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06-07-3高数(B)期末

06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准(A )

一。填空题(本题共10小题,每小题3分,满分30分)

1.已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=,则

03x =-,01y =-,03z =;

2.已知三角形ABC ?的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -,则ABC ?

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的面积为

3. 曲线2222

10

25

x y y z ?+=??+=??在点(1,3,4)处的法平面为∏,则原点到∏的距离为1213; 4.函数2

u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k

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5.

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交换积分次序

2110

11

d (,)d x x f x y y --=?

?

6.设{

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},,,x y z r ==

r 3

div

0r =r

; 7. 设正向闭曲线C :1x y +=,则曲线积分22d d 0C

x y x xy y +=?

; 8.设2

()e x f x =,则(2)

(2)!

(0)!

n n f

n =

; 9.设0,0

()1,0x f x x x ππ-<≤?=?

+<≤?

,其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ,则

(3)S π=

12

π+; 10.使二重积分

()2

244d D

x

y σ--??的值达到最大的平面闭区域D 为

221(,)14x y x y ??+≤?

???

.

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二.(本题共2小题,每小题9分,满分18分) 11.计算二重积分()22d D

x y y σ+-??,其中D 为由1

,2

y x y x ==及2y =围成的区域. 解

12

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.计算三重积分

z

v Ω

,其中Ω是yoz 平面上的直线1

21,3z y y =-=以及

1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.

三.(本题共2小题,每小题8分,满分16分) 13.计算曲线积分d L

z s ?

,其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤

14.求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解. 解

四.(15)(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值. 解

五.(16)(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}

33333

(,,),,2x y z y z z x z =--v ,求

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该流体流过由上半球面1z =+

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z =

所围立体表面的外侧

的流量. 解

六.(17)(本题满分9分)

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计算曲线积分(

(

)ln d x y xy x y ++?

其中Γ

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是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.

七.(18)(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈,且0()1f x ≤<,利用二重积分证明不

等式: 1

1

0100

()d ()d 1()

1()d f x x f x x f x f x x

≥--???