学生合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理

知识盘点

1．推理

根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.

从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论。（推理包含合情推理与演绎推理）

2、合情推理:

根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同的性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）；

③检验猜想.

一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，即归纳推理所得的结论可真可假.

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.

一般步骤：

①找出两类对象之间的相似性或一致性；

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；

③检验猜想.

一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，即可真可假.

3.演绎推理:

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

用集合的观点理解“三段论”

若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具

有性质

4.演绎推理与合情推理的比较

合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.

演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只要前

提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.

总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

典例讲解

考点1 合情推理

题型1 用归纳推理发现规律

[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

2

3135sin 75sin 15sin 020202=

++；23150sin 90sin 30sin 0

20202=++；

23165sin 105sin 45sin 020202=++；2

3

180sin 120sin 60sin 020202=++

【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”

[解析]猜想：2

3

)60(sin sin )60(sin 0

2

2

2

=

+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =

2

3

)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.

【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式

[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f

133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 【新题导练】

1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：

2213=+ 23135=++ 241357=+++

3235=+ 337911=++ 3413151719=+++

根据上述分解规律，则2

513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为___ .

[解析]3

m 的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，12

+-m m ，…， 由7312

=+-m m 得9=m

2. (2010惠州调研二理)函数()f x 由下表定义：

若05a =，1()n n a f a +=，

0,1,2,n = ，则2007a = 4 ．

[解析]50=a ，21=a ，12=a ，43=a ， ,54=a ，n n a a =∴+4，432007==a a 点评：本题为循环型

3. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）

[解析])1(4)1()(,41

)5(-=--=n n f n f f 4. (2008揭阳一模)

设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +==== ,,n N *

∈ 则2008()f x =（ ）

A. sin x -

B. cos x -

C. sin x

D. cos x

[解析]x x f cos )(0=，x x f sin )(1-=，x x f cos )(2-=，x x f sin )(3=，x x f cos )(4=，

)()(4x f x f n n =+，2008()f x =x x f cos )(0=

题型2 用类比推理猜想新的命题

[例1 ] (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的13

，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.

【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3

1

21321=??==

，类比问题的解法应为x

2

5

3

1

4

()

f x

1

2

3

4

5

等体积法， h r Sr Sh V 41

31431=??==

即正四面体的内切球的半径是高4

1 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

[例2 ] 在ABC ?中,若0

90=∠C ,则1cos cos 2

2

=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想

【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间

[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABC P -中，三个侧面PCA PBC PAB ,,两两垂直，且与底面所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα” 证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记h PO = 由PB PC PA PC ⊥⊥,得PAB PC 面⊥，从而PM PC ⊥，又α=∠PMC

PC h PCO =

∠=sin cos α，PA h =βcos ，PB

h

=γcos h PA PC PC PB PB PA PC PB PA V ABC P ??+?+?=??=-)cos 2

1

cos 21cos 21(3161γβα

1)cos cos cos (=++∴h PB PA PC γβα即1cos cos cos 222=++γβα

【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 【新题导练】

5. (2010深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，

则这两个正方形重叠部分的面积恒为2

4

a ．类比到空间，有两个棱长

均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．

[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为8

3

a

6. (2010梅州一模)已知ABC ?的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用

的面积表示ABC S ABC ??）

，则ABC S ?)(2

1

c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V

[解析] )1

(3

ABC ABD ACD BCD R S S S S ????+++

7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)

在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________. [解析] 0Ax By Cz D +++=；2222000()()()x x y y z z r -+-+-=

8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，方程01121=++c x b x a 和02222=++c x b x a 在复数集上的解集分别是A 和B ，则“

2

1

2121c c b b a a ==”是“B A =”的充分必要条件． 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．

解：（3）如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，不等式01121>++c x b x a 和

02222>++c x b x a 的解集分别是A 和B ，则“

2

1

2121c c b b a a ==”是“B A =”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．

9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ； 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．这个数列的前n 项和n S 的计算公式为_____________________________________．

[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和

数列，这个常数叫做该数列的公和；318=a ；=n S ???

????=-为偶数为奇数n n y n n ,25,2

1

5

考点2 演绎推理

题型:利用“三段论”进行推理

[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样e

d c b a S 1

++=

来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）

【解题思路】从分式的性质中寻找S 值的变化规律

[解析] 因e d c b a ,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增长越多，a b e d c <<<<<0 ，所以c 增大1个单位

会使得S 的值增加最多

【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到

[例2 ] （03上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x+T )=T f (x )成立.

