2015届高考数学第二轮高效精练47.doc

第19讲 函数与方程思想(对应学生用书(文)、(理)65～68

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考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查．”

函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．

方程的思想就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解，使问题得以解决．

函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．

函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．

由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．

1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________． 答案：1

解析：a ＋2＝3，a ＝1，而a 2＋4＞3不用讨论．

2. 已知实数m 、n 满足m 3－3m 2＋5m ＝1，n 3－3n 2＋5n ＝5，则m ＋n ＝________． 答案：2

解析：∵ m 3－3m 2＋5m ＝1， ∴ (m －1)3＋2(m －1)＋2＝0.①

∵ n 3－3n 2＋5n ＝5，∴ (1－n)3＋2(1－n)＋2＝0.②

设f(x)＝x 3＋2x ＋2，则①等价于f(m －1)＝0，②等价于f(1－n)＝0，于是f(m －1)＝f(1－n)．

又显然f(x)为(0，＋∞)是的增函数，∴ m －1＝1－n ， ∴ m ＋n ＝2.

3. 若不等式(mx －1)[3m 2－( x ＋ 1)m －1]≥0对任意m ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的值为________．

答案：1

解析：显然x>0，若x ≤0，则mx －1＜0，而当m 充分大时，3m 2－( x ＋ 1)m －1＞0，与题设矛盾．而当x ＞0时，要使(mx －1)[3m 2－( x ＋ 1)m －1]≥0，对m ∈R ＋恒成立，则

关于m 的方程mx －1＝0与3m 2－( x ＋ 1)m －1＝0在(0，＋∞)内有相同的根．所以3×????

1x 2

－( x ＋ 1)×1x －1＝0，解得x ＝1, x ＝－3

2

(舍去)．

4. 已知关于x 的方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．

答案：???

?－5

4，1

解析：a ＝－sin 2

x －cosx ＝????cosx －122

－54，最小值为－5

4

，最大值为

1.

题型一 利用函数与方程思想求范围问题

例1 若a 、b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．

解：(解法1)将ab ＝a ＋b ＋3看成是含两个未知数的方程，可以用一个字母去表示另一个字母，再代入到a ＋b 中，转化为一元函数．

∵ b ＝a ＋3a －1，∴ a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝2＋(a －1)＋4a －1.由b ∈R ＋

得a ＞1，∴ a ＋b ＝2＋(a

－1)＋4a －1≥2＋2（a －1）×4a －1＝6，当且仅当a －1＝4

a －1即a ＝3时取等号，故a ＋b

的取值范围是[6，＋∞)．

(解法2)直接利用基本不等式ab ≤

????a ＋b 22，构造不等式，然后解不等式即可．

∵ ab ＝a ＋b ＋3≤???

?a ＋b 22，∴ (a ＋b)2－4(a ＋b)－12≥0，∴ (a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0，从而得a ＋b ≥6(当且仅当

a ＝

b ＝3时取等号)．

点评：本题解法很多，关键要学会转化．

若a 、b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．

解：a>0，b>0，a ＋b ≥2ab ，∴ ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，ab －2ab －3≥0，ab ≥3，ab ≥9，

当且仅当a ＝b 时取等号，故ab ∈[9，＋∞)． 题型二 利用函数与方程思想解数列问题

例2 设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r 、t ∈N *，都有S r S t ＝???

?r t 2

.

(1) 求数列{a n }的通项公式(用a 1表示)；

(2) 设a 1＝1，b 1＝3，b n ＝Sb n －1(n ≥2，n ∈N *)，求证：数列{log 3b n }为等比数列；

(3) 在(2)的条件下，求T n ＝∑n k ＝2 b k －1

b k －1

.

(1) 解：因为a 1＝S 1≠0，令t ＝1，r ＝n ，则S r S t ＝????r t 2，得S n S 1

＝n 2，即S n ＝a 1

n 2

.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 1(2n －1)，且当n ＝1时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1(2n －1)．

(2) 证明：当a 1＝1时，由(1)知a n ＝a 1(2n －1)＝2n －1，S n ＝n 2.依题意，n ≥2时，b n ＝Sb n －1＝b 2n －1，

于是log 3b n ＝log 3b 2n －1＝2log 3b n －1(n ≥2，n ∈N )，且log 3b 1＝1， 故数列{log 3b n }是首项为1，公比为2的等比数列.

