圆外一点做圆切线的作图法(仅直尺)

三招求圆的切线方程

三招求圆的切线方程 江西省永丰中学 吴全根 求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招. 一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下： ① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2. ② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 2 0x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①. （2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用. （3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之. 例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程. 解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上， ∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0. 解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0. 二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k . 例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程. 解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114 232=++-+k k k ,∴k=7 24,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来. 三、判别式法 其依据是圆的切线的定义. 例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程. 解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0 直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴?=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0. (2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x. 点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.

圆的切线性质定理

圆的切线的判定与性质 【知识点精析】 1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。 2. 圆的切线的判定与性质： （1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径 （2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。 例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。 3. 切线长定理： （1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。 圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。 （2）切线长性质 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。 例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径 （3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 【解题方法指导】 一切线长定理的计算 例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径 B C 2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。 二等腰三角形在证明切线中的巧用 例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．

windows画图工具使用

电脑绘画班WINDOWS画图详细教程 目录 一.如何使用画图工具 二.《画图》工具系列-妙用曲线工具 三. 《画图》工具系列-巧用圆形工具 四. 《画图》工具系列妙用文字工具 五. 用“画图”进行屏幕拷贝 六. “画图”程序的放大修改功能 七. “画图”中的工具与颜色配置 八. 灵活使用编辑功能 九. Windows画图程序操作技巧 十. Windows画图程序操作技巧 十一. 用画图程序检测LCD的暗点

一.如何使用画图工具 想在电脑上画画吗？很简单，Windows 已经给你设计了一个简洁好用的画图工具，它在开始菜单的程序项里的附件中，名字就叫做“画图”。 启动它后，屏幕右边的这一大块白色就是你的画布了。左边是工具箱，下面是颜色板。 现在的画布已经超过了屏幕的可显示范围，如果你觉得它太大了，那么可以用鼠标拖曳角落的小方块，就可以改变大小了。 首先在工具箱中选中铅笔，然后在画布上拖曳鼠标，就可以画出线条了，还可以在颜色板上选择其它颜色画图，鼠标左键选择的是前景色，右键选择的是背景色，在画图的时候，左键拖曳画出的就是前景色，右键画的是背景色。 选择刷子工具，它不像铅笔只有一种粗细，而是可以选择笔尖的大小和形状，在这里单击任意一种笔尖，画出的线条就和原来不一样了。

图画错了就需要修改，这时可以使用橡皮工具。橡皮工具选定后，可以用左键或右键进行擦除，这两种擦除方法适用于不同的情况。左键擦除是把画面上的图像擦除，并用背景色填充经过的区域。试验一下就知道了，我们先用蓝色画上一些线条，再用红色画一些，然后选择橡皮，让前景色是黑色，背景色是白色，然后在线条上用左键拖曳，可以看见经过的区域变成了白色。现在把背景色变成绿色，再用左键擦除，可以看到擦过的区域变成绿色了。 现在我们看看右键擦除：将前景色变成蓝色，背景色还是绿色，在画面的蓝色线条和红色线条上用鼠标右键拖曳，可以看见蓝色的线条被替换成了绿色，而红色线条没有变化。这表示，右键擦除可以只擦除指定的颜色－－就是所选定的前景色，而对其它的颜色没有影响。这就是橡皮的分色擦除功能。 再来看看其它画图工具。 是“用颜料填充”，就是把一个封闭区域内都填上颜色。 是喷枪，它画出的是一些烟雾状的细点，可以用来画云或烟等。 是文字工具，在画面上拖曳出写字的范围，就可以输入文字了，而且还可以选择字体和字号。 是直线工具，用鼠标拖曳可以画出直线。 是曲线工具，它的用法是先拖曳画出一条线段，然后再在线段上拖曳，可以把线段上从拖曳的起点向一个方向弯曲，然后再拖曳另一处，可以反向弯曲，两次弯曲后曲线就确定了。 是矩形工具，是多边形工具，是椭圆工具，是圆角矩形，多边形工具的用法是先拖曳一条线段，然后就可以在画面任意处单击，画笔会自动将单击点连接