（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；

（2）设函数f (x )=a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明： f (x )=a x ∈M ； （3）若函数f (x )=sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.

【解题思路】函数f (x )是否属于集合M ，要看f (x )是否满足集合M 的“定义”，

[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，

所以f (x )=.M x ?

（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，

所以方程组：???==x

y a y x

有解，消去y 得a x =x ,

显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.

于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =?=?==++ 故f (x )=a x ∈M. （3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.

当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有 f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx . 因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ， 于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，

只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z . 当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立， 即sin(kx －k +π)= sin kx 成立，

则－k +π=2m π, m ∈Z ，即k =－2(m －1) π, m ∈Z . 实数k 的取值范围是{k |k = m π, m ∈Z} 【名师指引】学会紧扣“定义”解题 【新题导练】

10. (2010珠海质检理)定义*a b

是向量a 和b 的“向量积”，它的长度

|*|||||sin ,a b a b θθ=??

其中为向量a 和b 的夹角，若

(2,0),(1,|*()|u u v u u v =-=+

则= .

[解析]=+*∴>=+<=+=|)(|2

1

,sin ),3,3(),3,1(

11. (2010深圳二模文)一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、

H 、I 、J 各点，最后又回到A （如图所示）

，其中：AB BC ⊥， ////////AB CD EF HG IJ ，////BC DE ////FG HI JA ． 欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度， 则n =（ B ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 [解析]只需测量GH BC AB ,,3条线段的长

12. (2010惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文

d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）．

A ． 4，6，1，7

B ． 7，6，1，4

C ． 6，4，1，7

D ． 1，6，4，7

[解析] 由???????==+=+=+16418327252d d c c b b a 得????

???====7

146

d c b a ，选C

13.对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算

“?”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,pq

R ∈，

若(1,2)(,)(5,0)p q ?=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）

A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,4)- 解：由题意，??

?=+=-0252q p q p ，解得?

??-==211

p ，所以正确答案为（B ）．

点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该题还原为：已知复数z 满足5)21(=+z i ，则=++z i )21(_____________．

提高训练

1、对于集合A,B,定义运算}|{B x A x x B A ?∈=-且，则)(B A A --=（ ）

A.B

B.A

C.B A ?

D. B A ?

2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提错误 D ．使用了“三段论”，但小前提错误

3、给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若b a b a R b a =?=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =?=-∈0,则、”

②“若d b c a di c bi a R d c b a ==?+=+∈,，则复数、、、”类比推出

“d b c a d c b a Q d c b a ==?+=+∈,22，则、、、” ③

“

若

b

a b a R b a >?>-∈0，则、、”类比推出“若

b a b a C b a >?>-∈0,则、”

④“若111||<<-?<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-?<∈z z C z ，则” 其中类比结论正确．．．．

的个数有

（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4、如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n －2 个图形中共有 个顶点。

5、如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，

都有

)()()()(2121n

x x x f n x f x f x f n

n +++≤+++ .若x y sin =在区间(0,)π上是

凸函数，那么在?ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是________________.

6、类比平面向量基本定理:“如果21,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面内任

一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e a λλ+=”，写出空间向量基本定理是： 7、(2009汕头一模)设P 是ABC ?内一点，ABC ?三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P

到三边的距离依次为a l 、b l 、c l ，则有

a b c

A B C

l l l h h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。

8、(2009惠州一模)设 ()11x

f x x

+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===

则()2008f x =（ ） A ．11x x +-； B ．11x x -+； C ．x ； D ．1

x

-；

9、（1）已知等差数列{}n a ，n

a a a

b n

n +++=

21（N n ∈），求证：{}n b 仍为等差数列；

（2）已知等比数列{}n c ，0>n c （N n ∈），类比上述性质，写出一个真命题并加以

10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x

D =∈，对任意,,

2x y x y D +∈均满足1

()[()()]22

x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。 （1）若定义在(0，＋∞)上的函数()f x ∈M ，试比较(3)(5)f f +与2(4)f 大小. （2）设函数g(x)＝－x 2，求证：g(x)∈M .

