一元一次方程及其应用讲义

科登教育学科教师讲义课题一元一次方程及其应用

教学目标分类型列方程解应用题

重点、难点找等量关系

教学内容

一、知识梳理：

1．列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）“设”：用字母（例如x）表示问题的_未知量__；

（2）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的_ 等量关系_____；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据

等量关系____列出方程；

（4）“解”：解方程；

（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；

（6）“答”：答出题目中所问的问题。

2.和差倍分问题

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

3.等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h

②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc

4．数字问题

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．

十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

5．市场经济问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝

商品利润

商品成本价

×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

8．储蓄问题

利润＝每个期数内的利息

本金

×100% 利息＝本金×利率×期数

9、调配问题

列方程解调配问题各类型的应用题；各部分量之和等于总量是解决这类应用题的基关键所在。

10、浓度问题

浓度类问题：溶质＝溶液×浓度，

浓度

溶质

溶液，溶液

溶质

浓度

==

溶液＝溶质＋溶剂。

溶液：一种或以上的物质溶解在另一种物质中形成的均一、稳定的混合物。

溶质：被溶解的物质（如溶于水中的糖、盐、酒精、硫酸等）

溶剂：能溶解其他物质的物质

二、典例分析：

1、从实际问题到方程

一、基础题，请你做一做

1、已知小帅和大帅共有100元钱，设小帅有x元，则大帅有（100—x）元

2、一个数x的2倍减去7的差, 得36 ,列方程为

___ 2x—7=36_______；

二、综合题

1.完成下面的解题过程：

小帅种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高15厘米，几周后树苗长高到100厘米？

解：设x周后树苗长高到100厘米.根据题意，得

40+15x=100.

解方程，得 x=4 .

答： 4 周后树苗长高到100厘米.

2 （年龄问题）在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

解：设x 年后，学生的年龄是张老师年龄的三分之一，依题意，得

113(45)3

x x +=

+

解得x=3

答：3年后，学生的年龄是张老师年龄的三分之一。

3甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？

解：设有甲种铅笔x 支，依题意，得

0.30.6(20)9x x +-= 解得x=10

乙种铅笔有20-10=10支

答：甲、乙两种铅笔各有10支。 2 行程问题

一、基础题，请你做一做

1、甲的速度是每小时行4千米，则他x 小时行（ 4x ）千米.

2、乙3小时走了x 千米，则他的速度是每小时行（

3

x ）千米.

3、甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，则甲、乙一小时共行（ 9 ）千米，y 小时共行（ 9y ）千米.

4、某一段路程 x 千米，如果火车以49千米/时的速度行驶，那么火车行完全程需要（

49

x ）小

时.

三、综合题

1.甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？ 解：易知摩托车的速度是每小时45千米。 设经过x 小时两人相遇，依题意，得

15x+45x=180

解得x=3

答：经过3小时两人相遇。

2. 甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时， 问摩托车经过多少时间追上自行车？

解：设摩托车经过x 小时追上自行车，依题意，得45x —15（x+2）=180 解得x=7

答：摩托车经过7小时追上自行车

3．一架直升机在A ，B 两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时 .如果已知风速为30km/h ，求A ，B 两个城市之间的距离.

解：设飞机无风时的速度为x 千米/小时，依题意，得，4(30)5(30)

+=-

x x

解得x=270

所以（270+30）× 4=1200（千米）

答：A，B两个城市之间的距离为1200千米。

4.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行

．．．．．．．．．．．．，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的3

倍，问（1）经过多少时间后两人首次相遇（2）第二次相遇呢？

2

解：乙的速度是1003

?=150米/分。

2

（1）设经过x分钟后两人首次相遇，依题意，得

-=解得x=8

x x

150100400

（2）设经过x分钟后两人第二次相遇，依题意，得

-=解得x=16

150100800

x x

答：（1）设经过8分钟后两人首次相遇；

（2）设经过16分钟后两人第二次相遇。

注：环形跑道问题，通常转化为追及、相遇问题。

3调配问题

一、基础题

1.某人用三天做零件330个，已知第二天比第一天多做3个，第三天做的是第二天的2倍少3个，则他第一天做了多少个零件？

解：设他第一天做零件x 个，则他第二天做零件

__（x+3）________个，

第三天做零件__[2（x+3）-3_]_______个，根据“某人用三天做零件330个”

列出方程得：___x+x+3+_2（x+3）-3=330__.

解这个方程得：____x=84__________.

答：他第一天做零件___84_____ 个.

