北京数学试题(理科)

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2010年北京市丰台区第二学期高三统一练习（二）

数学试题（理科）

2010．5

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知向量a =（1，k ），b =（2，1），若a 与b 的夹角为90°，则实数k 的值为 （ ）

A ．2

1

-

B ．

2

1 C ．－

2 D ．2 2．直线01=+-y x 与圆1)1(22=++y x 的位置关系是

（ ）

A ．相切

B ．直线过圆心

C ．直线不过圆心但与圆相交

D ．相离

3．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（－1，1），若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是．．点P 极坐标的是 （ ）

A ．)3

3,

2(π

B ．)45,2(π-

C ．)4

11,

2(π

D ．)4

,2(π

-

4．设p 、q 是简单命题，则“q p ∧”为假是“q p ∨”为假的

（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示

设s 1，s 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，21,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则

有

（ ）

A ．2121,s s x x <=

B ．2121,s s x x >=

C ．2121,s s x x >>

D ．2121,s s x x ==

6．已知函数x x f 2log )(=，若1|)(|≥x f ，则实数x 的取值范围是 （ ）

A ．]2

1,(-∞

B ．),2[+∞

C ．),2[]21,0(+∞

D ．),2[]2

1,(+∞-∞

7．设)(x f 、)(x g 是R 上的可导函数，)(),(x g x f ''分别是)(x f 、)(x g 的导函数，且)(x f ')(x g +)(x f )(x g '<0，

则当b x a <<时，有 （ ）

A ．)()()()(b g b f x g x f >

B ．)()()()(x g a f a g x f >

C ．)()()()(x g b f b g x f >

D ．)()()()(a g a f x g x f >

8．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，,2

π

=

∠BAC AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别为线段A 1B 1和C 1C 的中点，

点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点，若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值是 （ ）

A ．2

B ．1

C ．

5

5

2 D ．

2

2 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9．执行下图所示的程序框图，输出结果y 的值是 .

10．如下图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，CD=4，AB=3BC ，则AC 的长是 .

11．椭圆

116

252

2=+y x 的焦点为F 1，F 2，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么|PF 1|的值是 . 12．已知}.02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x 若向区域Ω上随机投一点P ，则

点P 落入区域A 的概率是 .

13．如下图，在倾斜角15°（∠CAD=15°）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（BC ），在A 处测得塔顶

B 的仰角为45°（∠BAD=45°），则塔顶到水平面的距离（BD ）约为 米.（保留一位小数，如需要，取

7.13=）

14．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有“i p ＜i q ，”则称“i p 与

i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”，例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”，“2，3”，其“顺序数”等于2。若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（12分）已知函数)sin()(?ω+=x A x f （其中2

0,0,0π

?ω<<>>A ）的图象如图所示。

（I ）求A ，ω及?的值； （Ⅱ）若2tan =α，求)8

(π

α+

f 的值。

16．（14分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，C 1B 1的中点，G 为CC 1上任一点，EC 与底面ABCD

所成角的正切值是4. （Ⅰ）求证：AG ⊥EF ；

（Ⅱ）确定点G 的位置，使AG ⊥面CEF ，并说明理由； （Ⅲ）求二面角F —CE —C 1的余弦值.

17．（13分）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2

个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。 （Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；

（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率； （Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列. 18．（14分）已知函数).,(,)2()(2

R a x e ax x x f x

∈++=

（Ⅰ）当a=0时，求函数)(x f 的图象在点A （1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在R 上单调，求a 的取值范围； （Ⅲ）当2

5

-

=a 时，求函数)(x f 的极小值. 19．（14分）已知数列}{n a 的前n 项和为)(2,1,11*+∈+==N n S a a S n n n ，等差数列}{n b 中，),(0*∈>N n b n 且

b 1+b 2+b 3=15，又a 1+b 1、a 2+b 2、a 3+b 3成等比数列. （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列}{n n b a ?的前n 项和T n .

20．（13分）已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、

B 两点处的切线交于点M.

（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值.

