最优控制作业
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：
2(1)f
t t J x dt =+?
解：由题可知，始端和终端均固定，
被积函数2
1L x =+，
0L
x
?=?，2L x x ?=?， 2d L x dt x ??=? 代入欧拉方程
0L d L x dt x
??-?=??，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+
代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*
()1x t t =+
2-6 已知状态的初值和终值为
(1)4x =，()4f x t =
式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*
()x t ：
2
1
1[2()()]2
f
t J x t x t dt =+
? 解：由题可知，2
122
L x x =+
，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：
L 0d L x dt x
??-=?? 横截条件：()00t x =x ，()()
f f x t t ψ=，()0f
T
t L L x x ψ???
+
-= ?
???
易得到
2dx
dt
= 故12x t c =+ 其通解为：()2
12x t t c t c =++
根据横截条件可得：()()()122121114424
f f f f f x c c x t t c t c x t t c ?=++=??
=++=??=+=??
解以上方程组得：12569f t c c =??=-??=? 还有一组解???
??===1212
1c c t f (舍去，不符合题意f t >1)
将f t ，1c ，2c 代入J 可得3
140
)3(4)212(5025
.
2
*
=-=+
=??
?t dt x x J .
极值轨线为()*
2
69x t t t =-+
2-7 设性能泛函为
1
20
(1)J x dt =+?
求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解：由题可知，2
1L x =+，()00x =，()1x 自由
欧拉方程：
L 0d L x dt x
??-=?? 横截条件：()00t x =x ，L 0f
t x
?=?，0f
T t L L x x ??
?+= ?
??
?
易得到()x t a =
其通解为：()x t at b =+
代入边界条件()
f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1
*
2
11J x dt =+=?
极值轨线为()*
0x t =
2－8 设泛函
dt t x x x x L J tf
t ),,,,(2.
.120
1?=
端点),,(02010t x x A 固定，端点)),(),((21t t x t x B f f 可沿空间曲线 )()(),()(21f f f f t t c t t c ψ?== 移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为
0)()([.2.2..
.1.=?
??????
???-+??-+tf
x L x x L x L ψ?
证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由25P
0)(.
.
.=???
???????--tf
T x L x c L 可得， （1）
由 c=[]T
ψ?,,T
x x x ),(2.
1.
.
=
),()(.
2..1..
.x x x c T
--=-ψ?,
T x L
x L
x
L ),
(
.
.
1.
2????=??
∴ .
2
2.
.1
.
1.
..
.
.
)
()
()
(x L x x L x x
T x c T
??-+??-=??-ψ? （2）
将（2）代入（1）式，得：
0)()(..
.22.1.1=??
?
?????????-+??--tf
x L x x L x L ψ?,得证。
2-13 设系统状态方程
12()()x t x t =，1(0)2x = 2()()x t u t =，2(0)1x =
性能指标如下：
2
1()2f t J u t dt =
? 要求达到()0f x t =，试求
（1）5f t =时的最优控制*
()u t 。 （2）f t 自由时的最优控制*
()u t 。 解：由题可知
构造H ：2
12212
T
H L f u x u λλλ=+=
++ 正则方程：1
1212()0()H t x H t x λλλ??
=-=???
???=-=-???
可求得 11
212
()()t c t c t c λλ=??
=-+?
控制方程：
20H
u u
λ?=+=? 由上式可得 212()u t c t c λ=-=-
由状态方程12()()x t x t =，2()()x t u t =可得32112342212311()62
1()2
x t c t c t c t c x t c t c t c ?=-++????=-+??
（1）5f t =时
由边界条件1(0)2x =，2(0)1x =，1()0f x t =，2()0f x t =可得
343212342
1231
211
55506
215502c c c c c c c c c =??=???*-*+*+=??*-*+=?? 得
1234
54125322512c c c c ?=??
?=??
=??=? 故32122916()212525
2732()1
12525x t t t t x t t t ?
=-++????=-+??
有 25432()12525x t t =
- 有最优控制*
5432
()12525
u t t =- （2）若f t 自由
由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件
21221()()()()()()02f f f f f f f
H t u t t x t t u t t ?
λλ?=++=-=?得0)(=f t u
即2()0f t λ=，从而21f c c t =，代入32
12212112062
110
2
f f f f f c t c t t c t c t ?-++=????-+=??可得6f t =-
因为时间总为正值，所以此题无解。
3-2 设二阶系统的状态方程
),
()()(),()(122.
1t u t x t x t x t x +==?
?边界条件
)2(,0)2(1)0(,1)0(2121====x x x x 试求下列性
能指标的极小值：?+=20
2
1)]()([21dt t u t x J
解：由题可知
构造H ：2112211
()()2
H L f x u x x u λλλ=+=
++++ 由协态方程和极值条件：112121
212[()]0H x u x H x H
x u u λλλλλ?
?
??=-=-++???
??=-=-???
??=++=???
得11212c c t c λλ=??=+?代入状态方程得：.
12212()(),()()x t x t x t c t c ??
?=???=+? 即3
2112342
2123
12
12x c t c t c t c x c t c t c ?=-++????=-+??，代入初始条件解得：123433.511
c c c c =??=??=??=?
故3212217()12437()122
x t t t t x t t t *
*?=-++????=-+??，
此时2222
1001[()()](3 3.5)0.30772
J x t u t dt t dt *
=
+=-=?? 3-4 给定一阶系统方程
()()()x t x t u t =-+，(0)1x =
控制约束为()1u t ≤，试求使下列性能指标：
101
[()()]2
J x t u t dt =-?
为极小值的最优控制*()u t 及相应的最优轨线*
()x t 。 解：由题可知
构造H ：1()()(1)()22
u
H x x u x u λλλ=-+-+=-+-
哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求1()2
u λ-极小。且取其约束条件的边界值，即()1u t =时，使哈密顿函数H 达到最小值。所以，最优控制应取
*
11,2()112
u t λλ?
->??=??
由协态方程 ()1H
t x
λλ?=-
=-?可得 ()1t t ce λ=- 由横截条件 (1)0λ=求得 1
c e -=，于是有
1()1t t e λ-=-
显然，当()0.5s t λ=时，*
()u t 产生切换，其中s t 为切换时间。不难求得ln
2
s e t =，故最优控制为
*
1,0ln 2()1,ln 12
e t u t e t ?
-≤
将*
()u t 代入状态方程，得
1,0ln 2
()1,ln 12
e x t x t e x t ?--≤
解得121,0ln 2
()1,ln 12
t
t e c e t x t e c e t --?-≤
代入初始条件(0)1x =，可得 12c =，因而
()21t x t e -=-，0ln 2
e
t ≤<
在上式中，令ln 2
e
t =，可求出ln 12e t ≤≤时()x t 的初始条件
ln 24
(ln )2112e
e x e e
-=-=-
从而求得22c e =-。因而
()(2)1t x t e e -=-+，ln
12
e
t ≤≤
于是，最优轨线为21,0ln 2
()(2)1,ln 12
t
t e e t x t e e e t --?-≤
将求得的*()u t 和*()x t 代入式J ，得最优性能指标
1
ln 1*
2
00ln 211132[()()](2)[(2)]ln 0.4522222e t t e e J x t u t dt e dt e e dt e --=-=-++-=--≈???
最优解曲线如下：
3-5 控制系统111121222, (0)0,(1)1, (0),(1)1x u x x x x u x x ===??=+=?，试求最优控制*1()u t ,*
2()u t 以及最优轨线
*1
()x t 和*
2()x t ,使性能指标()1
221120
()()()J x t u t u t dt =++?为极小值。
解：哈密尔顿函数为221121H x u u u x u λλ1212=++++(+)
由协态方程：12122(1)0
H x H x λλλ?
?
??=-=-+???
???=-=???
，解得11221(1)c t c c λλ=-++??=?，
由极值条件：111222
2020H u u H u u λλ??=+=??????=+=???， 解得[]11221
1()(1)2
1()2u t c t c u t c ?=+-????=-??，由状态方程有
1122111()(1)2
1()()2x t c t c x t x t c ?=+-???
?=-??，解得 2
11233221231411()(1)42
111()(1)()1242
x t c t c t c x t c t c t c c t c ?=+-+???
?=+-+-+??， 代入初始值解得：1234
1
2
00c c c c =-??=-??=??=? ，故*1*
2()11()2u t u t ?=?
?=
?? *1*22()11()22
x t t
x t t t ?=??=+?? 此时1
2
20171()24J t dt *
??=
++= ???
? …………………………………………………………………………………………………..
3－6 已知二阶系统方程
122()()()(),
x t x t x t u t ?
