当前位置：文档库 › 第2讲命题及其关系、充分条件、必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件、必要条件

课时作业(二) [第2讲命题及其关系、充分条件、必要条件]

基础热身

1．命题“若p ，则q ”的逆命题是( )

A ．若q ，则p

B ．若p ，则q

C ．若q ，则p

D ．若p ，则q

2． “α是锐角”是“cos α＝1－sin 2α”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．已知命题p ：“若a ＝b ，则|a |＝|b |”，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________________．

能力提升

5．已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a ⊥α”是“直线a ⊥b 且直线a ⊥c ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．下列有关命题的说法中，正确的是( )

A ．命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2>1，则x ≤1”

B ．“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件

C ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“?x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0”

D ．命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题为真命题

7．设p ：|2x ＋1|>a ，q ：x －12x －1

>0，使p 是q 的必要不充分条件的实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2] C ．[－2，3] D ．(－∞，3]

8．设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x ，y ，z 满足xOA

→＋yOB →＋zOC →＝0(x 2＋y 2＋z 2≠0)，则“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．写出一个使不等式x 2－x <0成立的充分不必要条件________．

10．已知命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．

11．“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的________条件．

12．(13分)π为圆周率，a ，b ，c ，d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .

(1)写出命题p 的否定并判断真假；

(2)写出命题p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；

(3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？并证明你的结论．

难点突破

13．(12分)已知集合A ＝y

??? )y ＝x 2－32x ＋1，x ∈34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．条件p ：x ∈A ，条件q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．

课时作业(二)

【基础热身】

1．A [解析] 根据原命题与逆命题的关系知“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故选A.

2．A [解析] α是锐角，则有cos α＝1－sin 2α，但cos α＝1－sin 2α时，α不一定是锐角．

3．B [解析] 由于原命题p ：“若a ＝b ，则|a |＝|b |”是真命题，则其逆否命题也是真命题；又逆命题：“若|a |＝|b |，则a ＝b ”是假命题，则其否命题也是假命题，那么正确命题的个数是2个．故选B.

4．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 [解析] 根据否命题的概念可得，原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．

【能力提升】

5．A [解析] 当a ⊥α时，可以推得直线a ⊥b 且直线a ⊥c ；但当直线a ⊥b 且直线a ⊥c 时，不可以推得直线a ⊥α，还必须满足b ，c 是相交直线．故“直线a ⊥α”是“直线a ⊥b 且直线a ⊥c ”的充分不必要条件．

6．B [解析] 对于A ，否命题为“若x 2≤1，则x ≤1”，所以A 错误；对于B ，x >1时，x 2＋x －2>0成立，反之，x 2＋x －2>0，则有x >1或x <－2，所以B 正确；对于C ，命题的否定是“?x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0”，所以C 错误；对于D ，命题的逆命题是假命题．故选B.

7．A [解析] q ：x >1或x <12

，因为q ?p ，所以|2x ＋1|有最小值0，所以a <0，此时有p 推不出q ，故选A. 8．C [解析] 若xyz ＝0，不妨设x ＝0，则由xOA →＋yOB →＋zOC →＝0，得yOB →＝－zOC →，故OB →与OC →共线，又

它们有公共点O ，所以点O 在直线BC 上．同理，当y ＝0或z ＝0可分别推得点O 在直线AC ，AB 上．故由“xyz ＝0”可以推得“点O 在△ABC 的边所在直线上”；若点O 在△ABC 的边所在直线上，不妨设点O 在直线BC

上，则一定存在实数λ，使得yOB →＋zOC →＝λOB →成立．又xOA →＋yOB →＋zOC →＝0，所以xOA →＋λOB →＝0.因为OA →与OB →不

共线，所以x ＝0，λ＝0.同理，当点O 在直线AC ，AB 上时，可以分别推得y ＝0，z ＝0.故由“点O 在△ABC 的边所在直线上”可以推得“xyz ＝0”．故“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的充要条件．故选C.

9.??????x

??? 0

12．解：(1)原命题p 的否定是：“若a π＋b ＝c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．假命题．

(2)逆命题：“若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ”，真命题．

否命题：若“a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”，真命题．

逆否命题：“若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ”，真命题．

(3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件．

证明如下：

充分性：若a ＝c ，则a π＝c π，

∵b ＝d ，∴a π＋b ＝c π＋d .

必要性：∵a π＋b ＝c π＋d ，∴a π－c π＝d －b ，

即(a －c )π＝d －b .

∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0，d －b ＝0，

即a ＝c ，b ＝d .

∴“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件．

【难点突破】

13．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32

x ＋1，得y ＝????x －342＋716.∵x ∈????34，2，∴y min ＝716

，y max ＝2， ∴y ∈????716，2，∴A ＝????

