不等式复习
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
知 识 梳 理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法???a －b ＞0?a ＞b ，
a －
b ＝0?a ＝b ，a －b ＜0?a ＜b ；
(2)作商法?????a
b ＞1?a ＞b （a ∈R ，b ＞0），
a
b ＝1?a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1?a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.
2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ；
(3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0
n ∈N ，n ≥2)．
3．三个“二次”间的关系
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ?ac 2＞bc 2.( )
(2)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?a d ＞b
c .( )
(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实根数，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .( )
(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 2．(2014·四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d
3．(2014·大纲全国卷)不等式组???x （x ＋2）＞0，
|x |＜1的解集为( )
A ．{x |－2＜x ＜－1}
B ．{x |－1＜x ＜0}
C ．{x |0＜x ＜1}
D ．{x |x ＞1}
4．若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)＜0，则实数k 的取值范围是
________．
5．(人教A必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
考点一不等式的性质及应用
【例1】若1
a＜
1
b＜0，给出下列不等式：①
1
a＋b
＜
1
ab；②|a|＋b＞0；③a－
1
a＞b
－1
b；④ln a
2＞ln b2.其中正确的不等式是()
A．①④B．②③C．①③D．②④
解析法一因为1
a＜
1
b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；
因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．
综上所述，可排除A，B，D.
深度思考判断不等式是否成立，常采用特殊值法进行排除．但为了更好理解不等式的性质，请你利用不等式的性质判断一下．
法二由1
a＜
1
b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以
1
a＋b
＜0，
1
ab＞0.故有
1
a＋b
＜
1
ab，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞
－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又1
a＜
1
b＜0，则－
1
a＞－
1
b＞0，所以a－
1
a＞b－
1
b，故③正
确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．
答案 C
规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：
(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．
【训练1】(1)(2014·三明模拟)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是()
A.
1
a－b
＞
1
b B．a
2＜ab
C.|b|
|a|＜
|b|＋1
|a|＋1
D．a n＞b n
(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①c
a＞c
b；②a c＜b c；③log
b
(a－c)＞
log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()
A．①B．①②C．②③D．①②③
考点二一元二次不等式的解法
【例2】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()
A.5
2 B.
7
2 C.
15
4 D.
15
2
解析法一由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a＞0，所以不等式的解集为(－2a，4a)．
又不等式的解集为(x1，x2)，
所以x1＝－2a，x2＝4a.
从而x2－x1＝6a＝15，
解得a＝5 2.
法二由条件知，x1和x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.又a＞0，所
以a＝5
2，故选A.
答案 A
(2)解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解①当k＝0时，不等式的解为x＞0.
②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k
2
k
＜x
＜1＋1－k 2k
；
若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0， 即－1＜k ＜0时，
x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k
；
若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为?； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ??????
x |1－1－k 2k ＜x ＜
1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ??????
x |x ＜1＋1－k 2k ，或x ＞
1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .
规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
【训练2】 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．
考点三 不等式恒成立问题 【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
深度思考 关于不等式恒成立求参数范围可以利用分离参数法，本题第(2)问还可用二次函数在闭区间上的最值来求解．
解 (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0，
则???m ＜0，Δ＝m 2
＋4m ＜0?－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.
(2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ? ????x －122＋3
4m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一 因为x 2
－x ＋1＝? ??
??x －122＋3
4＞0，
又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6
x 2－x ＋1
.
因为函数y ＝
6x 2
－x ＋1＝6? ??
??x －122＋
3
4在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜
6
7即可． 所以，m
的取值范围是????
??
m |m ＜67. 法二 令g (x )＝m ? ????x －122＋3
4m －6，x ∈[1，3]．
当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)?7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜6
7； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；
当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)?m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述，m 的取值范围是{m |m ＜6
7}．
规律方法 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，???a ＞0，
Δ＜0.不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体
实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，???a ＜0，
Δ＜0.
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．
【训练3】 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，
试求实数a 的取值范围．
微型专题 与不等式性质有关的函数值范围问题
给出相关变量满足的若干个不等式条件，再求其他变量式子的取值范围是考查不等式的一个常用题型，常结合线性规划知识考查，难度不大，但是如果在解题过程中对不等式的性质掌握不牢、理解肤浅，就很容易解错．
【例4】 已知实数x ，y 满足条件－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．
点拨 先建立待求整体与已知整体的范围的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．
解析 设z ＝2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )＝(a ＋b )x ＋(a －b )y ，
∴a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得a ＝－12，b ＝52.