?
==
12(0)0(0)0,x x ==
12()2()2,
f f x t x t ==式中f t t u ,1)(≤自
由。试求使性能指标dt t u t x t x J f t )]()()([2
1222021++=?为极小的最优控制)(t u *
，最优轨
线)(t x *
以及最优指标*
J 。
解：本例为线性定常系统，积分型性能指标，f t 自由，末端固定的最优化问题。 构造哈密顿函数为：222
12122111222
H x x u x u λλ=
++++ 由极小值条件应取：22221,t *()t |t |1+1,|t |<-1u t λλλλ-??
=-≤???
当（）>1（）,当（）
当（） ,由哈密顿函数沿最优轨线的变化律
：
**()*(
)
f
H t
H t ==，可得
：
22212122111
*(0)*(0)*(0)*(0)*(0)*(0)*(0)0222
x x u x u λλ++++=， 即：2
21*(0)*(0)*(0)02
u u λ+=，可知：*(0)0u =，（其中2*(0)2*(0)u λ=-矛盾），
由协态方程有：111
221
2H x x H x x λλλ?
???=-=-??????=-=--???
，由初始条件2λ（0）=0解得：1
2
23
t 2
t λ（）=-Ae sint
，由所给状态方程及初始条件解得：
……………………………………………………………………………………………………… 3-7 已知二阶系统方程
121()()4x t x t =+
，11(0)4
x =- 2()()x t u t =，21
(0)4
x =-
式中控制约束为
1()2
u t ≤
试确定最优控制*()u t 。将系统在f t 时刻由(0)x 转移到空间原点，并使性能指标
20
()f
t J u t dt =?
取最小值，其中f t 自由。 解：由题可知
构造哈密顿函数：2
2212222121111()()()4244
H u x u u x λλλλλ=+++=+-++ 按照最小值原理，最优控制应取
2*2221
,121
1(),2112
u t λλλλ?->???≤=-???<-??，
由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律*
*
*
()()0f H t H t ==可得
*2**1221
(0)(0)[(0)](0)(0)04u x u λλ+++=
以及 *2*******
1221()()[()]()()04
f f f f f u t t x t t u t λλ+++=
因为21(0)4
x =-，可以求出*
(0)0u =
由协态方程 11
()0H
t x λ?=-
=? 212
()()H
t t x λλ?=-
=-? 解得
11()t c λ=，212()t c t c λ=-+
当 *
212111
()()222
u t t c t c λ=-
=-时(试取) 3211234111
()1244
x t c t c t c t c t =-+++
2212311
()42
x t c t c t c =-+
代入初始条件11(0)4x =-，21(0)4x =-，可得 341
4
c c ==-
代入末端条件()0f x t =，可得321122212111()1244
111()424f f f f x t c t c t x t c t c t ?
=--????=--??
又2
1221()()()[()]()()04f f f f f f H t u t t x t t u t λλ=+++=，联立解得121903
f c c t ?
=??=??=??
于是有21
()9t t λ=- 22
1,01,9t t λλ=
在03t ≤≤时，正好满足
21λ≤要求
故最优控制为 *
211
()()218
u t t t λ=-
=，(03)t ≤≤ 相应的最优性能指标为 33**22
0011()()1836
J u t dt t dt ===??
最优轨线为*
31*2211()1084
11()364x t t x t t ?=-????=-??
3-17 已知系统方程
122()()()()
x t x t x t u t ==，
12(0)1(0)0
x x ==，性能指标12
01()2
J u t dt =
?，末端12(1)(1)0x x ==。试用连续极小值原理求最优控制()u t *与最优轨迹()x t *。
解：构造哈密顿函数：2
1
2
21
2
T
H L f u x u λ
λλ=+=++，由协态方程：
11
211
()0()H
t x H
t x λλλ?=-=??=-
=-?，解得：11212
c c t c λλ=??
=-+?，由极值条件：20H
u u λ?=+=?， 解得212()()u t t c t c λ=-=-，代入状态方程有：12212
()()
()x t x t x t c t c =??
=-?，解得 32112342212311()62
1()2
x t c t c t c t c x t c t c t c ?
=-++???
?=-+??，代入初始值解得：12
3412
601
c c c c =??=??=??=? ，故最优轨线为：*32
1*2
2()231()66x t t t x t t t
?=-+??=-??，又*2()126x t t ?=-，所以最优控制律为：*
()126u t t =- ， 此时2
11
*
200
11()(126)622J u t dt t dt ==-=??
3-28 已知系统的状态方程
122()()()()
x t x t x t u t == ，控制约束为|u （t ）|≤1。试求最优控制u*（t ），
使系统由任意初态最快地转移到1()2f x t =，2()1f x t =的末态。写出开关曲线方程，并绘出开关曲线的图形。
解：本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang 控制。构造哈密顿函数:1221H x u λλ=++
由 协态方程得：
11
212
0,H
x H
x λλλ?=-
=??=-
=-?解得：
11
212
()()t c t c t c λλ==-+。
*
21()sgn{()}1
u t t λ-?=-=?
? 22,()0,()0t t λλ>< ，知最优控制u(t)最多切换一次，具有四种可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。 ① 若*
()1u t =时，代入状态方程
122()()()1
x t x t x t ==考虑到初始状态1020(,)x x ，解得：
21
201022012x t x t x x t x ?
=++???=+?
，消t 得：221210
201122x x x x =+-，
② 同理，若*
()1u t =-时，解得：22
1210201122x x x x =-++，由末态配置到12()2()1
f f x t x t ==，
取开关曲线为过（2,1）的那条曲线，即开关曲线方程为：
2122222213,(1),22:15,(1),22
x x x x x x γγγ+-?
=+??开关曲线图如下：
开关曲线γ
3-31设二阶系统：
1221()(),()()(),x t x t x t x t u t ==-+12(0)1
(0)1
x x ==，控制约束|u （t ）|≤1。试求使系统由已
知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*（t ）和开关曲线。
（注：本题书上的22()()()x t x t u t =-+是错的，因为按书上的2()x t 得不到相平面轨迹方程） 解：本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang 控制。构造哈密顿函数:12211()H x x u λλ=++-+，
知最优控制：*
21()sgn{()}1u t t λ-?=-=?? 22
,(
)0,()0t t λλ>< ，知最优控制u(t)最多切换一次，具
有四种可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。 ① 若*
()1u t =时，代入状态方程
1221()()()()1
x t x t x t x t ==-+考虑到初始状态
12(0)1(0)1
x x ==，解得：
12()sin 1()cos x t t x t t
=+??
=?，消t 得：22
12(1)1x x -+=， ② 同理，若*
()1u t =-时，解得：12()2cos sin 1()2sin cos x t t t x t t t
=+-??
=-+?，消t 得：22
12(1)1x x ++=，
即开关曲线方程为：22
1212222
12122(,)|(1)1,(0),
:(,)|(1)1,(0),
x x x x x x x x x x γγγ+-?=-+=??开关曲线图如下：
本题初始点A(1，1),最优控制曲线如上图，最优控制律为u={-1，+1}。 3-33已知受控系统
122()()x t x x t u
==，目标集为(){}2
21
2
1
2,|1S x x x
x =
+=，试求由目标集外的任
意初态()12,ξξ转移到目标集的时间最优控制律*
()u t 。
解：哈密尔顿函数为1221H x u λλ=++，协态方程1
1
2
120H x H x λλλ??=-=??????=-=-???，边界条件：
11
22(0)(0)x x ξξ=??
=?，111222()2()()
()2()()
f f f f f
f t x t x t t x t x t ψ
λγγψλγγ
?=
=??==? 目标集约束：22
12()()()10f f f x t x t x t ??ψ=+-=??，
由极小值条件知，最优控制律：*2 ()sgn[()]u t t λ=-
① 若*
()1u t =+时，代入状态方程
122()()()1
x t x t x t ==，解得：2121
22
1()2
()x t t t x t t ξξξ?
=++???=+?， 消t 得相轨迹方程：22121211
(()22
x x ξξ=
+-；
② 同理，若*()1u t =-时，解得：212122
1()2
()x t t t x t t ξξξ?
=-++?
??=-+?， 消t 得相轨迹方程：22121211
(()22
x x ξξ=-
++； 由相轨迹方程与目标集相切且满足末态要求的相轨迹曲线：
2 1121222 1121221: {(,)|+1 (0)}21: {(,)|+1 (0)}2x x x x x x x x x x γγ+-?=
?=-≥??， 2 2121222 2121221: {(,)|-1 (0)}2
1: {(,)|-1 (0)}2
x x x x x x x x x x γγ+-?
