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函数的最值

函数的最值
函数的最值

孝义三中课时教学设计(首页)

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孝义三中课时教学设计(联页)

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学生活动预设教师活动预设

画出下列函数的草图,指出图象

的最高点或最低点,并说明

它能体现函数的什么特征?

下面大家通过观察、分析,在直观感

觉的基础上探索

函数的最大值最小值概念

阅读概念分析那些地方需要注

让学生自己思考例3,4

让学生直观理解最值的几何意义

让学生学会用数学表达式来描述

概念

加深学生对概念的理解

探索求最值的基本方法

科目数学年级高一班级任课教师课题函数的最值课时数做课日期

教学目标

知识与

技能

理解函数的最大(小)值及其几何意义.

学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

过程与

方法

通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数

的最值,有利于培养以形识数的解题意识.

情感态度

价值观

利用函数的单调性和图象求函数的最大(小)值,解决日常生活中的实际问题,激发学生学习的积极性通过实例,使学生体会到函数

的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而

借助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解

题意识.

教学重难点教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义

教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值

教学方法学生通过画图、观察、思考、讨论,

从而归纳出求函数的最大(小)值的

方法和步骤

教具多媒体

设计意图

孝义三中课时教学设计(附页)

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(一)创设情景,揭示课题.

画出下列函数的草图,指出图象的最高点或最低点,并说明 它能体现函数的什么特征?

①x x f =)( ②]1,1[,)(-∈=x x x f ③2)(x x f = ④2)(x x f =,x ∈[-1,2]

1)无最高点无最低点 3)有最低点无最高点 2)当x=-1时是最低点,当x=1时是最高点 4)当x=0时是最低点,当x=2时是最高点

我们把最高点的函数值叫函数的最大值,把最低点的函数值 叫最小值,下面大家通过观察、分析,在直观感觉的基础上探索 函数的最大值最小值概念 (二)研探新知

1.函数最大(小)值定义

最大值:一般地,设函数y=f (x )的定义域为I ,如果存在实数

M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;

(2)存在I x ∈0,使得M x f =)(0.

那么,称M 是函数y=f (x )的最大值.

最小值:一般地,设函数y=f (x )的定义域为I ,如果存在实数

M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有M x f ≥)(; (2)存在I x ∈0,使得M x f =)(0 那么,称M 是函数y=f (x )的最小值. 2概念剖析 注意:

① 函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在I x ∈0 , 使得 M x f =)(0;其次函数最大(小)值应该是所有函数值中 最大(小)的即对于任意的x I ∈ ,都有M x f ≤)((M x f ≥)( ). 两个条件缺一不可,有1无2不存在最大值,有2无1不一定是 最值

②并不是所有的函数都有最大值最小值

③最值不一定在函数的端点处取得(求最值,求值域不能直接 代端点)

思考y=x

1

有无最大最小值。

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3.例题讲解 例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在 它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m 与时间t s 之间 的关系为h(t)= -4.9t 2+14.7t+18那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m ) 提示:利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值.

例4.求函数2

1y x =-在区间[2,6] 上的最大值和最小值.

法1:图象法 由y=x

2

向右平移一个单位得到

y=f (x )向左平移a (a>0)个单位得到y=f(x+a) y=f (x )向右平移a (a>0)个单位得到y=f(x-a) y=f (x )向上平移a (a>0)个单位得到y=f(x)+a y=f (x )向下平移a (a>0)个单位得到y=f(x)-a 法2:单调性

总结:求函数的最大(小)值的方法

1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

2. 利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递增,则函数y=f(x)在x=a 处 有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ;

如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递减,在区间[b ,c]上单调递增 则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b); (三)课堂练习 1.P32 5

2.求函数

2

23y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值. ①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞

3.y=

x

-12

,x ∈[2,6]的最大、小值 4.函数y=(a-1)x 在区间[1,3]上的最大值为______________ (四)归纳小结

求函数最值的常用方法有: (1)配方法:(2):利用函数的单调性(3)图象法:

孝义三中课时教学设计(尾页)