专题椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计 马鞍山二中刘向兵 一、教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫： 问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程； （2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。 设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程 如 x y =±= （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。 （3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。

用Windows自带的“画图”软件绘图的方法及技巧

用Windows自带的“画图”软件绘图的方法及技巧 1引言 对于绝大多数微机用户来讲,用电脑画图始终是个令人感到头疼的问题。尽管许多常用的文字处理软件(如:Word)都带有绘图功能,但是使用这些软件画图却费时费力,效果不佳。一个图形往往会被操作者画得七零八落。有些用户虽然安装了如AutoCAD等专业绘图软件,但由于这些软件专业性太强,甚至对操作者的英文水平有相当的要求,因此能够熟练驾驭此类绘图软件的操作者很少。甚至多数普通操作者的微机中根本就未安装这些软件。 其实,要想快速画出漂亮、实用的图形并不难。通过摸索,发现并总结了一套使用电脑画图的方法,只要您的电脑中安装的是最常用的Windows操作系统,就可以利用其自带的“画图”功能软件,简洁快速地画出规整漂亮的图形来。 2在Windows操作系统中找到“画图”工具软件 用鼠标沿着电脑屏幕左下方开始的以下级联菜单一路单击,即可找到“画图”工具软件:开始→所有程序→附件→画图。打开画图程序界面后,操作者就可以施展本领,进行画图操作了。 3“画图”工具软件的基本功能介绍 在画图软件界面的左侧列有十六个功能按钮,将鼠标箭头指向任何一个功能按钮都会自动显示提示文字,告知每个按钮的基本功能。这些功能主要有“直线”、“矩形”、“椭圆”、“橡皮擦”、“文字”等。以画矩形为例来说明功能按钮的基本使用方法:用鼠标单击矩形功能按钮→将鼠标箭头移至右侧空白的画图区域→按下鼠标左键不要松开→斜向拖动鼠标→松开鼠标。这样,一个矩形的绘制就完成了。鼠标拖动的方向就是矩形对角线的方向。读者可以仿照此例,练习一下直线、椭圆等图形的画法。 若画图软件界面没有出现这十六个功能按钮,可以用鼠标单击“查看”下拉菜单,选中“工具栏”一项,则屏幕界面上就会显示这些功能按钮。 4功能性技巧介绍

实用圆切线方程的证明

关于圆的切线方程及相关公式的证明 一、点P(x 0,y 0)在圆上 1、在圆的标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 (x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b) =r 2或 (x 0-a) (x-x 0) +(y 0-b) (y-y 0) =0 证明：∵P(x 0,y 0)在圆上，（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ，圆心O(a,b)，OP 的斜率a x b y k --=00 ∴切线的斜率为k 1 - ，切线方程)(0000 x x b y a x y y ----=- 0))(())((0000=--+--y y b y x x a x ① （x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ② ①+②得出（x 0－a ）(x －x 0+x 0－a)+(y 0-b)(y －y 0+y 0－b)= r 2 (x 0－a) (x －a) +(y 0－b) (y －b) =r 2 2、在圆的特殊方程x 2+y 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 x 0x + y 0y ＝=r 2 （当a=0，b=0） 3、在圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y + D ×（2 x x + ）+ E ×（ 2 y y + ）+ F =0 证明：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化成圆的标准方程 44)2()2(222 2 F E D E y D x -+= + ++ ∵P(x 0,y 0)在圆上，4 4)2 ()2 (222020F E D E y D x -+= + ++ ，OP 的斜率 2 2 00D x E y k + += ∴切线的斜率为 k 1 - ，切线方程

WINDOWS系列工具--画图详细教程

WINDOWS系列工具--画图详细教程 目录 一.如何使用画图工具 二.《画图》工具系列-妙用曲线工具 三. 《画图》工具系列-巧用圆形工具 四. 《画图》工具系列妙用文字工具 五. 用“画图”进行屏幕拷贝 六. “画图”程序的放大修改功能 七. “画图”中的工具与颜色配置 八. 灵活使用编辑功能 九. Windows画图程序操作技巧 十. Windows画图程序操作技巧 十一. 用画图程序检测LCD的暗点

