(完整)北京航空航天大学数值分析课程知识点总结,推荐文档
1.2 误差知识与算法知识
1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字
设a 是准确值x 的一个近似值，记e x a =-，称e 为近似值a 的绝对误差，简称误差。如果||e 的一个上界已知，记为ε，即||e ε≤，则称ε为近似值a 的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界。
记r e x a
e x x
-=
=
，称r e 为近似值a 的相对误差。由于x 未知，实际上总把e a 作为a 的相对误差，并且也记为r e x a
e a a
-=
=
，相对误差一般用百分比表示。r e 的上界，即||r a εε=称为近似值a 的相对误差限或相对误差界。
定义 设数a 是数x 的近似值。如果a 的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n 位，则称用a 近似x 时具有n 位有效数字。 1.2.3 函数求值的误差估计
设()u f x =存在足够高阶的导数，a 是x 的近似值，则~
()u f a =是()u f x =的近似值。
若'()0f a ≠且|''()|/|'()|f a f a 不很大，则有误差估计
~
~
()'()()
()'()()
e u
f a e a u f a a εε≈≈。
若(1)
()'()''()...()0,()0k k f a f a f
a f a -====≠，且比值(1)()()/()k k f a f a +不很
大，则有误差估计[]
[]
()~
()
~()()()!
()()()!
k k
k k f a e u e a k f a u a k εε≈≈。 对于n 元函数，有误差估计
~
121~
121
(,,...,)
()()
(,,...,)
()()
n
n i i i n
n i i i
f a a a e u e a x f a a a u a x εε==?≈??≈?∑
∑
；若一阶偏导全为零或很
小，则要使用高阶项。 1.2.4 算法及其计算复杂性
（1）要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。
（2）两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。 （3）要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。 （4）除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。
1.3 向量范数与矩阵范数
1.3.1 向量范数
定义 定义在n
R 上的实值函数?称为向量范数，如果对于n
R 中的任意向量x 和y 满足： （1）正定性：0x ≥，当且仅当0x =时，0x =；
（2）齐次性：对任一数k R ∈，有kx k x =； （3）成立三角不等式：x y x y +≤+。 定理1.1 对n
R 中的任一向量12(,,...,)T
n x x x x =，记
11
n
i i x x ==∑
221n
i
i x x
==∑
1max i i n
x
x ∞
≤≤=
则1?，2?和∞?都是向量范数。 定理 1.2 设α?和β
?
是n
R 上的任意两种向量范数，则存在与向量x 无关的常数m 和
M(0 ,n m x x M x x R αβ α≤≤?∈ 1.3.2 矩阵范数 定义 定义在n n R ?上的实值函数?称为矩阵范数，如果对于n n R ?中的任意矩阵A 和B 满足： （1）0A ≥，当且仅当0A =时，0A =； （2）对任一数k R ∈，有kA k A =； （3）A B A B +≤+； （4）AB A B ≤。 定义 对于给定的向量范数?和矩阵范数?，如果对于任一个n x R ∈和任一个n n A R ?∈满 足Ax A x ≤，则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。 定理1.3 设在n R 种给定了一种向量范数，对任一矩阵n n A R ?∈，令1 =max x A Ax =，则由 此定义的?是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。 定理1.4 设[]n n ij A a R ?=∈，则 111 max n ij j n i A a ≤≤==∑ max 2()T A A A λ= 11 max n ij i n j A a ∞≤≤==∑ 其中max ()T A A λ表示矩阵T A A 的最大特征值（T A A 是正定或半正定矩阵，它的全部特征值 非负）。 还有一种常见的矩阵范数2 ,1 n ij F i j A a == ∑，且与向量范数2?相容，但是不从属于任何 向量范数。单位矩阵I 的任何一种算子范数1 =max 1x I Ix ==。 定理1.5 设矩阵n n A R ?∈的某种范数1A <，则I A ±为非奇异矩阵，并且当该范数为算子 范数时，还有() 1 1 1I A A -±≤ -成立。 2.1 Gauss 消去法 2.1.1 顺序Gauss 消去法 定理2.1 顺序Gauss 消去法的前n-1个主元素() (1,2,...,1)k kk a k n =-均不为零的充分必要条 件是方程组的系数矩阵A 的前n-1个顺序主子式(1)(1)111(1)() 1 ...... ...0,(1,2,...,1)...k k k k kk a a D k n a a =≠=- 2.1.2 列主元素Gauss 消去法 定理2.2 设方程组的系数矩阵A 非奇异，则用列主元素Gauss 消去法求解方程组时，各个 列主元素() (1 ,2,...,1)k k i k a k n =-均不为零。 2.2 直接三角分解法 2.2.1 Doolittle 分解法(单位下三角+上三角)与Crout 分解法(下三角+单位上三角) 定理2.3 矩阵[](2)ij n n A a n ?=≥有唯一的Doolittle 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式0,(1,2,...,1)k D k n ≠=-。 推论 矩阵[](2)ij n n A a n ?=≥有唯一的Crout 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式0,(1,2,...,1)k D k n ≠=-。 2.2.2 选主元的Doolittle 分解法 定理2.4 若矩阵n n A R ?∈非奇异，则存在置换矩阵Q ，使QA 可做Doolittle 分解。 2.2.3 三角分解法解带状线性方程组 定理2.5(保带状结构的三角分解) 设[]ij n n A a ?=是上半带宽为s 、下半带宽为r 的带状矩阵，且A 的前n-1个顺序主子式均不为零，则A 有唯一的Doolittle 分解 11 1,11,1,,11121,12,1,1,1 ,,1............... ..................1 (1) .................................................1s r n s n n n r s n s n r n n r n n a a a A a a a u u u l u l l l ++--+-+--?? ??????=? ?? ??? ? ? ??? ? ????????==? ?????? ?????1,.....n n nn u u -?????????? ?? ????? ??? 为节省空间，用C(m,n)存储A 的带内元素，其中m=r+s+1，并且1,ij i j s j a c -++=。 2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法 1 1 12221 1111122222 21111 2 2 1 ... ......... ......11............ ...... (1) ...1n n n n n n n n n n n n n n a c d d a c A d a c c d a p q s d p q s q s d p s r r r r r ----------????????=? ??????????????? ????????????==??????????????????? ? ?? 2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组 2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 定义 对非奇异矩阵A ，称量1 ||||||||A A -为矩阵A 的条件数，记作1 cond()||||||||A A A -=。 矩阵A 的条件数与所取的矩阵范数有关，常用的条件数是 1cond()||||||||A A A -∞∞∞=，1222cond()||||||||A A A -= 性质1 对任何非奇异矩阵A ，cond()1A ≥。 性质2 设A 是非奇异矩阵，0k ≠是常数，则有cond()cond()kA A =。 