(3) 解：由(2)得log 3b n ＝1×2n －1＝2n －1，所以b n ＝32n －

1(n ∈N *).

于是b k －1b k －1＝32k －

2

32k －1－1＝()32k －2＋1－1()32k －2＋1()32k －2－1

＝132k －2－1－1

32k －1－1

. 所以T n ＝∑k ＝2n

b k －1

b k －1

＝∑k ＝2

n ????132k －2－1－132k －1－1

＝12

－132n －1－1

. 设a 1、d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，

满足S 5S 6＋15＝0.

(1) 若S 5＝5，求S 6及a 1； (2) 求d 的取值范围．

解：(1) 由题意知S 6＝－15

S 5

＝－3，

∴ ?

??S 5＝5a 1＋5×4

2

d ＝5，

S 6＝6a 1＋6×5

2

d ＝－3，

解得a 1＝7，d ＝－3，

∴ S 6＝－3，a 1＝7. (2) ∵ S 5S 6＋15＝0，

∴ (5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0，

即2a 21＋9da 1＋10d 2

＋1＝0，

则(4a 1＋9d)2＝d 2－8，∴ d 2－8≥0， 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.

题型三 利用函数与方程思想处理解析几何问题

例3 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的大小成等差数列，且tanA ·tanC ＝2＋3，又知顶点C 的对边c 上的高等于43，试求△ABC 的三边a 、b 、c 及三内角．

解：由A 、B 、C 成等差数列，可得B ＝60°.

在△ABC 中，由tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA ·tanB ·tanC ，得 tanA ＋tanC ＝tanB(tanA ·tanC －1)＝3(1＋3)．

所以tanA ·tanC 是方程x 2－3(1＋3)x ＋2＋3＝0的两根，解得x 1＝1，x 2＝2＋ 3.

不妨设A

12

.

由此容易得到a ＝8，b ＝46，c ＝43＋4.

△ABC 中，求证：cosA ·cosB ·cosC ≤1

8.

证明：设k ＝cosA ·cosB ·cosC ＝12[cos(A ＋B)＋cos(A －B)]·cosC ＝1

2

[－cosC ＋cos(A －

B)]cosC.

整理得cos 2C －cos(A －B)·cosC ＋2k ＝0，它可看作是关于cosC 的一元二次方程．

所以Δ＝cos 2

(A －B)－8k ≥0，即8k ≤cos 2(A －B)≤1.

所以k ≤18，即cosA ·cosB ·cosC ≤1

8

.

题型四 利用函数与方程思想解函数问题

例4 已知函数f(x)＝x

lnx

－ax(x ＞0且x ≠1)．

(1) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；

(2) 若 x 1、x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．

解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以f′(x)＝lnx －1

（lnx ）2

－a ≤0在(1，＋∞)上恒

成立．

所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)max ≤0.

又f′(x)＝lnx －1（lnx ）2

－a ＝－????1lnx 2＋1lnx －a

＝－????1lnx －122＋14

－a ，

故当1lnx ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x)max ＝1

4

－a.

所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14

.

(2) 命题“若 x 1、x 2∈[e ，e 2

]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤f ′(x)max ＋a ”．

由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x)max ＝1

4

－a ，

∴ f ′(x)max ＋a ＝1

4

.

问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤1

4

”．

① 当a ≥1

4

时，由(1)f(x)在[e ，e 2]上为减函数，

则f(x)min ＝f(e 2

)＝e 22－ae 2≤14，故a ≥12－14e

2.

②当a ＜14时，由于f′(x)＝－????1lnx －122＋14

－a 在[e ，e 2]上为增函数，

故f′(x)的值域为[f′(e)，f ′(e 2)]，即?

???－a ，1

4－a . 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x)≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f(x)在[e ，e 2]上为增函数，于是，

f(x)min ＝f(e)＝e －ae ≥e ＞1

4，不合题意；

若－a ＜0，即0＜a ＜1

4

，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f′(x 0)＝0，

且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x)＞0，f(x)为增

函数．所以f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．所以a ≥1lnx 0－14x 0＞1lne 2－14e ＞12－1

4

＝

14，与0＜a ＜1

4

矛盾，不合题意． 综上，得a ≥12－1

4e 2.