一.如何使用画图工具 想在电脑上画画吗？很简单，Windows 已经给你设计了一个简洁好用的画图工具，它在开始菜单的程序项里的附件中，名字就叫做“画图”。 启动它后，屏幕右边的这一大块白色就是你的画布了。左边是工具箱，下面是颜色板。 现在的画布已经超过了屏幕的可显示范围，如果你觉得它太大了，那么可以用鼠标拖曳角落的小方块，就可以改变大小了。 首先在工具箱中选中铅笔，然后在画布上拖曳鼠标，就可以画出线条了，还可以在颜色板上选择其它颜色画图，鼠标左键选择的是前景色，右键选择的是背景色，在画图的时候，左键拖曳画出的就是前景色，右键画的是背景色。 选择刷子工具，它不像铅笔只有一种粗细，而是可以选择笔尖的大小和形状，在这里单击任意一种笔尖，画出的线条就和原来不一样了。

图画错了就需要修改，这时可以使用橡皮工具。橡皮工具选定后，可以用左键或右键进行擦除，这两种擦除方法适用于不同的情况。左键擦除是把画面上的图像擦除，并用背景色填充经过的区域。试验一下就知道了，我们先用蓝色画上一些线条，再用红色画一些，然后选择橡皮，让前景色是黑色，背景色是白色，然后在线条上用左键拖曳，可以看见经过的区域变成了白色。现在把背景色变成绿色，再用左键擦除，可以看到擦过的区域变成绿色了。 现在我们看看右键擦除：将前景色变成蓝色，背景色还是绿色，在画面的蓝色线条和红色线条上用鼠标右键拖曳，可以看见蓝色的线条被替换成了绿色，而红色线条没有变化。这表示，右键擦除可以只擦除指定的颜色－－就是所选定的前景色，而对其它的颜色没有影响。这就是橡皮的分色擦除功能。 再来看看其它画图工具。 是“用颜料填充”，就是把一个封闭区域内都填上颜色。 是喷枪，它画出的是一些烟雾状的细点，可以用来画云或烟等。 是文字工具，在画面上拖曳出写字的范围，就可以输入文字了，而且还可以选择字体和字号。 是直线工具，用鼠标拖曳可以画出直线。 是曲线工具，它的用法是先拖曳画出一条线段，然后再在线段上拖曳，可以把线段上从拖曳的起点向一个方向弯曲，然后再拖曳另一处，可以反向弯曲，两次弯曲后曲线就确定了。 是矩形工具，是多边形工具，是椭圆工具，是圆角矩形，多边形工具的用法是先拖曳一条线段，然后就可以在画面任意处单击，画笔会自动将单击点连接起来，直到你回到第一个点单击，就形成了一个封闭的多边形了。另外，这四种工具都有三种模式，就是线框、线框填色、和只有填色。