性质3 设A 是非奇异的是对称矩阵，则有1 2cond()n A λλ=，其中1λ和n λ分别是矩阵A 的模为最大和模为最小的特征值。 性质4 设A 是正交矩阵，则有2cond()1A =。 2.3.2 关于病态线性方程组的求解问题 （1）采用高精度的算术运算。 （2）平衡方法（行平衡，取每行绝对值最大数的倒数组成对角阵，乘在原方程左右两边）。 （3）残差校正。 2.4 迭代法 2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性 (1)()(0,1,...)k k x Gx d k +=+= 定义 设n n ?矩阵G 的特征值是12,,...,n λλλ，称1()max ||i i n G ρλ≤≤=为矩阵G 的谱半径。 定理2.9 对任意的向量d ，迭代法收敛的充分必要条件是()1G ρ<。 定理2.9 如果矩阵G 的某种范数||G||<1，则 （1）方程组的解* x 存在且唯一； （2）对于迭代公式，有() *(0)lim ,k k x x x R →∞ =?∈，且下列两式成立 () * (1)(0)()*()(1)|||||||||||| 1|||| |||| |||||||| 1|||| k k k k k G x x x x G G x x x x G --≤---≤-- 2.4.2 Jacobi 迭代法 (1)1()11()(0,1,...)() k k J A D L U x D L U x D b k G D L U +---=++=-++==-+ 定理2.10 Jacobi 迭代法收敛的充分必要条件是()1J G ρ<。 定理2.11 如果||||1J G <，则Jacobi 迭代法收敛。 引理2.1 若矩阵n n A R ?∈是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则A 是非奇异矩阵。 定理2.12 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用Jacobi 迭代法求解必收敛。 2.4.3 Gauss-Seidel 迭代法 (1)1()11()()(0,1,...)()k k G A D L U x D L Ux D L b k G D L U +---=++=-+++==-+ 定理2.13 GS 迭代法收敛的充分必要条件是()1G G ρ<。 定理2.14 如果||||1G G <，则Jacobi 迭代法收敛。 定理2.15 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用GS 法求解必收敛。 定理2.16 如果方程组的系数矩阵A 是正定矩阵，则用GS 法求解必收敛。 2.4.4 逐次超松弛迭代法 (1)1()111 1 (1)1 1 1 ()[(1)]( )(0,1,...)1 1 ( )[(1)] k k S A D L D U x D L D U x D L b k G D L D U ω ω ω ω ω ω ω +---= ++-+=-+- +++==-+- + 实际使用的形式(1) 1(1)1()11 {[(1)]}(0,1,...)k k k x D Lx I D U x D b k ωω +-+--=---++= 它的分量形式是1 (1)(1)()()1 1 1 {(1)}(0,1,...)i n ij ij k k k k i i j i j j j i ii ii ii a a b x x x x k a a a ωω -++==+=---- + =∑ ∑ 定理2.17 SOR 方法收敛的充分必要条件是()1S G ρ<。 定理2.18 如果||||1S G <，则SOR 方法收敛。 定理2.19 SOR 方法收敛的必要条件是02ω<<。 定理2.20 如果方程组的系数矩阵A 是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用01ω<≤的SOR 方法求解必收敛。 定理2.21 如果方程组的系数矩阵A 是正定矩阵，则用02ω<<的SOR 方法求解必收敛。 ***实系数二次方程2 0x px q ++=的两个根之模均小于1的充要条件是： ||1,10,10q p q p q <++>-+> ***A 为正定矩阵?A 的各阶顺序主子式全大于零。 3.1 幂法和反幂法 3.1.1 幂法（用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量） 第一种幂法迭代格式： 00111111 11&0/(1,2,...) n T k k k k k k k k T k k k u R u u u y u u Ay y u k ηηβ--------??∈≠? ?=? ?=? =??=??=? 第二种幂法迭代格式： (0)(0)010(1) (1)1(1)11()()111()=(,...,)&0||max ||/|| (,...,)sgn()(1,2,...)T n k k r j j n k k k r k k T k k n k k k r r u h h u h h y u h u Ay h h h h k β--≤≤-----??≠?=?? ?=? ?==?=??=? k β作为1λ的近似值，-1k y 作为A 的属于1λ的特征向量。 3.1.2 反幂法 第一种反幂法迭代格式： 00111111 11&0/(1,2,...) n T k k k k k k k k T k k k u R u u u y u Au y y u k ηηβ--------??∈≠? ?=? ?=? =??=??=? 1 k β作为n λ的近似值，-1k y 作为A 的属于n λ的特征向量。还可以用带原点平移的反幂法求 矩阵A 的某个特征值s λ。 3.3 QR 方法 3.3.1 矩阵的QR 分解 设n v R ∈是单位向量，令2T H I vv =-，则H 是对称正交矩阵，称为Householder 矩阵。 引理 3.1 设有非零向量n s R ∈和单位向量n e R ∈，必存在Householder 矩阵H ，使得 Hs e α=，其中α是实数，并且||T s s α=。(可取()() T s e v s e s e ααα-= --) 定理3.2 任何n n ?实矩阵A 总可以分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积。 设1(2,3,...,)i a i n =不全为零，令 1111(,...,)T n s a a = 11111sgn()T c a s s =-(取sgn(0)1=-) 1111u s c e =- 111112/()T T H I u u u u =- (2) (2)112121(2)(2)2...0...............0...n n nn c a a A H A a a ????? ?==???????? 对第j 列，(1,...,)ij a i j n =+不全为零，令()()(0,...,0,,...,)j j T j jj nj s a a =，并继续计算。 最终得到121...n n n A H H H A --=是一个上三角矩阵。则121...,n n Q H H H R A -==，且 A QR =。 3.3.2 矩阵的拟上三角化 设1(3,4,...,)i a i n =不全为零，令 1211(0,,...,)T n s a a = 12112sgn()||s ||c a =-(取sgn(0)1=-) 1112u s c e =- 111112/()T T H I u u u u =- (2) (2)111211(2) 11(2)(2)2.........0...............0...n n nn a a a c A H AH a a ?????? ??==?????? ? ? 对第j 列，(2,...,)ij a i j n =+不全为零，令()()1,(0,...,0,,...,)j j T j j j nj s a a +=，并继续计算。 最终得到(1) 221122......n n n A H H H AH H H ---=为拟上三角矩阵，令122...n P H H H -=， 则(1) n T A P AP -=。 3.3.3 带双步位移的QR 方法 基本QR 方法的迭代公式是 11(1,2,...)n n k k k k k k A A R A Q R A R Q k ?+?=∈? =?? =??=? 4.1 非线性方程的迭代解法 4.1.2 简单迭代法及其收敛性 定理4.1 设函数()[,]x C a b ?∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件: (1) 当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ?∈； (2) 当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ?≤<, 其中L 为一常数。 则有如下结论: (1)方程=()x x ?在区间[,]a b 上有唯一的根s ； (2)对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}[,]k x a b ?