由－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3，可得－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜15
2，
3＜－12(x ＋y )＋5
2(x －y )＜8，即2x －3y ∈(3，8)． 或用线性规划方法求解，画出不等式组
???－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3
表示的可行域，在可行域内平移直线z ＝2x －3y ，当直线经过x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点(3，1)时，目标函数有最小值z ＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点(1，－2)时，目标函数有最大值z ＝8. 因为取不到等号，所以有2x －3y ∈(3，8)． 答案 (3，8)
点评 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围，而要采用整体考虑的思想方法．处理与不等式有关的范围问题重点掌握两种求解方法，即本例介绍的待定系数法和线性规划法.
[思想方法]
1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，
特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．
3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形．
4．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解．[易错防范]
1．不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号．
2．在解含有参数的不等式时，分类讨论的划分一定要明确，先进行大的分类，在每大类中再进行小的分类，注意分类要做到不重不漏．
3．当不等式的二次项系数含有参数时，一定不要忽略这个系数可能等于零的情况．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·大庆质量检测)若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是()
A.
1
a－b
＞
1
a B.
1
a＞
1
b
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
2．(2013·天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的() A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝?，则实数a的取值范围是()
A ．{a |0＜a ＜4}
B ．{a |0≤a ＜4}
C ．{a |0＜a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
4．(2015·泉州实验中学模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为
( )
5．(2014·浙江卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则
( )
A ．c ≤3
B ．3＜c ≤6
C ．6＜c ≤9
D ．c ＞9
二、填空题
6．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是________．
7．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为?
???
??
x |－12＜x ＜13，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的
解集是________．
8．(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题
9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．
10．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11．(2015·大连模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是
( )
A.? ????－∞，－32∪? ????12，＋∞
B.? ??
??
－32，12 C.? ????－∞，－12∪? ????32，＋∞ D.? ??
??
－12，32 12．(2015·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是
( )
A.? ????
－∞，
1－32
B.??????
1＋32，＋∞ C.? ????－∞，1－32∪????
??1＋3
2，＋∞
D.????
??1－32，1＋32 13．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为________．
14．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
知识梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax ＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 2．线性规划的有关概念
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )
2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3)
3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组???x ≥0，
y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20
表示的平面区域的公共点有
( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
4．(2014·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件???x ＋y －2≥0，
x －y －2≤0，y ≥1，
则目标函数z ＝x ＋
2y 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．(2014·安徽卷)不等式组???x ＋y －2≥0，
x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为________．
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)若不等式组???x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，
y ≥0，x ＋y ≤a
表示的平面区域是一个三角形，则a 的
取值范围是( )
A.????
??
43，＋∞ B ．(0，1] C.??????1，43 D ．(0，1]∪????
??43，＋∞ (2)若不等式组???x ≥0，
x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4
所表示的平面区域被直线
y ＝kx ＋4
3分为面积相等
的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37
C.43
D.34 解析
(1)不等式组
???x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，y ≥0
表示的平面区域如图(阴影部
分)，求A ，B 两点的坐标分别为? ????
23，23和(1，0)，若原不等式
组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 的a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥4
3.
(2)不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y ＝kx ＋43过定点? ?
???0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能
平分平面区域． 因为A (1，1)，B (0，4)，
所以AB 中点D ? ????
12，52.
当y ＝kx ＋43过点? ??
??
12，25时，52＝k 2＋43，
所以k ＝7
3. 答案 (1)D (2)A
规律方法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
【训练1】 (1)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件???
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，则实数m 的最大值为( )
A.1
2 B ．1 C.3
2 D ．2
(2)在平面直角坐标系中，若不等式组???x ＋y －1≥0，
x －1≤0，ax －y ＋1≥0
(a
为常数)所表示的平面
区域的面积等于2，则a 的值为( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3
考点二 简单线性目标函数的最值问题
【例2】 (1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件???x ＋y －7≤0，
x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，
则z
＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2
(2)(2014·北京卷)若x ，y 满足???x ＋y －2≥0，
kx －y ＋2≥0，y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，则k
的值为( )
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－1
2
解析 (1)画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x
－z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，
由???x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得???x ＝5，y ＝2，即A (5，2)，则z max ＝2×5－2＝8.
(2)作出线性约束条件???x ＋y －2≥0，
kx －y ＋2≥0，y ≥0
的可行域．当k ＞0时，如图1所示，此
时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＝0时，z ＝y －x 也无最小值；当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图2所示，此时可行域为点A (2，0)，B ? ??