设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)，且f(1)＝－a

2

.

(1) 求证：函数f(x)有两个零点；

(2) 设x 1、x 2是函数f(x)的两个零点，求|x 1－x 2|的取值范围； (3) 求证：函数f(x)的零点x 1、x 2至少有一个在区间(0，2)内．

(1) 证明：∵ f(1)＝a ＋b ＋c ＝－a

2

，∴ 3a ＋2b ＋2c ＝0，

∴ c ＝－32a －b ，∴ f(x)＝ax 2＋bx －3

2

a －b.

又Δ＝b 2－4a ???

?－3

2a －b ＝b 2＋6a 2＋4ab ＝(2a ＋b)2＋2a 2，∵ a ＞0，∴ Δ＞0恒成立，故函数f(x)有两个零点．

(2) 解：若x 1、x 2是函数f(x)的两个零点，则x 1、x 2是方程f(x)＝0的两根，

∴ x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－b a －3

2

，

∴ |x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2

＝????－b a 2－4????－b a －32 ＝????b a ＋22＋2≥2，

∴ |x 1－x 2|的取值范围是[2，＋∞)．

(3) 证明：f(0)＝c ，f(2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴ f(2)＝a －c.

① 当c ＞0时，有f(0)＞0，又a ＞0，∴ f(1)＝－a

2

＜0，

∴ 函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点；

② 当c ≤0时，f(2)＝a －c ＞0，f(1)＜0，f(0)＝c ≤0， ∴ 函数f(x)在区间(1，2)内有一个零点．

综合①②可知函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．

点评：结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决．

1. (2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x 2

＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是____________．

答案：???

?－2

2，0

解析：?

????f （m ）<0，f （m ＋1）<0 ?

??－22

2，0.

2. (2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP

→

＝2，则AB →·AD →

的值是________．

答案：22

解析：(解法1)基底法，考虑将条件中涉及的AP →、BP →向量用基底AB →、AD →

表示，而后实施计算．

AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34

AB →，则AP →·BP →

＝2＝

????AD

→＋14AB →·????AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2.

因为AB ＝8，AD ＝5，则2＝25－316·64－12

AB →·AD →，故AB →·AD →

＝22.

(解法2)坐标法，不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，

可设A(0，0)，B(8，0)，D(a ，t)，P(a ＋2，t)，C(a ＋8，t)，则AP →＝(a ＋2，t)，BP →

＝(a －6，

t)．由AP →·BP →＝2，得a 2＋t 2－4a ＝14，由AD ＝5，得a 2＋t 2＝25，则4a ＝11，所以AB →·AD →＝8a ＝22.

3. (2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝?

???x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值

范围是____________．

答案：???

?0，12 解析：作出函数的简图，由图象分析可得a ∈???

?0，12.

4. (2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)，若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．

答案：±3

解析：由题意，得a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)．因为(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(3＋λ)(3－λ)＋(3＋λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.

5. (2014·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．

(1) 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；

(2) 设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d<0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．

(1) 证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋

1－2n ＝2n ，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．

(2) 解：由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d.因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，

即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.

因为d<0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1.

当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）

2

是小于2的整数，n ∈N *.

于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）

2

，使得S n ＝2－m ＝a m ，

所以{a n }是“H 数列”，因此d 的值为－1.

(3) 证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．

令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *

)． 下证{b n }是“H 数列”．

设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）

2

a 1(n ∈N *)，

于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）

2

，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H

数列”．

同理可证{c n }也是“H 数列”． 所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列” {b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．

6. (2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)

的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b)，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.

(1) 若点C 的坐标为????

43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．

解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1) 因为B(0，b)，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a. 又BF 2＝2，故a ＝ 2.

因为点C ????

43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b

2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x

22

＋y 2＝1.

(2) 因为B(0，b)，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y

b

＝1.

解方程组?

??x c ＋y

b

＝1，x 2a 2＋y

2b 2＝1，

得?

????x 1＝2a 2c a 2＋c 2，

y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c

2

，????

?x 2＝0，y 2＝b ，

所以点A 的坐标为 ? ??