且收敛于s ； (3)成立误差估计式 101|-||| 1|-||| 1k k k k k L s x x x L L s x x x L -≤--≤-- 定理4.2 设=()s s ?，'()x ?在包含s 的某个开区间内连续。如果|'()|<1s ?，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}[,]k x s s δδ?-+且收敛于s 。 4.1.3 简单迭代法的收敛速度 定理4.3 设函数()[,]x C a b ?∈，'()[,]x C a b ?∈，且满足如下条件： （1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ?∈； （2）当(,)x a b ∈时, '()0x ?≠，|'()|1x L ?≤<, 其中L 为一常数。 则对任取对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}k x 收敛于方程=()x x ?在 [,]a b 内的唯一的根s ，并且当0x s ≠时{}k x 是线性收敛的。 定理4.4 设=()s s ?，() ()m x ? 在包含s 的某个开区间内连续(2m ≥)。如果 ()() ()0(1,2,...,1)()0 i m s i m s ?? ==-≠ 则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+但0x s ≠时，由简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}k x 以m 阶收敛速度收敛于s 。 4.1.4 Steffensen 迭代法 2 1(),() ()(0,1,...) 2k k k k k k k k k k k y x z y y x x x k z y x ??+==-=-=-+ 定理 4.5（局部） 设=()s s ?，()x ?在包含s 的某个开区间内具有连续的二阶导数，并且 '()1s ?≠，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+但0x s ≠时，由Steffensen 迭代法产生的序 列{}k x 至少以二阶收敛速度收敛于s 。 4.1.5 Newton 法 1() (0,1,...)'() k k k k f x x x k f x +=- = 定理 4.6（局部） 设s 是方程()0f x =的根，在包含s 的某个开区间内''()f x 连续且 '()0f x ≠，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由Newton 法产生的序列{}k x 收敛于s ； 若''()0f s ≠且0x s ≠，则序列{}k x 是平方收敛的。 定理4.7（大范围） 设函数()f x 在区间[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件： （1）()()0f a f b <； （2）''()f x 在区间[a,b]上不变号； （3）当[,]x a b ∈时，'()0f x ≠； （4）0[,]x a b ∈，00()''()0f x f x >。 则由Newton 法产生的序列{}k x 单调收敛于方程()0f x =在[a,b]内唯一的根s ，并且至少是平方收敛的。 4.1.7 割线法 111()() (0,1,...)()() k k k k k k k f x x x x x k f x f x -+--=- =- 定理 4.8 设()0f s =，在s 地某邻域内''()f x 连续且'()0f x ≠，则存在0ε>，当 10,x x I ε-∈时，由割线法产生的序列{}k x 收敛于s ，且收敛速度的阶至少为1.618。 4.1.8 单点割线法 010()() (1,2,...)()() k k k k k f x x x x x k f x f x +-=- =- 定理4.9 设函数()f x 在区间[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件： （1）()()0f a f b <； （2）''()f x 在区间[a,b]上不变号； （3）当[,]x a b ∈时，'()0f x ≠； （4）01,[,]x x a b ∈且00()''()0f x f x >，01()()0f x f x <。 则有单点割线法产生的序列{}k x 单调收敛于方程()0f x =在[a,b]内唯一的根s ，并且收敛速度是一阶的。 4.2 非线性方程组的迭代解法 4.2.2 简单迭代法 定理4.13（压缩映像原理） 设:n n G D R R ?→在闭区域0D D ?上满足两个条件： （1）G 把0D 映入它自身，00()G D D ?； （2）G 在0D 上是压缩映射，即存在常数(0,1)L ∈，使对任意的0,x y D ∈，有 ||()()||||||G x G y L x y -≤- 则有下列结论： （1）对任取的(0)0x D ∈，由迭代公式(1) ()()(0,1,...)k k x G x k +==产生的序列()0{}k x D ?， 且收敛于方程组()x G x =在0D 内的唯一解*x ； （2）成立误差估计式 * () (1)(0)*()()(1)|||||||| 1||||||||1k k k k k L x x x x L L x x x x L --≤---≤-- 定理4.14（局部） 设:n n G D R R ?→，*int()x D ∈是方程组()x G x =的解，G 在*x 处 可微。若*'()G x 的谱半径*('())1G x ρ<，则存在开球* 0{|||||,0}D x x x D δδ=-<>?， 使对任意的(0)0x D ∈，由迭代法(1) ()()(0,1,...)k k x G x k +==产生的序列()0{}k x D ?且收敛 于*x 。 4.2.3 Newton 法 (1)()()1()'()()(0,1,...)k k k k x x F x F x k +-=-= 定理4.15 设*int()x D ∈是方程组()0F x =的解，:n n F D R R ?→在包含*x 的某个开区 域S D ?内连续可微，且*'()F x 非奇异，则存在闭球* 0{|||||,0}D x x x S δδ=-≤>?， 使对任意的的(0)0x D ∈，由Newton 法产生的序列()0{}k x D ?且超线性收敛于*x ；若更有 ()F x 在域S 内二次连续可微，则序列(){}k x 至少是平方收敛的。 5.1 代数插值 5.1.1 一元函数插值（Lagrange 、Newton ） 定理5.1 设01,,...,n x x x 是互异的实数，对于给定的实数x ，实值函数()f t 在区间x I 上具有n+1阶导数，则插值公式()()n f x p x ≈的余项为 (1)1()()(1)! n n n f R x n ξω++=+ 其中x I ξ∈: 且依赖于x ，101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---。 ***(1)01() [,,...,,],(1)! n x n f f x x x x I n ξξ+= ∈+: 定理5.2 设01,,...,n x x x 是互异的实数，对于给定的实数x ，实值函数()f t 在区间x I 上具有 m+n+2阶导数，1()m n H x ++则是满足条件1' 1(),(0,1,...,) '(),(0,1,...,) k k m n i i m n i i H x y i n H x y k m ++++==???==??的Hermite 插值多项式，则用1()m n H x ++近似代替()f x 的余项为 (2)10() ()()()(2)! k m n m n i k f R x x x x m n ξω+++==∏-++ 其中x I ξ∈: 且依赖于x 。 5.3 样条插值 5.3.1 样条函数 定义 步长为1、内节点等距的k 次B 样条 10111()(1)(),+!2k j k k j k k x x j j k ++=+??+Ω=-+--∞∞ ? ?? ∑ 时，()0k x Ω≡；当1||2 k x +<时，()0k x Ω>。 定义 步长为h 、内节点等距的k 次B 样条 1 (1)/2 011( )(1)(),+!k i k j k k i k j k j x x k x x j h k h +---++=-+??Ω= ---∞∞ ??? ∑ 性质2 1(1)/210,(,) ()0,(,)i k i i k k i k i x x x x x x x x h -+---+≡?-?Ω? >∈? 空间,k πD 常用的两组基底及表示 11{1,,...,,(),...()}k k k n x x x x x x +-+=--L 1 01 1()(),!k n j k j j j j j s x a x c x x a x b k -+===+-≤≤∑∑ (1)/2 {(),(0,1,...,1)}j k k x x a x b j n k h ---=Ω≤≤=+-L 1 (1)/2 ()( ),n k j k j k j x x s x c a x b h +---=-= Ω≤≤∑ 5.3.3 B 样条为基底的三次样条插值函数 第一种边界条件'''' 00''(),''()n n s x y s x y ==： 2''01202'' 100 2 '' 12''2 126 62n n n n n n n c c c h y h c y y h c y y c c c h y +++?