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板书设计

最大(小)值概念例3 求最值的方法

剖析:1

2 1

3 例

4 2

3

作业设计

基础作业提高作业

P39 4,5 练习册P34自主测评

基础巩固

能力测控,拓展提升

课后小记学生记实

教师感悟

常规检查

备课组长

年月日年级主任_________

年月日

督导检查

年月日

函数极值最值的求法及其应用

函数极值最值的求法及其应用 学习目标:会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题. 学习重点:利用导数求函数单调区间和极值最值,并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题. 学习难点:含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法:指导学习法. 课前五分钟展示:求函数)0()(>+=a x a Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值. 基础知识回顾: 1、 单调区间: 在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调 注意:求参数范围时,若函数单调递增,则'()0f x ≥;若函数单调递减,则 '()0f x ≤”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 2、 函数的极值与最值: 极大值和极小值:一般地,设函数)(x f 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有)(x f <)(0x f 或)(x f >)(0x f ,就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值,记作极大值y =)(0x f ,0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ,0x 是极小值点.

在定义中,极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值,极值指的是 最大值和最小值:观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的 函数)(x f 的图象.图中)(1x f 与3()f x 是极小值,2()f x 是极大值.函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ,最小值是3()f x .一般地,在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在 []b a ,上必有最大值与最小值. 请注意以下几点: (1; (2)函数的极值不是唯一的; (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系 ; (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 思考探究: 在连续函数)(x f 中,0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题: 题型一:利用导数求函数的极值最值问题: 例1:求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值.

高中数学函数最值问题的常见求解方法

高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例1.当01≤≤-x 时,求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值. 解析:3 4)322(32 + - -=x y ,当01≤≤-x 时, 12 2 1≤≤x .可得1min =y ,3 4max = y . 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题,则常利用判别式求得函数的最值. 例2.若x 、R y ∈且满足:022 2 =-+++y x xy y x ,则max x = , min y = . 解析:由已知,变形得:0)()12(22=++-+x x y x y ,R y ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ,于是018≥+-x ,即 8 1≤ x .即 8 1max = x . 同理,0)()12(22=-+++y y x y x ,R x ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ,于是018≥+y ,即 8 1- ≥y .即 8 1min - =y . 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下,求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值. 解:设x t sin =,因0(∈x ,)2 π,故 10≤≤t ,则2 ) 1()1(t t t y +-= ,即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ,故01≠+y ,于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ,]1,所以8 1max = y . 注意:因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ,]1的必要条件,因此,必须 将8 1= y 代入方程中检验,看等号是否可取. 练习:已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-,求常数b a ,.(答案: 3=b ,4±=a ) 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值. 解析:设x t 21-= (0≥t ),则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号.故1max =y ,无最小值. 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值. 解析:2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ,于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时,21 22 max + + =a a y ;当a t -=时,)1(2 1 2 min -= a y . 注意:若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +,可考虑用换元法解. (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈,4122≤+≤y x .求22y xy x u ++=的最值. 解析:设θcos t x =,θsin t y =,(t 为参数),因 4122≤+≤y x ,故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时,6max =u ;当12=t 且12sin -=θ时,2 1max =u . 练习1:实数x 、y 适合:545422=+-y xy x ,设22y x S +=,则 max 1S +min 1S =____。 练习2:已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+,求y x +的最值. 解析:化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ,得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x , 故 2 101)(max +=+y x ,2 101)(min - =+y x . (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ,求证:4 4b a +的最小值为 8 1. 解析:由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数,故不能用三角换元,但根据其和为1,我们可

八年级数学-一次函数最值的应用例说

八年级数学-一次函数最值的应用例说 在经济问题中,常会遇到求函数的最大值和最小值问题,如求最大利润、最小成本、确定最优的生产方案等问题,以图达到最经济、最节约和最高的经济效率. 谈到最值问题,人们关心的是二次函数的最值问题.而对一次函数最值的应用问题却很少了解,但在实际问题中,一次函数的最值的应用极为广泛. 一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量x的取值范围是一切实数,所以一次函数没有最大(小)值,但是,当自变量在某个闭区间a≤x≤b内取值时(a,b为实数),一次函数y =kx+b却存在着最大(小)值. 例1 20个农场职工种50亩地,这些地可以种蔬菜、棉花或水稻,如果种这些农作物每亩地所需的职工和预计的产值如下: 问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总产值达到最高? 解设种蔬菜、棉花、水稻的土地分别为x亩、y亩、z亩,预计总产值为w元.根据已知条件,得: x+y+z=50, (1) W=1100x+750y+600z. (3) 由(1)、(2)可得: y=90-3x (4) z =2x-40 (5) 把(4)、(5)代入(3)得: W=50x+43500. 由x≥0,y =90-3x≥0,z=2x-40≥0得: 20≤x≤30. 所以当x=30时,W取最大值45000元 此时y =0,z =20.

