扰动下对稳态误差及减小稳态误差的措施(第10讲)
第10讲
3.6 线性系统的稳态误差计算 3.6.1 稳态误差的定义 3.6.2 系统类型
3.6.3 扰动作用下的稳态误差
以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。考虑图3-23的系统，图中)(s R 为系统的参考输入，)(s N 为系统的扰动作用。为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器）
图3-23 控制系统
N(s)
C(s)
)
()()(1)()()
()(212s H s G s G s G s N s C s M N +==
(3-71))()()(21s G s G s G = 由扰动产生的输出为
)()
()()(1)
()()()(212s N s H s G s G s G s N s M s C N n +=
=(3-72)
系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为
)()
()()(1)
()(0)(212s N s H s G s G s G s C s E n n +-
=-=(3-73)
根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为
)()
()()(1)
()(lim 2120
s N s H s G s G s sG s sE e n s ssn +-
==→ (3-74)
若令图3-23中的2
1
)()(,
)()(222111ννs
s W K s G s
s W K s G =
=
(3-75)
为讨论方便起见假设1)(=s H
则系统的开环传递函数为ν
s
s W K s W K s G s G s G )
()()()()(221121=
=(3-76)
1)0()0(,2121==+=W W ννν。将式(3-75)和式(3-76)代入式(3-73)，得 )()
()()()(2121221s N s W s W K K s s W K s s E n +-
=ν
ν (3-77)
下面讨论21,0和=ν时系统的扰动稳态误差。 1. 0型系统（0=ν）
当扰动为一阶跃信号，即s
N s N N t n 0
0)(,)(=
=。将式(3-75)代入式(3-74)，求得 2
10
21K K N K e ssn +-
= (3-78)
在一般情况下，由于121>>K K ，则式 (3-78) 可近似表示为
1
K N e ssn ≈
上式表明系统在阶跃扰动作用下，其稳态误差正比于扰动信号的幅值，与扰动作用点前的正向传递函数系数近似成反比。 2. I 型系统（1=ν）
系统有两种可能的组合：①0,121==νν；②1,021==νν。显然，这两种不同的组合，对于参考输入来说，它们都是I 型系统，产生的稳态误差也完全相同。但对于扰动而言，这两种不同组合的系统，它们抗扰动的能力是完全不同的。对此，说明如下。 ①0,121==νν。当扰动为一阶跃信号，即s
N s N N t n 0
0)(,)(=
=，则由式 (3-74)得
0)()()
()(lim 02121220
=+-
==→s
N s W s W K K s s W sK s s sE e n s ssn
当扰动为一斜坡信号，即2
00)(,)(s
N s N t N t n =
=，相应的稳态误差为
1
02
02121220
)()()
()(lim K N s N s W s W K K s s W sK s s sE e n s ssn -=+-
==→ ②1,021==νν。当扰动为一阶跃信号，即s
N s N N t n 0
0)(,)(=
= 1
002121220
)()()
()(lim K N s N s W s W K K s s W K s s sE e n s ssn -=+-
==→
当扰动为一斜坡信号，即2
00)(,)(s N s N t N t n =
=，相应的稳态误差为
∞=+-
==→2
02121220
)()()
()(lim s
N s W s W K K s s W K s s sE e n s ssn 由上述可知，扰动稳态误差只与作用点前的)(1s G 结构和参数有关。如)(1s G 中的11=ν时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与)(1s G 中的增益1K 成反比。至于扰动作用点后的)(2s G ，其增益2K 的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没有什么作用。 3. II 型系统（2=ν）
系统有三种可能的组合：①0,221==νν；②1,121==νν；③2,021==νν。 根据上述的结论可知，按第一种组合的系统具有II 型系统的功能，即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零。第二种组合的系统具有I 型系统的功能，即由阶跃扰动引起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为1
K N 。系统的第三种组合具有0型系统的功能，其阶跃扰动产生的稳态误差为
1
K N ，斜坡扰动引起的误差为∞。 3.6.4 减小或消除稳态误差的措施
由前面的讨论可知，提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差的有效方法。但这两种方法在其他条件不变时，一般都会影响系统的动态性能，乃至系统的稳定性。若在系统中加入顺馈控制作用，就能实现既减小系统的稳定误差，又能保证系统稳定性不变的目的。 （1） 对扰动进行补偿
控制系统的稳态误差
3.5 控制系统的稳态误差 3.5 控制系统的稳态误差 描述控制系统的微分方程 (3.73 ) 式（3.73）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为 (3.74) 式中，前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。随时间的增大，方程 的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。当时，方程的通 解趋于零 这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要 求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。 3.5.1 稳态误差 控制系统的误差可以表示为 (3.75) 式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的 输出。 稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差