=-+??=-???=-??=-+? 解线性方程组Ac d = 其中2''1002233 22''164161416.........6,,...............14161466n n n n n h y y y c y c y A c d c y h y y y --??-+???? ?????????? ????????? ?===??????? ???????????????? ?-+?? ? ? 第二种边界条件'' 00'(),'()n n s x y s x y ==： '020 ' 2-22n n n c c hy c c hy +?=??=+?? 解线性方程组Bc v = 其中' 001122+11 ' 42621416.........6,,...............14162462n n n n y hy c y c y B c v c y y hy -??+?? ?????????? ????????===?????????? ????????????-?????? 第三种边界条件++00'()'(),''()''()n n s x s x s x s x -- ==： 22110,,n n n c c c c c c ++=== 解线性方程组Pc u = 其中12233+110641 161416.........,,...............61416114n n y c y c y P c v c y y -?????????????? ????????===?????????? ???????? ???? ?????? 则2 1 30 ()( ),n j j j x x s x c a x b h +-=-=Ω≤≤∑ 5.3.4 三弯矩法求三次样条插值函数 1i i i h x x -=- 3311111()()()()()()()6666 i i i i i i i i i i i i i i i i M M y M y M s x x x x x h x x h x x h h h h -----= -+-+--+-- 其中1(1,2,...,)i i x x x i n -≤≤= 由定义得到n-1个三弯矩方程：112,(1,2,...,1)i i i i i i M M M i n γαβ-+++==- 其中 1 1 1111= ,16 () i i i i i i i i i i i i i i i h h h y y y y h h h h αγαβ+++-++=-+--= -+ 第一种边界条件： 0010 122n n n n M M M M αβγβ-+=+= 其中 '''' 000=0=2,0,=2n n n y y αβγβ=， 00011 111 11122...... ... ......22n n n n n n n M M M M αβγ αβγαβγβ----?????? ??????????????????∴=?????? ????????????? ????? 第二种边界条件： 形式与第一种边界条件相同，其中 ' 1000011 '1 6=1= ()61=() n n n n n n n y y y h h y y y h h αβγβ----=-，， 第三种边界条件： 1102n n n n n n M M M M M αγβ-++== 其中 1 110111= 16 = ()n n n n n n n n n h h h y y y y h h h h αγαβ-=-+---+， 1 1112222111122......... ......22n n n n n n n n M M M M αγβγαβγαβαγβ----?????????????????? ??????∴=?????? ?????? ???????????? 5.5 正交多项式 5.5.1 正交多项式概念与性质 幂函数系{(0,1,...)}k x k =在任何区间上线性无关，可采用Gram-Schmidt 正交化方法由幂函数系产生在指定区间[a,b]上带权函数()x ρ的正交多项式系{()(0,1,...)}k x k ?=，其中()k x ?是最高次项系数为1的k 次多项式。方法如下： 0111 1()1(,)()()(0,1,...)(,)k k j k k j j j j x x x x x k ??????+++=≡???=-=?? ∑ 5.5.2 几种常见的正交多项式 1、Legendre 多项式 02()11()[(1)](1,2,...) 2!n n n n n L x d L x x n n dx ≡?? ?=-=?? g 性质1 {()}n L x 是区间[-1,1]上的正交多项式系 1 10,()()2,21 m n m n L x L x dx m n n -≠?? =?=?+?? 性质2 ()n L x 的最高次项系数为2 (2)! 2(!)n n n a n = 性质3 n 为奇数时()n L x 为奇函数，n 为偶数时()n L x 为偶函数。 性质4 满足递推关系：当1n ≥时，有+1121()= ()()11 n n n n n L x xL x L x n n -+-++ 01()1()L x L x x ≡= 2、Chebyshev 多项式 ()cos(arccos ),11n T x n x x =-≤≤ 性质1 ()n T x 是x 的n 次多项式，并且当1n ≥时，()n T x 的最高次项系数为12n n a -= 性质2 ()n T x 是区间[-1,1]上带权 2 11x -的正交多项式系 12 10,()(),021,0 m n m n T x T x dx m n x m n ππ-≠???==≠?-?==??? 性质3 满足递推关系011 1()1 ()()2()()(1,2,...) n n n T x T x x T x xT x T x n +-≡?? =??=-=? 性质4 当1n ≥时，()n T x 在开区间(-1,1)内有n 个互异实零点，它们是 2()1 cos (1,2,...)2i n i x i n π-+== 性质5 当n 为奇数时()n T x 是奇函数，当n 为偶数时()n T x 为偶函数。 3、Laguerre 多项式 () ()(0,1,...)n n x x n n d x e U x e n dx -== 性质1 ()n U x 是x 的n 次多项式，并且最高次项系数为(1)n n a =- 性质2 {()}n U x 是在区间[0,∞)上带权x e -的正交多项式系 2 0,()()(!),x m n m n e U x U x dx n m n ∞ -≠?=?=? ? 性质3 ()n U x 满足递推关系012 11()1 ()1()(21)()()(1,2,...) n n n U x U x x U x n x U x n U x n +-?≡? =-+??=+--=? 4、Hermite 多项式 2 2 ()()(1)(0,1,...)n x n x n n d e H x e n dx -=-= 性质1 ()n H x 是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为2n n a = 性质2 {()}n H x 是在区间(-∞,+∞)上带权2 -x e 的正交多项式系 2 0,()()2!,x m n n m n e H x H x dx n m n π∞ --∞ ≠??=?=??? 性质3 ()n H x 满足递推关系011 1()1()2()2()2()(1,2,...) n n n H x H x x H x xH x nH x n +-≡?? =??=-=? 5.6 函数的最佳平方逼近 5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法 定理 5.7 设()[,]f x C a b ∈，*()n p x H ∈是子空间n H 中对于()f x 的最佳平方逼近元素的充分必要条件是 *(,)0,(0,1,...,)j f p j n ?-== 或对任一个()n p x H ∈，总有 *(,)0f p p -= ***除Legendre 、Chebyshev(最经济展开)，还可以用{1,cos ,sin ,...,cos ,sin }x x nx nx ，它是区间[0,2]π上的正交函数系。 5.6.3 样条函数在最佳平方逼近中的应用 可以选用空间,k πD 的k 次B 样条函数组，但是由于这一函数组不是正交函数系，所以使用过程稍有不同，但仍然遵循定理5.7。 5.6.4 曲线拟合与曲面拟合（最小二乘） 1、曲线拟合 定理5.11 设函数组{()(0,1,...,)}j x j n ?=在点集{(0,1,...,)}()i x i m n m =≤上线性无关，则 *1n c R +∈实现最小二乘法求拟合曲线的充分必要条件是*T T A Ac A y =。 010101****01((),(),...,())(0,1,...,)[,,...,](,,...,) (,,...,) T j j j j n n T m T n x x x j n A y y y y c c c c φ???