无刻度直尺作图

所谓无刻度作图是指使用无刻度直尺进行作 图，直尺的功能是作直线．此类作图需要先根据图形性质分析找出直线经过两点的位置，然后再作出 直线．下面举例加以说明． 一、作点例１ （２０１５年四川省自贡）如图 １－ １， 将线段ＡＢ 放在边长为１的小正方形网格，点Ａ 点 Ｂ 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段 ＡＢ 上画出点Ｐ，使ＡＰ＝２ １７ ，并保留作图 ３ 痕迹． 形若对应线段（或延长线）相交，交点在对称轴上，故如图２－２，延长ＡＢ、ＤＥ交于Ｐ，延长ＣＢ、ＦＥ交于Ｑ，过Ｐ、Ｑ两点的直线即为所求直线ｌ． 三、作角平分线例３ 如图３－１， 已知△ＡＢＣ 是圆Ｏ 的 内接三角形，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ 是圆上任意一点．请你用无刻度的直尺，画出图中 ∠Ｐ 的平分线（用虚线表示）． 图 １－１ 图 １－２ 解析 由勾股定理可知ＡＢ＝ １７，因为 ＡＰ＝２ １７ ，所以点Ｐ 将线段ＡＢ 内分成２：１ ３ 两部分，由网格竖线互相平行，如图１－２，取格点 Ｃ 和Ｄ，使ＡＣ＝２ＢＤ，根据相似三角形对应边成 比例，可知ＣＤ 与ＡＢ 的交点即为所求点 Ｐ． 二、作对称轴例２ （２０１４年江西省抚州）如图 ２－１， △ＡＢＣ 与 △ＤＥＦ 关于直线ｌ对称，请用无刻度的直尺，作出直线ｌ． 图 ２－１ 图 ２－２ 解析 由轴对称性质知，成轴对称的两个图 图 ３－１ 图 ３－２ 解析 由等弧所对圆周角相等，欲作出 ∠Ｐ 的平分线，只要找出ＢＣ的中点，如图３－２， 由ＡＢ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＣ 可知ＡＯ 垂直平分ＢＣ， 由垂径定理，ＡＯ必平分ＢＣ，所以作出过Ａ 的直径 ＡＤ，连接ＰＤ，ＰＤ 即为∠Ｐ的平分线． 四、作弦 例４ （ ２０１５年南昌）如图 ４－１，⊙Ｏ 为 △ＡＢＣ 的外接圆，直线ｌ与 ⊙Ｏ 相切于点Ｐ，且ｌ∥ＢＣ．请仅用无刻度的直尺，在图中画出一条弦，使这条弦将 △ＡＢＣ 分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）． 解析 因为三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，所以本题即转化为求作三角形的中线．如图４－２，由ｌ切 ⊙Ｏ 于点Ｐ，作射线ＰＯ，交 ＢＣ 于点Ｅ，则ＰＯ⊥ｌ，由ｌ∥ＢＣ，得 ＰＯ⊥ＢＣ，根据垂径定理，点Ｅ 是ＢＣ 的中点，连接 ＡＥ 交⊙Ｏ 于Ｆ，则ＡＦ 为所求作的弦．

无刻度直尺作图(一)

中考数学试题研究之无刻度直尺作图（一） 一、分割线段问题 ○1求作点P，使得AP:PB=1:2○2求作点P，使得AP○3作点P，使得AP：PB=15：8 ：S△PBC=1：2 ④如下图，在△ABC边上找一点P，使S △PAB ：S△QBC=1：2 ⑤在△ABC内找一点Q，使S △QAB ：S△GBC：S△GAC=1：2：3 ⑥在△ABC内找一点G，使S △GAB ⑦AC交网格于点P，BC边上找一点Q，使PQ平分△ABC的面积

二、垂直处理策略 1、A ,B ,C 为边长为1的正方形网格的格点， ○1过点C 作AB 的垂线○ 2作△ABC 的高AD ; ○3作线段AB 的垂直平分线○4BC 边上找一点P ，使tan ∠CAP =25 2、如图在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC ，若P 、Q 分别为线段AB 、BC 上的动点，当PC +PQ 取得最小值时， ①在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC 、PQ ．（请保留作图痕迹．）②直接写出PC +PQ 的最小值________：

三、平行处理 1、如图，边长为1的正方形网格中，格点△ABC ，BC 交网格线于D ○ 1P 为△ABC 内一格点，M ,N 为AB ,BC 边上的点，使四边形PMBN 为平行四边形○ 2过点D 作AB 的平行线交AC 于E 2、平行四边形ABCD ，E 为AB 中点 ○ 3求作CD 中点F ，○ 4作AD 边中点G 3、已知边长为1的正七边形ABCDEFG ○ 5画一个以AB 为边的平行四边形○ 6画一个以AF 为边的菱形○7画一条长为1 2的线段

求圆的切线方程的几种方法

1 求圆的切线方程的几种方法 在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考. 1.利用几何性质来求切线方程 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程. 例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线. 设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3), 化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0. 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即 d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1 ＝2, 解得k ＝3±265 . 所以切线方程为y －2＝3±265 (x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解. 2.利用方程的判别式来求切线方程 当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程. 例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线. 当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2). 直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0, 因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0. 解得k ＝－34 . 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34 (x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2. 3.利用垂直关系求切线方程 当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程. 例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程. 解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线. 设切线方程为l :y －2＝k (x －3). 由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP ＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5. 点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算. 小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.