答案

1[解析]D [用图示法] 2[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C 3[解析]

类比结论正确的只有① 4[解析] 设第n 个图中有n a 个顶点，则3331?+=a ，

4442?+=a ，n n n a n ?+=, ，232)2(222+-=-+-=-n n n n a n 5[解析]

==++≤++3sin 33sin

3sin sin sin πC B A C B

A [解析] 如果321,,e e e 是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量a ，有且只有一对实数321,,λλλ，使

得332211e e e λλλ++= 7[解析]用等面积法可得，a b c A B C l l l

h h h ++=1，类比到空间

有1=+++D

d C c B b A a h l

h l h l h l 8[解析] C x x x f -+=11)(1，x x f 1)(2-=，

1

1

)(3+-=x x x f ，x x f =)(4，)()(4x f x f n n =∴+

x x f x f ==)()(42008 9证明．

[解析]（1）2

2)

(11n n n a a n a a n b +=+=，211n n n n a a b b -=-++，

{}n a 为等差数列2

211d

a a

b b n n n n =-=-∴++为常数，所以{}n b 仍为等差数列；

（2）类比命题：若{}n c 为等比数列，0>n c （*

N n ∈），n n n c c c d ???= 21，则{}

n d 为等比数列 证明：n n

n

n n c c c c d 12

1)(=?=

，

q c c d d n

n n n ==++1

1

为常数，{}n d 为等比数列 10[解析] (1)对于1

(

)[()()]22

x y f f x f y +≥+，令5,3==y x 得(3)(5)f f +<2(4)f (2)24)()]()([21)2(2

2212212121x x x x x g x g x x g +++-=+-+04

)(2

21≥+=x x )]()([2

1

)2(

2121x g x g x x g +≥+∴ ,所以g(x)∈M

小学数学中的合情推理

小学数学中的合情推理 (2009-07-29 16:35:15) 分类：教学 标签： 杂谈 合情推理，是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念，它是指“观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正和调控等方法”。波利亚在致力改变美国数学落后状态的工作中，大力倡导合情推理的方法，并获得成功。 在数学学科教学中，我们重视和加强了双基教学，但学生在校所学到的学科知识，随着他们离开学校，多数会逐渐忘掉，甚至有的会忘得“一干二净”。如果说“教育是所有学会的东西都忘却以后，仍然留下来的那些东西”（M?劳厄），学生学习数学获得的不仅仅是知识，除此之外，更为重要的是思想与方法。而在研究探究性学习的今天，我们的教学一直在研究如何组织和组织的形式上，对在发展过程中使用的合情推理等方法没有予以足够的重视，而这些恰恰是人的优秀文化素质的重要组成部分。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。 一、合情推理在数学能力发展中的功能和作用 《数学课程标准（实验稿）》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。合情推理，它“是在认知过程中，主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验，经过非演绎（或非完全演绎）的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式”。其主要表现在：“它可能是……”（猜测），“做出来看一看”（实验），“由上所述可得……”（归纳），“将人心比自心”（类比），“可以想象”（联想）等。 合理推理与通常所说的论证推理是不相同的。论证推理是可靠的；而合情推理是根据经验、知识、直观与感觉得到的一种可能性结论的推理，它推出的结论不一定都正确，却和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。事实证明，合情推理的这两种主要推理方式…归纳?和…类比?，不受逻辑规则的约束具有强烈的创造性质，它推动了数学的进步和发展。尽管由类比、归纳得出的结论不一定正确，必须加以论证才能确立，但它在数学教学中突出发展学生创造性思维的

合情推理演绎推理(带答案)

合情推理 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等．式． 为3333332 12345621+++++=。 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：962 3：与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 213122+<，221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为： 。 答案： 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

合情推理与演绎推理的教学案例

2.1合情推理与演绎推理导学案 一、教学目标：通过几个练习题的思考和讨论，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力； 二、教学过程展示： 展示题组一： 1．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添加的条件为．你得到的一对全等三角形是△≌△． 2．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你从其中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并证明．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF． 课后练习：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结论：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程． 考查内容：1．从复杂图形中分解出基本的图形，能否利用合情推理能力获得合理的数学猜想。2、从图形中观察猜想，通过合情推理组成命题，然后用演绎推理验证命题的正确

性，从而正确解决问题。3．考查内容同2，课后练习巩固此类题的解决方法，进一步培养其推理能力。

展示题组二： 1、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG，如果α＝45°，AB＝4√2，AF＝3，求FG的长． 2、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上. （1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）（3分） （2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可）