??－2k ，0，
C (0，2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ? ??
??
－2k ，0时，有最小值，
即－? ??
??
－2k ＝－4?k ＝－12.故选D.
答案 (1)B (2)D
规律方法 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．
【训练2】 (1)(2014·安徽卷)x ，y 满足约束条件???x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取
得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或1
2 C ．2或1 D ．2或－1
(2)(2014·福建卷)若变量x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≤0，
x ＋2y －8≤0，x ≥0，
则z ＝3x ＋y 的最小
值为________．
考点三 实际生活中的线性规划问题
【例3】 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元 辆，
旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )
A ．31 200元
B ．36 000元
C ．36 800元
D ．38 400元
解析 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为
???x ＋y ≤21，
y －x ≤7，
36x ＋60y ≥900，x 、y ∈N ，
目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)． 答案 C
规律方法 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决．
【训练3】 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50
微型专题 非线性目标函数的最值问题
与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；(2)（x －a ）2＋（y －b ）2表示点
(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)|Ax ＋By ＋C |
A 2＋
B 2表示点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C
＝0的距离；(4)y
x 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率；(5)y －b x －a 表示点(x ，y )
与点(a ，b )连线的斜率．
【例4】 实数x ，y 满足???x －y ＋1≤0，
x ＞0，y ≤2.
(1)若z ＝y
x ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 点拨 先画出可行域，再利用目标函数的几何意义求解．
解
由???x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2
作出可行域，如图中阴影部分所示． (1)z ＝y
x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此y
x 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．
由???x －y ＋1＝0，y ＝2得B (1，2)， ∴k OB ＝2
1＝2，即z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)．
(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2. 由?
??x －y ＋1＝0，x ＝0得A (0，1)，
∴|OA|2＝(02＋12)2＝1，|OB|2＝(12＋22)2＝5，
∴z的取值范围是(1，5]．
点评在简单的线性规划问题中：一是要把不等式组所表示的平面区域作准确；二是要把握好目标函数的几何意义，这个几何意义决定了目标函数在哪个点处取得最值的情况．
[思想方法]
1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
2．求最值：求二元一次目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将z＝ax＋by转化
为直线的斜截式：y＝－a
b x＋
z
b，通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z的最值．最
优解在顶点或边界取得．
3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[易错防范]
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距z
b的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，
截距z
b取最大值时，z也取最大值；截距
z
b取最小值时，z也取最小值；当b＜0
时，截距z
b取最大值时，z取最小值；截距
z
b取最小值时，z取最大值.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟) 一、选择题
一元一次方程基础训练教学内容
一元一次方程基础训练 一、择题题 1．下列等式中是一元一次方程的是（ ） A ．S=21ab B. x －y=0 C.x=0 D .3 21+x =1 2.若a b ，是互为相反数，则一元一次方程，ax b +=0的解是 A ．1 B ． C ．或1 D ．任意有理数. 3某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是（ ） A 、15％ B 、20％ C 、25％ D 、10％ 4文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算。其中一台盈利20%，另一台亏本20%，则这次出售中商场（ ）A ：不赔不赚 B ：赚160元 C ：赚80元 D ：赔80元 5 下列变形中，正确的是() A 、若ac=bc ，那么a=b. B 、若c b c a =，那么a=b. C 、a ＝b ，那么a=b. D 、若a 2=b 2那么a=b 6．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班人数x ，可列方程 A ．()54248+=-x x B ．()48254+=-x x C ．54248-=?x D ．48254+=?x 7．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ）。（A ）54 （B ）27 （C ）72 （D ）45 8. 某学生从家到学校时,每小时行5千米;按原路返回家时,每小时行4千米 ,结果返回的时间比去学校的时间多花10分钟.设去学校所用时间为x 小时,则可列方程得 ( ) A.??? ??- =6145x x B.??? ??+=6145x x C.x x 4615=??? ? ?- D.x x 4615=??? ??+ 二、填空题 9．若关于的方程是一元一次方程，则____，方程的解为____． 10.当x= 时，式子21-x 与3 2-x 互为相反数 11．当m =_______时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同 12．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，p 的绝对值等于2，则关于x 的方程(a+b)x 2+3cd?x－p 2 =0的解为________。 13、已知方程 3x+8=x 4 -a 的解满足|x-2|=0，则a=_______ ()a ≠0-1-1x ()2 3 202k x kx -+-=k k =