=
相轨迹如上图所示：
ⅰ、当初态()12,ξξ在2Q 区域或12γγ++?上时，知最优控制为*
()=-1,u t 终于上半圆；
ⅱ、当初态()12,ξξ在4Q 区域或-1-2γγ?上时，知最优控制为*
()=-1,u t 终于下半圆；
ⅲ、当初态()12,ξξ在1Q 区域中，知最优控制为*
()={-1+1}u t ，；
ⅳ、当初态()12,ξξ在4Q 区域中，知最优控制为*
()={+1-1}u t ，；
3-42 已知系统方程
121()(),
()(),x t u t x t x t ==
12(0)2,(0)2,x x ==
12(8)0
(8)0
x x ==，控制约束| u （t ）|≤1。试求以切换时间表示的时间-
燃料最优控制u*（t ），使性能指标8
(1|()|)J u t dt =
+?
取极小值，并求最优控制J*。
解：哈密顿函数为：1211|()|H u t u x λλ=+++
由
12122
==0H
x H
x λλλ?=-
-??=-
?，解得：112
21
c t c c λλ=-+??=?
由极小值条件知：*10
()sgn{()u t t λ?=?
-?，11|()|1|()|1
t t λλ?当当 因为初态()12,ξξ=()2,2 知
时间—燃料最优控制为：*
()={-10+1}u t ，，，设*
()u t 的切换时间为a t 和b t ，则有 ①当0a t t <<时，有u=-1，初态()12,ξξ=()2,2，由状态方程121()1,
()(),
x t x t x t =-??
=?得：
12
2()21()222
x t t x t t t =-+??
?=-++?? ②当a b t t t <<时，u=0，初态为：12
221222a a a a a x t t x t t t =-+???=-++??（）（），由状态方程121()0,()(),x t x t x t =??=?解得：12
2()2
1()(2)()(22)2
a a a a a x t t x t t t t t t =-+???=-+-+-++??。 ③ 当8
b t t <<时，u=+1，初态为：12
2()2
1()(2)()(22)2b a b a b a a a x t t x t t t t t t =-+??
?=-+-+-++??，由状态方程121()1,()(),x t x t x t =??=?解得：12
22()()(2)
11()()(2)()(22)22
b a b a a a a x t t t t x t t t t t t t t =-+-+???=-+-+-+-++??。末态值8,f t t ==12(8)0,
(8)0,x x =??=?求得， 2.7647.236a b t t =??=?，于是时间—燃料最优控制为：
*1()01u t -??
=??+?
，≤≤≤≤当0t<2.764
当2.764t<7.236当7.236t 8，
从而有8
88
*
()(1||)||11.528J t u dt dt u dt =+=+=?
??。
4-4 设二阶离散系统
1112122
(1)2()(),(0)1(1)()(),(0)0x k x k u k x x k x k x k x +=+ =+=+ =试求使性能指标：1
2
220[2(1)2()]k J x k u k ==++∑为极小的最优控制*()u k 和最优轨线*()x k 。
解：本题为二级最优决策问题，其中()x k 、()u k 不受约束。 ① 令N=2，k=1时：
*22*120(1)
[(1)]min{[2(2)2(1)]}[(2)]u J x x u J x =++，
*0[(2)]J x =0，所以*22112(1)
[(1)]min{2[(1)(1)]2(1)]}u J x x x u =++
由于()u k 不受约束：
{}
4(1)0(1)
u u ??==?，求得：*(1)0u =。 将结果代入*1[(1)]J x 得：*2112[(1)]2[(1)(1)]J x x x =+。
② 令N=1，k=0时：
*22*221(0)
[(0)]min{[2(1)2(0)]}[(1)]
u J x x u J x =++，
*
0[(2)]
J x =0，所以
*22112(1)
[(1)]min{2[(1)(1)]2(1)]}
u J x x x u =++=
2221212(0)
min{2[(0)(0)]2(0)]2[3(0)(0)(0)]}u x x u x x u +++++
12{}
4(0)4[3(0)(0)(0)]0(0)u x x u u ??=+++=?，代入初始值12(0)1(0)0
x x ==， 求得：3*(0)2u =-，*2[(0)]11J x =，*
1
*21(1)2(1)1
x x ?=???=?，
*(1)0u =，*
19[(1)]2J x =，*1*2(2)13(2)2
x x ?=??=
??，
于是本题的最优控制，最优轨线及最优代价分别为：
3*{,0}2u =-，，11
*{1,,1}2
x =
，23*{1,1,}2
x =，**
2[(0)]11J J x ==
4-13 已知二阶系统
121()()()()
x t u t x t x t ==，
12(0)0(0)1
x x ==，性能指标：22
2011[2()()]22
J x t u t dt ∞=
+? 试用连续动态规划求最优控制*()u t 和最优轨线*()x t 。 解：解：（1）由题意可得：
0010A ??= ??? ， 10b ??=???? ，0(0)1x ??=????
，0001Q ??= ??? ，1
4r = 令T DD Q =,得[0,1]T D =，显然{A ，b}可控，{A ，D}可观，故*()u t 存在且唯一。
令11
121222p p P p p ??=
???
，代入黎卡提方程：10T T
PA A P Pbr b P Q -+-+=， 代入A, b ，Q ，r 可得:112
20112
P ?? ?
=>
? ? ???
, 于是最优控制：112*()()2()2()T u t r b Px t x t x t -=-=--,
最优控制指标:*
22112211
[()]()()22
T J x t x t Px t x x x x =
=++, 将*
()u t 代入状态方程，得闭环系统方程：11221()2()2()
()()
x t x t x t x t x t =--??
=?
代入初始值12(0)0
(0)1x x ==解得：*12()2sin ()(sin cos )
t t
x t e t
x t e t t --?=-??=+?? 将*1()x t 、2()x t 代入状态反馈的最优控制，求得：*()2(cos sin )t
u t e t t -=--。 4-14 已知系统方程：
122
221
()()
()()()()
x t x t x t x t x t u t ==--+，性能指标：2210
[()()]f
t J x t u t dt =
+?
，
试确定该系统的哈密顿-雅可比方程。
解：令哈密顿函数为：***222
122112(,,,)x J J J H x u t x u x x u x x x ???
????=++????--+?????
?? 由于()u t 不受约束，则**
2
102H J u u x ??=?=-
??， 由最优解的充分条件知：H t
J u Ω∈=??-
min *
，
代入*
()u t ，得：*****22
122122
1(1)()()2J J J J J x x t x x x x ?????-=-+--?????。
因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故*
0J t
?=?， 则有****22
122122
1(1)()()02J J J J x x x x x x ????-+--=????。
在性能指标2210
[()()]f
t J x t u t dt =
+?
中，令0f t =，得边界条件：*[(0)]0J x =。
所以本题的哈密顿—雅可比方程为：****22
122122
*1(1)()()02[(0)]0J J J J x x x x x x J x ?????-+--=???????=?
5-8 给下列二阶系统：
122()()()x t x t x t u
==，试确定最优控制*()u t ，使下列性能指标极小：
3222221212120111
[(3)2(3)][2()4()2()()()]222
J x x x t x t x t x t u t dt =+++++?
解：该题为有限时间状态调节器问题。由题意得：
01010211
,,,,00102142A B F Q R ????????=====????????????????
令11
121222p p P p p ??=?
???
，代入黎卡提方程：1T T
P PA A P Pbr b P Q ?--=+-+， 代入A, b ，Q ，r ，边界条件：,(3),0P F P ?
==,即：
21112
1222211121222
220
2120214p p p p p p p p p ??????
-+=????????????解得：2311013P ??
-=> ? ???
, 于是最优控制：112*()()2()23()T u t R B Px t x t x t -=-=--, 最优性能指标:*
22
1122113[()]()()(3)222
T J x t x t Px t x x x x =
=-++。 5-10已知系统的状态方程：1121()()()()
x t x t u x t x t =-+=，性能指标极小：0
22
21[()()]2t J x t u t dt
∝=+?试确定最优控制*()u t 。
解：该题为无限时间状态调节器问题。由题意得：
10100,,,110001A B Q R -??????====??????
??????
，令T D D Q
=
,得[0,1]
T D =，
11[,]201rank B AB rank -??
==??
??
，01210T
D rank rank DA ????==????????，故{A ，b}可控，{A ，D}可观，故*()u t 存在且唯一。 令11
121222p p P p p ??=?
???
，代入黎卡提方程：10T T
PA A P Pbr b P Q -+-+=， 代入A, B ，Q ，R 解得：31
1013P ??
-=>
? ??
?