2.初一甲、乙两班各有学生48人和52人，现从外校转来12人插入甲班x 人，其余的都插入乙班，问插入后，甲班有学生＿＿48+x＿＿人，乙班有学生

＿52+12-x＿＿＿＿＿＿人，若已知插入后，甲班学生人数的3倍比乙班学生人数的2倍还多4人，列出方程是：

＿＿3（48+x）=2（52+12-x）+4＿＿

二、综合题

1、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

解：设应调往甲处x人，依题意，得

+=+-

x x

232(1720)

解得x=17

答：应调往甲处17人，调往乙处3人。

2.配制一种混凝土，水泥、沙、石子、水的质量比是1：3：10：4，要配制这种混凝土360千克，各种原料分别需要多少千克？

解：设有水泥x千克，依题意得3104360

+++=

x x x x

解得x=20 所以沙有20×3=60千克 石子有20×10=200千克 水有20×4=80千克

答：水泥、沙、石子、水分别需要20千克、60千克、200千克、80千克。

3、为鼓励节约用水，某地按以下规定收取每月的水费：如果每月每户用水不超过20吨，那么每吨水按1.2元收费；如果每月每户用水超过20吨，那么超过的部分按每吨2元收费。若某用户五月份的水费为平均每吨1.5元，问，该用户五月份应交水费多少元？ 解：设该用户五月份共用水x 吨，依题意，得

20 1.22(20) 1.5x x ?+-= 解得x=32 水费为1.53248?=

答：该用户五月份应交水费48元

注：本题不是“求什么设什么”。所以同学们要学会设一个合适的未知量，以便于列方程。有了这道题目的解答，请同学们解决《基础训练》P42,12题和P44,19题。 4 工程问题

一、基础题

1．做某件工作，甲单独做要8小时才能完成，乙单独做要12小时才能完成，问： ①甲做1小时完成全部工作量的几分之几？1

8

②乙做1小时完成全部工作量的几分之几？ 112

③甲、乙合做1小时完成全部工作量的几分之几？118

12

+

④甲做x 小时完成全部工作量的几分之几？1

8

x

⑤甲、乙合做x 小时完成全部工作量的几分之几？11()8

12

x

+

⑥甲先做2小时完成全部工作量的几分之几？1

28

?

乙后做3小时完成全部工作量的几分之几？

1312

?

甲、乙再合做x 小时完成全部工作量的几分之几？11()8

12

x

+

三次共完成全部工作量的几分之几？结果完成了工作，则可列出方程：

111123(

)1812812x ?+

?++=

二、综合题

1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？

解：设还需要x 天完成，依题意，得

111()41101515x +?+

=

解得x=5

答：还需要5天完成

2.食堂存煤若干吨，原来每天烧煤4吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量.

解：设原存煤量为x 吨，依题意，得

1515102

4

x x ---=

解得x=55

答：原存煤量为55吨

3.一水池，单开进水管3小时可将水池注满，单开出水管4小时可将满池水放完。现对空水池先打开进水管2小时，然后打开出水管，使进水管、出水管一起开放，问再过几小时可将水池注满？ 解：设再过x 小时可将水池注满，依题意，得

1

11

2()1334

x ?+-= 解得x=4

答：再过4小时可将水池注满。 5销售储蓄问题 一、。基础题

1.某商品按定价的八折出售，售价14.80元， 则原定价是__18.5_元。 解：设定价为x 元，0.8x=14.8，解得x=18.5

2.小帅把爸、妈给的压岁钱1000元按定期一年存入银行。当时一年期定期存款的年利率为1.98%，利息税的税率为20%。到期支取时，利息为_19.8元___，税后利息__15.84元___,小帅实得本息和为_1015.84元___.

3.A 、B 两家售货亭以同样价格出售商品，一星期后A 家把价格降低了10%，再过一个星期又提高20%，B 家只是在两星期后才提价10%，两星期后_____家售货亭的售价低。 解：设两家售亭一开始的价格为x ， A ：（1-10%）（1+20%）x=1.08x B ：（1+10%）x=1.1x

答：A 家售货亭的售价低。

4.某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则这次出售商贩__________（盈利或亏本） 元。 解：设其中一套的成本价为x 元，依题意，得

(120%)168x += 解得x=140

设另一套的成本价为y 元，依题意，得

(120%)168y -=

解得y=210

2168(140210)14?-+=-（元）

答：亏本14元。 二、综合题

1.小明爸爸前年存了年利率为

2.43%的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，利息税的税率为20%，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元？ 解：设小明爸爸前年存了x 元，依题意，得