基本不等式练习题及标准答案
基本不等式练习题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．
(完整版)解一元一次不等式基础练习题.doc
（1 ）不等式的两边同加上（或减去）同一个整式，不等号的方向；（2 ）不等式的两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向；（3 ）不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向； 2、求下列不等式的解集并在数轴上表示出来 1 3 1 （3）（23 2 （1）x 2 （ 2）x 2 x） ( x 1)2 2 4 3 2x － 3 － 3x － 2 x 1 x 2 （4）－3 >2 （ 5） 1 2 3 3、（ 1）若 a＞b,则ac＞bc对吗？（2）若a＞b,则ac2bc 2对吗？ （3）若ac2bc 2,则a＞b对吗？（1）若ac＞bc,则a＞b对吗？ 4、若 a＜b＜0，则下列式子： ① a＋ 1＜b＋1；②a 1 ；③a＋b＜ab中，正确的有（）b A．1 个B．2 个C．3 个D．4个 5、某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400 m 外安全区域，若导火线燃烧的速度为 1cm /秒，人跑步的速度为 5 m /秒，则导火线的长x 应满足的不等式是： 6、某次数学竞赛活动，共有16 道选择题，评分办法是：答对一题给 6 分，答错一题倒扣 2 分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60 分以上 ?
7. 应用题 (1). 爆破施工时，导火索燃烧的速度是 0.8cm/s ，人跑开的速度是 5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到 100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ (2). 一个工程队规定要在 6天内完成 300 土方的工程，第一天完成了 60 土方，现在要比原计划至少提前两天完 成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？ 9、解不等式组，并在数轴上表示它的解集 1 x 1 x, 2 x 2 4 1, 2x 4 3x 3. x 8 2( x 2). x y 2m 7, m 的取值范围． 10 、已知关于 x ， y 的方程组 y 4m 的解为正数，求 x 3
人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典)
不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则： b a a b b a 110,> (6)乘方法则： )1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?， 则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2
2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【知识网络】 【要点梳理】 要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a >，x a ≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点二、一元一次不等式 1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定
边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于” “至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 【典型例题】 类型一、不等式 1.用适当的符号语言表达下列关系.。 （1）a与5的和是正数. （2）b与-5的差不是正数. （3）x的2倍大于x. （4）2x与1的和小于零. （5）a的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】 解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0；（3）2x>x；（4）2x+1<0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… 2.用适当的符号填空： （1）如果a 基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=” ）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤ ， 2a b +≥可以变形为：2 ()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ， 连接AD 、BD . 扩充不等式 绝对值不等式 柯西不等式 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab =这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2 a b ab +≤ 求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点三、几个常见的不等式 1）()R b a ab b a ∈≥+,22 2 ，当且仅当a=b 时取“=”号。 2） ()+ ∈≥+R b a ab b a ,2，当且仅当a= b 时取“=”号。 3） ()02>?≥+b a a b b a ；特别地：()021>≥+a a a ； 4）b a a b ab b a b a +≥ ≥+≥+22222 (),a b R + ∈ 5）()() +∈≥?? ? ??++R b a b a b a ,411； 6）()+ ∈≥++R c b a abc c b a ,,33 3 3 ； 7）()+ ∈≥++R c b a abc c b a ,,33 要点四、绝对值不等式的性质 1.||||||||||a b a b a b -≤±≤+； 2.||||||a b a c c b -≤-+-； 要点五、柯西不等式 人教版七年级数学下册 《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】 1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质； 2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题； 5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a >，x a ≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c )． 要点二、一元一次不等式 1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于” “至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 【典型例题】 类型一、不等式 精品 2019版中考数学总复习 一元一次 不等式教案 一、 知识结构 不 等 式 性 质 ?? ? ??