即种30亩蔬菜,20亩水稻才能使预计总产值最高,可达45000元. 例2 48人划船,每只小船坐3人,租金2元;每只大船坐5人,租金3元,最少要付租金多少元? 解设用x只大船,y只小船;要付租金W元. 由题意可知: 5x+3y =48, (1) W =3x+2y. (2) 把(3)代入(2)得: W=3x+2y 由于人数是48人,每只大船坐5人,由此可知:0<5x<48,得0<x<10,要使W最小,x应取最大整数值.即当x =9时,W的值最小. 答:最少要付租金29元. 例3 在边防沙漠地带,巡逻车每天行驶200公里,每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油.现有5辆巡逻车同时从驻地A出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回),甲、乙两车行至途中B处后,仅留足自己返回驻地所必须的汽油,将多余的汽油留给另外三辆使用,问其它三辆车可行进的最远距离是多少公里?(1995年河北省初中数学联合竞赛试题) 解设巡逻车行驶到途中B处时用了x天,其中的三辆车从B到最远处用y天,则有2[3(x+y)+2x]=14×5, 即 5x+3y=35。 (1) 由题意可知x>0,y>0且 14×5-(5+2)x≤14×3 即x≥4.

Excel常用电子表格公式大全【汇总篇】

Excel 常用电子表格公式大全【汇总篇】 篇一:Excel 常用电子表格公式汇总 Excel 常用电子表格公式汇总 1、查找重复内容公式:=IF(COUNTIF(A:A,A2)>1,"重复","")。 2、用出生年月来计算年龄公式: =TRUNC((DAYS360(H6,"2009/8/30",FALSE))/360,0)。 3、从输入的 18 位身份证号的出生年月计算公式: =CONCATENATE(MID(E2,7,4),"/",MID(E2,11,2),"/",MID(E2,13,2))。 4、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别,可以输入以下公式: =IF(LEN(C2)=15,IF(MOD(MID(C2,15,1),2)=1," 男 "," 女 "),IF(MOD(MID(C2,17,1),2)=1," 男 "," 女 ")) 公式内的“C2”代表的是输入身份证号码的单元格。 5、求和: =SUM(K2:K56)——对 K2 到 K56 这一区域进行求和; 6、平均数: =AVERAGE(K2:K56)——对 K2 K56 这一区域求平均数; 7、排名: =RANK(K2,K$2:K$56)——对 55 名学生的成绩进行排名; 8、等级: =IF(K2>=85,"优",IF(K2>=74,"良",IF(K2>=60,"及格","不及格"))) 9、 学期总评: =K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ——假设 K 列、 M 列和 N 列分别存放着学生的“平 时总评”、“期中”、“期末”三项成绩; 10、最高分: =MAX(K2:K56) ——求 K2 到 K56 区域(55 名学生)的最高分; 11、最低分: =MIN(K2:K56) ——求 K2 到 K56 区域(55 名学生)的最低分; 12、分数段人数统计: (1) =COUNTIF(K2:K56,"100") ——求 K2 到 K56 区域 100 分的人数;假设把结果存放于 K57 单元格; (2)=COUNTIF(K2:K56,">=95")-K57 ——求 K2 到 K56 区域 95~99.5 分的人数;假设把结 果存放于 K58 单元格; (3)=COUNTIF(K2:K56,">=90")-SUM(K57:K58)——求 K2 到 K56 区域 90~94.5 分的人数; 假设把结果存放于 K59 单元格; (4) =COUNTIF(K2:K56,">=85")-SUM(K57:K59)——求 K2 到 K56 区域 85~89.5 分的人数; 假设把结果存放于 K60 单元格; (5) =COUNTIF(K2:K56,">=70")-SUM(K57:K60)——求 K2 到 K56 区域 70~84.5 分的人数; 假设把结果存放于 K61 单元格; (6) =COUNTIF(K2:K56,">=60")-SUM(K57:K61)——求 K2 到 K56 区域 60~69.5 分的人数; 假设把结果存放于 K62 单元格; (7) =COUNTIF(K2:K56," 说明:COUNTIF 函数也可计算某一区域男、女生人数。 如:=COUNTIF(C2:C351,"男") ——求 C2 到 C351 区域(共 350 人)男性人数; 1 / 10

