现代控制理论论文2
李雅普诺夫稳定性判定及其校正的仿真
摘要：稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。1892年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。 关键词：李雅普诺夫 稳定性 线性定常系统 校正仿真
0．背景
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。
李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减,直至稳定时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析,则更能显示出优越性。
1.李雅普诺夫稳定性概念
忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下
),(t x f x = （1）
式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；
),(t x f 为n 维函数，其展开式为
12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =
假定方程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000)
,;(x t x t x =。
平衡状态 如果对于所有t ，满足
0),(==t x f x
e e （2）
的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态方程，令0=x
所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x
= ，其平衡状态满足0=e Ax ，如果A 非奇异，系统只有惟一的零解，
即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态
方程决定。
控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。
2.李雅普诺夫稳定性定义
（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的ε > 0，均存在一个0)
,(0>t εδ，当初始状态满足
δ
≤-e x x 0时，系统运动轨迹满足lim
t →∞
ε≤-e x t x t x ),;(00，则称该平衡状态x e 是李雅普诺夫意
义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示见图8-18（a ），e
x x -0表示状态空间中x 0点至x e
点之间的距离，其数学表达式为
2
021100)()(ne n e e x x x x x x -++-=- （3）
设系统初始状态x 0位于平衡状态x e 为球心、半径为δ的闭球域()S δ内，如果系统稳定，则状态方程的解),;(00t x t x 在∞→t
的过程中，都位于以x e 为球心，半径为ε
的闭球域()S ε内。
（2）一致稳定性： 通常δ与ε、t 0 都有关。如果δ与t 0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t 0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。
（3）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有
00lim
(;,)0e t x t x t x →∞
-→ （4）
称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从()S δ 出发的轨迹不仅不会超出()S ε，且当∞→t 时收敛于x
e
或其附近，其平面几何表示见图8-18（b ）。
（4）大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，∞→δ，∞→δ)
(S ，∞→x 。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，
必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。
（5）不稳定性 不论δ取得得多么小，只要在()S δ内有一条从x 0 出发的轨迹跨出()S ε，则称此
平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图8-18（c ）。
注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过()S ε ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 3.李雅普诺夫稳定性间接判别法
李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。
线性定常系统的特征值判据 系统Ax x
= 渐近稳定的充要条件是：
系统矩阵A 的全部特征值位于复平面左半部，即
0)
Re(<λi n i ,,1 = （5）
证明 假定A 有相异特征值n λλ,,1 ，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换x P x =（P 由特
征值i λ对应的特征向量构成，为一常数矩阵），可使
A 对角化，有
),(11n diag AP P A λλ==- 变换后状态方程的解为 )0()()0()
(1x e e diag x e t x t
n t
At λλ ==
由于 x P x 1-=，)0()0(1x P x -=
故原状态方程的解为 )0()0()
(1x e x P Pe t x At t A ==-
有 11)(diag 1--==P e e P P Pe e t t
At At
n λλ
将上式展开，At
e
的每一元素都是t t
n e e
λλ,,1 的线性组合，因而可写成矩阵多项式
t n t t n
i i At
n i e R e R e R e
λλλ++==∑= 111
故)(t x 可以显式表出与λi 的关系
)0(][)0()(11x e R e R x e t x t n t At n λλ++==
当式（8-74）成立时，对于任意x （0），均有0)(→∞
→t t x ，系统渐近稳定。只要有一个特征值的实部
大于零，对于0)
0(≠x ,)(t x 便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对，且均不能是重根）特
征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，)(t x 便含有常数项或三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。
