慈溪市2010学年第一学期高三期中测试数学试题卷(文科)

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慈溪市2010学年第一学期高三期中测试数学试题卷（文科）

（时间：120分钟，满分：150分）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上） 1

．设集合2{|0}P x x =≤，0.2

2

m =，则下列关系中正确的是 （ ▲ ）

A 、m P ?

B 、m P ?

C 、{}m P ∈

D 、{}m P

2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则2

2

z z

+

= （ ▲ ） A 、1i + B 、1i - C 、1i -- D 、1i -+

3．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则11

6

a a = （ ▲ ） A 、2 B 、3 C 、6 D 、3或6

4．对于定义域为R 的任何奇函数()f x ，都有 （ ▲ ） A 、()()0()f x f x x R -->∈ B 、()()0()f x f x x R --≤∈ C 、()()0()f x f x x R -≤∈ D 、()()0()f x f x x R ->∈

5．设,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角为60

，则||a b += （ ▲ ）

A 、3 B

、2 D

6．下列判断中不正确的是 （ ▲ ） A 、命题“若A B B = ，则A B A = ”的逆否命题为真命题 B 、“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题

C 、若,,a b m R ∈，则“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件

D 、*2,(1)0x N x ?∈->

7．设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π

ω?ω?=+≠><

的图像关于直线2

3

x π=对称，且它的最小正周期为π，则 （ ▲ ） A 、()f x 的图像经过点1(0,2

B 、()f x 在区间52

[,]123

ππ上是减函数 C 、()f x 的图像的一个对称中心是5

(

,0)12

π D 、()f x 的最大值为A 8．读下面的程序框图，若输出S 的值为7-，则判断框内空格处可填写 （ ▲ ） A 、6i < B 、5i < C 、4i < D 、3i <

2

9．已知函数()lg f x x =，若a b <，且()()f a f b =，则ab 的值 （ ▲ ）

A 、等于2

B 、等于1

C 、等于

1

2

D 、不确定 10．集合{(,)|m n 关于x 的方程2*0(,)x mx n m n N --=∈的正根小于3}的元素个数（

▲ ）

A 、8

B 、7

C 、6

D 、5

二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷中相应的位置上） 11．在某一次唱歌比赛中，七位评委为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的平均值和方差分别为 ▲ 、 ▲ ． 12．已知cos()2

2

π

?+

=

，且22ππ?-<<，则tan ?的值等于 ▲ ．

13．从{123,4}中随机选取一个数记为x ，从{1,23}

中随机选取一个数记为y ，则x y > 的

概率等于 ▲ ．

14．如右图，在ABC ?中，M 是BC 的中点，

3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =

，

则()PA PB PC ?+

的值等于 ▲ ．

15．已知实数,x y 满足约束条件50,30,0,x y x x y -+≥??

-≤??+≥?

则目标函数24z x y =+的最小值

等于 ▲ ．

3

16．观察下图： 第一行：1

第二行：2 3 4

第三行：3 4 5 6 7

第四行：4 5 6 7 8 9 10 … …

则第 ▲ 行的各数之和等于2

2011．

17．设定义域为R 的函数()f x 满足：2

2111[(1)[()2

42f x f x +-=

--,且1

()2

f x ≥，若1

(1)2

f -=

，则(2009)f 的值等于 ▲ ．

三．解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中的相应位置上）

18．（本小题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，

已知a =3b =，且sin 2sin C A =．

（1）求c 的值； （2）求sin(2)4

A π

-

的值．

19．（本小题满分14分）某商场有甲、乙两种商品，一年中经营销售这两种商品所能获得的

利润依次是P （万元）和Q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系，有经验公式：3

5

P x =

，Q =

3万元资金投入经营甲、乙两种商品． （1）设对甲商品投资x 万元，两种商品总利润为y 万元，试写出y 关于x 的函数关系式；

（2）为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？

20．（本小题满分14分）已知二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠满足：(1)0f -=，且

4

2

1()(1)2

x f x x ≤≤

+对x R ?∈恒成立． （1）求(1)f 的值； （2）求,,a b c 的值．

21．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为(n n S npa p =为常数，*)n N ∈，且

12a a ≠．

（1）求p 的值；

（2）若21a =，试求数列{}n a 的通项公式，并指出是何种数列．

22．（本小题满分15分）已知函数321()3f x x bx cx =

++，,b c 为常数，且1

12

b -<<，(1)0f '=．

（1）证明：30c -<<； （2）若0x 是函数()2

c

y f x x =-的一个极值点，试比较0(4)f x -与(3)f -的大小．

5

三．解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本小题满分14分）

解（1）在ABC ?中，sin 2sin C A = 由正弦定理可得：

sin sin c a

C A

=, ∴2c a =， ……3’

∵a =∴

c =……4’

（2

）由余弦定理可得：222cos 25

b c a A bc +-==

……6’

∴sin 5

A =

……7’ ∴243

sin 22sin cos ,cos 22cos 155

A A A A A ===-= ……11’ 故 sin(2sin 2cos

cos 2sin

4

4

4

A A A π

π

π

-

=- ……13’

10

=

……14’ 19．（本小题满分14分） 解（1

）35y P Q x =+=

+ (03)x ≤≤ ……5’ （2

）设t =(0)t ≥， 则2

3x t =- ……6’

∴222333393139

(3)(555555220y t t t t t =

-+=-++=--+ ……10’ ∵1

[0,)2

t =∈+∞

6

∴当12t =

时， max 3920y =， 此时114

x = ……12’ ∴甲、乙两种商品的投资资金分别为114万元、1

4

万元 ……13’

获得最大利润是39

20

万元 ……14’

21．（本小题满分15分）

解（1） 数列{}n a 的前n 项和为n n S npa =，∴当1n =，111S pa a ==，∴1p =或10a =…2’

若1p =，∵n n S na =，则令2n =时，1222a a a +=即12a a =与已知矛盾！…3’ ∴10a = ……4’ 又对n n S na =，令2n =，有2S =1a +222a pa =，可知20a ≠，可得1

2

p = …7’ （2）由（1）可得：1

2

n n S na =

① 当2n ≥时，1n n n a S S -=-且111

(1)2

n n S n a --=

-② ∴由①-②整理可得：1(1)(2)n n n a n a --=- （2n ≥） ……10’

7

∴当3n ≥时，

11

2

n n a n a n --=-，由叠乘可得：2111n a n n a -==-

∵21a =，∴1n a n =-（3n ≥） ……13’ 此时当1n =，2时，上述公式亦满足题意10a =，21a =

∴数列{}n a 的通项公式是1n a n =- ……14’ 数列{}n a 是首项为0公差为1的等差数列 ……15’

（2）∵0x 是函数()2c y f x x =-

的一个极值点∴0()02c f x '-=即0()2

c

f x '= ……8’ 又∵由（1）可得2

2

()2(1)(1)()f x x bx c x c x c x x c '=++=-++=--……9’

∴()f x 的单调递增区间是：(,),(1,)c -∞+∞，递减区间：(,1)c ……12’ ∵可知0'()02

c

f x =

< ∴01c x << ……13’ ∴043x -<-且04,3(,)x c --∈-∞ ……14’ ∵由上可知()f x 在(,)c -∞上单调递增 ∴0(4)(3)f x f -<- ……15’ 【注：考试范围：除立体几何与解析几何之外的所有新课程高考数学内容。】