学基础差的学生,多举基本例子,使他们掌握大纲要求的基本概念和方法;也要照顾数学基础好的学生,使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程(如:计量经济学),将用到较多的概率统计知识;还有一部分学生要考研,数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法,习题(A)是针对基本方法的训练而编写的,因此,这一部分内容须重点讲解,并要求学生必须掌握;每一章的最后一节是综合例题,习题(B)具有一定的综合性和难度,可以选讲部分例题,数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时): 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性,独立随机试验、

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=,P (B)=,P (B A)=,则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)? ()?(21θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件,且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=,则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α= 。 6. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 * 8. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=,P (A -B)=,则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ=,Φ=,则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ,则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ,则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ,则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /)(-=,则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51,则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=,则P {X < 0}= 。 ! 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:对立不是独立。两个集合互补。第2题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A发生,必然导致和事件发生。第3题

您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:密度函数在【-1,1】区间积分。第5题

您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A答案,包括了BC两种情况。 第6题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中,且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第8题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数,加绝对值。第9题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用概率密度的性质,概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用分布函数的性质,包括分布函数的值域[0,1]当自变量趋向无穷时,分布函数取值应该是1.排除答案。 第11题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用上分位点的定义。 第12题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P(AB)小于等于P(C)。第13题

概率论与数理统计课程教学大纲

概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 (一)课程名称:概率论与数理统计 所属专业:物理学 课程性质:必修 学分:3 (二)课程简介、目标与任务; 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科;它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习,使学生掌握概率与数理统计的基本概念,并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 (三)先修课程要求,与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接; 先修课程:高等数学。后续相关课程:统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础,起了重要作用。 (四)教材与主要参考书。 教材: 同济大学数学系编,工程数学–概率统计简明教程(第二版),高等教 育出版社,2012. 主要参考书: 1.浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编,概率论与数理统计(第四版), 高等教育出版社,2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计(第5版)影印版,高等教育出版社,2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件; 1.2 事件关系和运算。

第二章事件的概率 2.1概率的概念;2.2 古典概型;2.3几何概型;2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率; 3.2 全概率公式; 3.3贝叶斯公式;3.4 事件的独立性; 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数;4.2离散型随机变量;4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数;5.2 二维离散型随机变量;5.3 二维连续随机变量;5.4 边缘分布; 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布;6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数; 7.2 方差和标准差; 7.3协方差和相关系数; *7.4大数律; 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学;8.2统计量;8.3抽样分布。 第九章点估计

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引 编制:王健 审核: 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式: ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有: P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有: 贝叶斯公式: ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地: 当n 2时,有: 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率; (2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工 厂生产的”(i =123,,)。 则Ω== 3 1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得 (1)∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标; (3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x2+y2<1} (3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件: (1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生,而C不发生; (3)A、B、C都发生;

(4)A、B、C都不发生; (5)A、B、C不都发生; (6)A、B、C至少有一个发生; (7)A、B、C不多于一个发生; (8)A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则 (1)事件AB表示什么? (2)在什么条件下ABC=C成立? ?是正确的? (3)在什么条件下关系式C B (4)在什么条件下A B =成立? 解所求的事件表示如下 (1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立. ?是正确的. (3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B

(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=,P (A -B )=,试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=1 4 ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}. 解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为2 2a b A A +,有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号:450006 课程名称:概率论与数理统计 课程类别:公共基础课(必修) 学时学分:理论48学时/3学分 适用专业:计算机、自动化、经管各专业 开课学期:第一学期 先修课程:高等数学 后续课程: 执笔人: 审核人: 制(修)订时间:2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科,是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学,应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主,致力于讲清楚基本的概率统计思想,使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识,使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 (一)概率论的基本概念

1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念,掌握事件的关系与运算,掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念; ② 加法公式;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式。 (2)教学难点 ① 古典概型的有关计算;② 全概率公式的应用; ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式,以课堂讲授为主,课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学,学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 (1)理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念;熟练掌握事件的关系及运算 (2)理解频率和概率定义;熟练掌握概率的基本性质 (3)理解等可能概型的定义性质;,会计算等可能概型的概率 (4)理解条件概率的定义;熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式(5)理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 (二)随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念;理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质,会利用性质确定分布律和概率密度;理解分布函数的概念及性质,会利用此概念和性质确定分布函数,会利用概率分布计算有关事件的概率;掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布,会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念; ② 离散型随机变量分布律的求法;

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i =1,2,…,n ,且 X 1,X 2,…,X n 独立同分布,p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 (一)课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics),由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科,是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲,它是一门基础性学科,它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 (二)先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等,这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合,以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索,也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念,熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法,并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 (一)能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系,使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 (二)知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理; 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算; 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 (三)素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神; 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力; 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求,本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计试题与答案