4.李雅普诺夫稳定性直接判别法
李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。
根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与n x x ,,1 及t 有关，是一个标量函数，记以(,)V x t ；若不显含t ，则记以()V x 。考虑到能量总大
于零，故为正定函数，能量衰减特性用(,)V
x t 表示。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数Px x T
作为李雅普诺夫函
数。
1.标量函数定号性
（1）正定性 标量函数()V x 在域S 中对所有非零状态)0(≠x
有0)(>x V 且0)0(=V ，称
()V x 在域S 内正定。如2
2
21)(x x x V +=是正定的。 （2）负定性 标量函数()V x 在域S 中对所有非零x 有0)( S 内负定。如)() (2 221x x x V +-=是负定的。如果()V x 是负定的，-()V x 则一定是正定的。 （3）负（正）半定性 0)0(=V ，且()V x 在域S 内某些状态处有0)(=x V ，而其它状态处均 有0) ( ，则称()V x 在域S 内负（正）半定。设()V x 为负半定，则()V x -为正半定。如221)2() (x x x V +-=为正半定。 （4）不定性 ()V x 在域S 内可正可负，则称()V x 不定。如21) (x x x V =是不定的。 关于(,)V x t 正定性的提法是：标量函数(,)V x t 在域S 中，对于0 t t >及所有非零状态有 0),(>t x V ,且0),0(=t V ，则称),(t x V 在域S 内正定。),(t x V 的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记 []???? ? ???????????????==n nn n n n T x x p p p p x x Px x x V 111111 ) ( （6） 其中，P 为对称矩阵，有 ji ij p p =。显然满足0)(=x V ，其定号性由赛尔维斯特准则判定。当P 的各 顺序主子行列式均大于零时，即 11111121121 22 10, 0,, 0n n nn p p p p p p p p p >>> （7） P 为正定矩阵，则()V x 正定。当P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即 11111121121 22 10, 0,,(1)0n n n nn p p p p p p p p p <>-> （8） P 为负定矩阵，则()V x 负定。若主子行列式含有等于零的情况，则()V x 为正半定或负半定。不属以上 所有情况的()V x 不定。 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理概念的阐述和应用。 2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为),(t x f x = ，其平衡状态满足0),0(=t f ,不失一般性，把状态空间原点作为 平衡状态，并设系统在原点邻域存在(,)V x t 对x 的连续的一阶偏导数。 定理1 若①(,)V x t 正定，②(,)V x t 负定；则原点是渐近稳定的。 (,)V x t 负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。 定理2 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近稳定的。 (,)V x t 负半定表示在非零状态存在(,)0V x t ≡ ，但在从初态出发的轨迹),;(0 0t x t x 上，不存在0),(≡t x V 的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该 状态。 定理3 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。 沿状态轨迹能维持0),(≡t x V ，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态而不运行 至原点。 定理4 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 正定；则原点是不稳定的。 (,)V x t 正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。 参考定理2可推论：(,)V x t 正定，当(,)V x t 正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。 应注意到，李雅普诺夫函数[正定的(,)V x t ]的选取是不惟一的，但只要找到一个(,)V x t 满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的(,)V x t 不同而有所影响。不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍。如果(,)V x t 选取不当，会导致 (,)V x t 不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重新选取(,)V x t 。 以上定理按照(,)V x t 连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。 具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数(,)V x t ，通常选二次型函数，求其导数(,)V x t ，再将状态方程代入，最后根据(,)V x t 的定号性判别稳定性。 至于如何判断在非零状态下]),,;([00t t x t x V 是否有恒为零的情况，可按如下方法进行：令 0),(≡t x V ，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对0≠x ，0),(≡t x V 的条件是成立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足0),(≡t x V 的条件。 五． 提出问题 设系统状态方程为 . 0,1,000,0,102,3,01x x u ???? ????=+???? ???????? []1,1,1y x = （1） 验证该系统的稳定性。 （2） 若该系统不稳定，试设计控制结构u 使得该系统成为渐进稳定系统。 （3） 对该系统进行仿真，分别做出其x 曲线，系统误差e 以及系统控制信号u 的曲线。 六． 解决问题 1. 