??2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2

）a 2＋c 2.

又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为? ????2a 2c a 2＋c

2，b （a 2－c 2

）a 2＋c 2.

因为直线F 1C 的斜率为 b ()

a 2－c 2a 2＋c 2－0

2a 2c a 2＋c

2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c

3，直线AB 的斜率为－b

c ，且F 1C ⊥AB ，

所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3

·????－b c ＝－1.

又b 2＝a 2－c 2

，整理得a 2＝5c 2.

故e 2＝15，因此e ＝5

5

.

(本题模拟高考评分标准，满分16分)

已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a n b n ＝2，b n ＋1＝a n ?

??

?b n －2

1＋a n

，n ∈N *.

(1) 求证：数列????

??

1b n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式；

(2)设数列{c n }满足c n ＝2a n －5，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q 、r(p

c r

成等差数列？若存在，试用p 表示q 、r ；若不存在，说明理由．

(1) 证明：因为a n b n ＝2，所以a n ＝2

b n

，

则b n ＋1＝a n b n －

2a n 1＋a n ＝2－4

b n

1＋2b n

＝2－4b n ＋2＝2b n

b n ＋2，(2分)

所以1b n ＋1＝1b n ＋12

.

又a 1＝3，所以b 1＝23，故????

??1b n 是首项为32，公差为1

2的等差数列，(4分)

即1b n ＝32＋(n －1)×12＝n ＋22，所以b n ＝2n ＋2

.(6分) (2) 解：由(1)知a n ＝n ＋2，所以c n ＝2a n －5＝2n －1， ① 当p ＝1时，c p ＝c 1＝1，c q ＝2q －1，c r ＝2r －1， 若1c p ，1c q ，1c r 成等差数列，则22q －1＝1＋12r －1

(*)， 因为p

2r －1

>1，所以(*)不成立. (9分)

② 当p ≥2时，若1c p ，1c q ，1

c r

成等差数列，

则22q －1＝12p －1＋12r －1，所以12r －1＝22q －1－1

2p －1＝4p －2q －1（2p －1）（2q －1）

， 即2r －1＝（2p －1）（2q －1）4p －2q －1，所以r ＝2pq ＋p －2q

4p －2q －1

，(12分)

欲满足题设条件，只需q ＝2p －1，此时r ＝4p 2－5p ＋2，(14分)

因为p ≥2，所以q ＝2p －1>p ，r －q ＝4p 2－7p ＋3＝4(p －1)2＋p －1>0，即r>q.(15分) 综上所述，当p ＝1时，不存在q 、r 满足题设条件；

当p ≥2时，存在q ＝2p －1，r ＝4p 2－5p ＋2，满足题设条件．(16分

)

1. 在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则通项a n ＝__________． 答案：3n －5

解析：显然公差不为零，故通项为n 的一次函数，设a n ＝an ＋b ，a 、b 为常数，由题意得?????5a ＋b ＝10，12a ＋b ＝31 ?

????a ＝3，b ＝－5，∴ a n ＝3n －5. 2. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈????32，＋∞，f ???

?x

m －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是____________．

答案：????－∞，－32∪???

?3

2，＋∞

解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ???

?x m ＋4m 2

f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2

－4－x 2m

2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，

整理得???

?1－1

m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1

m 2＋4m 2≥2x ＋3x

2.

设g(x)＝2x ＋3x

2，x ∈????3

2，＋∞. 于是题目化为1－1m

2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈????32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x

2，x ∈????32，＋∞的最大值．

设u ＝1x ，则0＜u ≤23

.

函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间????0，23上是增函数，因而在u ＝2

3

处取得最大值． h ????23＝3×49＋2×23＝83

， 所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝8

3，

整理得12m 4－5m 2

－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，

所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥3

2

，

因此实数m 的取值范围是m ∈(－∞，－32]∪[3

2，＋∞)．

(解法2)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ???

?x m ＋4m 2

f(x)≥0，即 (x －1)2－1＋4m 2

－4－x 2m

2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，

整理得???

?1－1

m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 令F(x)＝???

?1－1

m 2＋4m 2x 2－2x －3.