二次函数的最值及其应用

二次函数的最值及其应用 若自变量是全体实数,则当x=-a b 2时,y 最值= 2 44ac b a - (2008年南京市中考题)已知二次函数y=x2+bx+c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如下表: x … -1 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … (1)求该二次函数的关系式; 当x 为何值时,y 有最小值,最小值是多少? 分析:(1)任选表中两组对应值待入y=x2+bx+c 可求b 、c 。(2)得出y=x2+bx+c 后代x=-a b 2时,y 最值= 2 44ac b a - 解:(1)根据题意,当x=0时,y=5;当x=1时,y=2。 所以???++==c b c 125 解得???=-=54 c b 所以,该二次函数关系式为y=x2-4x+5 (2)因为y=x2-4x+5,所以当x=124 ?- =2时,y 有最小值,最小值为 1 44 5142 ?-??=1 一、 求实际问题中的二次函数的最值 例2 (2008年黄冈市中考题) 四川汶川大地震发生后,我市某工厂A 车间接到生产一批帐篷的紧急任务,要求必须在12天(含12天)内完成。已知每项帐篷的成本价为800元,该车间平时每天能生产帐篷20顶。为了加快进度,车间采取工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高。这样,第一天生产了22顶,以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶,由于机器损耗等原因,当每天生产的帐篷数达到30顶后,每增加1顶帐篷,当天生产的所有帐篷,平均每顶的成本就增加20元。设生产这批帐篷的时间为x 天,每天生产的帐篷为y 顶。 (1) 直接写出y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2) 若这批帐篷的订购价格为每顶1200元,该车间决定把获得最高利润的那 一天的全部利润捐献给灾区,设该车间每天的利润为W 元,试求出W 与x 之间的函数关系式,并求出该车间捐献给灾区多少钱? 分析:(1)由题意直接列出。(2)当1≤x ≤5时,由一次函数的增减性得W 的最大值;当5<x ≤12时,由二次函数的增减性得W 的最大值。 解:(1)y=2x+20(1≤x ≤12) (2)当1≤x ≤5时, W=(1200-800)×(2x+20)=800x+8000

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面:当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式; (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点,过点A 作直线l :3333 y x =+交BD 于点E ,过点B 作直线BK AD l K :在四边形ABKD 的内部是否存在点P ,使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点,连结DN 、NM 、MK ,求DN NM MK ++和的最小值.

练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3,求a的值. 【拓展练习】 题面:已知:y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2. ①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值. 练习二 金题精讲 题面:已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24,最小值3,求实数a的值. 【拓展练习】 题面:当k分别取1,1,2时,函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.

导数在函数求最大值和最小值中的应用解读

导数在函数求最大值和最小值中的应用 例1.求函数f (x )=5x + . 解析:由3040x x +??-? ≥≥得f (x )的定义域为-3≤x ≤4,原问题转化为求f (x )在区间[-3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’=f ’(x ) =5 在[-3,4]上f ’(x )>0恒成立, ∴ f (x )在[-3,4]上单调递增. ∴ 当x =-3时y min =-15-7, 当x =4时y max =20+27, ∴ 函数的值域为[-15-7,20+27]. 例2.设32f (a ),f (-1)0,∴ f (x )的最大值为f (0)=b -1, 又f (-1)-f (a )=21(a 3-3a -2)=21(a +1)2(a -)<0, ∴ f (x )|min =f (-1),∴ -23a -1+b =-23a = ∴ a b =1. 例3.若函数f (x )在[0,a ]上单调递增且可导,f (x )<0,f (x )是严格单调递增的,求 ()f x x 在(0,a ]上的最大值。 解析:2()'()()[]'f x f x x f x x x ?-=,∵ f (x )是严格单调递增的, ∴ f ’(x )>0,∵ f (x )<0,x >0,∴f ’(x )·x -f (x )>0, ∴ 2()'()()[ ]'f x f x x f x x x ?-=>0,∴ ()f x x 在(0,a ]上是增函数。 ∴ ()f x x 在(0,a ]上最大值为()f a a . 例4.设g (y )=1-x 2+4 xy 3-y 4在y ∈[-1,0]上最大值为f (x ),x ∈R , ① 求f (x )表达式;② 求f (x )最大值。 解析:g ’(y )=-4y 2(y -3x ), y ∈[-1, 0], 当x ≥0时,g ’(y )≥0,∴ g (y )在[-1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1-x 2. 当-3 10,在[-1,3x ]上恒成立,在(3x ,0)上恒成立, ∴ f (x )=g (3x )=1-x 2+27x 4 .