知识讲解：如何使用画图工具

如何使用画图工具 桦南县桦南镇幸福学校刘冰 想在电脑上画画吗？很简单，Windows 已经给你设计了一个简洁好用的画图工具，它在开始菜单的程序项里的附件中，名字就叫做“画图”。 启动它后，屏幕右边的这一大块白色就是你的画布了。左边是工具箱，下面是颜色板。 现在的画布已经超过了屏幕的可显示范围，如果你觉得它太大了，那么可以用鼠标拖曳角落的小方块，就可以改变大小了。 首先在工具箱中选中铅笔，然后在画布上拖曳鼠标，就可以画出线条了，还可以在颜色板上选择其它颜色画图，鼠标左键选择的是前景色，右键选择的是背景色，在画图的时候，左键拖曳画出的就是前景色，右键画的是背景色。 选择刷子工具，它不像铅笔只有一种粗细，而是可以选择笔尖的大小和形状，在这里单击任意一种笔尖，画出的线条就和原来不一样了。 图画错了就需要修改，这时可以使用橡皮工具。橡皮工具选定后，可以用左键或右键进行擦除，这两种擦除方法适用于不同的情况。左键擦除是把画面

上的图像擦除，并用背景色填充经过的区域。试验一下就知道了，我们先用蓝色画上一些线条，再用红色画一些，然后选择橡皮，让前景色是黑色，背景色是白色，然后在线条上用左键拖曳，可以看见经过的区域变成了白色。现在把背景色变成绿色，再用左键擦除，可以看到擦过的区域变成绿色了。 现在我们看看右键擦除：将前景色变成蓝色，背景色还是绿色，在画面的蓝色线条和红色线条上用鼠标右键拖曳，可以看见蓝色的线条被替换成了绿色，而红色线条没有变化。这表示，右键擦除可以只擦除指定的颜色－－就是所选定的前景色，而对其它的颜色没有影响。这就是橡皮的分色擦除功能。 再来看看其它画图工具。 是“用颜料填充”，就是把一个封闭区域内都填上颜色。 是喷枪，它画出的是一些烟雾状的细点，可以用来画云或烟等。 是文字工具，在画面上拖曳出写字的范围，就可以输入文字了，而且还可以选择字体和字号。 是直线工具，用鼠标拖曳可以画出直线。 是曲线工具，它的用法是先拖曳画出一条线段，然后再在线段上拖曳，可以把线段上从拖曳的起点向一个方向弯曲，然后再拖曳另一处，可以反向弯曲，两次弯曲后曲线就确定了。 是矩形工具，是多边形工具，是椭圆工具，是圆角矩形，多边形工具的用法是先拖曳一条线段，然后就可以在画面任意处单击，画笔会自动将单击点连接起来，直到你回到第一个点单击，就形成了一个封闭的多边形了。另外，这四种工具都有三种模式，就是线框、线框填色、和只有填色。 是选择工具，星型的是任意型选择，用法是按住鼠标左键拖曳，然后只要一松开鼠标，那么最后一个点和起点会自动连接形成一个选择范围。选定图形后，可以将图形移动到其它地方，也可以按住Ctrl键拖曳，将选择的区域复制一份移动到其它地方。 选择工具也有两种模式，如下图所示：