由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点，

所以为使F(x)≥0对任意x ∈????32，＋∞恒成立，必须使F ????3

2为最小值， 即实数m 应满足?

??1－1

m 2＋4m 2＞0，F ???

?

32≥0，解得m 2≥3

4，

因此实数m 的取值范围是m ∈(－∞，－32]∪???

?3

2，＋∞.

3. 已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：

0＜g(a)＋g(b)－2g ????

a ＋

b 2＜(b －a)ln2. 证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.

构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ????

a ＋x 2，

则F′(x)＝g′(x)－2g′???

?

a ＋x 2＝lnx －ln a ＋x 2.

当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，因此F(x)在(0，a)上为减函数； 当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数． 从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0，

即0＜g(a)＋g(b)－2g ????

a ＋

b 2.

再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，

则G′(x)＝lnx －ln a ＋x

2

－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．

当x ＞0时，G ′(x)＜0，因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数． 因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0，

即g(a)＋g(b)－2g ????

a ＋

b 2＜(b －a)ln2.

综上，得0＜g(a)＋g(b)－2g ????

a ＋

b 2＜(b －a)ln2. 点评：确定变量，构造函数证明不等式．

请使用“课后训练·第19讲”活页练习，及时查漏补缺！

高考数学答题技巧全攻略

高考数学答题技巧全攻略 一、历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键； 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题

目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究

高考数学考试的答题技巧和方法_答题技巧

高考数学考试的答题技巧和方法_答题技巧 一、答题和时间的关系 整体而言，高考数学要想考好，必须要有扎实的基础知识和一定量的习题练习，在此基础上辅以一些做题方法和考试技巧。往年考试中总有许多考生抱怨考试时间不够用，导致自己会做的题最后没时间做，觉得很“亏”。 高考考的是个人能力，要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来，只有这样才能在规定的时间内做完并能取得较高的分数。因此，对于大部分高考生来说，养成快速而准确的解题习惯并熟练掌握解题技巧是非常有必要的。 二、快与准的关系 在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。 三、审题与解题的关系 有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至少”，“a0”，自变量的取值范围等等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。 四、“会做”与“得分”的关系 要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜;再如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”,高中生物。 五、难题与容易题的关系 拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，如去年理19题就比理20、理21要难，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，因此解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难，因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处。所以考试中看到“容易”题不可掉以轻心，看到新面孔的“难”题不要胆怯，冷静思考、仔细分析，定能得到应有的分数。 选择题绝大部分是低中档题，所以必须争取多得分或得满分。选择题的答法审题要慢，答题要快。因此对选择题除直接求解外，还要做到不择手段，即小题要小做，小题要尽量巧做。答选择题常用的方法还有：数形结合法(根据题意做出草图，结合图象解决问题);特例检验法(利用特殊情况代替题设中的普遍条件，得出结论);筛选法(根据各选项的不同，从选项中选特殊情况检验是否符合题意);等价转化法(化陌生为熟悉);构造法(如立几中的“割补”思想)。另外，答选择题不要恋战，要学会暂时放弃。

2019年高考数学理科全国三卷

2019年高考数学理科 全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 2|1B x x =≤，则A B =（） A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（） A. B. C. D.

高考答题技巧之高考数学答题技巧

2019高考答题技巧之高考数学答题技巧 2019年高考一步步临近，考生们对于数学是否还有所不熟，今天查字典数学网的编辑为考生们带来的高考答题技巧之高考数学答题技巧，希望给大家以帮助。 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向； 2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性； 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键； 二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取暂时性放弃，把自己可做的题目做完再回头解答； 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要小题大做。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。 三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用三合一定理。 2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴； “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、

高考数学第二轮备考指导及复习建议

2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法

运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。

2020年高考数学答题技巧(全套完整精品)