稳定性判定 设 11 12 13 21 22 2331 32 33,,,,,,,P Q I p p p p p p p p p ?? ? ?== ? ? ??? ， 将上式带入 T P PA I A +=-中可以得到 51,1,24711,,42111,,422P ??- ? ? ?=- ? ? ?--- ? ?? ， 由P 可以得到， 1235270;0;281470;...... 64= >=>=- 所以该系统不是渐进稳定的。 2. 控制器设计 取P I = ,则 22 212 3 T X PX V X X X X = = ++ ，, 显然X V 是正定的。 随 后 ， 由 X V 可以得 到 . ... 112233 12231332222842X U V X X X X X X X X X X X X X =++=+++， 为了使该系统渐进稳定，则必须保证 .0 X V <， 所以可以得到 12213 (42) U X X X X X <-++， 可以取 2 212 213 ( 42) 2U X X X X X + =-++， 则 .22 12()0 X V X X =-+≤ ， 且当 X →∞ 时，有 ()V X →∞，所以可推出该系统大范围渐进稳定。 3. 系统结构框图 该系统的状态方程可以变为： . 1 2 . 23 .3 1223U X X X X X X X == =++, 由上式可得到系统结构框图如下： 七．仿真 1.要求 对该系统进行仿真，分别做出其x曲线，系统误差e以及系统控制信号u的曲线。 2.程序段 （1）xdot函数 function xdot=DxDt(t,x) xdot=[x(2);x(3);2*x(1)+3*x(2)-(x(1)*x(1)+x(2)*x(2))/2*x(3)-4*x(2)-2*x (1);... 2.4286*x(4)+ 3.4286*x(5)+2.4286*x(6)-2.4286*x(4);-5.1429*x(4)-5.1429*x (5)- 4.1429*x(6)+- 5.1429*x(5);... -2.2857*x(4)-1.2857*x(5)-4.2857*x(6)-(x(4)*x(4)+x(5)*x(5))/2*x(6)-4*x (5)-2*x(4)+42.2857*x(6);... -((x(1)*x(1)+x(2)*x(2))/2*x(3)-4*x(2)-2*x(1))]; （2）曲线输出程序 tspan=[0,12]; x0=[-0.85;0.1;0.1;-0.85;0.1;0.1;2.3625]; [tt,xx]=ode45(@DxDt,tspan,x0); figure(1) %输出路径比较图（x曲线） plot(tt,xx(:,1)) xlabel('t'),title('x1(t)') figure(2) plot(tt,xx(:,2)) xlabel('t'),title('x2(t)') figure(3) plot(tt,xx(:,3)) xlabel('t'),title('x3(t)') figure(4) %输出状态观测器的曲线图plot(tt,xx(:,4)) xlabel('t'),title('x4(t)') figure(5) plot(tt,xx(:,5)) xlabel('t'),title('x5(t)') figure(6) plot(tt,xx(:,6)) xlabel('t'),title('x6(t)') figure(7) %输出系统误差e曲线图 plot(tt,xx(:,1)-xx(:,4)) xlabel('t'),title('e1') figure(8) plot(tt,xx(:,2)-xx(:,5)) xlabel('t'),title('e2') figure(9) plot(tt,xx(:,3)-xx(:,6)) xlabel('t'),title('e3') figure(10) %输出系统控制器u的曲线图plot(tt,xx(:,7)) xlabel('t'),title('u(t)') （3）系统观测器的求取程序 A=[0 1 0;0 0 1;2 3 0];B=[0;0;1];C=[1 1 1];P=[-3,-2+j,-2-j]; K=acker(A',C',P);H=K' AHC=A-H*C 3.仿真结果 （1）观测器 H = -2.4286 5.1429 4.2857 AHC = 2.4286 3.4286 2.4286 -5.1429 -5.1429 -4.1429 -2.2857 -1.2857 -4.2857 （2）路径比较图（x曲线） （3）观测器的曲线图 （4） 系统误差图（e 曲线） （5） 控制信号图（u 曲线） 八． 总结 此设计是为了通过设置控制器，使得原本不稳定的系统渐进稳定，在设计的过程中，控制器的设计是 一个重点，它必须可以使得 .0 X V ，这样才可以使该系统稳定，否则将控制器带入原状态方程之后的仿 真无法得到一个渐进稳定的系统， 仿真出的曲线也不正确；在作图的过程中，系统误差e 的曲线必须要设计一个合适的状态观测器，在求解状态观测器的过程中，我也遇到了一些麻烦和错误的地方，不过通过多次尝试，还是得到了较为满意的结果，最终的曲线也基本符合理论结果。 九． 参考文献 （1）胡寿松主编.自动控制原理.第四版.北京：科学出版社，2001年 （2）刘豹主编.现代控制理论.第二版.北京：机械工业出版社，2004年 （3）朱晓青主编.过程检测控制技术与应用.北京：冶金工业出版社，2002年（4）姚伯威，孙锐主编.控制工程基础.北京：国防工业出版社，2002年 （5）戴文进，章卫国主编.自动化专业英语.武汉：武汉理工大学出版社，2001年（6）谈振藩编，自动控制专业英语.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1999年（1陈哲. 现代控制理论基础[M].北京：冶金工业出版社 （2）王正林. 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MATLAB7.0控制系统应用与实例[M].北京.机械工业出版社 （5）刘豹唐万生. 现代控制理论[M].北京.机械工业出版社 自动控制 摘要：综述了自动控制理论的发展情况，指出自动控制理论所经历的三个发展阶段，即经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论。最后指出，各种控制理论的复合能够取长补短，是控制理论的发展方向。 自动控制理论是自动控制科学的核心。自动控制理论自创立至今已经过了三代的发展：第一代为20世纪初开始形成并于50年代趋于成熟的经典反馈控制理论；第二代为50、60年代在线性代数的数学基础上发展起来的现代控制理论；第三代为60年代中期即已萌芽，在发展过程中综合了人工智能、自动控制、运筹学、信息论等多学科的最新成果并在此基础上形成的智能控制理论。经典控制理论(本质上是频域方法)和现代控制理论(本质上是时域方法)都是建立在控制对象精确模型上的控制理论，而实际上的工业生产系统中的控制对象和过程大多具有非线性、时变性、变结构、不确定性、多层次、多因素等特点，难以建立精确的数学模型。