二次函数最值问题(含答案)

二次函数最值问题 一.选择题(共8小题) 1.如果多项式P=a2+4a+2014,则P的最小值是() A.2010 B.2011 C.2012 D.2013 2.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3,那么m的值等于()A.10 B.4 C.5 D.6 3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为(2,﹣3),则此函数有() A.最小值2 B.最小值﹣3 C.最大值2 D.最大值﹣3 4.设x≥0,y≥0,2x+y=6,则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是()A.B.18 C.20 D.不存在 5.二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是() A.3.125 B.4 C.2 D.0 6.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为() A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 7.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为() A.B.2 C.D. 8.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连结DC,DB,则△BCD的面积的最大值是()

A.7 B.7.5 C.8 D.9 二.填空题(共2小题) 9.已知二次函数y=2(x+1)2+1,﹣2≤x≤1,则函数y的最小值是,最大值是. 10.如图,在直角坐标系中,点A(0,a2﹣a)和点B(0,﹣3a﹣5)在y轴上, =6.当线段OM最长时,点M的坐标为. 点M在x轴负半轴上,S △ABM 三.解答题(共3小题) 11.在平面直角坐标系中,O为原点,直线l:x=1,点A(2,0),点E,点F,点M都在直线l上,且点E和点F关于点M对称,直线EA与直线OF交于点P.(Ⅰ)若点M的坐标为(1,﹣1), ①当点F的坐标为(1,1)时,如图,求点P的坐标; ②当点F为直线l上的动点时,记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.(Ⅱ)若点M(1,m),点F(1,t),其中t≠0,过点P作PQ⊥l于点Q,当OQ=PQ时,试用含t的式子表示m.

Excel常用函数汇总

如果匹配不到内容就直接返回空值: =IFERROR(VLOOKUP($A2,Sheet2!$A$2:$L$99,5,0),"") 如果A2的单元格不为空就进行匹配,如匹配不到内容则直接返回空,如匹配有内容则将匹配到的文本类型的数字转化为数字类型可求和的数字 =IFERROR(IF(A2<>"",VALUE(VLOOKUP($A2,Sheet2!$A$2:$L$99,5,0)),""),"") 注意:Sheet2表格内的数据由于被引用不能直接删除单元格,只能粘贴替换或选择“清除内容”。 如果A1单元格为空,则为空,如果A1单元格不为空,则求和A1到A5的数值: =IF(A1=””,””,SUM(A1:A5)) 截取单元格中指定字符后的所有文本(不包括指定字符): 截取D5单元格中“市”字后面的所有文本: =MID(D5,FIND("市",D5,1)+1,LEN(D5)-FIND("市",D5,1)) 查找“市”字在D5单元格中的位置并往后移一位得到“市”字后面的第一个字的所在位置字符长度的数字: =FIND("市",D5,1)+1 D5单元格的字符总长度数字减去“市”字前的长度数字得到“市”字后面字符长度的数字(不包括“市”字和“市”字之前的字符): =LEN(D5)-FIND("市",D5,1) excel判断两个单元格是否相同 如果只是汉字,用如下公式 =IF(A1=B1,"相同","不同") 如果包含英文且要区分英文大小写,用如下公式 =IF(EXACT(A1,B1),"相同","不同") 将两个不同表单或表格的内容自动查找相应内容合并在一个表格内:=VLOOKUP(I2,A1:D41,4,0) =VLOOKUP(两表中相同的值,其它表单或表格区域,要匹配值所在的列的数目,0) 将截取后的数字转为数字格式显示(利于计算统计)=VALUE(MID(D2,1,10))

函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值 一、知识梳理 1.增函数、减函数 一般地,设函数f (x )的定义域为I ,区间D ?I ,如果对于任意x 1,x 2∈D ,且x 1f (x 2). 2.单调区间的定义 若函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间. 3.函数的最值 前提 设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 注意: 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间 只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集 符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 2.两函数f (x ),g (x )在x ∈(a ,b )上都是增(减)函数,则f (x )+g (x )也为增(减)函数,但 f (x )·g (x ), () 1 f x 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =ln(x +2) B .y =-x +1 C .12x y ?? = ??? D .y =x +1 x 解析:选A 选项A 的函数y =ln(x +2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定 是增函数. 2.函数f (x )=x 2-2x (x ∈[-2,4])的单调增区间为______;f (x )max =________. 解析:函数f (x )的对称轴x =1,单调增区间为[1,4],f (x )max =f (-2)=f (4)=8. 答案:[1,4] 8 二、方法归纳