2020 年高考数学答题技巧（全套完整精品） 一、考前准备 1．调适心理，增强信心 （1）合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考； （2）合理安排饮食，提高睡眠质量； （3）保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示； （4）静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。 2．悉心准备，不紊不乱 （1）重点复习，查缺补漏。对前几次模拟考试的试题分类梳理、整合，既可按知识分类，也可按数学思想方法分类。强化联系，形成知识网络结构，以少胜多，以不变应万变。 （2）查找错题，分析病因，对症下药，这是重点工作。 （3）阅读《考试说明》，确保没有知识盲点。 （4）回归课本，回归基础，回归近年高考试题，把握通性通法。 （5）重视书写表达的规范性和简洁性，掌握各类常见题型的表达模式，避免“会而不对，对而不全”现象的出现。 （6）临考前应做一定量的中、低档题，以达到熟悉基本方法、典型问题的目的，一般不再做难题，要保持清醒的头脑和良好的竞技状态。 3．入场临战，通览全卷最容易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平稳是非常重要的。刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆忙作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作铺垫，一般可在五分钟之内做完下面几件事： （1）填写好全部考生信息，检查试卷有无问题； （2）调节情绪，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择或填空题（一旦解出，信心倍增，情绪立即稳定）； （3）对于不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为A、B 两类：A 类指题型比较熟悉、容易上手的题目；B 类指题型比较陌生、自我

高考数学数列答题技巧解析

2019-2019高考数学数列答题技巧解析 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。下面是查字典数学网整理的数学数列答题技巧，请考生学习。 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面； (1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。 试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关 问题。 2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。 3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，

2019年高考理科全国1卷数学(含答案解析)

2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（ ） A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 ．若某人满足上述两个黄金分割

高考数学答题技巧的总结

2019年高考数学答题技巧的总结先易后难先同后异 一、提前进入角色 很多同学都有这样的习惯，每次刚刚考试完，会有很多遗憾，总想如果这次考试要是重新考的话，我会考得比较好。那么，要想在高考这一次考试中取得比较好的成绩，必须要少留遗憾，最正常的发挥，至于不会做的，或者根本做不出来的谈不上遗憾，就怕自己的水平没有发挥出来。 提前进入角色应该特别关注以下两个问题： 1、生活作息上的适当调整。首先，调整好自己的生物钟，不要熬夜，做题尽量放在白天与高考同步。其次，尽量保持与平时一致的生活习惯，饮食上不要有太大的改变，避免肠胃不适。再次，要有积极的心理暗示。人的潜力有时候自己都难以相信，当你精力集中、心理暗示到一定程度，可以使自己超水平发挥的。 2、高考前几天要在数学学科做好“保温”。有三点要注意：第一，分析订正错题，总结常见的几类错误。第二，分类看旧题，针对重点内容重点看。看看《考试说明》要求比较高的知识点，总结一下通性和通法，进行专项内容的总结和分类，形成解决这类问题的常见方法。第三，适当做一些新题。新题难度不要太大，中等或者偏下。中等可以保持你的斗志，偏下是为了保温。 二、监考发卷后迅速摸清题情 高考会提前五分钟发卷，这五分钟同学们不要答卷，先用一分钟填考

试信息，接下来同学们就要尽快地摸清题情。 1、识别试卷中曾做过的，会做的题。也要注意有没有可能会做，但是需要花大量的时间的题。心里要立刻有一个答题的顺序。 2、舍得放弃，正确对待得与失。万一遇到某个题从来都没有见过，可以大概看看是哪个类型，用什么方法能解决，这个题目是考察什么，迅速决定是否放弃。如果觉得花两个小时也不一定能做出来，这个时候要舍得放弃，集中自己的精力，解决自己会做的问题，高考考得不是会多少，而是对多少。 三、四先四后 即先易后难、先熟后生、先高后低、先同后异。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素 养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。1、易与熟：涉及的概念公式方法能融会贯通，脱口而出，一目了然。这样的问题我们很快就能做出来，这就是先“易”和先“熟”。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训

学霸总结的高考数学答题技巧

学霸总结的高考数学答题技巧 解题指导：仔细审题，画出关键词如锐角三角形等 边角互化规则： 1先考虑统一为角 ;后考虑统一为边; 2尽量减少角的个数 最值及范围问题： 1注意应用两边之和大于第三边; 2统一为角就用三角函数解题;统一为边就用不等式解题。 面积公式的选择优先考虑用已知角。 解题指导：仔细审题，画出关键词 建系规则：尽量使各个点都落在坐标轴上。 求点的坐标技巧： 一是转化为平面图形;二是利用向量共线 已知条件的意图： 1已知边长有两个作用，一是方便建系设点的坐标;二是利用勾股定理证明垂直。 2已知面面垂直的作用：证明线面垂直。 线面平行的证明： 法1 线线平行;法2 面面平行。 温馨提示：有些时候法向量就是坐标轴哦 解题指导：仔细审题，正确判断随机变量的取值。 1若题中有关键词或关键信息：相互独立，互不影响，已知概率等，则考独立事件或二项分布 2若题中有关键信息：已知概率且概率相等，直接求期望，实验次数多，实验具有重复性，则考独立重复试验二项分布