求圆的切线方程的几种方法

1 / 2 求圆的切线方程的几种方法 四川省冕宁中学 谢玉 在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。 例：已知圆的方程是x ２ + y 2 ＝ r 2，求经过圆上一点Ｍ(ｘ0,y 0)的切线的方程。 解法一：利用斜率求解 同样适用。在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M . . . )(,.112002202020200000 000 00r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=? 解法二:利用向量求解 () . .. )(0 PM OM ) ,(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-?+-?∴=?∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图 （这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在) 解法三:利用几何特征求解 用。 重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PM OM y x P y x M . .. )()() ,(),(2200220202020002 220 2020202 2200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥ 解法四：用待定系数法求解 图1 图2

画图工具的使用

巧用复制与粘贴 教学目标： 1、熟练运用画图软件工具箱中的选择工具 2、学会画图软件中复制与粘贴的基本操作方法。 教学重点： 在掌握画图软件中基本工具使用方法的基础上，掌握选定、复制、粘贴等操作，以及调整粘贴结果的位置等操作。 教学难点： 1、对操作对象的选定操作。 2、熟练使用复制与粘贴的操作。 教学过程： 一、情境导入 师：李叔叔家的葡萄基地里种着不同品种的葡萄，我们一起来欣赏。 师：说说你觉得葡萄长得具有什么特点呢？ 生：一串串的，每个大小形状都差不多…… 师：具有这样特点的物体，我们都可以用复制与粘贴来帮忙。今天我们一起来学习复制与粘贴。板书课题：巧用复制与粘贴。 二、学习新知 （一）出示学习目标 1、熟练运用画图软件中的选择工具。 2、学会画图软件中复制与粘贴的基本操作方法。 （二）探究一：画一颗葡萄 1、出示要求并读一读： ○1各小组里尝试画一颗葡萄。 ○2同桌间相互指导并进行操作练习。 2、学生用自己喜欢的方法画出一颗葡萄。 3、学生上台讲解，教师补充。（椭圆、刷子）

（三）探究二：一颗葡萄变一串葡萄的方法 1、全班齐读探究要求： ○1各小组里尝试把一颗葡萄变一串葡萄。 ○2在组内指导有困难的同学进行操作练习。 ○3总结方法。 2、学生探究一颗葡萄变一串葡萄的方法。 3、小组演示交流 请最先完成的小组上台演示交流。 三、作品展示 让学生寻求一定的成就感，也借鉴了别人的优点及创意。 四、练习 用画图软件打开桌面文件夹“作业小超市”里自己感兴趣的一幅画并完成相关要求。 五、课堂延伸 观察以下的图画，你能找出什么地方用了“复制与粘贴”吗？ 六、小结 板书设计： 巧用复制粘贴 A、画一个对象 B、选定 C、复制 D、粘贴 E、调整位置

求圆的切线方程一题三法

求圆的切线方程一题三法 在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，在运用这个结论的时候要注意些什么呢？ 【例题】求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程. 解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4， 过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4. 又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4. 将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0. 解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0. ∵圆心（0，0）到切线的距离是2， ∴＝2，解得k＝－. ∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0. 当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件. 故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0. ∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－. ∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0. 又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切. 故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 【误区警示】大家做题的时候必须按照所述认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0， 由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－ x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存在的情况. 【知识小结】求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋

圆的切线之经典练习题

圆的切线之----- A 班经典练习题 班级 姓名 一、选择题： 1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ） A 、经过半径外端点的直线是圆的切线； B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C 、垂直于半径的直线是圆的切线； D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ， 若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、 ab b a + C 、b a ab + D 、2 b a + 3、如图，正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 4、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－ 21∠P C 、1800－∠P D 、450－2 1 ∠P ? 第3题图 O F E D C B A ? 第4题图 P O F E D B A ?第6题图 C O E D B A 二、填空题： 5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。 6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。 7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。 8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ， 若OA ＝2，且AD ＋OC ＝6，则CD ＝ 。