2函数的极值和最值及其应用

函数的极值和最值及其应用 函数极值的定义 ??????是函,则设函数在附近有定义,如果对附近的所有的点,都有xxxf?ff xx)(xf0000??????????的一,则的一个极大值。如果附近所有的点,都有 是函数数xxfxffxfx?f00个极小值,极大值与极小值统称为极值。 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。 ???.的极值点,则这就是说可导函数在点取极若函数在点处可导,且为 0fx?xxff000????0xf. 值的必要条件是0函数最值的定义 ????xffx Xx?不小于其他所有的区间上有定义,如果存在一点,使得在设函数X00??????,xff?xxfxX?,,亦即0????????xfmaxxxff?是在上的最大值,又可记为;则称X00????????,x?f?xffxXfxx同样使得,亦即,不大于其他所有的o0????????xxfxf?fmin . 是在则称上的最小值,又可记为X00??xf在注意上未必一定有最大(小)值。:函数X最值和极值的联系与区别 (1)极值一定是函数在某个区间内的最值; (2)极值未必是最值; (3)如果函数的最值在某个区间内取得,那么该点一定是极值点。 函数极值、最值的求解方法 1、降元法 求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元,而消去其他变量,化为二元函数求解。 1 22,求函数的极值。例1:已知x?z?y22y?x?22,代人得解:由题设得xy2?x?y?2 22????282?z??2?x?x??2x 2??22?2?22?x???2?0???x?28??即函数的定义域为:2?2?22,?2?2??

二次函数最值问题与解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴,又不平行于y轴的线段最值问题 1)以此线段为斜边构造一个直角三角形,并使此直角三角形的两条直角边分别平行于 x轴、y轴 2)根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3)根据“上减下,右减左”分别表示出两直角边长 4)根据勾股定理表示出斜边的平方(即两直角边的平方和) 5)得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7)根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1)一般会给出一点落在抛物线上,从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形,求其周长 最值 2)可先设此点坐标,点p到x轴、y轴的距离和再乘以2,即为周长 3)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1)首先判断图形中那些边是定值,哪些边是变量 2)利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边,并求其和的最小值 3)周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题(这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴,四边形必有一组对边平行于坐标轴) 1)首先表示出所需的边长及高 2)利用求面积公式表示出面积 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1)分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2)再分别表示出分割后的几个规则图形面积,求和 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1)利用大减小,不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的 面积来得到

函数的解析式及求值解析

函数的解析式及求值解析 1. 已知函数f(x -1)=x 2-3,则f(2)的值是6 2. 已知f(x)=1x 2-1,g(x)=x +1,则f(g(x))的表达式是x x 21 2+ 3. 已知函数y =??? f(1)=0 f(n +1)=f(n)+3,n ∈N *,则f(3)等于6 4. 已知f(x)与g(x)分别由下表给出 f(g(3))= 1 . 5. 若f(x +1)=2x 2 +1,求f(x); 解:令t =x +1,则x =t -1,∴f(t)=2(t -1)2 +1=2t 2 -4t +3.∴f(x)=2x 2 -4x +3. 6. 若函数f(x)=x ax +b ,f(2)=1,又方程f(x)=x 有唯一解,求f(x). 解:(2)由f(2)=1得2 2a +b =1,即2a +b =2; 由f(x)=x 得x ax +b =x 变形得x(1ax +b -1)=0,解此方程得:x =0或x =1-b a .又因为方程有 唯一解,所以1-b a =0,解得b =1,代入2a +b =2得a =12,所以所求解析式为f(x)=2x x +2 7. 设函数f(x)=??? x 2 +2 (x ≤2), 2x (x>2), 则f(-4)=18,若f(x 0)=8,则x 0 【解析】 f(-4)=(-4)2+2=18. 若x 0≤2,则f(x 0)=x 02+2=8,x =±6.∵x 0≤2,∴x 0=- 6.