3与统计相结合的概率题目解题技巧：分层抽样与独立性检验结合，系统抽样与频率分布直方图相结合，有“频率视为概率”则考二项分布，有“在从...选取...”则考古典概型或超几何分布 温馨提示：有些时候期望可以带公式哦二项分布，超几何分布 解题指导：仔细审题，注意画图，注意焦点位置。 设点的坐标注意利用对称性，以减少变量个数 定值定点问题： 法1特值探路;法2利用对称性判断定点位置。 存在性问题： 法1特值探路;法2假设存在。 最值问题： 合理构建函数关系式，然后用换元法，求导法，配方法等求最值。 温馨提示： 1、直线方程可以正设和反设，还可以设为两点式哦! 2、与圆综合多考虑图形的几何特征哦! 3、考抛物线可与导数切线相结合哦! 解题指导：仔细审题，注意画函数图像，注意定义域，参数范围。 求导之后需要思考的问题： 1、判断正负，以确定原函数的单调性， 2、求根猜根， 3、二次求导，研究导函数的单调性 4、当导数含有参数时要多分析参数对导数正负的影响 求参问题方法与技巧： 法1、分离参数：转化为恒成立问题，即大于最大，则大于所有;小于最小，则小于所有; 法2、构造函数：转化为恒成立问题，对参数进行分类讨论;

2020高考数学第二轮通用(文)板块二专题五 第2讲

第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题) 热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________． 答案x2 3－y 2＝1 解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2， 双曲线C：x2 a2－y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程为y＝±b a x，即ay±bx＝0，

又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2 ＋b 2 ＝1， 解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 23 －y 2 ＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 2 4＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A 解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23， 由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3. 跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作

高考数学的解题技巧指导

高考数学的解题技巧指导 1.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显， 从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很 多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 2.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范 围时，取特殊点代入验证即可排除。 3.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量 角尺直接量出结果来。 1.熟悉基本的解题步骤和解题方法 解题的过程，是一个思维的过程。对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一 些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题 的步骤，往往很容易找到习题的答案。 2.审题要认真仔细 对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题，这是获取 信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并 从中找出隐含条件。 有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常 是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。所以，在实际 解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。 3.认真做好归纳总结 在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解 题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约大量的 解题时间。 4.熟悉习题中所涉及的内容 解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题。解题时，我们的概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，解题速度就越快。

高考数学答题技巧五大关系

高考数学答题技巧五大关系 如今的高考，考的并不是谁的逻辑思维强，也不是谁的基础知识强;而是在考谁能最快、最准做出题来，得更多的分，可见掌握应试教育的技巧是多么的重要。 在应试教育中，只有多记公式，掌握解题技巧，熟悉各种题型，把自己变成一个做题机器，才能在考试中取得最好的成绩。在高考中只会做题是不行的，一定要在会的基础上加个“熟练”才行，小题一般要控制在每个两分钟左右。 高考数学答题技巧五步走 一、答题和时间的关系 整体而言，高考数学要想考好，必须要有扎实的基础知识和一定量的习题练习，在此基础上辅以一些做题方法和考试技巧。往年考试中总有许多考生抱怨考试时间不够用，导致自己会做的题最后没时间做，觉得很“亏”。 高考考的是个人能力，要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来，只有这样才能在规定的时间内做完并能取得较高的分数。因此，对于大部分高考生来说，养成快速而准确的解题习惯并熟练掌握解题技巧是非常有必要的。 二、快与准的关系 在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。 三、审题与解题的关系 有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量如“至少”，“a>0”，自变量的取值范围等等，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。 四、“会做”与“得分”的关系 要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准