φφφ===== 拟合函数为* * 1()()n j j j y x c x ?==∑，拟合精度用误差平方和描述，即* 2 [()] m i i i y x y σ==-∑。 2、曲面拟合 设在三维直角坐标系Oxyu 中给定(m+1)*(n+1)个点(,,)(0,1,...,;0,1,...,)i j ij x y u i m j n == 乘积型基函数{()()(0,1,...,;0,1,...,)}r s x y r M s N ?ψ== (1)(1)(1)(1)(1)(1) 11 [()][][()]()()r i m M ij m n s j n N T T T B x U u G y C B B B UG G G ?ψ+?++?++?+--==== 拟合函数为* *00 (,)()()N M rs r i s j s r p x y c x y ?ψ === ∑∑，拟合精度为*2 00 [(,)]n m i j ij j i p x y u σ===-∑∑。 6.2 插值型求积公式 ()0 ()()n b n k k a k f x dx f x λ=≈∑? 其中() ()(0,1,...,)b n k k a l x dx k n λ==? (1)0 ()[()](1)!n n b n j a j f R x x dx n ξ+==-+∏? 其中(,)a b ξ∈ 定理6.1 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。 推论 对于n+1个节点的插值型求积公式的求积系数，必满足 ()0n n k k b a λ==-∑ 定理6.2 n+1个节点的求积公式如果具有n 次或者大于n 次的代数精度，则它是插值型求积 公式。 6.3 Newton-Cotes 求积公式 如果节点等距，且0,,(0,1,...,),n k b a x a x b x a kh k n h n -===+== ，则相应的插值型求积公式称为Newton-Cotes 求积公式，相应的求积系数称为Newton-Cotes 求积系数。 令x a th =+ ()() ()(0,1,...,)n n k k b a c k n λ∴=-= ()00 (1)[()]!()!n k n n n k j j k c t j dt k n k n -=≠-=--∏? ()0 ()()n b n k a k b a f x dx f a k n λ=-≈+∑? 2(1) 00 ()[()](1)!n n n n n j h R f t j dt n ξ++==-+∏? (1)(2)(3) (4) 11:,22141:,, 666 1331:,,, 8888 7162167:,,,, 9045154590 k k k k c c c c 定理6.3 当n 为偶数时，n+1个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少是n+1。 1、梯形公式(n=1) ()[()()]2 b a b a f x dx f a f b -≈ +? 3 1()''(),(,)12 b a R f a b ηη-=-∈ 2、Simpson 公式(n=2) ()[()4()+()]62 b a b a a b f x dx f a f f b -+≈ +? 5(4) 2()(),(,)2880 b a R f a b ηη-=-∈ 3、Simpson3/8公式(n=3) 22()[()3()3()()]833 b a b a a b a b f x dx f a f f f b -++≈ +++? 5(4)3()(),(,)6480 b a R f a b ηη-=-∈ 4、Cotes 公式(n=4) 33()[7()32()12()32()7()]90424 b a b a a b a b a b f x dx f a f f f f b -+++≈ ++++? 7(6) 4()(),(,)1935360 b a R f a b ηη-=-∈ 6.4 Newton-Cotes 求积公式的收敛性与数值稳定性 如果对于任何n ， ()0 ||n n k k K λ =≤∑，则Newton-Cotes 求积公式具有数值稳定性。 6.5 复化求积法 6.5.1 复化梯形公式与复化Simpson 公式 1、复化梯形公式 (0,1,...,),k b a x a kh k n h n -=+== 数值分析课程设计题目与要求 （10级应数及创新班） [设计题一] 编写顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的函数，再分别调用这两个函数求解下面的84阶方程组： = ， 然后考虑将方程组的阶数取为10至100之间多个值进行求解。将你的计算结果与方程组的精确解进行比较。从“快”、“准”、“省”三个方面分析以上两个算法，试提出改进的算法并加以实现和验证。 [设计题二] 编写平方根法和改进的平方根法（参见教材《计算方法》P54的例题2.5）的函数，然后分别调用这两个函数求解对称正定方程组Ax=b，其中A和b分别为： （1）系数矩阵A为矩阵（阶数取为10至100之间多个值）: ， 向量b随机地选取； （2）系数矩阵A为Hilbert矩阵（阶数取为5至40之间多个值），即A的第i行第j列元素，向量b的第i个分量取为。将你的计算结果与方程组的精确解进 行比较。 若出现问题，分析其原因，提出改进的设想并尝试实现之。 对于迭代法 ,......)2,1,0(99.021=-=+k x x x k k k ， 它显然有不动点0* =x 。试设计2个数值实验 得到收敛阶数的大概数值（不利用判定收敛阶的判据定理）： （1） 直接用收敛阶的定义； （2） 用最小二乘拟合的方法。 [设计题四] 湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温T 看成深度x 的函数T(x),有某个湖的观测数据如下： 环境工程师希望： 1） 用三次样条插值求出T(x)。 2） 求在什么深度处dx dT 的绝对值达到最大（ 即02 2=dx T d ）。 [设计题五] 某飞机头部的光滑外形曲线的型值点坐标由下表给出: ．．．值y 及一阶、二阶导数值y ’，y ”。绘出模拟曲线的图形。 数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但 在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节 没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到 许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠 的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其 次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。 然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的 正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量 看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述， 就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析， 不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要 提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面 的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会 研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础 第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。 MATLAB与数值分析课程总结 姓名：董建伟 学号：2015020904027 一：MATLAB部分 1.处理矩阵－容易 矩阵的创建 （1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等 c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖 （2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等 向量的生成 （1）用冒号生成向量 （2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对 数等分向量 矩阵的标识和引用 （1）向量标识 （2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识 （3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用 字符串数组 （1）字符串按行向量进行储存 （2）所有字符串用单引号括起来 （3）直接进行创建 矩阵运算 （1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂 （2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母 （3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵 2.