图3.23 单位反馈和非单位反馈系统 （a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统 在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图 3.23（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即 (3.76) 式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。单位反馈系统的稳态误差为: (3.77) 对图3.23（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3.75）式意义上的误差。但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈 量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出 量，于是，定义非单位反馈系统的误差为 (3.78) 式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。根据图3.23（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得 (3.79)
扰动下对稳态误差及减小稳态误差的措施(第10讲)
第10讲 3.6 线性系统的稳态误差计算 3.6.1 稳态误差的定义 3.6.2 系统类型 3.6.3 扰动作用下的稳态误差 以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。考虑图3-23的系统，图中)(s R 为系统的参考输入，)(s N 为系统的扰动作用。为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器） 图3-23 控制系统 N(s) C(s) ) ()()(1)()() ()(212s H s G s G s G s N s C s M N +== (3-71))()()(21s G s G s G = 由扰动产生的输出为 )() ()()(1) ()()()(212s N s H s G s G s G s N s M s C N n += =(3-72)
系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为 )() ()()(1) ()(0)(212s N s H s G s G s G s C s E n n +- =-=(3-73) 根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为 )() ()()(1) ()(lim 2120 s N s H s G s G s sG s sE e n s ssn +- ==→ (3-74) 若令图3-23中的2 1 )()(, )()(222111ννs s W K s G s s W K s G = = (3-75) 为讨论方便起见假设1)(=s H 则系统的开环传递函数为ν s s W K s W K s G s G s G ) ()()()()(221121= =(3-76) 1)0()0(,2121==+=W W ννν。将式(3-75)和式(3-76)代入式(3-73)，得 )() ()()()(2121221s N s W s W K K s s W K s s E n +- =ν ν (3-77) 下面讨论21,0和=ν时系统的扰动稳态误差。 1. 0型系统（0=ν） 当扰动为一阶跃信号，即s N s N N t n 0 0)(,)(= =。将式(3-75)代入式(3-74)，求得 2 10 21K K N K e ssn +- = (3-78) 在一般情况下，由于121>>K K ，则式 (3-78) 可近似表示为 1 K N e ssn ≈ 上式表明系统在阶跃扰动作用下，其稳态误差正比于扰动信号的幅值，与扰动作用点前的正向传递函数系数近似成反比。 2. I 型系统（1=ν） 系统有两种可能的组合：①0,121==νν；②1,021==νν。显然，这两种不同的组合，对于参考输入来说，它们都是I 型系统，产生的稳态误差也完全相同。但对于扰动而言，这两种不同组合的系统，它们抗扰动的能力是完全不同的。对此，说明如下。 ①0,121==νν。当扰动为一阶跃信号，即s N s N N t n 0 0)(,)(= =，则由式 (3-74)得
三、扰动稳态误差终值的计算
3.6.7、扰动稳态误差终值的计算 根据终值定理及式(3-81)、式(3-82)，式(3-84)、式(3-86), 扰动稳态误差的终值e sn 可由 下式计算： )()(lim )(lim )(lim 0 s s sN s sE t e e en s n s sn t sn φ-===→→∞ → ∏∏∏∏=--=++==→+++++-=m j j v n i i v m l j j q i i v s s K s s s s s K s sN 1 1 1 1 20 ) 1()1() 1()1() (lim τ ττ τμμ (3-105) 比较式(3-105)及(3-87)可见，)(s en φ的分母多项式与)(s ex φ一样，但)(s en φ的分子多项 式中只有v s 项，不象)(s ex φ的分子多项式中有μ +v s 项。它说明只是控制环节传递函数) (1s G 中串联积分环节的数目v 对系统扰动稳态误差有决定性影响。 一 阶跃扰动作用下的稳态误差 在单位阶跃扰动作用下 n t N s s (),()== 11 这时扰动稳态误差终值为 )(lim 0 s e en s sn φ→= (3-106) 二 斜坡扰动作用下的稳态误差 在单位斜坡扰动作用下 n t t N s s (),()==12 这时扰动稳态误差终值为 e s s sn s n =→lim ()01φ (3-107) 三 加速度扰动作用下的稳态误差 在单位加速度扰动作用下 n t t ()=122 N s s ()=13 这时扰动稳态误差终值为 e s s sn s n =→lim ()0 2 1 φ (3-108) 按式(3-105)、(3-106)、(3-107)及(3-108)计算求得的各型系统在不同扰动作用下的稳态误差终值汇总列于表3-2中。