因此，自动控制专家和学者希望能从要解决问题领域的知识出发，利用熟练操作者的丰富经验、思维和判断能力，来实现对上述复杂系统的控制，这就是基于知识的不依赖于精确的数学模型的智能控制。本文将对经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论的发展情况及基本内容进行介绍。 1自动控制理论发展概述 自动控制是指使用自动化仪器仪表或自动控制装置代替人 自动地对仪器设备或工业生产过程进行控制，使之达到预期的状态或性能指标。对传统的工业生产过程采用自动控制技术，可以有效提高产品的质量和企业的经济效益。对一些恶劣环境下的控制操作，自动控制显得尤其重要。 自动控制理论是和人类社会发展密切联系的一门学科，是自动控制科学的核心。自从19世纪M ax we ll对具有调速器的蒸汽发动机系统进行线性常微分方程描述及稳定性分析以来，经过20世纪初Ny qu i s t，B od e，Ha rr is，Ev ans，W ie nn er，Ni cho l s等人的杰出贡献，终于形成了经典反馈控制理论基础，并于50年代趋于成熟。经典控制理论的特点是以传递函数为数学工具，采用频域方法，主要研究“单输入—单输出”线性定常控制系统的分析和设计，但它存在着一定的局限性，即对“多输入—多输出”系统不宜用经典控制理论解决，特别是对非线性、时变系统更 宁波理工学院现代控制理论课程设计报告 题目打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性分析项目成员史旭东童振梁沈晓楠 专业班级自动化112 指导教师何小其 分院信息分院 完成日期 2014-5-28 目录 1. 课程设计目的 (4) 2.课程设计题目描述和要求 (4) 3.课程设计报告内容 (4) 3.1 原理图 (4) 3.2 系统参数取值情况 (5) 3.3 打印机皮带驱动系统的状态空间方程 (5) 4. 系统分析 (8) 4.1 能控性分析 (8) 4.2 能观性分析 (8) 4.3 稳定性分析 (9) 5. 总结 (11) 项目组成员具体分工 打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性 分析 课程设计的内容如下： 1.课程设计目的 综合运用自控现代理论分析皮带驱动系统的能控性、能观性以及稳定性，融会贯通并扩展有关方面的知识。加强大家对专业理论知识的理解和实际运用。培养学生熟练运用有关的仿真软件及分析，解决实际问题的能力，学会应用标准、手册、查阅有关技术资料。加强了大家的自学能力，为大家以后做毕业设计做很好的铺垫。 2.课程设计题目描述和要求 (1)环节项目名称：能控能观判据及稳定性判据 (2)环节目的： ①利用MATLAB分析线性定常系统的可控性和客观性。 ②利用MATLAB进行线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据。 (3)环节形式：课后上机仿真 (4)环节考核方式： 根据提交的仿真结果及分析报告确定成绩。 (5)环节内容、方法： ①给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。 ②已知系统状态空间方程，判断其稳定性，并绘制出时间响应曲线验 证上述判断。 3.课程设计报告内容 3.1 原理图 在计算机外围设备中，常用的低价位喷墨式或针式打印机都配有皮带驱动器。它用于驱动打印头沿打印页面横向移动。图1给出了一个装有直流电机的皮 绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！ 这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 湖北民族学院 姓名 XX 班级 XX 学号 XXXXXXXX 摘要 最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。 一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。 关键词：最优控制；控制规律；最优性能指标；线性二次型 Abstract The optimal control, also called dynamic optimization or infinite dimension, optimization of modern control theory, the most basic part of the core. It is the center of the research question: how to control system based on the dynamic characteristics, to choose, can control system according to certain technical requirements, and makes the operation performance of the system or the quality of describing a "index" in certain significance to achieve optimal value. The optimal control problem has four points for dynamic systems, controlled, The initial and terminal conditions (state) and, Performance index and allow control. A typical of optimal control problem is described as follows: the state equation and initial conditions are given, and given the objective function. Then a feasible method for the control system of the output state transition to the target state and optimum performance. The optimal performance index and quality in the specific conditions of the optimal value is functional form. Therefore solution of optimal control problem is due to the constraint condition of functional, belongs to the category of variational learning. The variational method, the maximum principle (minimum principle) and dynamic planning is the optimal control theory, the basic contents and methods. The Pontryagin maximum principle, Behrman dynamic programming and Kaman linear quadratic optimal control is obtained in the constraint condition of the optimal solution of the three powerful tools, used in the most optimal control problem. Especially the linear quadratic optimal control, because its in mathematics and engineering implementation is simple, so it has great practical value. Key words: The optimal control, Control rule, optimal performance indicators, The linear quadratic 北京航空航天大学 2019－2020 学年 第二学期期末 《现代控制理论》 A卷 班 级______________学 号 _________ 姓 名______________成 绩 _________ 2020年6月22日 班号 学号 姓名 成绩 《现代控制理论》期末考试卷 一、（本题10分）某RLC 电路如题一图所示，其中u 为输入信号、y 为输出信号、i 为流过网络的电流。若令状态x 1=i ，x 2=y ，建立系统的动态方程，并判断系统的可控性和可观测性（所有参数非零）。 题一图 二、（本题10分）系统的动态方程为 010*********???? ????=+????-???????? x x u ， []001=y x 若[](0)001=-T x ，()()δ=u t t （单位脉冲信号），求()x t 和()y t 。 三、（本题15分）已知系统具有如下形式： []111122********* a b x Ax bu a x b u b y cx c c c x l l l éù éùêúêúêúêú=+=+êúêú êúêú???? == (1). 若12=l l ，给出系统可控并且可观测的充分必要条件；若12≠l l ，20=b ， 给出系统可控的充分必要条件（即参数12123123,,,,,,,a a b b b c c c 需满足的条件）； (2). 若11=-l ，11=a ，[][]12123301,1000b b c c c b éùéù êúêú êúêú==êúêúêúêú??? ?，计算系统的传 递函数()G s ，并给出该传递函数的可观标准型最小阶实现。 四、（本题20分）已知系统具有如下形式： []1112212200 n n A A x Ax bu x u A A b y cx c x éùéù êúêú=+=+êúêú????== 其中， 11A 为(1)(1)-?-n n 的方阵，22A 为11?的方阵，12A 为(1)-n 维列向量，21A 为(1)-n 维行向量，n b 和n c 分别为非零实数。 (1). 证明系统既可控又可观测的充分必要条件是：1112(,)A A 可控且1121(,)A A 可观测； (2). 若A 的特征多项式为()p s ，而 110100001000011000 A éù êúêúêúêú=êúêúêú êú?? 求系统的传递函数，并证明若系统既可控又可观测，则有(1)0≠p 。 五、（本题15分）已知系统动态方程如下： 210431x x u éùéù êúêú=+êúêúêúêú???? , 11y x éù=êú?? (1). 判断系统的可控性。若系统可控，将系统化为可控标准型； (2). 是否可以用状态反馈将A bk -的特征值配置到{}2,3--？若可以，求出状态反馈增益阵k 。 13/2012 59 现代控制理论概述及实际应用意义 王 凡 王思文 郑卫刚 武汉理工大学能源与动力工程学院 【摘 要】控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。本文介绍了现代控制理论的产生、发展、内容、研究 方法和应用以及经典控制理论与现代控制理论的差异，并介绍现代控制理论的应用。提出了学习现代控制理论的重要意义。【关键词】现代控制理论；差异；应用；意义 1.引言 控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。例如，我们的教学也使用了控制理论的方法。老师在课堂上讲课，大家在课堂上听，本身可看作一个开环函数；而同学们课下做作业，再通过老师的批改，进而改进和提高老师的授课内容和方法，这就形成了一个闭环控制。像这样的例子很多，都是控制理论在生活中的应用。现代控制理论如此广泛，因此学好现代控制理论至关重要。 2.现代控制理论的产生与发展现代控制理论的产生和发展经过了很长的时期。从现代控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。其产生和发展要分为以下几个阶段的发展。 2.1 现代控制理论的产生在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统和时变系统的分析与设计问题的解决。 科学技术的发展不仅需要迅速 地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 2.2 现代控制理论的发展五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规则；1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念；1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理；罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、麦克法轮（G.J.MacFarlane）和欧文斯（D.H.Owens）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。 20世纪70年代奥斯特隆姆（瑞典）和朗道（法国，https://www.wendangku.net/doc/8c5856007.html,ndau）在自适应控制理论和应用方面作出了贡献。 与此同时，关于系统辨识、最优控制、离散时间系统和自适应控制的发展大大丰富了现代控制理论的内容。 3.现代控制理论的内容及研究方法 现代控制理论的内容主要有为系统辨识；最优控制问题；自适应控制问题；线性系统基本理论；最佳滤波或称最佳估计。 （1）系统辨识 系统辨识是建立系统动态模型的方法。