绘图－轻松 plot－绘制二维曲线 （1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线 plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线 x,y为向量或矩阵 （2）plot（x1,y1,x2,y2，。。。。。。）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色 （3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起 hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形 （5）subplot在同一窗口画多个子图 三维图形的绘制 (1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字 符串 (2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点 (3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵 (4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色 (5)contour绘制二维等高线 (6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围 3．编程－简洁 （1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点 （2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用 （3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构 数值分析心得体会 篇一：学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。 首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式 进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体 公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实 验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多 数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门 课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处 理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微 分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有 了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误 差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误 差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在 别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数 值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出 的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数 学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中 的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容 易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的， 这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的 都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题， 从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下， 我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触 到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比 较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验 室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影 响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强 大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语 言接口。 根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这 课 程 设 计 我再也回不到大二了， 大学是那么短暂 设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师 设 计 题 目 共15题如下 成绩 数值分析课程设计 1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题: 14 (1)5 k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5 x p =- 所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解 15 1,4 k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4） MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; end if p==fix(p), break end end disp([x,p]) 1．2 设，1 5n n x I dx x =+? （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式： 11 5(1,2,20)n n I I n n -=-+= 计算机从1I 到20I 的近似值； （2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式： 《数值分析》课程设计实验报告 龙格—库塔法分析Lorenz 方程 200820302033 胡涛 一、问题叙述 考虑著名的Lorenz 方程 () dx s y x dt dy rx y xz dt dz xy bz dt ?=-???=--???=-?? 其中s ，r ，b 为变化区域内有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。 二、问题分析 Lorenz 方程实际上是一个四元一阶常微分方程，用解析法精确求解是不可能的，只能用数值计算，最主要的有欧拉法、亚当法和龙格- 库塔法等。为了得到较高精度的，我们采用经典四阶龙格—库塔方法求解该问题。 三、实验程序及注释 （1）算法程序 function [T]=Runge_Kutta(f,x0,y0,h,n) ％定义算法，其中f 为待解方程组， x0是初始自变量，y0是初始函数 值，h 是步长，n 为步数 if nargin<5 n=100; ％如果输入参数个数小于5，则步数 n=100 end r=size(y0);r=r(1); ％返回初始输出矩阵的行列数，并将 值赋给r(1) s=size(x0);s=s(1); ％返回初始输入矩阵的行列数，并 将值赋给s(1) r=r+s; T=zeros(r,n+1); T(:,1)=[y0;x0]; for t=2:n+1 ％以下是具体的求解过程 k1=feval(f,T(1:r-1,t-1)); k2=feval(f,[k1*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k3=feval(f,[k2*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k4=feval(f,[k3*h+T(1:r-1,t-1);x0+h]); x0=x0+h; T(:,t)=[T(1:r-1,t-1)+(k1+k2*2+k3*2+k4)*(h/6);x0]; end 插值法和多项式拟合的研究 摘要 在科研和生产实践中，常常需要通过一组测量数据来寻找变量x与y的函数关系近似表达式。