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概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5 )1(= ≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0<

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A -B)=(0.3 )。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求 敌机被击中的概率为(0.94 )。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为(0.496 )。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立 射击4次,则击中二次的概率为 ( 0.3456 )。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都 不发生可表示为(ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不多于一个发生可表示为(AB AC BC I I); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=(0.5 );

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机 的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为(0.8 ); 10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=(0.5 ) 11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864 )。 12.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=(0.3 ); 13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=(0.5 ) 14.A、B为两互斥事件,则A B= U(S )15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰 有一个发生可表示为 (ABC ABC ABC ++) 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=,() P A=,()0.2 ( 0.2 ) 17.A、B为两互斥事件,则AB=(S ) 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次 )。 就能打开保险箱的概率为(1 10000

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章:随机事件及其概率 题型一:古典概型 1.房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码,求最小号码为5的概率,及最大号码是5的概率。 2.设袋中有5个白球,3个黑球,从袋中随机摸取4个球,分别求出下列事件的概率: 1)采用有放回的方式摸球,则四球中至少有1个白球的概率; 2)采用无放回的方式摸球,则四球中有1个白球的概率。 3.一盒子中有10件产品,其中4件次品,每次随机地取一只进行检验, 1)求第二次检验到次品的概率; 2)求第二才次检验到次品的概率。 4.在1-2000的整数中随机的取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除 的概率是多少?(合理的设置事件,通过概率的性质解题也很重要) 课后习题:P16:2,3,4,5, 7,9,10,11,12,13,14 P30:8,9,10,16 题型二:利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码,他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3,问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球,2n 只黑球,一次取出n 只球,如果已知取出的球都是同一种颜色,试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球,b 只白球,每次自袋中任取一只球,观察颜色后放回,并同时放入m 只与所取出的那只同色的球,连续在袋中取球四次,试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球,第四次取到红球的概率。 课后习题:P23:1,2,3,4,6,10,11 P28:1,2,4,5,6,7,9,10,12, 13 题型三:全概率与贝叶斯公式 1.在一个每题有4个备选答案的测验中,假设有一个选项是正确的,如果一个学生不知道问题的正确答案,他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%,试求: (1)学生回答正确的概率; (2)假如某学生回答此问题正确,那么他是随机猜出的概率。 2.一通讯通道,使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”,以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1)求收到信号“1”的概率? 2)现已收到信号“1”,求发出信号是“1”的概率? 课后习题:P23:7,8,9,12 P31:19,26,27,28 第二章:随机变量及其分布 题型一:关于基本概念:概率分布律、分布函数、密度函数 1.一房间有三扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了

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第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件,就“事件”这一概念而言,它是定性的。要定量地研究随机现象,事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是,既然试验的所有可能的结果是知道的,我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值,在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系,从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次,观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果:“出现H”或“出现T”。为了便于研究,我们将每一个结果用一个实数来代表。比如,用数“1”代表“出现H”,用数“0”代表“出现T”。这样,当我们讨论试验结果时,就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系,实际上就相当于引入一个变量X,对于试验的两个结果,将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来,那么,对于样本空间的不同元素,变量X可以取不同的值。因此,X是定义在样本空间上的函数,具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的,因而X(ω)的取值也是随机的,为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只,测试它的寿命。这一试验的结果(寿命)本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命,它的取值由试验的结果所确定,随着试验结果的不同而取不同的值,X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间,如果对于 中的每一个元素 ,都有一个实数X( )与之相对应,则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后,就可以用它来描述事件。通常,对于任意实数集合L,X在 L上的取值,记为{X L},它表示事件{ |X( ) L},即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次,观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数,则X是一个随机变量。显然,X的取值为0,1,2,3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次,观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是:S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则 A= ;B:数点大于 2,则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次, A:第一次出现正面,则 A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= ;b5E2RGbCAP ;p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C 都不发生表示为: .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为: .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为: .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为: .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为: .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}:则 (1) A ? B ? (4) A ? B = , (2) AB ? , (5) A B = , (3) A B ? 。 ,
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ,则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签,其中 2 个“中” ,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

概率论与数理统计结课论文

概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名: 学号: 专业:电子信息工程

摘要:数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分,在生活中的应用也越来越广泛,近些年来,概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学,心理学,遗传学等学科中,另外在我们的日常生活之中,赌博,彩票,天气,体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用,通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍,包括概率的基本性质,随机变量的数字特征及其分布,贝叶斯公式,中心极限定理等,结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用,可以说,概率论与数理统计是如今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一。 关键词:概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P (3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( (n 可以取∞) 1.1.2 概率的一些重要性质 (i ) 0)(=φP (ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( (n 可以取∞) (iii )设A ,B 是两个事件若B A ?,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P (v ))(1)(A P A P -= (逆事件的概率) (vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

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