2.43%×2×（1-20%）x=48.6 解得x=1250

答：小明爸爸前年存了1250元

2.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（也就是按标价的80%）卖出，结果每件仍获得利润15元，这种服装每件的成本价是多少元？（提示：每件服装的利润＝售价－成本价） 解：这种服装每件的成本价是x 元，依题意，得

(140%)80%15x x +?-= 解得x=125

答：这种服装每件的成本价是125元

6.数字问题

1、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

解：设百位数字为x ，则个位数字为2x ，十位数字为2x+1，依题意，得 100210(21)2[10010(21)2]49x x x x x x ?+++=?+++-

解得x=3

所以个位数字为6，十位数字为4. 答：原数为346。

2、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一，求这个两位数。

解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为x-1，依题意，得

11[10(1)]5

x x x x +-=

-+

解得x=5

十位数字为5-1=4 答：这个两位数是45 7、古典数学

1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。 解：设有x 个大和尚，依题意，得

13(100)1003

x x +

-=

解得x=25

小和尚有100-25=75个

答：有25个大和尚，75个小和尚。

2.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？ 解：设鸡有x 只，则兔有（88-x ）只，依题意，得

24(88)244x x +-=

解得x=54

兔有88-54=34只

答：鸡有54只，则兔有34只。 8、浓度问题

1、有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水______________千克。 解：设要加水x 千克，依题意，得

520%8%(5)x ?=+，解得x =7.5

2、某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50%的硫酸多少千克？

解：设需要加入浓度为50%的硫酸x 千克，依题意，得

17515%50%25%(175)x x ?+=+ 解得x=70

答：需要加入浓度为50%的硫酸70千克 3、今需将浓度为80%和15%的两种农药配制成浓度为20%的农药4千克，问两种农药应各取多少千克？ 解：设取浓度为80%的农药x 千克，则取浓度为15%的农药（4-x ）千克，依题意，得

80%15%(4)420%x x +-=?

解得x=

413

所以浓度为15%的农药为448413

13

-

=千克

答：取浓度为80%的农药413

千克，则取浓度为15%的农药4813

千克。

9、时钟问题

在6点和7点间，何时分针和时针重合？

解：设在6点x 分时，分针和时针重合，依题意，得

13012x x -

=

解得832

11

x =

答：在6点83211

分时，分针和时针重合。

10、日历问题

日历上同一竖列上3日，日期之和为75，第一个日期是几号？ 解：设第一个日期是x 号，依题意，得

(7)(14)75x x x ++++=

解得x=18

答：第一个日期是18号。

2、小华在日历上任意找出一个数，发现它连同上、下、左、右的共5个数的和为85，请求出小华找

的数。

解：设小华找的数是x，依题意，得

+-+++-++=

(1)(1)(7)(7)85

x x x x x

解得x=17

答：小华找的数是17。

11、几何问题

有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？

解：设铸成后的铜块的高是x厘米，依题意，得

?=??

x

24444

解得x=8

答：铸成后的铜块的高是8厘米。

12、方案问题

博才中学需要添置某种教学仪器,

方案1: 到商家购买, 每件需要8元;

方案2: 学校自己制作, 每件4元, 另外需要买制作工具120元, 设需要仪器x件.

(1)试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用;

(2)当所需仪器为多少件时, 两种方案所需费用一样多?

解：（1）方案1：8x元

方案2：（120+4x）元

（2）依题意，得

=+

81204

x x

解得x=30

答：当所需仪器为30件时, 两种方案所需费用一样多。

13、考虑车身长度的问题

在一段双轨铁道上，两列火车相向驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，求两列车从相遇到相离所要的时间。

解：设两列车错车的时间是x秒，依题意，得

+=+

x x

2024180160

解得x=8

7

11

秒。

答：两列车错车的时间是8

7

11

总结：（1）火车过隧道（桥）问题：

火车速度×过隧道（桥）时间=隧道（桥）长+火车车身长度

（2）两车相向而行（从相遇到相离）：

快车驶过的路程+慢车驶过的路程=两车的车身长度和

（3）两车同向而行（从追上到超过）：

快车驶过的路程-慢车驶过的路程=两车车身的长度和

中考训练

一、选择题

1．（2012铜仁）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A．5(211)6(1)

+=-

x x

x x

+-=-B．5(21)6(1)

C．5(211)6

+=

x x

x x

+-=D．5(21)6

2．（2012?重庆）已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5

二、填空题

1．（2012?湘潭）湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为．

2．（2012山西）图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是cm3．

三、解答题

1．（2012湖南长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个．

（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？

（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？

2．（2012无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

3、（2012云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水

件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？