根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。 （2）最优控制问题 在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。主要方法有变分法、极大值原理、动态规划等极大值原理。现代控制理论的核心即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。 （3）自适应控制问题 在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。模型参考自适应控制 第一章经典控制理论和现代控制理论 本学期学习了现代控制理论课程的主要内容，现代控制理论建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的，用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制理论的那些方法。现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等的研究中。 以下是经典控制理论和现代控制理论的比较： 1、经典控制理论： (1)理论基础：Evens的根轨迹，Nyquist稳定判据。 (2)研究对象：线性定常SISO系统分析与设计。 (3)分析问题：稳、准、快 (4)采用方法：是以频率域中传递函数为基础的外部描述方法。 (5)数学描述：高阶微分方程、传递函数、频率特性;方块图、信号流图、频率特性曲线。 (6)研究方法：时域法、根轨迹法、频率法。 2、现代控制理论： (1)理论基础：李雅普诺夫稳定性理论，Bellman动态规划，Понтрягин极值原理，Kalman 滤波。 (2)研究对象：MIMO系统分析与设计（复杂系统：多变量、时变、非线性） (3)分析问题：稳、准、快 (4)设计（综合）问题： 1)采用方法：是以时域中（状态变量）描述系统内部特征的状态空间方法为基础的内部描述方法。 2)数学描述：状态方程及输出方程、传递函数阵、频率特性；状态图、信号流图、频率特性曲线。 3)研究方法：状态空间法（时域法）、频率法。多采用计算机软硬件教学辅助设计——MATLAB软件 (5)特点： 1）系统：MIMO、非线性、时变。 2）方法将矩阵理论和方法应用到控制理论中，不仅能描述系统的输入与输出之间的关系，而且在任何初始条件下，都能揭示系统内部的行为。 3）一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 研究生课程论文封面 课程名称控制科学发展前沿讲座教师姓名 研究生姓名 研究生学号 研究生专业 所在院系自动化学院 类别: 硕士 日期: 对智能控制技术的认识 1 引言 随着计算机、材料、能源等现代科学技术的迅速发展和生产系统规模不断扩大，形成了复杂的控制系统，导致了控制对象、控制器、控制任务等更加复杂。与此同时，对自动化程度的要求也更加广泛，面对来自柔性控制系统(FMS)、智能机器人系统(IRS)、数控系统(CNS)、计算机集成制造系统(CIMS)等复杂系统的挑战，经典的与现代的控制理论和技术已不适应复杂系统的控制。智能控制是在控制论、信息论、人工智能、仿生学、神经生理学及计算机科学发展的基础上逐渐形成的一类高级信息与控制技术。智能控制是自动控制发展的高级阶段。 2 背景和意义 现代科学技术的迅速发展，生产系统的规模越来越大，形成了复杂的大系统，导致了控制对象、控制器以及控制任务和目的的日益复杂化。别一方面，人类对自动化的要求也更加广泛，面对来自旬电力系统、工业生产过程控制系统、智能机器人系统、计算机集成制造系统（CIMS）、核电站安全运行控制、航空航天及军事指挥系统等复杂性系统的挑战，传统的自动控制理论和方法显得已不适应于复杂系统的控制。能否建立新一代的控制理论方法来解决复杂系统的控制问题，已成为各国控制学术界所共同关心的热门研究课题。 近年来人们开始认识到，在许多系统中，复杂性不仅仅表现在高维性上，更多则表现在：（1）被控对象模型的不确定必；（2）系统信息的模糊性，信息模式；（3）高度非线性；（4）输入（传感器）信息的多样化；（5）多层次、多目标的控制要求；（6）计算复杂性和庞大的数据处理以及严格性能指标。自然，对于复杂系统需要在传统的控制理论基础上结合其它学科的知识，建立一种更有力的控制理论和方法，以解决上述提到的问题。智能控制就是在这种背景下提出和形成的。 人类对智能机器及其控制的幻想与追求已有三千多年的历史，然而，真正的智能机器只有在计算机技术和人工智能技术发展的基础上才能成为可能。人工智 西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期 2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=& 2015级硕士期末论文《现代控制理论综述》 课程现代控制理论姓名 学号 专业 2016 年1 月 4 日 经典控制理论与现代控制理论的差异 现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的，用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制理论的那些方法。现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等的研究中。 现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控 制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。在这之前，美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划，并在1956年应用于控制过程。他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。几乎在同一时期内，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。状态空间法对揭示和认识控制系统的许多重要特性具有关键的作用。其中能控性和能观测性尤为重要，成为控制理论两个最基本的概念。到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。 现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。 线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成为三个学派：基于几何概念和方法的几何理论，代表人物是W.M.旺纳姆;基于抽象代数方法的代数理论，代表人物是R.E.卡尔曼；基于复变量方法的频域理论，代表人物是H.H.罗森布罗克。 非线性系统理论的分析和综合理论尚不完善。研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。