若x 0>2,则f(x 0)=2x 0=8,∴x 0=4. 8. 设函数f(x)=??? 1-x 2 (x ≤1)x 2+x -2 (x>1) ,则f ? ????1f(2)的值为1615 【解析】f(2)=22+2-2=4,f ? ????1f(2)=f ? ????14=1-? ????142=15 16 9. 已知f(x)=??? x -5 (x ≥6) f(x +2) (x<6)(x ∈N ),那么f(3)=2. 【解析】 f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2. 10. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈= 则()3f -等于________. 【解析】 ()()()()()()()()()()()()()()()21111211=2+2+2=642222222=6+6+8=20134342342320243 6. f f f f f f f f f f f f f f =+=++??=+=++??=-+=-++?-?=-+-∴-= 11. 函数)2 3 (,32)(-≠+= x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于________. 【解析】 ()3,(),32()3223 cf x x cx x f x c f x c x x ====-+-+得 12. 已知)0(1)]([,21)(2 2 ≠-=-=x x x x g f x x g ,那么)21(f 等于________.

多元函数的极值及其应用

多元函数的极值及其应用 作者:程俊 指导老师:黄璇 学校:井冈山大学 专业:数学与应用数学

【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分,本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍,对多元函数的极值常见的求法进行了研究,并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用,突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向,而最优化问题是达到这一目标的有效途径,其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度,给经济方面,生活方面带来的益处不容小觑,本人浅谈极值问题,为了抛砖引玉,希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】:多元函数;极值;生活中的应用

目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………

引言 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域,在各种解决最优化中应用广泛,从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月

导数与函数极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容,已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题,在高考中以各种题型中均出现,对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题,其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ; 第二步求方程'()0f x =的根; 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号; 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ,求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1,无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下:首先令'()0f x =,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性,进而求出函数()f x 的极大值和极小值. 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,则(2)f 等于( ) A .11或18 B .11 C .18 D .17或18 【答案】C 【解读】

试卷分析:b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a .当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值. 当???-==11 4b a 时, )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ,0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ;0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意. 所以???-==114b a .181622168)2(=+-+=∴f .故选C . 考点:函数的单调性与极值. 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--,若1x =是()f x 的极大值点,则a 的取值范围为 ( ) A .()1,0- B .()1,-+∞ C .()0,+∞ D .()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点:函数的极值. 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值,则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析:因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= , 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+,由()'0f x =得2x =或1x m =-,又因为

高中数学导数及其应用导数在研究函数中的应用函数的最大小值与导数学案

3.3.3 函数的最大(小)值与导数 学习目标:1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.函数f (x )在区间[a ,b ]上的最值 如果在区间[a ,b ]上函数y =f (x )的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a ,b ]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得. 思考:若函数f (x )在区间[a ,b ]上只有一个极大值点x 0,则f (x 0)是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值吗? [提示] 根据极大值和最大值的定义知,f (x 0)是函数f (x )在区间[a ,b ]上的最大值. 2.求函数y =f (x )在[a ,b ]上的最值的步骤 (1)求函数y =f (x )在(a ,b )内的极值. (2)将函数y =f (x )的各极值与端点处的函数值f (a ),f (b )进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. [基础自测] 1.思考辨析 (1)函数的最大值一定是函数的极大值. ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值. ( ) (3)函数f (x )在区间[a ,b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得. ( ) (4)函数f (x )=1 x 在区间[-1,1]上有最值. ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数f (x )=x 3 -3x 2 +2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A .-2 B .0 C .2 D .4 C [f ′(x )=3x 2-6x ,令f ′(x )=0得x =0或x =2. 由f (-1)=-2,f (0)=2,f (1)=0得f (x )max =f (0)=2.] 3.函数y =x -sin x ,x ∈???? ??π2,π的最大值是( ) 【导学号:97792160】 A .π-1 B.π 2 -1 C .π D .π+1 C [y ′=1-cos x >0,故函数y =x -sin x ,x ∈???? ??π2,π是增函数,因此当x =π时,