, 于是最优控制：112*()()(13)()()T u t R B Px t x t x t -=-=--, 最优性能指标:*
2211221[()]()()(31)232
T
J x t x t Px t x x x x =
=-++。 5-20 已知()()()T V x x t Px t =为具有()/()2V x V x α?
≤-性质的李亚普诺夫函数。其中0α>，P 满足式1()()0T T P A I A I P PBR B P Q αα-+++-+=。试用李亚普诺夫稳定性
定理证明最优闭环系统是渐近稳定的。
证明：取二次型函数：()()()T V x x t Px t =，对于0,x ?≠由于P >0必有()0V x >。所以
()()()T V x x t Px t =李亚普诺夫函数。
()()()()()T
T
V x x t Px t x t P x t ?
??
=+，将1()()()
*()()
T
x t Ax t Bu t u t R B Px t -=+???=-??代入()V x ?，整理得： 11
()()[()]()T
T T
T V x x t A PBR B P A BR B P x t ?
?
?---=+-=1()[]()T x t Q PBR BP x t --+，
又由()/()2V x V x α?
≤-，知()2()0V x V x α?
+≤，代入()V x 整理得：
1()[2]()0T x t Q PBR BP x t α-+->，即：1
20Q PBR BP α-+>>。所以知()0V x ?
<，为
负定。 又显然
()()()lim lim T
x x V x x t Px t →∞
→∞
==∞。 根据李亚普诺夫稳定性定理，最优闭环系统大范围渐近稳定。
6-2 设有二次积分模型：1221()()
()()()()
x t x t x t u t y t x t ===，
12(0)0(0)1
x x ==，性能指标：220
[()4()]J y t u t dt ∝
=
+?
，
试求使性能指标极小的最优控制*()u t ，并求最优性能指标*J 。 解:由题意可知： 1000A ??=?
??? ，01B ??
= ???
，(10)c = ，Q=1， 11000T
Q C QC ??== ???
，[10]T
D = ，R=4。
因为rank[B AB]=rank 0110??
???=2，rank C CA ????
??=rank 1001??
???
=2 rank T T D D A ??????
=rank 1001??
???=2,
所以，{A,B}可控，{A,C}可观，{A,D}可观，故可以构造渐近稳定的最优输出调节器。 ,设11
121222p p P p p ??=
???
，解黎卡提代数方程：10T T T
PA A P PBR B P C QC -+-+=得： 得2224P ??= ???
>0，
此时：1
*()()T
u t R B Px t -=-=121
()()2
x t x t --， 最优性能指标：1*(0)(0)22
T
J x Px =
=。 6-3 已知系统的动态方程：1010()()()131()[10]()
x t x t u t y t x t ????=+????--????= ，性能指标：
220
[100()()]J y t u t dt ∝
=+?，
试求使性能指标极小并使闭环系统渐近稳定的最优控制*
()u t 。 解:由题意可知： 0113A ??=?
?
--?? ，01B ??
= ???
，(10)c = ，Q=100， 1100000T
Q C QC ??== ???
，[100]T
D = ，R=1。
因为rank[B AB]=rank 0113??
?-??
=2，rank C CA ????
??=rank 1001?? ???=2
2013管理会计基础第一次-在线作业答案
2013管理会计基础第一次-在线作业答案
您的本次作业分数为：91分32576 32576 1.已知某企业生产甲、乙两种产品，其单位贡献边际率分别为15%和20%，销售比重分别为40%和60%,则用加权平均法计算综合贡献边际率为（）。 A 15% B 17.5% C 18% D 20% 正确答案:C 32586单选题32586 2.下列项目中，不属于现金流出项目的是（）。 A 折旧费 B 经营成本 C 各项税款 D 建设投资 正确答案:A 32554单选题32554 3.在短期经营决策中，企业不接受特殊价格追加订货的原因是买方出价低于（）。 A 正常价格
B 单位产品成本 C 单位变动成本 D 单位固定成本 正确答案:C 32556单选题32556 4.（）处于现代管理会计的核心地位。 A 责任会计 B 规划控制会计 C 预测决策会计 D 标准成本制度 正确答案:C 32594单选题32594 5.某企业只生产一种产品，月计划销售600件，单位变动成本6元，月固定成本1000元，欲实现利润1640元，则单价应为（）元。 A 16.40 B 14.60 C 10.60 D 10.40 正确答案:D 32580单选题32580 6.某投资方案的年营业收入为100万元，年营业
D 两者相互制约、相互补充 正确答案:B 32563单选题32563 9.从投资对象上看，管理会计中的长期投资决策是指（）。 A 项目投资决策 B 证券投资决策 C 其他投资决策 D 单一目标决策 正确答案:A 32610单选题32610 10.普通年金是指（）。 A 后付年金 B 先付年金 C 永续年金 D 递延年金 正确答案:A 32603单选题32603 11.（）是现代管理会计形成的关键标志之一。 A 责任会计 B 规划控制会计
连续系统的最优控制
第6章 连续系统的最优控制 6.1 最优化问题 6.2 最优控制的变分法求解 6.3 线性系统二次型性能指标的最优控制 1、线性系统有限时间最优状态调节系统 ◆二次型性能指标 设受控系统对平衡点的增量方程为 ()()()()()x t A t x t B t u t ?=?+?，00()x t x ?=? 简记为 ()()()()()x t A t x t B t u t =+，00()x t x = 最优状态调节是指：对上述系统，在时间区间0[,]f t t t ∈，
寻求最优状态反馈控制，使初始状态偏差00()x t x =迅速衰减，且同时使二次型性能泛函 11()()[()()()()]d 22f t t t t f f f x u t J x t Q x t x t Q x t u t Q u t t =++? * min f x u J J J J J =++→= 式中 ()0f n n Q ?≥——终端加权矩阵。 ()0x n n Q ?≥——状态加权矩阵。 ()0u r r Q ?>——控制加权矩阵。 三个加权矩阵均为对称矩阵，为简单，一般取为对角矩 阵。 ●1()()2 t f f f f J x t Q x t =表示对终端状态偏差即稳态控制精度的限制。当1 diag[]f f fn Q q q =，2 1 1()2n f fi i f i J q x t ==∑
●0 1()()d 2f t t x x t J x t Q x t t =?表示对控制过程中状态偏差衰减速度的要求。当1 diag[]x x xn Q q q =，0 2 11()d 2f t n x xi i i t J q x t t ==∑? ●0 1()()d 2f t t u u t J u t Q u t t =?表示对控制过程中所消耗的能量的限制，以避免状态偏差过快衰减导致控制量超过允许数值。当 1 diag[]u u ur Q q q =，0 2 11()d 2f t r u ui i i t J q u t t ==∑?，2()i u t 可理解为功率。 实际上，在性能指标中，x J 已经对控制的稳态精度有所要求。当对稳态精度有更高的要求时，才增加f J 项。 由上可知，上述二次型性能指标的物理意义是，在整个时间区间0[,]f t t t ∈，特别是终值时刻f t t =上状态变量尽量接近于0