用Windows自带的“画图”软件绘图的方法及技巧

用Windows自带的“画图”软件绘图的方法及技巧1引言 对于绝大多数微机用户来讲,用电脑画图始终是个令人感到头疼的问题。尽管许多常用的文字处理软件(如:Word)都带有绘图功能,但是使用这些软件画图却费时费力,效果不佳。一个图形往往会被操作者画得七零八落。有些用户虽然安装了如AutoCAD等专业绘图软件,但由于这些软件专业性太强,甚至对操作者的英文水平有相当的要求,因此能够熟练驾驭此类绘图软件的操作者很少。甚至多数普通操作者的微机中根本就未安装这些软件。 其实,要想快速画出漂亮、实用的图形并不难。通过摸索,发现并总结了一套使用电脑画图的方法,只要您的电脑中安装的是最常用的Windows操作系统,就可以利用其自带的“画图”功能软件,简洁快速地画出规整漂亮的图形来。 2在Windows操作系统中找到“画图”工具软件 用鼠标沿着电脑屏幕左下方开始的以下级联菜单一路单击,即可找到“画图”工具软件:开始→所有程序→附件→画图。打开画图程序界面后,操作者就可以施展本领,进行画图操作了。 3 “画图”工具软件的基本功能介绍 在画图软件界面的左侧列有十六个功能按钮,将鼠标箭头指向任何一个功能按钮都会自动显示提示文字,告知每个按钮的基本功能。这些功能主要有“直线”、“矩形”、“椭圆”、“橡皮擦”、“文字”等。以画矩形为例来说明功能按钮的基本使用方法:用鼠标单击矩形功能按钮→将鼠标箭头移至右侧空白的画图区域→按下鼠标左键不要松开→斜向拖动鼠标→松开鼠标。这样,一个矩形的绘制就完成了。鼠标拖动的方向就是矩形对角线的方向。读者可以仿照此例,练习一下直线、椭圆等图形的画法。 若画图软件界面没有出现这十六个功能按钮,可以用鼠标单击“查看”下拉菜单,选中“工具栏”一项,则屏幕界面上就会显示这些功能按钮。 4功能性技巧介绍 若仅凭手眼协调操作,很难画出标准的正方形和圆形,甚至想画出标准的水平或垂直线也有一定的困难。在画矩形或椭圆形或直线的过程中,左手同时按住电脑键盘上的Shift键,则可以自动画出标准的正方形或圆形或水平(垂直)线。 5经验性技巧介绍 笔者在使用“画图”功能软件的过程中,摸索并总结了多条经验性的使用技巧。要想快速画出规整的图形来,并成为使用电脑画图的“高手”,读者就必须熟练掌握这些画图技巧。 5.1多个相同图形的绘制技巧 在作图过程中,经常会遇到这样的情况:在一个大图形中包含着几个完全相同的小图形。若将其中的每个小图形都绘制一遍的话,显然会费时费力,几个小图形也难以画得完全一致。其实,只要熟练掌握“复制”技巧,就会在短时间内“画出”许多相同的图形来。具体方法是:先画出其中一个图形→用鼠标单击界面左侧的“选定”功能按钮→将鼠标移回至绘图区→在刚画好的图形的左上角按下鼠标左键不要松开→向图形的右下方拖动鼠标→松开鼠标(此时图形已被选中)→将鼠标移至选中框内→单击鼠标右键→单击“复制”选项→将鼠标移至选中框外→单击鼠标右键→单击“粘贴”选项(复制的图形就会出现在绘图区的左上角)→选中复制出来的图形→将复制好的图形拖动至合适的位置。 以上列出了复制操作的详细步骤,读者稍做练习便可以轻松掌握。只要操作

直线与圆常见公式结论

直线与圆常见公式结论 1、斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式） （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 点法式和点向式在求直线方程时较直观. 3、两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠；11112222A B C l l A B C ?==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4、到角公式和夹角公式 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=, 12120A A B B +≠). 夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π. 当12121210k k A A B B =-+=或时， 直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2 π.

高考★圆锥曲线★的基本公式推导

圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2 换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式， 再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x

圆锥曲线的切线方程总结

运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又 将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b y y a x x 证明：（1）2222 1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b ' +=，得020 2 x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 （2）设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆上或椭圆 外）的不同，同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b y y a x x 。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=；（2）当