函数最值问题的处理方法

函数最值问题的处理方法 摘要 函数的最值问题遍及代数,三角,立体几何及解析几何各科之中,在生产实践中也有 广泛的应用。中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。求函数最 值的方法有:配方法,不等式法,换元法,函数单调性法,判别式法,数形结合法,导数 法,线性规划问题,利用三角函数的有界性 关键词:函数,最值问题,处理方法 一、 配方法 形如或者可化成y=2ax +bx+c(a ≠0)的函数,可以先利用配方法找出其对称轴,依据 二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值,解题过程要特别关注自变量的取值范 围。 例1:已知f(x)=2x +2x+2,分别求出f(x)在闭区间:(1) [-4,-2], (2)[2,3], (3)[-2,3] 上的最大值M 和最小值m 解:f(x)的图像开口向上,对称轴x=-1 (1)对称轴x= -1在区间[-4,-2]的右侧,f (x )在[-4,-2]上是减函数, 所以M=f (-4)=10,m=f (-2)=2 (2)对称轴x= -1在区间[2,3]的左侧,f (x )在[2,3]上是增函数, 所以M=f (3)=17,m=f (2)=10 (3)对称轴x= -1在区间[-2,3]内,对称轴在区间中点的左侧, 所以M=f (3)=17,m=f (-1)=1 用配方法求最值的方法步骤: (1)求二次函数在开区间上的最值,看开口方向,确定为最大值或最小值 。 (2)求二次函数在闭区间上的最值,一看开口方向,二看对称轴在闭区间的相对位置, 分四种情况: (1)对称轴在闭区间的左侧; (2)对称轴在闭区间的右侧; (3)对称轴在闭区间中点的左侧; (4)对称轴在闭区间中点的右侧。 二、不等式法 通过式的变形,将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征, 从而利用基本不等式或均值不等式求最值,利用基本不等式求最值时,一定要关注等号成 立的条件,而利用均值不等式求最值,则必须关注三个条件,即“一正,二定,三相等”。 例2:设x ,y ,a ,b ∈(0,+∞),且a ,b 为常数,若 1=+y b x a ,试求x+y 的最小

Excel表格常用运算公式及使用方法汇总

Excel表格常用运算公式及使用方法汇总 1、查找重复内容公式:=IF(COUNTIF(A:AA2)>1”重复””")。 2、用出生年月来计算年龄公式:=TRUNC((DAYS360(H6”2009/8/30″FALSE))/3600)。 3、从输入的18位身份证号的出生年月计算公式: =CONCATENATE(MID(E274)”/”MID(E2112)”/”MID(E2132))。 4、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别,可以输入以下公式: =IF(LEN(C2)=15IF(MOD(MI D(C2151)2)=1”男””女”)IF(MOD(MID(C2171)2)=1”男””女”))公式内的“C2”代表的是输入身份证号码的单元格。 1、求和: =SUM(K2:K56) ——对K2到K56这一区域进行求和; 2、平均数: =AVERAGE(K2:K56) ——对K2 K56这一区域求平均数; 3、排名: =RANK(K2,K$2:K$56) ——对55名学生的成绩进行排名; 4、等级:=IF(K2>=85”优”IF(K2>=74”良”IF(K2>=60”及格””不及格”))) 5、学期总评: =K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ——假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩; 6、最高分: =MAX(K2:K56) ——求K2到K56区域(55名学生)的最高分; 7、最低分: =MIN(K2:K56) ——求K2到K56区域(55名学生)的最低分; 8、分数段人数统计: (1) =COUNTIF(K2:K56”100″) ——求K2到K56区域100分的人数;假设把结果存放于K57单元格; (2) =COUNTI F(K2:K56”>=95″)-K57 ——求K2到K56区域95~99.5分的人数;假设把结果存放于K58单元格; (3)=COUNTIF(K2:K56”>=90″)-SUM(K57:K58) ——求K2到K56区域90~94.5分的人数;假设把结果存放于K59单元格; (4)=COUNTIF(K2:K56”>=85″)-SUM(K57:K59) ——求K2到K56区域85~89.5分的人数;假设把结果存放于K60单元格; (5)=COUNTIF(K2:K56”>=70″)-SUM(K57:K60) ——求K2到K56区域70~84.5分的人数;假设把结果存放于K61单元格; (6)=COUNTIF(K2:K56”>=60″)-SUM(K57:K61) ——求K2到K56区域60~69.5分的人数;假设把结果存放于K62单元格; (7) =COUNTIF(K2:K56”<60″) ——求K2到K56区域60分以下的人数;假设把结果存放于K63单元格; 说明:COUNTIF函数也可计算某一区域男、女生人数。 如:=COUNTIF(C2:C351”男”) ——求C2到C351区域(共350人)男性人数;

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