2021届高考数学一轮复习《算法初步、推理与证明、复数》测试卷及答案解析

2021届高考数学一轮复习测试卷 算法初步、推理与证明、复数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．适合2i ()i x x y -=-的实数x ，y 的值为（ ） A ．0=x ，2=y B ．0=x ，2-=y C ．2=x ，2=y D ．2=x ，0=y 2．将2019化为二进制数是（ ） A ．211111100011（） B ．21111100001（） C ．2111111000011（） D ．21111100111（） 3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 4．当2 53 m - <<时，复数(32)(5)i z m m =++-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 第二象限 第三象限 D ．第四象 5．该边程序运行结果为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知数列11， 21，12，31，22，13，41，32，23，14 ，依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足（ ） A ．2019110a ≤≤ B ．201910a > C ．20191010 a << D ． 20191 110 a ≤< 7．已知i 为虚数单位，则复数37i i z +=的实部与虚部分别为（ ） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 8．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“一一”，其中“一”在二进制中记作“1”，“—一”在二进制中记作“0”，例如二进制数(2)1011化为十进制的计算如下： 3210(2)(10)10111202121211=?+?+?+?=，若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的 二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ．0 B ． 1 2 C ． 13 D ． 14 9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222 233=，33 3388 =，444 41515=5552424=则按照以上规律，若88 88n n =具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48 C ．63 D ．80 10．已知复数2 i(3i) z =-，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．秦九韶算法01(1,2,)n k k n k V a k n V V x a --=?=???? =+?是将求n 次多项式11()n n n n f x a x a x --=++ 2210a x a x a +++的值转化为求n 个一次多项式的值．已知7632()2341f x x x x x =-+-+，求 (2)f ，那么4V =（ ）

合情推理与演绎推理优秀教案

0(1,2,,)i a i n >=2.1合情推理与演绎推理 姓名班级 【学习目标】 （1）结合已学过地数学实例，了解归纳推理、合情推理地含义，通过生活中地实例和已学过地教学地案例，体会演绎推理地重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单地推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中地作用.掌握推理地基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.【教学重点】能利用归纳、类比、演绎地方法进行简单地推理. 【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含地“三段论”形式. 【教学过程】 问题一：归纳推理 一、创设情境 1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6地偶数都等于两个奇质数之和.2.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对 2 0213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4 242165537F =+=地观察，发现其结果都 是素数，于是提出猜想：任何形如12 2+=n F （*∈N n ）地数都是素数.后来瑞士数学家欧拉， 发现5 252142949672976416700417F =+==?不是素数，从而推翻费马猜想.3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学地弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣地现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界地国家着上不同地颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注地问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学地两台不同地计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡城七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)地普莱格尔河上有7座桥，将河中地两个岛和河岸连结，如图1所示.城中地居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点.这就是七桥问题，一个著名地图论问题.这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里.欧拉以深邃地洞察力很快证明了这样地走法不存在.欧拉是这样解决问题地：既然陆地是桥梁地连接地点，不妨把图中被河隔开地陆地看成A 、B 、C 、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点地线，如图2所示. 图1图2图3 于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形地一笔画问题了.欧拉注意到，每个点如果有进去地 边就必须有出来地边，从而每个点连接地边数必须有偶数个才能完成一笔画.图3地每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次地走法.二、合作探究： 1、归纳推理地概念：由某类事物地部分对象具有某些特征，推出该类事物地全部对象都具有这些特征地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般地推理.讨论：(i)归纳推理有何作用？ (ii)归纳推理地结果是否正确？ 2. 练习： (1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ （2）已知，考察下列式子： 111()1i a a ?≥；1212 11()()()4 ii a a a a ++≥；123123 111 ()()( )9iii a a a a a a ++++≥. 可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立地类似不等式为. (3). 观察等式：222 1342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样地结论？ 三、例题讲解 例1.已知数列{}n a 地第1项a 1=1，且),3,2,1(11 =+= +n a a a n n n ，试归纳出这个数列地通项公式. 例2:汉诺塔问题 有三根针和套在一根针上地若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大地金属片不能放在较小地金属片上面. 试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 1 2 3