最优控制胡寿松版部分习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ： 2(1)f t t J x dt =+? 解：由题可知，始端和终端均固定 被积函数2 1L x =+， 0L x ?=?，2L x x ?=?， 2d L x dt x ??=? 代入欧拉方程 0L d L x dt x ??-?=??，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+ 代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为* ()1x t t =+ 2-6 已知状态的初值和终值为 (1)4x =，()4f x t = 式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线* ()x t ： 2 1 1[2()()]2 f t J x t x t dt =+ ? 解：由题可知，2 122 L x x =+ ，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程： L 0d L x dt x ??-=?? 横截条件：()00t x =x ，()() f f x t t ψ=，()0f T t L L x x ψ??? + -= ? ??? 易得到 2dx dt = 故12x t c =+ 其通解为：()2 12x t t c t c =++ 根据横截条件可得：()()()122121114424 f f f f f x c c x t t c t c x t t c ?=++=?? =++=??=+=?? 解以上方程组得：12 569f t c c =?? =-??=? 将f t ，1c ，2c 代入J 可得5 * 20 1500502150233 J x x dt =+=-=? 极值轨线为()* 2 69x t t t =-+ 2-7 设性能泛函为
浙大远程教育生产管理第一次在线作业答案
浙大远程教育生产管理第一次在线作业答案 单选题 1.并行设计的特点不包括： A 产品设计过程和工艺设计过程不是顺序进行，而是并行展开同时进行 B 产品设计的各阶段是一个递阶、渐进的连续过程 C 产品设计和产品生产同时进行 D 产品设计粒度不断减小正确答案:C 2.并行设计的开发小组不包括： A 环保人员 B 顾客 C 开发人员 D 政府人员正确答案:D 3.产品生命周期一般分为投入期、成长期、成熟期和衰退期四个阶段。企业的运作战略是进一步改善产品的性能，提高产品质量，增加产品产量，在占领原有市场的基础上不断开拓新的市场。该战略适应于产品生命周期的哪个阶段。 A 投入期 B 成长期 C 成熟期 D 衰退期正确答案:B 4.“变化减少方案”VRP适用于哪个阶段。 A 设计阶段 B 制造阶段 C 营销阶段 D 适用阶段正确答案:A 5.供应商之间的双赢体现在： A 采购和供应商之间 B 制造和运输商之间 C 供应链的所有成员 D 核心企业之间正确答案:C 6.订货点与： A 安全库存 B 仓库的容积 C 缺货成本 D 生产需求量有关正确答案:A 7.服务设施选择选址决策相对制造企业的特殊性不包括： A 所选地区人口情况 B 劳动力可获性和价格 C 客流量 D 已有同类服务设施情况正确答案:B 8.流水生产的缺点主要表现在哪个方面。 A 质量不稳定 B 缺乏柔性 C 生产率低 D 管理复杂正确答案:B 9.服务业与制造业的比较主要存在四个方面的差异：生产率的衡量；质量标准；销售与公共关系；需求不均衡的处理。在销售与公共关系方面，和制造业相比服务性运作中与顾客接触是一项重要内容。以下哪一项活动对服务企业的运作管理影响不大。 A 缩短响应时间 B 选择便于消费的市场 C 维护和发展与老顾客的关系 D 制订全面质量标准正确答案:D 10.对于需求波动大价值较高的重要物资适用于哪种库存控制系统？ A 连续检查库存控制 B 定期检查库存控制 C 最大最小库存控制 D ABC分类法正确答案:A 11.将产品基本尺寸和参数按一定的规律编排，建立产品系列型图谱，以减少产品品种，简化设计属于并行工程哪种技术。 A 零部件标准化 B 零部件通用化 C 产品系列化 D 零部件标准化正确答案:C 12.工业企业大部分属于多品种中小批量生产类型，以下哪项不是它的特征。
市场营销学第一次在线作业答案
视窗 × loading... 第一次在线作业 单选题 (共23道题) 展开 收起 1.（ 2.5分）下列有关交换的说法哪个是正确的？( ) ?A、人们要想获得所需要的产品，必须通过交换 ?B、交换是一个结果而不是一个过程 ?C、交换也就是交易的另一种说法 ?D、交换是人们获得自己所需要的某种产品的一种方式 我的答案：D 此题得分：2.5分 2.（2.5分）市场营销概念的核心是（） ?A、交换 ?B、需求 ?C、需要 ?D、产品 我的答案：A 此题得分：2.5分 3.（2.5分）从市场理论的角度而言，企业市场营销的最终目的是（）
?A、满足消费者的需求和欲望 ?B、求得生存和发展 ?C、推销商品 ?D、获取利润 我的答案：A 此题得分：2.5分 4.（2.5分）市场营销学的“革命”的标志是提出了什么观念（） ?A、以消费者为中心 ?B、以生产者为中心 ?C、市场细分 ?D、市场营销组合 我的答案：A 此题得分：2.5分 5.（2.5分）市场营销应该以（）为中心。 ?A、产品 ?B、服务 ?C、价格 ?D、顾客 我的答案：D 此题得分：2.5分 6.（2.5分）从市场营销的角度看，市场就是（）。 ?A、买卖的场所 ?B、商品交换关系的总和
?C、交换过程本身 ?D、具有购买欲望和支付能力的消费者 我的答案：D 此题得分：2.5分 7.（2.5分）消费者未能得到满足的感受状态称为（）。 ?A、欲望 ?B、需要 ?C、需求 ?D、愿望 我的答案：B 此题得分：2.5分 8.（2.5分）（）是企业最理想的一种需求状况。 ?A、过量需求 ?B、充分需求 ?C、不规则需求 ?D、潜伏需求 我的答案：B 此题得分：2.5分 9.（2.5分）一般来说，市场营销环境包括（）。 ?A、直接营销环境和间接营销环境 ?B、微观环境和宏观环境 ?C、微观环境和中观环境 ?D、宏观环境和中观环境
《机电一体化系统》形成性作业及答案
一、填空题 1．机电一体化包括六大共性关键技术：精密机械技术、 、 、信息处理技术、自动控制技术和 。 2．机电一体化的产生与迅速发展的根本原因在于社会的发展和科技的进步。系统工程、控制论和信息论是机电一体化的 基础，也是机电一体化技术的 。微电子技术的发展，半导体大规模集成电路制造技术的进步，则为机电一体化技术奠定了 基础。机电一体化技术的发展有一个从 状况向 方向发展的过程。 3．一个较完善的机电一体化系统应包括以下几个基本要素：机械本体、 、 、执行部分、控制及信息处理部分和接口。 4．机电一体化系统对动力部分的要求是用尽可能 的动力输入获得尽可能 的功能输出。 5．根据机电一体化系统匹配性要求，要求执行部分的刚性 、重量 、实现组件化、标准化和系列化，提高系统整体 。 6．机电一体化系统一方面要求驱动的高 和快速 ，同时要求对水、油、温度、尘埃等外部环境的 和 。 7．自动控制技术的目的在于实现机电一体化系统的目标 。 8．伺服传动技术就是在 的指挥下，控制驱动元件，使机械的运动部件按照指令要求运动，并具有良好的 。 9．拟定机电一体化系统设计方案的方法可归结为 、 和 。 10．机电一体化系统对机械传动部件的摩擦特性的要求为：静摩擦力尽可能 ，动摩擦力应尽为可能小的 斜率，若为 斜率则易产生爬行，降低精度，减少寿命。 11．运动中的机械部件易产生振动，其振幅取决于系统的阻尼和固有频率，系统的阻尼越 ，最大振幅越 ，其衰减越快。 机电一体化系统 作 业1
12．在系统设计时考虑阻尼对伺服系统的影响，一般取阻尼比ξ在到之间的欠阻尼系统，这样既能保证振荡在一定的范围内，过渡过程较平稳，过渡时间较短，又具有较高的灵敏度。 13．间隙将使机械传动系统产生，影响伺服系统中位置环的。 14．在伺服系统中，通常采用原则选择总传动比，以提高伺服系统的。二、选择题 1．机电一体化系统的基本功能要素之一：接口的基本功能是（） A．交换B．放大C．传递D．以上三者 2．机电一体化系统的核心是（） A．动力部分B．执行机构C．控制器D．接口 3．机电一体化系统中，根据控制信息和指令完成所要求的动作这一功能的是（）。 A．机械本体B．动力部分 C．控制器D．执行机构 4．在设计齿轮传动装置时，对于转动精度要求高的降速齿轮传动链，可按什么原则进行设计（）。 A．输出轴转角误差最小B．等效转动惯量最小C．质量最小D．质量最大 5．对于要求质量尽可能小的降速传动链，可按什么原则进行设计（） A．输出轴转角误差最小B．等效转动惯量最小 C．重量最轻D．重量最大 三、名词解释 系统总体技术—— 四、简述题 1．简述机电一体化技术方向。
最优控制应用概述
最优控制的应用概述 1.引言 最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。 2.最优控制问题 所谓最优控制问题，就是指 在给定条件下，对给定系统确定 一种控制规律，使该系统能在规 定的性能指标下具有最优值。也 就是说最优控制就是要寻找容 许的控制作用（规律）使动态系 统（受控系统）从初始状态转移 到某种要求的终端状态，且保证 所规定的性能指标（目标函数）图1 最优控制问题示意图 达到最大（小）值。 最优控制问题的示意图如图1所示。其本质乃是一变分学问题。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。最常用的方法就是极大值原理和动态规划。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复杂系统的有效方法之一。
最优控制第六章习题答案