高考数学第二轮复习策略与重点

2019年高考数学第二轮复习策略与重点 ?数学第二轮复习阶段是考生综合能力与应试技巧提高的阶段。在这一阶段，老师将以“数学思想方法”、解题策略和应试技巧为主线。老师的讲解，不再重视知识结构的先后次序。首先，着重提高考生采用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论、数学模型”等方法解决数学问题的能力。其次，考生要注意用一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高解题速度和应对策略。要在这一阶段得到提高，应做到以下几点： 首先，要加强基础知识的回顾与内化。由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，加上一模的试题起点不会很高，这就要求同学们课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理；回顾基本的数学方法与数学思想；回顾疑点，查漏补缺；回顾老师教学时或自己学习时总结出来的正确结论，联想结论的生成过程与用法；回顾已往做错的题目的正确解法以及典型题目，以达到内化基础知识和基本联系的目的。 其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。

另外，在做题过程中，还要注意几点：1、不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。2、提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段。指导思想是巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力。针对第二轮复习的特点，同学们需注意以下几个方面： 1.加强复习的计划性。由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。 2.提高听课的效率。深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高。 3.加强基础知识的灵活运用。要做到这一点，至关重要的是加强理论的内化，通过第二轮的复习，进一步有意识地强化对书本上定义、定理、公式、法则的理解，对这些东西理解水平的高低决定了你能否灵

高考数学答题策略与答题技巧电子教案

高考数学答题策略与 答题技巧

高考数学答题策略与答题技巧 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上有参考公式，80%是有用 的，它为你的解题指引了方向； 2.解答题的各小问之间有一种阶梯关 系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性； 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键； 二、答题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答； 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。 三、答题思想方法

1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；

2019年高考真题理科数学(全国II卷)

AB=（2，3），AC=（3，t），|BC|=1，则AB?BC=（ ） M233 3

7.8.9.10.11. 12.13.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） α内有无数条直线与β平行 α内有两条相交直线与β平行α，β平行于同一条直线α，β垂直于同一平面 若抛物线y =2px（p＞0）的焦点是椭圆x 23p +y 2p =1的一个焦点，则p=（ ） 2348下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2 ）单调递增的是（ ）f（x）=|cos2x| f（x）=|sin2x|f（x）=cos|x|f（x）=sin|x|已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）15553325 5设F为双曲线C：x 2a 2-y 2b 2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x +y =a 交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）2325 设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x-1）．若对任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥-89 ，则m的取值范围是（ ）（-∞，94]（-∞，73]（-∞，52]（-∞，83 ]我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ． A. B. C. D. 2A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. 222A. B. C. D. A. B. C. D.

高考数学小题的答题技巧

2019年高考数学小题的答题技巧选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了，但知识覆盖面广，要求解题熟练、准确、灵活、快速。选择题的解题思想，渊源于选择题与常规题的联系和区别。它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹。 而另一方面，选择题在结构上具有自己的特点，即至少有一个答案(若一元选择题则只有一个答案)是正确的或合适的。因此可充分利用题目提供的信息，排除迷惑支的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支。选择题中的错误支具有两重性，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用，从而从反面提供信息，迅速作出判断。 由于我多年从事高考试题的研究，尤其对选择题我有自己的一套考试技术，我知道无论是什么科目的选择题，都有它固有的漏洞和具体的解决办法，我把它总结为：6大漏洞、8大法则。 “6大漏洞”是指： 有且只有一个正确答案;不问过程只问结果;题目有暗示;答案有暗示;错误答案有严格标准;正确答案有严格标准; “8大原则”是指： 选项唯一原则;范围最大原则;定量转定性原则;选项对比原则;题目暗示原则;选择项暗示原则;客观接受原则;语言的精确度原则。经过我的培训，很多的学生的选择题甚至1分都不丢。 下面是一些实例：

1.特值检验法： 对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 2.极端性原则： 将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法： 利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法： 由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法： 通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。6.顺推破解法： 利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。

2019年高考全国2卷理科数学及答案

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{ x |x －1<0}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，1） B ．(－2，1） C ．(－3，－1） D ．(3，＋∞） 2．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB ＝(2,3），AC ＝(3，t ），BC ＝1，则AB BC ?＝ A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++． 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B 2 1 2M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3M R M 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b ）>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行