??y ??716≤y ≤2. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．

∵p 是q 的充分条件，

∴A ?B ，

∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34

， ∴实数m 的取值范围是????－∞，－34∪???

?34，＋∞.

充分条件与必要条件测试题(含答案)

充分条件与必要条件测试题（含答案）班级姓名一、选择题 1．“2x =”是“(1)(2)0x x --=”的（） (A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 2．在ABC ?中，:,:p a b q BAC ABC >∠>∠，则p 是q 的（） (A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 3．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若非空集合M N ≠ ?，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈ ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B 提示：“a M ∈或a N ∈”不一定有“a M N ∈ ”。 5．对任意的实数,,a b c ，下列命题是真命题的是（）（A ）“a c b c >”是“a b >”的必要条件（B ）“a c b c =”是“a b =”的必要条件（C ）“a c b c <”是“a b >”的充分条件（D ）“a c b c =”是“a b =”的必要条件 6．若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ?是p ?的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 7.若非空集合,,A B C 满足A B C = ，且B 不是A 的子集，则（） A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件 B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件 C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件 D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 8．对于实数,x y ，满足:3,:2p x y q x +≠≠或1y ≠，则p 是q 的（） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

充分条件和必要条件

充分条件 1.概述充分条件一定能保证结果的出现。 2.定义如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A而未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。简单地说，满足A，必然B；不满足A，不必然B，则A是B的充分条件。例如： 1. A下雨；B地湿。 2. A烧柴；B会产生二氧化碳。 3. A再过一百年；B在座的各位都不在人间了。例子中A都是B的充分条件，确切地说，A是B的充分而不必要的条件：其一、A必然导致B；其二，A不是B发生必需的。在例子中，往地上泼水地就湿了；燃烧石油也会产生二氧化碳；扔一颗炸弹进去，各位就不在了，这说明A 不是B发生必需的。 3.生活中的充分条件生活中常用“如果……，那么……”、“若……，则……”和“只要……，就……”来表示充分条件。例如： 1. 如果这场比赛踢平，那么中国男足就能出线。 2. 总参命令：若飞机不能降落则直接伞降汶川。 3. 四婶问祥林嫂竟肯依，卫老婆子说：“这有什么依不依。闹是谁也总要闹一闹的；只要用绳子一捆，塞在花轿里，抬到男家，捺上花冠，拜堂，关上房门，就完事了。” 不过生活中使用这些关联词语时人们往往并不考虑必要性。也就是说，满足A，必然B成立时，我们就说，如果A，那么B，或者说只要A，就B。这样就表达了条件的充分性，至于条件A是不是结果B必需的我们没有考虑。例如：只要活着，我就要写作。从客观上看，不满足“活着”，必然“不能写作”。所以“活着”是“我要写作”的充分必要条件。但是实际上说话人在说这句话时，他只想表达满足“我活着”时必然“我要写作”。至于“不活着就不能写作”的情况虽然大家都知道，但不是说话人要表达的意思。

充分条件与必要条件·典型例题

充分条件与必要条件·典型例题能力素养例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x 1＋x2＝－5，则p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分不为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．讲明：判定命题为假命题能够通过举反例．例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．

解对A．p：x＞1，q：x＜1，因此，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； D p q q p p q p q D ??? 对．且，即，是的充要条件．选．讲明：当a＝0时，ax＝0有许多个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C④ 由②④得A D． ∴D是A成立的必要条件．选B．讲明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件

命题及其关系

命题及其关系知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：真命题假命题 1.3 关系：原命题逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题。若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题若原命题为“若，则 ”，则它的逆否命题为“若，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）规律： 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念：若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题

“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题．练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

高中数学充分条件与必要条件-例题解析

充分条件与必要条件例题解析能力素质例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5．因此选A ．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件；对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件；对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件；对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解．例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件分析通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ．解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?

充分条件与必要条件练习题及答案

例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是 q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? 对．且，即，是的充要条件．选． D p q q p p q p q D 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? C B C B ∵是成立的充要条件，∴③ 由①③得A C④ 由②④得A D． ∴D是A成立的必要条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传递性．

例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定．解解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件； A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件．例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，显然A (B ∪C)，但A B 不成立，综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)” “A B ”．即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|； (3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1．其中p 是q 的充要条件的有 [ ] A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组分析使用方程理论和不等式性质．解 (1)p 是q 的必要条件

逻辑充分条件与必要条件(答案)

高二命题及其关系?充分条件与必要条件练习题一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( ) A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思[来源:Z|xx|https://www.wendangku.net/doc/805037782.html,][ ] 解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假. “红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题; “春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题; “愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题; “此物最相思”是感叹句,故不是命题. 答案:A 2.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条

件解析:由|x-1|<2得-1

14年高考数学基础+突破第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件 (2)