更一般的非线性系统理论还有待建立。从70年代中期以来，由微分几何理论得出的某些方法对 最优控制理论简单研究 姓名：学号： 内容摘要 最优控制理论（optimal control theory），是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。其所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多。因此最优控制理论对于解决实际问题和促进科学的发展具有重要的意义和作用。 关键字：最优控制；状态方程；稳定性 引言 控制工程领域早期的经典控制方法和技术早已被工程师们所熟知并进行广泛的应用。一般而言经典控制非常适合解决单输入单输出线性定长系统的控制器设计问题。然而对于高阶系统或多输入多输出系统，采用经典控制方法很难获得令人满意的控制性能。在这种情况下，控制学者于20世纪60年代初开始研究状态空间方法，并依此发展出现代控制的理论框架。其中最优控制则是现代控制理论的主要分支，解决最优控制问题的主要方法有变分法、极值原理和动态规划。从数学的观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴，但它只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的，而无法解决工程实际中经常碰到的容许控制属于闭集的一类最优控制问题。这就促使了控制学者们开辟求解最优控制问题的新途径。苏 现代控制理论 学院：电气工程学院 班级：09级自动化3班姓名：赵明 学号： 任课教师：刁晨 单倒置摆控制系统的状态空间设计 一．设计题目 1.介绍 单倒置摆系统的原理图，如图1所示。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。 2.用途 倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题,也因此成为自动控制实验中验证控制算法优劣的极好的实验装置。单倒立摆的系统结构、数学模型以及系统的稳定性和可控性,对倒立摆进行了成功的控制,并在MATLAB 中获得了良好的仿真效果。倒立摆控制理论将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、伺服控制领域、导弹拦截控制系统、航空器对接技术等方面具有广阔的开发利用前景。 3.意义 倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统. 人们试图寻找同的控制方法以实现对倒立摆的控制,以便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。同时，由于摩擦力的存在，该系统具有一定的不确定性。对这样一个复杂系统的研究在理论上将涉及系统控制中的许多关键问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以它为例进行研究。 二．被控对象的模型 为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为(z+lsinθ)。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据 论文题目：现代控制理论综述 摘要 本文是对现代控制理论课程的完整综述，现代控制理论的主要内容包括控制系统的状态空间表达式及其解，线性控制系统的能控性和能观性，稳定性与李雅普诺夫方法，线性定常系统的综合以及最优控制理论等部分。本文通过对控制理论各部分的阐述，构出了现代控制理论的主要框架及各部门的基本内容。 关键词：现代控制；状态方程；稳定性；最优控制； Abstract This article is a complete review of modern control theory course, the main contents of the modern control theory, including the control system of the state space expression and its solution, the controllability of linear control systems and can view, stability and Lyapunov method, the synthesis of linear time-invariant system and optimal control theory. This article through to all parts of the control theory, compose the main framework of modern control theory and the basic content of each department. Keywords: Modern control; State equation;Stability;Optimal control 现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 9.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 10.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 6.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×） 7.一个系统能正常工作，稳定性是最基本的要求。（√） 8.如果系统的状态不能测得，只要系统能观测，可以采用状态观测器实现状 鲁棒控制理论综述 作者学号： 摘要：本文首先介绍鲁棒控制理论涉及的两个基本概念（不确定性和鲁棒）和发展过程，然 H控制理论，最后指出鲁棒控制研后叙述鲁棒控制理论中两种主要研究方法：μ理论、∞ 究的问题和扩展方向。 H控制理论 关键词：鲁棒控制理论，μ理论，∞ 一、引言 自从系统控制（Systems and Control）作为一门独立的学科出现，对于系统鲁棒性的研究也就出现了。这是由这门学科的特色和研究对象决定的。对于世界上的任何系统。由于系统本身复杂性或是人们对其认识的不全面，在系统建立模型时，很难用数学语言完全描述刻画。在这样的背景下，鲁棒性的研究也就自然而然地出现了。 二、不确定性与鲁棒 1、不确定性 谈到系统的鲁棒性，必然会涉及系统的不确定性。由于控制系统的控制性能在很大程度上取决于所建立的系统模型的精确性，然而，由于种种原因实际被控对象与所建立的模型之间总存在着一定的差异，这种差异就是控制系统设计所面临的不确定性。这种不确定性通常分为两类：系统内部的不确定性和系统外部的不确定性。这样，就需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论。这就是鲁棒控制所要研究的课题。 