1. 有十个城市①为起点，⑩为终点。站与站之间称为段，每段路程所用的时间（小时）写 在段上，则应如何行使，让从①到⑩所花的时间最短。 解：⑴ 4N =11(8)3,(9)4J J ==将距离数字标注于图中，数字旁括号内的文字表示相应的决策变量。由于从8到10及从9到10都只有一种可能，所以本级无决策问题。 ⑵3N = 本级决策有三种选择。每种选择中又有两条可能的路线。例如，从5出发，可达8，也 可达9，所以131(5,8)(8)13(2)min min 4(5,9)(9)44d J J d J ++???? ===????++???? 说明5到10的最短距离为4，路线为5-8-10决策变量为2(5)8S = 同理，从6出发时，有121(6,8)(8)63(6)min min 7(6,9)(9)34d J J d J ++???? ===????++???? 说明6到10的最短距离为7，路线为6-9-10决策变量为2(6)9S = 从7出发时，有121(7,8)(8)33(7)min min 6(7,9)(9)34d J J d J ++???? ===? ???++???? 说明7到10的最短距离为6，路线为7-8-10决策变量为2(7)8S = ⑶2N =本级有三种选择，计算过程如下： 2322(2,5)(5)74(2)min (2,6)(6)min 471166(2,7)(7)d J J d J d J ++???? ???? =+=+=???????? ++???? 决策变量3(2)5(6)S =
2322(3,5)(5)34(3)min (3,6)(6)min 27746(3,7)(7)d J J d J d J ++???????? =+=+=???????? ++???? 决策变量3(3)5S = 2322(4,5)(5)44(4)min (4,6)(6)min 17856(4,7)(7)d J J d J d J ++???? ???? =+=+=???????? ++???? 决策变量3(4)5(6)S = ⑷1N =本级决策是唯一的，计算结果为 2422(1,2)(2)211(1)min (1,3)(3)min 471138(1,4)(4)d J J d J d J ++???? ???? =+=+=???????? ++???? 决策变量4(1)3(4)S = 可确定最短路线为1-3-5-8-10 2．一维线性系统，设变量无约束，最优控制问题的数学模型为： 2 22 10(),k k k k k J qx ru T x ax bu +=+=+∑ 初始状态0x 为已知。式中,,,a b q r 为常数，0,=1r T >设。求最优控制序列。 解： 本题为三级决策问题. 因为=1T ，2 2 210 (),k k k k k J qx ru T x ax bu += +=+∑ ①令3,2N k ==*22 122322,J qx ru x ax bu =+=+ 因为k u 无约束，故令 *122 20J ru u ?==?求得*20u =将上述结果代入*1J 方程，易得*2 12 J qx = ② 2,1N k == 211x ax bu =+ *22*2111222 1212 2 21 111 2222 1111()[()](1)2()J qx ru J q x x ru q x ax bu ru q a x abqx u qb r u =++=++=+++=++++
第一次作业答案
第一次作业答案
1、一项调查表明，消费者每月在网上购物的平均花费是200元，他们选择在网上购物的主要原因是“价格便宜”。 （1）这一研究的总体是什么？ （2）“消费者在网上购物的原因”是分类变量、顺序变量还是数值型变量？研究者所 关心的参数是什么？ （3）“消费者每月在网上购物的平均花费是200元”是参数还是统计量？ （4）研究者所使用的主要是描述统计方法还是推断统计方法？ 答：（1）总体是“所有网上购物的消费者”； （2）分类变量；所有网上购物的消费者的月平均花费和网上购物的主要原因； （3）统计量； （4）推断统计方法。 3、案例：分析运动员发挥的稳定性
（1）用箱线图 Excel： Spss：
（2）Excel： 亚历山大（乌 克兰）拉尔夫（德国） 克里斯蒂安（德 国） 平均10.01 平 均 10.025 平均10.015 标准0.11874 3 标 准 0.12954 9 标准 误差 0.16129
误差误差 中 位数10.15 中 位 数 10.15 中位 数 10.2 众数10.3 众 数 10.3 众数9.9 标准差0.53103 7 标 准 差 0.57936 标准 差 0.721311 方差0.282 方 差 0.33565 8 方差0.520289 峰度3.71162 9 峰 度 1.99695 7 峰度 2.721327 偏度-1.6599 6 偏 度 -1.0139 1 偏度-1.52925 区域2.4 区 域 2.5 区域 2.9 最 小值8.4 最 小 值 8.4 最小 值 7.9 最10.8 最10.9 最大10.8
最优控制习题参考解答
§2.6 习题 2.2 解： ()()()()()()0 120 010 01 22J J x t x t x x t x x dt x x x t x dt x t xdt αααδαδααδαδααδδδδ===?= +???? ?? ?? =+++? ??=++???? = +?? ? 已知0.1x t δ=， 当0.1x t δ=， ()12 10.1212J t t t dt δ= += ? 当0.2x t δ=， ()12 10.226 J t t t dt δ=+= ? 2.4 解： ()10 ,,t t J L x x t dt = ? L = ()()00L 0 ,f f d L dt x x t x x t x ????-=???? ==??? 欧拉方程：横截条件：x
?0d x x c c x a dt ?? =→=→=±= ? 令 设()()( )()* 000 111x b x t at b x t t x a ?=→=?=+→→=? =→=?? ， ()*1x t = 1* J ?==? ，最短曲线为()* x t t = 2.5 解： 2122 L x x =+ ， ()4f t ψ=，()14x =， ()4f x t = ()()()()00L 0 ,,0 f T f f t d L dt x x L t x x t t L x x ψψ????-=???? ????==+-= ? ???? ? 欧拉方程：横截条件：x ()*211222dx x t c x t t c t c dt ? =→=+→=++ ， ()* 12x t t c = + 又由横截条件得： ()()2* 164f f x t x t =→= ()()() 122 121114 424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ?=++=???=++=??=+=?? ()()*21* 25696269f t x t t t c x t t c =??=-+??→=-→??=-??? =? 520 150021502 3 J x x dt ?=+ =-? ， 极值轨线为()* 2 69x t t t =-+
第一次 作业答案
第二章财务管理的基础知识 一、计算题 1.某企业年初投资100万元生产一种新产品，预计每年年末可得净收益10万元，投资年限为10年，年利率为5%。【要求】 （1）计算该投资项目年收益的现值和终值。 （2）计算年初投资额的终值。 解：（1）年收益现值 P= 10×（P/A，5%，10） = 10×7.7217 = 77.217 (万元) 年收益终值 F= 10×（F/A，5%，10） =10×12.578 =125.78（万元） （2）年初投资额终值 F=100×（F/P，5%，10） =100×1.6289 =162.89（万元）
2.某人准备5年后支付一笔10 000元的款项，年利率为5%。【要求】计算此人现在应存入银行多少钱，5年的复利利息为多少元。 解：复利现值 P=10000×（P/F，5%，5） =10000×0.7835 =7835（元） 复利利息 I=F-P =10000-7835 =2165（元） 3.某企业2003年年初投资一个项目，预计从2006年起至2010年每年年末可获得净收益20万元，年利率为5%。 【要求】计算该投资项目年净收益的终值和现值。 解:年净收益的终值 F=20×（F/A，5%，5） =20×5.5256 =110.512（万元）
年收益的现值 P=20×[（P/A，i，m+n）﹣（P/A，i，m） =20×[（P/A，5%，8）﹣（P/A，5%，3） =20×（6.4632﹣2.7232） =74.796（万元） 4.某企业投资一个项目，每年年初投入10万元，连续投资3年，年利率为5%。 【要求】 （1）计算该项目3年后的投资总额 （2）若3年的投资额于年初一次性投入，投资总额是多少？ 解：（1）预付年金终值 F=10×（F/A，5%，3）×（1+5%） =10×3.1525×1.05 =33.10（万元） （2）预付年金现值 P=10×（P/A，5%，3）×（1+5%） =10×2.7232×1.05 =28.59（万元）
电大在线作业-证据学第一次作业答案[1].