＋b2＋c2≥3”的否命题是________________________．能力提升 5．“a＝2”是“函数f(x)＝x a－1 2 为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法中，正确的是( ) A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1” B．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件 C．命题“?x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题 7．下列命题中，真命题的个数是( ) ①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题； ②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题； ③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题． A．0 B．1

充分条件与必要条件测试题(含答案)

充分条件与必要条件测试题（含答案）姓名分数一、选择题 1．“2x =”是“(1)(2)0x x --=”的（） (A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 2．在ABC ?中，:,:p a b q BAC ABC >∠>∠，则p 是q 的（） (A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 3．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若非空集合M N ≠?，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B 提示：“a M ∈或a N ∈”不一定有“a M N ∈”。 5．对任意的实数,,a b c ，下列命题是真命题的是（）（A ）“a c b c >”是“a b >”的必要条件（B ）“a c b c =”是“a b =”的必要条件（C ）“a c b c <”是“a b >”的充分条件（D ）“a c b c =”是“a b =”的必要条件 6．若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ?是p ?的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 7.若非空集合,,A B C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（） A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件 B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件 C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件 D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 8．对于实数,x y ，满足:3,:2p x y q x +≠≠或1y ≠，则p 是q 的（） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9．“40k -<<”是“函数2 y x kx k =--的值恒为正值”的（）

充分条件与必要条件·典型例题

充分条件与必要条件·典型例题能力素质例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则 p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? D p q q p p q p q D 对．且，即，是的充要条件．选．说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．

解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ? 由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定．解解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件．例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，显然A (B ∪C)，但A B 不成立，综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)”“A B ”．即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：

命题及其关系教学讲义

命题及其关系、充分条件与必要条件教学讲义 1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的__陈述句__叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__. 3．充分条件、必要条件与充要条件若p?q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件p?q且q p p是q的__必要不充分__条件p q且q?p p是q的__充要__条件p?q p是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p 1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A B，则p是q的必要不充分条件； (6)若A B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p ?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 1．下列语句为命题的是(D) A．对角线相等的四边形 B．a<5 C．x2－x＋1＝0 D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 [解析]只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D． 2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题是(A) A．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 B．不是平行四边形的四边形对角线不互相平分 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分 [解析]原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”． 3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的(A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 [解析]x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A． 4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(A) A．逆否命题B．逆命题 C．否命题D．原命题

命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳

实用标准 ●高考明方向 1.理解命题的概念． 2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 . ★备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维 . 一、知识梳理《名师一号》 P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系

实用标准 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（≠）不大于（≤）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个否定词语一个也没有某两个小于（ <）是不小于（≥）不是至多有 n 个或至少有 n+1 个且所有的任意的某些某个知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念（ 1）充分条件： p q 则 p 是 q 的充分条件即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。（ 2）必要条件： p q 则 q 是 p 的必要条件 p q q p 即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的条件，即无它不可。 ( 补充 ) （ 3）充要条件 p q且q p 即 p q 则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、“ q 当且仅当 p ”等 ( 补充 ) 2、充要关系的类型（ 1）充分但不必要条件定义：若 p q ，但 q p ，

高中数北师大选修1-12 充分条件与必要条件(4课时)

学业分层测评(二) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下面四个条件中，使“a >b ”成立的充分条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a ＋1>b 【解析】 “p 的充分条件是q ”即“q 是p 的充分条件”，亦即“q ?p ”．因为a >b ＋1?a >b ，故选A. 【★答案★】 A 2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件的( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1 【解析】由f (x )＝x 2＋mx ＋1＝? ?? ??x ＋m 22 ＋1－m 24， ∴f (x )的图像的对称轴为x ＝－m 2，由题意：－m 2＝1， ∴m ＝－2. 【★答案★】 A 3．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R ，q ：－1

4．(2015·天津高考)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】|x－2|<1?10?x>1或x<－2. 由于{x|11或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．【★答案★】 A 5．有下述说法： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是1 a＜ 1 b的充要条件；③a＞b＞0 是a3＞b3的充要条件．其中正确的说法有() A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】a＞b＞0?a2＞b2， a2＞b2?|a|＞|b|?/a＞b＞0，故①错． a＞b＞0?1 a＜ 1 b，但 1 a＜ 1 b?/a＞b＞0，故②错． a＞b＞0?a3＞b3，但a3＞b3?/a＞b＞0，故③错．【★答案★】 A 二、填空题 6．“cos α＝－ 3 2”是“α＝ 5 6π”的________条件．【解析】α＝5 6π时，cos α＝－ 3 2，反之不一定成立，故应是必要不充分条件．【★答案★】必要不充分 7．下列说法正确的是________． ①“两角相等”是“两角是对顶角”的充分条件；