2、鲁棒 “鲁棒”一词来自英文单词“robust”的音译，其含义是“强壮”或“强健”。所谓鲁棒性（robustness）,是指一个反馈控制系统在某一特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐近调节和动态特性这三方面保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性的能力。具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。在工程实际控制问题中，系统的不确定性一般是有界的，在鲁棒控制系统的设计中，先假定不确定性是在一个可能的范围内变化，然后在这个可能的变化范围内进行控制器设计。鲁棒控制系统设计的思想是：在掌握不确定性变化范围的前提下，在这个界限范围内进行最坏情况下的控制系统设计。因此，如果设计的控制系统在最坏的情况下具有鲁棒性，那么在其他情况下也具有鲁棒性。 三、发展历程 鲁棒控制系统设计思想最早可以追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计。由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，所以设计出来的控制系统往往是动态不稳定的。早期的鲁棒研究主要集中在Bode图，1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。1945年Bode讨论了单输入单输出（SISO）反馈系统的鲁棒性，提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定范围。这些方法主要用于单输入单输出系统而且这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属灵敏度分析的范畴，从数学上说是无穷小分析思想，并且只是停留在理论上。20世纪六七十年代，鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMIO进行了初步的推广[1]，与此同时，状态空间理论引入控制论后，系统控制取得了很大的发展，鲁棒问题也显得更加重要，其中就要提到两篇对现代鲁棒控制理论的建立有重要影响的文章：一篇是Zames在1963年关于小增益定理的论文[2]，另一篇是1964年Kalman关于单入单输出系统LQ调节器稳定裕量分析的研究报告[3]。鲁棒控制这一术语第一次在论文中出现是在1971年Davion的论文[4]，而首先将鲁棒控制写进论文标题的是Pearson等人于1974年发表的论文[5]。当然，鲁棒控制能够 现代控制理论课 程设计报告 题目打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性分析 项目成员史旭东童振梁沈晓楠 专业班级自动化112 指导教师何小其 分院信息分院 完成日期 2014-5-28 目录 1. 课程设计目的 (3) 2.课程设计题目描述和要求 (3) 3.课程设计报告内容 (4) 3.1 原理图 (4) 3.2 系统参数取值情况 (4) 3.3 打印机皮带驱动系统的状态空间方程 (5) 4. 系统分析 (7) 4.1 能控性分析 (7) 4.2 能观性分析 (8) 4.3 稳定性分析 (8) 5. 总结 (10) 项目组成员具体分工 打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性 分析 课程设计的内容如下： 1.课程设计目的 综合运用自控现代理论分析皮带驱动系统的能控性、能观性以及稳定性，融会贯通并扩展有关方面的知识。加强大家对专业理论知识的理解和实际运用。培养学生熟练运用有关的仿真软件及分析，解决实际问题的能力，学会使用标准、手册、查阅有关技术资料。加强了大家的自学能力，为大家以后做毕业设计做很好的铺垫。 2.课程设计题目描述和要求 (1)环节项目名称：能控能观判据及稳定性判据 (2)环节目的： ①利用MATLAB分析线性定常系统的可控性和客观性。 ②利用MATLAB进行线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据。 (3)环节形式：课后上机仿真 (4)环节考核方式： 根据提交的仿真结果及分析报告确定成绩。 (5)环节内容、方法： ①给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。 ②已知系统状态空间方程，判断其稳定性，并绘制出时间响应曲线验 证上述判断。 3.课程设计报告内容 3.1 原理图 在计算机外围设备中，常用的低价位喷墨式或针式打印机都配有皮带驱动器。它用于驱动打印头沿打印页面横向移动。图1给出了一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的例子。其光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力的变化用于调节皮带的实际弹性状态。 图1 打印机皮带驱动系统 3.2 系统参数取值情况 表1打印装置的参数 硕士研究生读书报告 题目对《现代控制理论》认识与感想 作者姓名魏振凯 作者学号 21225096 指导教师唐建中 学科专业机械设计及理论 所在学院机械系 提交日期 2012年 11月 对<<现代控制理论>>的认识与感想 摘要：现代控制理论与社会生产和科学技术的发展密切相关，它被成功的运用到工农业生产、军事、生物医学、社会经济及人类生活的多个领域。它以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统，使得系统实现一定程度的最优化。短暂8周对现代控制理论的学习让我受益匪浅，接下来我将就自己所感兴趣的地方和对这门课程的感想作简短的介绍。 关键词：现代控制理论、学习兴趣、学习感想 一、现代控制理论概述 现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。经典控制理论只研究一个输入输出变量，且固定参数的定常系统。其数学基础是拉普拉斯变换，分析综合的方法为频率响应特性等。然而，即使传递函数相同，系统内部结构也可以不同。因此，用传递函数描述系统有时是不完整的。如果只知道端部状态，对于充分了解一个系统的运动状况和掌握系统的整体性质也是不够的。而现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等研究中。 二、现代控制理论的发展 现代控制理论形成于20世纪50-70年代。这个时期，由于计算机技术、航空航天技术的迅速发展，以及许多新的研究工具的引入，控制理论迅速拓展并取得了许多重大成果。它所研究的对象不再局限于单输入单输出的、线性的、定常的、连续的系统，而扩展为多输入多输出的、非线性、时变的、离散的系统。它不仅涉及系统辨识和建模、统计估计和滤波、线性控制、非自动控制原理论文
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