证据学第一次作业 1、下列表述中正确的是(。B.不是所有的证据材料都具有证据力 2、关于证据学的研究对象,下列说法中正确的是(。C.人类的文化传统背景是证据学的研究对象 3、我国证据制度的基本原则是(。A.客观真实 4、民事诉讼法第七十条规定“证人确有困难不能出庭的,经人民法院许可,可以提交书面证言”,是指(的例外。A.直接言词原则 5、刑事诉讼法第47条中明确规定,“证人证言必须在法庭上经过公诉人、被害人和被告人、辩护人双方讯问、质证,听取各方证人的证言并且经过查实以后,才能作为定案的根据”。这一原则体现了(。A.直接言词原则 6、直接言词原则,是指对于证据的调查必须由裁判者直接进行,而且采用的方式必须是(。A.口头 7、凡是未经查证属实的物证、书证、证人证言等各种证据形式,统统称为(。 A.证据材料 8、证据在法律上可以作为定案根据的资格和条件称为(。B.证据力 9、新中国的证据法律制度被称为(。C.客观真实的证据制度 10、自由心证证据制度最早产生于(。D.法国 11、最早规定自由心证原则的刑事诉讼法典是(。B.法国刑诉法典 12、法律事先对证据的形式、范围和证明力作明确规定,法官只依照法律规定作出机械判断的证据制度(。B.法定证据制度
1、证据学的研究方法有(。A.借鉴和创新的方法B.定性和定量的分析方法C.系统全面研究的方法D.比较研究的方法 2、与纠问式诉讼制度相适应的证据制度内容有(。B.口供主义 D.刑讯逼供 3、一般来说证据规则包括(。A.采用证据的规则B.排除证据的规则C.举证的规则D.质证的规则 4、自由心证理论的主要内容有(。A.理性B.良心C.内心确信 5、法定证据制度的主要特点有(。A.等级性B.形式主义 6、中国封建社会的证据制度的特点有(。A.坚持口供至上的原则B.审讯时可以依法刑讯C.重视勘验检查D.据众证定罪的制度 7、属于我国古代“五声听讼”内容的有(。A.辞听B.气听C.色听D.耳听 8、甲故意杀人案件中,公安机关在侦查过程中除了其他证据外,还收集到了下列证据材料。如果认定甲犯有故意杀人罪,下列证据材料中具备关联性的有(。A.甲写给被害人的恐吓信D.甲的情妇证明,在本案的作案时间中,甲曾与她一起在某电影院看电影,电影的名字是《泰坦尼克号》 9、某单位的财务室被盗,丢失现金38000元,公安机关在现场勘验中,在存放被盗人民币的铁皮柜上提取了几枚清晰的指纹,经过鉴定,这几枚指纹与本单位某职工的指纹完全同一。据此,该职工被逮捕,后被判处6年有期徒刑。半年后,公安机关在破获一起盗窃案时,抓获三名犯罪嫌疑人,预审中,该三人分别供认 已被“查清”的那个单位财务科的盗窃案是他们所为,交待的情节与现场情况完全一样。另外,三人还交待,作案时,为了不留痕迹,三人均戴着手套。那么,某职工留在铁皮柜上的指纹是怎么回事呢?原来,盗窃案之前,财务科搬家,该职工正好搬运
最优控制理论第二次作业.doc
4题任选2题 1.一质点沿曲线()y f x =从点（0 ,8）运动到（4 ,0） ,设质点运动速度为x ,问曲线取什么样的形状 ,质点运动的时间最短？ 解答：取两点之间的连线直线为质点运动时间最短曲线。 2.设有一阶系统x x u ? =-+ ,()03x = ,试确定控制函数()u t ,在t=2时 ,把系统转移到零状态 ,并使泛函 ()2 20 1J u dt =+? 取极小值 ,如果把系统转移到零态的时间不固定 ,那该如何求解？ 解答：t=2时的系统转移到零时刻 , 2112H 020 1112201(t)(t)(t )e 2 3 (0)3,(2)0(t 32 t t u x u H x H x x x u H u u u x x x x d dx C C e x C x x x λλλλ λ λλ λλλλλ--=?=-→=-??=-→=-+??=→+=?→ ?? ?=-+---????? ??=? ? ? ??????-=-??? =→=+==?=+做汉密尔顿函数：（1+）+(-+) 欧拉方程：状态方程：控制方程：消除代入边界条件： )e 3(t)2 t t u e --?=-
222111(t )0(1)()0 t 21230 33(t 3)e e 22C 31e C t +6+C 22f f f f f t t f t f H u x u u ux u x u θ θλλ---?=-=→++-+=?=-→+-==+=-=移动到零态的时间不固定则还要符合条件 由于则将和代入 （） 无法继续。。。。。。 3.已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为 12x x ? = ,()101x = 2x u ?= ,()201x = 求最优控制()u t ,使下列性能指标分别为最小 （a ）1 20J u dt =? ,()111x = （b ）20 f t J u dt =? ,()()21f f f x t c t t ==-（f t 可变） （c ）20 f t J u dt =? ,()()()212,0f f f f x t c t t x t ==-= 解答：（a ） 2122122111 212112H ,0,(t)C (t)C C H 0202 f u x u H x x x x u H x t u u t u λλλλλλλλλλ=++?= →==??=-→==?=→=?=→+=→=-?本题为t =1，终端固定的最优解问题正则方程： 控制方程：
最优控制实验报告
实验报告 课程名称：现代控制工程与理论实验课题：最优控制 学号：12014001070 姓名：陈龙 授课老师：施心陵
最优控制 一、最优控制理论中心问题： 给定一个控制系统（已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值（或极大值） 二、最优控制动态规划法 对离散型控制系统更为有效，而且得出的是综合控制函数。这种方法来源于多决策过程，并由贝尔曼首先提出，故称贝尔曼动态规划。 最优性原理：在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不管初始级、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和状态做为初始级和初始状态时，余下的决策对此仍是最优决策 三、线性二次型性能指标的最优控制 用最大值原理求最优控制，求出的最优控制通常是时间的函数，这样的控制为开环控制当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的函数。 求解这样的问题一般来说是很困难的。但对一类线性的且指标是
二次型的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。 一．实验目的 1.熟悉Matlab的仿真及运行环境； 2.掌握系统最优控制的设计方法； 3.验证最优控制的效果。 二．实验原理 对于一个给定的系统，实现系统的稳定有很多途径，所以我们需要一个评价的指标，使系统在该指标下达到最优。如果给定指标为线性二次型，那么我们就可以利用MATLAB快速的计算卡尔曼增益。 三．实验器材 PC机一台，Matlab仿真平台。 四．实验步骤 例题1 （P269）考虑液压激振系统简化后的传递函数方框图如下，其中K a为系统前馈增益，K f为系统反馈增益，w h为阻尼固有频率。（如图5-5所示） 将系统传递函数变为状态方程的形式如下： ,
第一次把事情做对第一阶段在线作业答案100分
第一次把事情做对第一阶段在线作业答案100分1.（2.5分）什么是正确行动的系统？ ? A、建立标准 ? B、确定目标 ? C、控制 ? D、预防 我的答案：D此题得分：2.5分 2.（2.5分）如何去工作？ ? A、建立工作标准 ? B、改进工作过程 ? C、建立工作标准 ? D、预防错误 我的答案：C此题得分：2.5分 3.（2.5分）达到“一次就做对”这个目的最重要的是什么？ ? A、不要在工作中设立返工区 ? B、取消精神上的返工区 ? C、提前做好预防 ? D、提前制定计划 我的答案：B此题得分：2.5分 4.（2.5分）一次做对的基本准则是什么？ ? A、符合客户的要求 ? B、零缺陷 ? C、差不多 ? D、做正确的事
5.（2.5分）如何确定你的工作目的？ ? A、满足自己的要求 ? B、满足同事的要求 ? C、为满足客户的要求而工作，而不是自己的主观意愿。 ? D、满足上司的要求 我的答案：C此题得分：2.5分 6.（2.5分）预防的核心方法是什么？ ? A、把错误分类 ? B、改进工作过程 ? C、找出错误发生的原因 ? D、及时改正 我的答案：B此题得分：2.5分 7.（2.5分）第一次就把事情做对可达到的效果？ ? A、代价最小，成本最低 ? B、时间最少，效率最高 ? C、代价最小，成本最低，效率最高 ? D、代价最小，成本最低，时间最少，效率最高。 我的答案：D此题得分：2.5分 8.（2.5分）如何避免错误的发生？ ? A、有效的确定目标 ? B、有效制定计划 ? C、第一次把事情做对 ? D、做正确的事
9.（2.5分）什么是一个国家、一个民族的永恒要求？ ? A、善良 ? B、诚实、守信 ? C、韬光养晦、卧薪尝胆 ? D、强盛、实力 我的答案：D此题得分：2.5分 10.（2.5分）工作的质量可以用什么来衡量的？ ? A、不符合要求的代价 ? B、符合要求的代价 ? C、最终创造的价值 ? D、成本 我的答案：A此题得分：2.5分 11.（2.5分）商家在商场中需要达到谁的要求？ ? A、自己 ? B、组织 ? C、顾客 ? D、市场 我的答案：C此题得分：2.5分 12.（2.5分）企业成功的关键是什么？ ? A、必须时刻关注消费者的需求变化 ? B、努力适应并符合消费者的需求 ? C、把握需要 ? D、努力向客户推销自己的产品