合情推理

合情推理 （上饶市秦峰中学朱校华2014·11·03原创）美国有一位数学家、数学教育家叫波利亚，他撰了一本论著叫《数学与猜想》，在这本书的序言中，其中有这样一段话说得特别好，他说：“作为以后要想把数学作为自己终身职业的人，应该学习演绎推理，因为这是该学科的一大特点，当然他还要学习合情推理，因为这是使得他的研究工作能够得以进行的一种推理形式；如果你不是把数学作为自己终身职业的人，同样也要学习演绎推理，因为学习了演绎推理，你就获得了一种标准，这个标准就可以用来衡量日常生活中，我们碰到的一些事情；更应该要学习合情推理，因为在你的日常生活当中，方方面面都要用到合情推理.”波利亚很辩证地说清了演绎推理和合情推理这两种推理形式，对于一个无论是以后做数学研究的人，还是不做数学研究的人，它的重要性都阐释得很充分.说明合情推理对于我们每个人来说都是很重要的！必须要掌握！ 事实上，推理不光是数学的一种基本思维方式，也是人们学习和生活当中，具备并经常使用的一种思维方式，推理主要包括演绎推理和合情推理。 演绎推理是从已知的事实出发，按照一些已确定的规则，然后进行逻辑的推理、证明和计算的一个过程。换句话说，演绎推理是从一般到特殊的一种思维形式，常常是由普通性的前提推出特殊性的结论的一种推理，主要有三段论、假言推理和选言推理三种样式。在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理的形式。下面就三种形式分别举三个例子来悟悟：①正方形一定是长方形，这个图形是正方形，所以它一定是长方形；②如果一个图形是长方形，那么它的四个内角均是直角，这个图形四个内角不是直角，所以它不是长

方形；③一个三角形，或者是锐角三角形，或者是直角三角形，或者是钝角三角形，这个三角形不是锐角三角形和钝角三角形，所以它一定是直角三角形。 来推断，以获得一些可能性结论的一种思维方式。和演绎推理对比不一样的地方在于：合情推理往往是从特殊到一般的一种推理，所以合情推理得到的结论，可能不一定是对的，通常可称之为猜想或推测，是一个可许性结论。但是合情推理在数学整个发展过程当中，包括在学生学习数学和今后的社会实践和生活当中，却是特别重要的。有两个常用思维可用来支持这个合情推理的重要性。第一个就是抽象思维，抽象的过程，是从特殊到一般的过程，很多重要概念的形成，实际上是抽象的过程，这样一个过程对于概念的认识和理解，是非常重要的；第二个就是统计思维，最基本的推理方式是归纳，当然这里面还有其他直觉的、经验的成份，包括特殊化和一般化。事实上，数学概念的形成，定理的得到，是经历了归纳、类比的过程，最后才能形成所得到的一些认知. 在人的成长过程中，不专门从事数学工作，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理却要经常被使用到。我们日常生活中的许多现象，其实往往都是由合情推理得来的。比如，有一句谚语叫“红云变黑云，必有大雨淋；天色亮一亮，河水涨一丈！”你说怎么用演绎的方法去证明呢，它就是由合情推理产生的，但是它却能够给我们提供生活指导与帮助。因此，平常数学学习要注重大胆地去猜想、大胆地去归纳、大胆地去验证。通过动手动脑感悟到的东西，一定要先写出来；再利用演绎的方法从逻辑上去证明；另外，合情推理和演绎推理能力的培养，许多领域里面也都会有所体现。下面给出两例予以悟之！ 第一例：有关含“绝对值式”计算的系列题： a a ⑴计算＝？，（显然字母a≠0，下同；答案：±1，说明“1个式子，有2个答案”！）

合情推理和演绎推理训练

合情推理和演绎推理训练

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推理与证明 ★知识网络★ 第１讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ １.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理． 从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由 已知推出的判断,叫结论. ２、合情推理： 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: （1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反

与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理 问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3 ★热点考点题型探析★ 考点１ 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 ［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周 期性） ［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂

合情推理──归纳推理

《合情推理─归纳推理》的评课 朱辉华 师：我们知道，“推理”活动对于人们认知客观世界和改造客观世界而言，具有非常重要的意义。所以我们有必要对“推理”的数学意义进行较深入的学习和加强。虽然，以古希腊为代表的西方数学在“推理”方面具有明显的特点与优势，但中国古代也产生了大量的、擅长“推理”的“专家”。现在请大家观看一段视频，并且在观看的同时思考一个问题：即里面所涉及的主要人物是怎样对面临的问题进行推理的？ 下面的视频是三国演义中有关“草船借箭”的视频，主要演示当晚江中两军对峙的若干场景以及曹操面对“敌军忽至”的应对策略，时间为1分20秒。 师：视频中显示的主人公是谁呀？ 生：曹操！ 师：那“草船借箭”真正的主人公是谁？ 生：诸葛亮！ 师：俗话说的好：三个臭皮匠，顶个诸葛亮，下面我们来分析一下他怎么敢在周瑜面前夸下海口，保证能借到“箭”呢？有什么理由？ 生：因为曹操性格是多疑的，他怀疑有埋伏，…… 老师和学生一起进一步分析，得到： ?????? ?? (1)今夜恰有大雾(2)曹操生性多疑草船借箭必将成功(3)弓弩利于远战(4)北军不擅水战 师：由上可见，诸葛亮显然是一个善于利用推理的“专家”。象这种利用几个已知的判断来确定一个新的判断，这就是我们前面所讲的“推理”。 教师下面介绍了“推理”的概念。并利用如下的“思考1”让学生学习了“推理”与“合情推理”的分类，引出了本节课的主题───归纳推理。 思考1：试根据以下前提进行猜想。 ①由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电 ②由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°。 ③地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征。 ④因为所有人都会死，而苏格拉底是人。 师：我们通过“思考1”的前面两个小题与屏幕上的两种推理（注：这里略去）能不能总结出“归纳推理”的某些特征。 生：很好！我们可以借此得到归纳推理的概念。即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。这里面哪些是关键词？ 生：部分对象，全部对象，个别事实，一般结论。 师：很不错！事实上归纳推理即为由部分到整体，由个别到一般的推理。这种推理在生活及学习中极为常见。大家能不能分组讨论一下，得到一些例子？ 学生积极参与了讨论，也得到了一些生活以及学科上的例子，如市场的菜涨价问题、用样本去估计总体以及化学中酸与碱反应问题等等。

3 第3讲 合情推理与演绎推理

第3讲 合情推理与演绎推理 1．推理 (1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程． (2)分类：推理? ? ???合情推理 演绎推理 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式： 三段论???? ?①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n － 1

第45讲 合情推理与演绎推理

第45讲合情推理与演绎推理 1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理． 3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异． 知识梳理 1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察，分析，比较，联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理． 2．演绎推理 (1)从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 热身练习 1．(2015·陕西卷)观察下列等式：

1－12＝12 ， 1－12＋13－14＝13＋14 ， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …… 据此规律，第n 个等式为 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 等式左边是一个和式，先观察其通项： 等式的左边的通项为 12n －1－12n ， 前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－1 2n ； 右边的每个式子的第一项为1 n ＋1 ， 共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 n ＋n . 所以第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 2 类比得：b 1·b 2·b 3·b 4·b 5＝b 53. 3．如图(1)有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则由图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′ V P －ABC ＝ P A ′·PB ′·PC ′ P A ·PB ·PC . 平面上的面积可类比到空间上的体积． V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝1 3·S △P A ′B ′·h ′13·S △P AB ·h ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

推理与证明练习题汇编

合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23

[笔试解题指导]演绎推理题型分类及规律总结

演绎推理题型分类及规律总结 （陈远跃/整理） 所谓推理，是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。一切推理都必须由前提和结论两部分组成。一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。推理大体分为直接推理和间接推理。 只有一个前提的推理叫直接推理。例如：有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。 一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。例如：贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。 一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。 1、演绎推理及其分类 所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。例如：贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。 演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。

1、三段论 (1)所谓三段论是推理中最普通的一种形式。它由三个简单判断组成，其中两个是前提，一个是结论。例如：不法分子都害怕法律的制裁（大前提）；杀人犯是不法分子（小前提）；所以杀人犯害怕法律的制裁（结论）。 (2)三段论的推理一般有三个特点： ①有三个判断； ②每个判断都有两个概念，整个推理共有三个不同的概念，每个概念都出现两次； ③在前提中都有一个概念起媒介的作用。 在逻辑学中，阐述三段论时，概念和判断都有一定的名称。即，在作结论的判断中的谓项称为大项（P）；作主项的称为小项（S）；在结论中不出现，在前提中起媒介作用的称为中项（M）。一般，包含大项的判断称为大前提，包含小项的判断称为小前提。 (3)我们在运用三段论时，还要遵守三个原则： ①一个三段论必须（也只能）有三个概念，特别是中项必须是同一概念，否则就会产生错误（通常把这种错误说为“偷换概念”）。例如：茅盾著作不是几天可以读完的；《白杨礼赞》是茅盾著作；所以，《白杨礼赞》不是几天可以读完的。 这里，在大前提中的“茅盾著作”指所有茅盾著作构成的总体，而小前提中的“茅盾著作”则是茅盾许多著作中的一种具体的著作，两者含义不同，已经不是三个概念，而是变成了四个概念，致使推理