÷>÷><<÷>÷>>>+=+>)(,0,)(,0,,c b c a bc ac c b a c b c a bc ac c b a c b c a b a 则若则若则若 1．不等式 不等式的解集 --------使不等式（组）成立的所有未知数的集合 不等式的解法 ? ? ?法一元一次不等式组的解一元一次不等式的解法 二、重点、热点 一次不等式（组）的解法是重点.；热点是综合一次方程、一次不等式、一次函数的性质等知识解应用题. 三、目标要求 1． 利用不等式的性质解一元一次不等式，并能 借助数轴确定不等式的解集。 2． 会求一元一次不等式的整数解，非负整数解 等问题。 3． 能够根据实际问题建立不等关系，解决应用 问题 4． 能够将一些问题转化为解不等式的问题 四、【典型例析】 例1（2002年 四川眉山）解不等式： 2 1 21312+- ≤-x x ,并把它的解集在数轴上表示出来。 分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程相同，只需注意，不等式两边同乘以或除以一个负数时，要改变不等号的方向。 解： 2 1 21312+-≤-x x 去分母，得2（2x-1）≤6-3（2x+1） 去括号，得4x-2≤6-6x-3 移项， 得4x+6x ≤6-3+2 合并同类项，得10x ≤5 系数化为1，得x ≤1/2 这个不等式的解集在数轴上表示如图： 例2、(2002 江西省) 分别解不等式 ()3532-≤-x x 和 13 1 61>+--y y 并比较x 、y 大小. 【特色】此题设计很新颖，它通过解集的关系, 了解解集中元素的关系，有益于初高中学段知识的衔接. 【解答】分别解两个不等式,在同一数轴上分别表示解集,直观地比较两个集合中数值的大小. 由()3532-≤-x x ，得x ≥4. 又由 13 1 61>+--y y ,去分母,得y-1-2（y+1）>6,∴y<-9. 将它们的解集在同一数轴上分别表示如下: 可知,x>y. 【拓展】,比较两个解集中x 、y 大小，应在各解集中分别任取一个数，进行大小比较.如用[M]表示不超过M 的最大整数,求本题中的[y]的值就不难了. 例3（2002年 南京） 已知：关于x 的方程x 2 -kx-2=0 （1） 求证：方程有两个不相等的实数根； （2） 设方程的两根为x 1、x 2，如果2 （x 1+x 2）＞x 1x 2,求k 的取值范围 分析：①求根的差别式，并证明其比零大即可 ②利用根与系数的关系，将x 1+x 2,x 1x 2用k 表示，进而解关于k 的不等式。 证明：在方程x 2 -kx-2=0中，a=1,b=-k,c=-2 ?=b 2-4ac=(-k)2-4×1×(-2)=k 2 +8 ∵无论k 为何值，k 2 ≥0 ∴k 2 +8＞0 即?＞0 ∴方程有两个不相等的实数根 (2)解：∵x 1+x 2=k, x 1x 2=-2 又∵2（x 1+x 2）＞x 1x 2 ∴2k ＞-2 y -9 4 x 0 1 x 2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R 方程、不等式复习专题 一、考法、考点分析 1、考法分析： 方程与不等式的综合应用是中考数学重点考查的内容之一，新课程在数与代数领域的一个亮点就是加强了知识之间的内在联系的研究，方程与不等式是紧密联系的数学知识，复习时，要站在知识整体的高度把握方程式和不等式的知识内容。 2、考点课标要求： （1）根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 （2）经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。 （3）会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个） （4）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 （5）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确。 (6) 一元一次不等式（组）的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列一元一次不等式（组）解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大 重点、难点、疑点 1.方程的概念；方程的解法；列方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验，既要验证根是否是原分式方程的根，又要验是否符合题意；⑦答：写出答案 2．不等式（组）的有关概念;不等式（组）的解法;解(解集)的表示;列不等式(不等式组)解应用题:①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出不等关系；④列：列出不等式（组）；⑤解：解不等式（组）； ⑥答：写出答案 二、知识点归纳 （1）方程：含有未知数的等式叫方程。 （2）一元一次方程:含有一个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫一元一次方程。 （3）二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如513,11=+=+y x y x 等， 都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次” 基本不等式专题复习 [基础知识] 1.(1)若R a ∈,则2 a 0， a 222 b a + 2)2 (b a + (3)222c b a ++ ac bc ab ++ (4)若a>b>0,m>0则a b m a m b ++ (5)若a,b 同号且a>b 则a 1 b 1 (6)R b a ∈,,则22b a + ab 2 变形 2．均值不等式: 两个正数的均值不等式： ab b a ≥+2 变形 ， 3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由 （1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,2 2 S xy 积有最大值（） 运用最值定理求最值的三要素：一 ，二 ，三 。 4．)0(>+=a x a x y 的草图： [典型例析] 例1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为 . 变式 （1）已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 . （2）已知lg lg 1x y +=，则52 x y +的最小值是 . 例2 （1）已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值. （2）求函数1 4 2 2++=x x y 的最小值 （3）求22 2 42 y x x =--+的最大值. （4） 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22 x y x y +-的最小值是 . （5）已知0＜x ＜3 1 ，求函数y=x(1-3x)的最大值 （6）求函数y=1 3 3224+++x x x 的最小值. 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 不等式与不等式组复习学案 学习目标: 1、理解不等式与不等式组的有关概念 2、掌握并巩固不等式的性质； 3、进一步掌握一元一次不等式（组）的解法，并与一元一次方程解法进行类比； 4、系统的构建不等式与不等式组的知识框架 学习过程: 浏览教材P114-133回答下列问题: 1、叙述不等式的有关概念. 