解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。插值法的原理是用一个简单函数逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。拟合法能够是从给定的一组实验数据出发，寻找函数的一个近似表达式,该近似表达式能反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点，即曲线拟合。本文主要介绍拉格朗日插值法、埃尔米特插值法、三次样条插值法以及基于最小二乘法的多项式拟合。 关键词：拉格朗日插值，埃尔米特插值，样条插值，多项式拟合 1方法的意义 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。插值法的原理是用一个简单函数逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。它要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数()x ?作为()f x 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。插值法在实际应用中非常广泛，但是它也有明显的缺陷，一是测量数据常常带有测试误差，而插值多项式又通过所有给出的点，这样就是插值多项式保留了这些误差；二是如果实际得到的数据过多，则必然得到次数较高的插值多项式，这样近似的效果并不理想。拟合法能够很好的解决这些问题，它从给定的一组实验数据出发，寻找函数的一个近似表达式y=()x ?,该近似表达式能反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点，即曲线拟合的问题，函数的近似表达式y=()x ?称为拟合曲线。常用最小而二乘法来确定拟合曲线。 2插值法的介绍 2.1 插值法定义 设 f (x )为[a ，b ]上的函数，在互异点n x x x ,...,,10处的函数值分别为 )(),...,(),(10n x f x f x f ,构造一个简单函数 ?(x ) 作为函数 f (x ) 的近似表达式y = f (x ) ≈ ?(x ),使 )()(i i x f x =? , i ＝0, 1, 2, …,n (1.0) 则称?(x ) 为关于节点n x x x ,...,,10的插值函数；称n x x x ,...,,10 为插值节点；称 ))((i i x f x , i =1,2,… , n 为插值点；f (x ) 称为被插值函数。式（1.0）称为插值条 件。这类问题称为插值问题。插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点 数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理 2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 第一章 1霍纳（horner）方法： 输入=c + bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ? 2 注：p为近似值 p（x） 绝对误差： ?|ep?|p?p ?||p?p rp? |p| 相对误差： ?|101?d|p?p rp?? |p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)： o(h?)+o(h?)=o(h?); o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章 2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则 ，可得到序 列值｛｝。设函数g 满足 y 定义在得 。如果对于所有 x ，则函数g 在 ，映射y=g(x)的范围 内有一个不动点; 此外，设 ，存在正常数k<1，使 内，且对于所有x，则函数g 在 内有唯一的不动点p。 ，（ii）k是一个正常数， 。如果对于所有 定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ） 如果对于所有x在 这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散 性。波理 尔 查 . 诺 二 分 法 ( 二 分 法 定) <收敛速度较慢> 试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与 x轴的交点(c,0)> 应注意 越来越 小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法 . f(pk?1) 其中k=1,2,……证明：用 f(pk?1) 牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1? 泰勒多项式证明 第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步 substitution 二lu factorization 第一步 a = lu 原方程变为lux=y ； 第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ； 三iterative methods（迭代法） a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2? ） back 初始值 0,x0,?,x0x1n2 四 jacobi method 1.选择初始值 2.迭代方程为 0,x0,?,x0x1n2 k?1? x1k?1 ? x2 本文主要通过Matlab 软件，对数值分析中的LU 分解法、最小二乘法、复化Simpon 积分、Runge-Kutta 方法进行编程，并利用这些方法在MATLAB 中对一些问题进行求解，并得出结论。 实验一线性方程组数值解法中，本文选取LU 分解法，并选取数据于《数值分析》教材第5章第153页例5进行实验。所谓LU 分解法就是将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A 的元素得到计算L 、U 元素的递推公式，而不需要任何步骤。用此方法得到L 、U 矩阵，从而计算Y 、X 。 实验二插值法和数据拟合中，本文选取最小二乘拟合方法进行实验，数据来源于我们课堂学习该章节时的课件中的多项式拟合例子进行实验。最小二乘拟合是一种数学上的近似和优化，利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。利用excel 的自带函数可以较为方便的拟合线性的数据分析。 实验三数值积分中，本文选取复化Simpon 积分方法进行实验，通过将复化Simpson 公式编译成MATLAB 语言求积分∫e ;x dx 1 0完成实验过程的同时，也对复化Simpon 积分章节的知识进行了巩固。 实验四常微分方程数值解，本文选取Runge-Kutta 方法进行实验，通过实验了解Runge-Kutta 法的收敛性与稳定性同时学会了学会用Matlab 编程实现Runge-Kutta 法解常微分方程，并在实验的过程中意识到尽管我们熟知的四种方法，事实上，在求解微分方程初值问题，四阶法是单步长中最优秀的方法，通常都是用该方法求解的实际问题，计算效果比较理想的。 实验五数值方法实际应用，本文采用最小二乘法拟合我国2001年到2015年的人口增长模型，并预测2020年我国人口数量。 关键词：Matlab ；LU 分解法；最小二乘法；复化Simpon 积分；Runge-Kutta 计算方法教案新疆医科大学 数学教研室 张利萍 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时54 4、学分：4 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》 二、课程的目的与任务： 计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法 2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 计算方法课程总结心得体会 一、课程简介：本课程是信息与计算科学、数学与应用数学本科专业必修的一门专业基础课．我们需在掌握数学分析、高等代数和常微分方程的基础知识之上，学习本课程．在实际中，数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响，科学技术各领域的问题通过建立数学模型与数学产生密切的联系，并以各种形式应用于科学和工程领域．而所建立的这些数学模型，在许多情况下，要获得精确解是十分困难的，甚至是不可能的，这就使得研究各种数学问题的近似解变得非常重要了，“数值计算方法”就是专门研究各种数学问题的近似解的一门课程．