最优滤波与应用作业1答案
《最优滤波与应用》上机练习题1 1、题目 参照《最优滤波与应用》课本第194页，题2-1。分别采用开、闭环对该系统进行仿真分析。 2、理论知识 卡尔曼滤波递推公式为： ()^ ^ 1//1,1,1/1,/1,,1,1,^ ^ ^ 1/11/1/1111 11/111/111/1111/k k k k k k k k k T T k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k T T k k k k k k k k k k k k k k k T U P P T Q T K Z H K P H H P H R P I K H P +++++++++++++++-++++++++++++X =ΦX +=ΦΦ+?? X =X +-X ?? ????=+?? =- (2-1) 根据公式2-1，可以得出如图2.1所示卡尔曼滤波方程组的计算程序框图。 ,1k k -k K +1 k -/k k X /k k 图2.1 卡尔曼滤波算法实现流程图 对卡尔曼滤波的仿真研究有两种仿真方法：协方差分析法和蒙特卡洛法。 协方差分析法：仿真过程中不需要观测方程中的观测值，适用于对所选卡尔曼滤波方案的早期评定，其算法流程如图2.2所示。
图2.2 协方差分析法算法流程图 蒙特卡洛法：蒙特卡洛法是对卡尔曼滤波进行完整的仿真，带脉冲控制律的蒙特卡洛分析法算法流程如图2.3所示。 图2.3 带最优控制律的蒙特卡洛分析法算法流程图 当系统加入脉冲控制后，初始的卡尔曼滤波递推方程变为公式(2-2)所示形式。 ()^ ^ 1//1,1/1,/1,,1,1,^ ^ 1/11/11 1 11/1 11/111/1111/0 k k k k k k T T k k k k k k k k k k k k k k k k k k k T T k k k k k k k k k k k k k k k P P T Q T K Z K P H H P H R P I K H P ++++++++++++-++++++++++++X =ΦX ==ΦΦ+X =X +??=+??=- (2-2) 3、仿真结果与分析
Lorenz 系统的最优控制
- 37 - Lorenz 系统的最优控制 周俊冬 马 明 （南通广播电视大学，江苏 南通 226006） 【摘 要】文章讨论了Lorenz 系统的最优控制问题，将该混沌系统控制到任意所期望的状态。基于哈密顿-雅可比-贝尔曼方程将构建最优控制器问题归结为解偏微分方程问题，通过巧妙构造Lyapunov 函数从而得到最优控制器。数值仿真表明，所设计的控制器实用有效并且易于实现。 【关键词】Lorenz 系统；最优控制；哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 【中图分类号】TP273 【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2010)05-0037-02 （一）引言 1963年Lorenz 发现了第一个混沌吸引子——Lorenz 系统，从此揭开了混沌研究的序幕。Lorenz 系统在信息加密和保密通信等领域有着广阔的应用前景，自从Pecora 和Carroll 提出混沌系统控制的观点和理论以后，线性和非线性反馈控制、自适应控制、延迟控制、变结构控制等多种不同方法都被成功地应用于Lorenz 混沌系统的控制中。 近十多年来，混沌控制的研究得到了蓬勃的发展，这一方向迅速成为混沌和控制学科交叉研究的热点，其间，人们提出了各种混沌控制方法，其中优化控制是一种在系统控制中应用最为广泛的手段，通常给定性能指标，或称目标函数泛函，寻找一容许控制，使目标泛函沿系统所有可能的状态轨迹取最小值。 目前，国内外学者已提出许多不同的混沌最优控制方法，并且问题最后都归结为求解动态规划中所涉及的偏微分方程。实际上，在许多情况下，动态规划中的偏微分方程的解是不存在或不惟一的。因此，求解动态规划中的偏微分方程是获得非线性系统最优控制的主要障碍。 本文针对Lorenz系统提出了一种最优控制方法，将该混沌系统控制到任意所期望的状态。基于哈密顿-雅可比-贝尔曼方程将构建最优控制器问题归结为解偏微分方程问题，通过巧妙构造Lyapunov函数从而得到最优控制器，同时找出了哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的解。仿真结果表明该方法的有效性。 （二）哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 设一个连续的非线性动力系统方程为： *()()(),()0x t f x g x u f x =+=& （1） 式中n x R ∈是状态变量，m u R ∈是控制器，():n n f x R R →和 ():n n m g x R R ×→是连续函数，驱使系统从任意初始值到任意 确定点* x 的最优控制方案是，使目标函数 [][()]T J u q x u Ru dt ∞ =+∫ （2） 取得最小值，式中()q x 是连续、可微且正定的函数，根据动态规划，最优控制归结为Hamilton-Jacobi-Bellman 偏微分方程： min 0u U u u dS dS dt dt ωω∈=????+=+=???????? （3） 式中()T q x u Ru ω=+，(())min [()]T t u U S x t q x u Ru dt ∞ ∈=+∫ ，U 为所有 控制器的集合。0u 为最优控制 （三）Lorenz系统的最优控制 Lorenz 系统的数学模型为： 121212133123 ()x a x x x bx x x x x x x cx =??? =????=??&&& （4） 当参数10a =、28b =、83c =时，系统是混沌的，图1显 示了系统的混沌吸引子。下面把该混沌系统从任意初始点稳 定到任意给定的目标点****123(,,)T x x x x =。 x (3) 图1 Lorenz 系统的混沌吸引子 控制器分为前馈控制****123(,,) T u u u u =和反馈控制123(,,)T u u u u =两部分，那么系统（4）变为： * 12111 * 2121322* 312333 ()x a x x u u x bx x x x u u x x x cx u u ?=?++?=??++??=?++?&&& （5） 取前馈控制为： ***1122 ******* 212133113******31212213 2u ax ax ax u bx x x x x x x x u x x x x x x cx ?=?+?=?+++???=??+? （6） 则受控系统（5）变为： 【收稿日期】2010-01-29 【作者简介】周俊冬，南通广播电视大学机械工程系教师；马明，南通广播电视大学机械工程系教师。
计算机控制技术课后习题答案
第一章计算机控制系统概述 习题及参考答案 1.计算机控制系统的控制过程是怎样的? 计算机控制系统的控制过程可归纳为以下三个步骤： (1)实时数据采集：对被控量的瞬时值进行检测，并输入给计算机。 (2)实时决策：对采集到的表征被控参数的状态量进行分析，并按已定的控制规律，决定下一步的控制过程。 (3)实时控制：根据决策，适时地对执行机构发出控制信号，完成控制任务。 2.实时、在线方式和离线方式的含义是什么？ (1)实时：所谓“实时”，是指信号的输入、计算和输出都是在一定时间范围内完成的，即计算机对输入信息以足够快的速度进行处理，并在一定的时间内作出反应并进行控制，超出了这个时间就会失去控制时机，控制也就失去了意义。 (2)“在线”方式：在计算机控制系统中，如果生产过程设备直接与计算机连接，生产过程直接受计算机的控制，就叫做“联机”方式或“在线”方式。 (3)“离线”方式：若生产过程设备不直接与计算机相连接，其工作不直接受计算机的控制，而是通过中间记录介质，靠人进行联系并作相应操作的方式，则叫做“脱机”方式或“离线”方式。 3.微型计算机控制系统的硬件由哪几部分组成？各部分的作用是什么？ 由四部分组成。
图1.1微机控制系统组成框图 (1)主机：这是微型计算机控制系统的核心，通过接口它可以向系统的各个部分发出各种命令，同时对被控对象的被控参数进行实时检测及处理。主机的主要功能是控制整个生产过程，按控制规律进行各种控制运算(如调节规律运算、最优化计算等)和操作，根据运算结果作出控制决策；对生产过程进行监督，使之处于最优工作状态；对事故进行预测和报警；编制生产技术报告，打印制表等等。 (2)输入输出通道：这是微机和生产对象之间进行信息交换的桥梁和纽带。过程输入通道把生产对象的被控参数转换成微机可以接收的数字代码。过程输出通道把微机输出的控制命令和数据，转换成可以对生产对象进行控制的信号。过程输入输出通道包括模拟量输入输出通道和数字量输入输出通道。 (3)外部设备：这是实现微机和外界进行信息交换的设备，简称外设，包括人机联系设备(操作台)、输入输出设备(磁盘驱动器、键盘、打印机、显示终端等)和外存贮器(磁盘)。其中操作台应具备显示功能，即根据操作人员的要求，能立即显示所要求的内容；还应有按钮，完成系统的启、停等功能；操作台还要保证即使操作错误也不会造成恶劣后果，即应有保护功能。 (4)检测与执行机构 a.测量变送单元：在微机控制系统中，为了收集和测量各种参数，采用了各种检测元件及变送器，其主要功能是将被检测参数的非电量转换成电量，例如热电偶把温度转换成mV信号；压力变送器可以把压力转换变为电信号，这些信号经变送器转换成统一的计算机标准电平信号(0～5V或4～20mA)后，再送入微机。 b.执行机构：要控制生产过程，必须有执行机构，它是微机控制系统中的重要部件，其功能是根据微机输出的控制信号，改变输出的角位