不等式、一元一次不等式、一元一次不等式组、不等式的（解）解集） 2、叙述不等式的性质；并与等式的性质进行比较。 3、总结解一元一次不等式的步骤？并与一元一次方程的解法进行比较 4、如何解一元一次不等式组？结合实例说明； 考点解析: 考点一:不等式的有关概念 例1：下列式子中，是不等 式的有 2x = 7; 3x+4y ; -3c2; 2a-3>0 ; XA 1 ; a-b" A.5个 B.4 个 C.3个 D.2 个 变式训练1（2016年甘肃）：下列各数：-2 , -1.5, -1,0, 1.5 , 2,其中是不等式 ^^2的解的是 ______________ . 例2（2016年上海）.不等式-2x < 4的解集在数轴上表示正 确的是 B. -x V 1 x ',其解集在数轴上表示 x-2>0 正确的是 考点二：不等式的性质 则a 的取值范围是 考点三:解一元一次不等式（组） 4 变式训练2（2016年山东）.关于X 的不等式组’ 例3.（2016江西）a,b 都是实数，且a b,则下列不等式的变形正 确的是 B.-a+1 V -b + 1 C.3a 吒 3b 变式训练3（2016黑龙江）：若关于X 的不等式（1-a ）xA2,可化为 f a D.— 2 2 x < ---- () b > — 2 考点48 基本不等式(讲解) 【思维导图】 【常见考法】 考法一：直接型 1．若，则取最大值时的值是 。 103x << ()13x x -x 2．已知正数a 、b 满足，则ab 的最大值为 。 23a b += 3的最大值为 。 )63a -≤≤ 考法二：换1型 1．已知实数，则的最小值为 。 0,0,31x y x y >>+=11x y + 2．已知,则的最小值是 。 0,0,1x y x y >>+=11x y + 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 0x >0y >211x y +=222x y m m +>+m 考法三：配凑型 1．已知，则的最小值为 。 1x >41x x +- 2．已知，且 ，则的最小值为 。 1,1a b >>11111a b +=--4a b + 3．函数的最小值为 。 233(1)1 x x y x x ++=>-+ 4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。 考法四：消元型 1．若正数满足，则的最小值是 。 ,x y 220x xy +-=3x y + 2．若正数满足，则的最小值为 。 ,a b 111a b +=1411a b +-- 3．若实数满足，则的最大值为 、 ,x y 0xy > 考法五：求参数 1．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是。 a b c a b 191a b +=a b c +≥c 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 考法六： 综合运用 1．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角ABC A B C a b c sin A sin B sin C 的取值范围为 。 B 2．已知正项等比数列满足：，若存在两项、，则的最{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +小值为 。 3．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则 ＋的最小值是 。 4b 1c 4．若直线过△的重心，且，，其中，，则的 MN ABC G AM mAB = AN nAC = 0m >0n >2m n +最小值是 。如何学好数学 题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：（1）函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________； 函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________； （2）函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1x ≥2x ·1 x ＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1 ≥2 x 2＋1 ·1x 2＋1 －1＝1， 当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 例2：(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4x －1 的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1 ＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立． 答案：5 例3：(1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－???? ??4－x ＋ －x . ∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立． ∴f (x )＝2－???? ??4－x ＋ －x ≤2－4＝－2， ∴f (x )的最大值为－2. 例4：当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2 ＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 例5：函数y ＝x 2＋2x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1 ＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1 ＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1 ＝x －1＋ 3x －1＋2 ≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝ 3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号． 答案：23＋2 例6：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝ 1a －2x －x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2 . 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；48总复习：基本不等式(提高)知识梳理
人教版七年级数学下册《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(基础)知识讲解
201x版中考数学总复习 一元一次不等式教案
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考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习讲义
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高中数学基本不等式专题复习
-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析) (1)