通过这门课程的教学，使学生掌握用数值分析方法解决实际问题的算法原理及理论分析，提高我们应用数学知识解决实际问题的能力． 二、本课程主要内容包括：误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分，线性方程组的直接解法和迭代解法，非线性方程求根，矩阵特征值问题计算、常微分方程初值问题数值解法． 三、本课程重点难点： 1、绝对误差限、相对误差限、有效数字 2、基函数、拉格朗日插值多项式、差商、牛顿插值多项式、截断误差 3、曲线拟合的最小二乘法（最小二乘法则、法方程组） 4、插值型数值积分（公式、积分系数） a)N-C求积公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、代数精度、 截断误差） b)复合N-C公式（复合梯形公式、复合Simpson公式、收敛阶、截断误差） c)龙贝格算法的计算公式 5、非线性方程求根的迭代法收敛性定理 牛顿切线法、下山法、正割法（迭代公式、收敛阶） 6、高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解线性方程组 Jacobi迭代法、S-R迭代法（迭代公式、迭代矩阵、收敛的充要条件、 充分条件） 矩阵的范数、谱半径、条件数、病态方程组 数值分析实验指导书 实验一 1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？ 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题（15621）。 1．2 设，1 05n n x I dx x =+? （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式： 11 5(1,2,20)n n I I n n -=-+= 计算机从1I 到20I 的近似值； （2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式： 111 (30,29,,3,2)55n n I I n n -=-+= 计算从1I 到20I 的近似值； （3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。 1．3 绘制Koch 分形曲线 问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的另两条边代替，形成具有5个结点的新的图形（图1-4）；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的另两条边代替，再次形成新的图形（图1-5），这时，图形中共有17个结点。这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。在迭代过程中，图形中的结点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少取决于所进行的迭代次数和显示系统的分辨率。Koch 分形曲线的绘制与算法设计和计算机实现相关。 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 第2章线性方程组的解法 --------学习小结 姓名赵越班级机械1504 学号S2******* 一、本章学习体会 通过两周的时间，我们进行了第2章—线性方程组的解法的学习。通过对这一章的学习，我了解到了两种求解线性方程组的方法：直接方法和迭代法。掌握了这两种算法的分类和各种类别计算方法的思路和算法。并且通过对这些算法的相互比较，得出了其各自的优点和缺点，认识到了要根据具体的线性方程组的特点来选择合适的解法，这样我们才能快速准确的得到方程组的解。然后还尝试去编译这些算法的matlab程序，学会通过电脑编程来进行线性方程组的求解。 二、本章知识梳理 2.1Gauss消去法 Gauss消去法是由消元和回代这两个过程组成的。 相关概念： 2.1.1顺序Gauss消去法 1、消元过程 对于k=1,2，…，n-1执行2.1Gauss（高斯）消去法 顺序Gauss消去法列主元素Gauss 消去法 消元过程回 代 过 程 消 元 过 程 回 代 过 程 （1）如果()0k kk a ，则算法失效，停止计算；否则转（2）。 （2）对于i=k=1，k=2，…，n 计算 2、 回代过程 2.1.2列主元素Gauss 消去法 1、 消元过程 对于k=1，2，…，n-1执行 （1）选行号k i ，使 （2）交换()k kj a 与() k k i j a （j=k ，k+1，…，n ）以及() k k b 与()k k i b 所含的数值。 （3）对于i=k+1，k+2，…，n 计算 2、 回代过程 2.2直接三角分解法 相关概念： 2.2.1Doolittle 分解法与Crout 分解法 1.三角分解：如果方程组的系数矩阵A 能分解成 A=LU 其中L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵。这时，方程组就可化为两个容易求解的三角形方程组 Ly=b ， Ux=y 先由Ly=b 解出向量y ，再由Ux=y 解出向量x ，这就是原方程组的解向量。 矩阵A 分解为LU 的形式称为矩阵A 的三角分解。 2.Doolittle 分解法：如果上诉分解式中L 是单位下三角阵，U 是上三角矩阵，则称为矩阵A 的Doolittle （杜立特尔）分解。 3.Crout 分解法：如果L 是下三角矩阵，U 是单位上三角阵，则称为矩阵A 的Crout （克劳 特）分解。 2.2.2 选主元的Doolittle 分解法 2.2直接三角分解法 Doolittle 分解法与Crout 分解法 选主元的Doolittle 分解法 三角分解法解带状线性方程组 追赶法求解三对角线性方程组 三 角 分 解 Doolittle 分 解 法 Crout 分 解 法 拟三对角线性方程 拟三对角线性方程组的求解方法 三对角线性方程组 第五章最小二乘法与曲线拟合小结 一、本章知识梳理 1、 从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差 平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合 中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函 数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小 的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即 (3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我 们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。 3、曲线拟合： 曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。 《数值代数》教学大纲 (学时50+计算实习学时16) 一、课程简述 数值代数课程在本科生阶段“数学分析”和“高等代数”的基础上，进一步深入学习和理解与实际应用密切相关的矩阵的理论知识与数值算法。 “数值线性代数”是信息与计算科学、数学与应用数学专业的必修课程，讲述矩阵计算的基础知识，求解线性方程组的直接方法和古典迭代法，最小二乘问题的数值解法，矩阵特征值问题的数值算法，同时做到理论与实践相结合，设计上机实验题目，依托学院的机房开展上机实验，培养学生的实际动手能力，能够利用C++语言或MATLAB语言编写程序。 二、本科相关课程 数学分析、高等代数 三、课程内容、基本要求与学时分配 该课程的上课时间分为两部分：课堂教学及上机实验，在课堂教学方面，要求学习并掌握以下内容： 1．范数、稳定性及敏度分析 6学时 主要包括矩阵与向量的范数、矩阵三种分解（Jordan分解、Schur分解、奇异值分解）和对称阵的特征分解、两种正交变化（Householder变换、Givens变换）、浮点运算、问题的条件及算法的稳定性。 2．求解线性方程组的直接法 8学时 介绍三角形方程组的数值解法、（带选主元策略）Gauss消去法、特殊矩阵的三角分解、Gauss消去法的误差分析及迭代改进. 3．求解线性方程组的古典迭代法 8学时 介绍迭代法的基础知识、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法及其收敛性定理以及各种迭代法的加速. 4．Krylov子空间迭代法 6学时 最速下降法、共轭梯度法、GMRES及其收敛性 5．特征值问题的计算 12学时 主要介绍幂法与反幂法，Rayleigh商迭代，同时迭代法，上Hessenberg化，QR算法与双重步位移的隐式QR算法，计算对称特征值问题的算法主要有：Jacobi迭代，二分法，分而治之法，对称QR算法等。 6．最小二乘问题 6学时 Household变换、Givens变换、QR分解、正则化方法 7. 奇异值分解 4学时数值分析课程设计题目与要求
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