2010年北京市丰台区第二学期高三统一练习（二）

数学试题（理科）参考答案

2010．5

一、选择题（每小题5分，共40分） 1—5 CBDBB 6—8 CAC

二、填空题（每小题5分，共30分） 9．1； 10．8； 11．

34

5

； 12．29； 13．40.5； 14．6

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）

解：（I ）由图知A=2，

………………1分

52(

)88

T ππ

π=-=， 2,ω∴=

………………3分

()2sin(2)()2sin()2,

84sin()1,

4

2,2,()

4

2

4

f x x f k k k Z ?ππ

?π

?π

π

π

?π?π∴=+=+=∴+=∴

+=

+=+∈ 又

0,2

4

π

π

??<<

∴=

………………6分

由（I ）知：()2sin(2)4

f x x π

=+

，

2()2sin(2)2cos 24cos 28

2

f π

π

αααα∴+

=+

==-

………………9分

tan 2,sin 2cos ,ααα=∴=

又222

1sin cos 1,cos ,5

ααα+=∴=

6()85

f π

α∴+

=-

………………12分

16．解：∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱

∴ABCD 是正方形，设其边长为2a ，

∠ECD 是EC 与底面所成的角， 而∠ECD=∠CEC 1， ∴CC 1=4EC

1=4a. ………………1分

以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的直角坐标系。

则A （0，0，0），B （2a ，0，0），C （2a ，2a ，0）， D （0，2a ，0），A 1（0，0，4a ），B 1（2a ，0，4a ）， C 1（2a ，2a ，4a ），D 1（0，2a ，4a ），E （a ，2a ，4a ），

F （2a ，a ，4a ），设

G （2a ，2a ，b ）（0

（I ）22(2,2,),(,,0),2200,AG a a b EF a a AG EF a a ==-?=-+=

∴AG ⊥EF ……………………6分

（II ）由（I ）知，使AG ⊥面CEF ，只需AG ⊥CE ，

只需2(2,2,)(,0,4)240,AG CE a a b a a a ab ?=?-=-+=

1,2b a ∴=

即11

8

CG CG =时，AG ⊥面CEF 。 ………………10分 （III ）由（II ）知，当1

(2,2,),2

G a a a AG 时是平面CEF 的一个法向量，

由题意可得，AD

是平面CEC 1的一个法向量，

设二面角F —CE —C 1的大小为θ，

则2222

1

(2,2,)(0,2,0)

4332cos 33||||

1

4444

a a a AG AD

AG AD a a a a θ??==

=++ ， 二面角F —CE —C 1的余弦值为433

.33

………………14分

（运用综合法相应给分） 17．（13分）

解：（I ）设仅一次摸球中将的概率为P 1，则2512

10

24

9C P C ==………………3分 （II ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P 2，则

1

221140

(1)81

P C P P =-=

………………7分

（III ）ξ的取值可以是0，1，2，3

3

112

311

22

3113

1

125

(0)(1),729

300100(1)(1),729243

24080(2)(1),729243

64(3)729

P P P C P P P C P P P P ξξξξ==-=

==-====-=

====

所以ξ的分布如下表

ξ

0 1 2 3

P 125

729 100

243 80

243 64

729

………………13分

18．解：2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++ （I ）当20,()(2),x a f x x e ==+时

2()(22)x f x e x x '=++，

………………2分

(1)3,(1)5f e f e '==，

()f x ∴函数的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为35(1),y e e x -=-

即520ex y e --=

………………4分

（II ）2

()[(2)2]x

f x e x a x a '=++++，

20x e x >考虑到恒成立且系数为正，

()f x R ∴在上单调等价于2(2)20x a x a ++++≥恒成立。 2(2)4(2)0a a ∴+-+≤，

22,a a ∴-≤≤即的取值范围是[—2，2]，

………………8分

（若得a 的取值范围是（—2，2），可扣1分）

（III ）当255

,()(2),22

x a f x x x e =-=-

+时 211()()22

x f x e x x '=-

-， ………………10分

1

()0,,1,

2

1

()0,,1,

2

f x x x f x x x '==-='><->令得或令得或

令1

()0, 1.2

f x x '<-

<<得 ………………12分

,(),()x f x f x '的变化情况如下表

x

1(,)2

-∞-

12-

1(,1)2

- 1

(1,)+∞

()f x ' + 0 — 0 + ()f x

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以，函数1()(1)2

f x f e =

的极小值为 ………………14分

19．解：（I ）*111,21()n n a a S m N +==+∈

)1,(12*1>∈+=∴-n N n S a n n ，

,

1112),(2n n n n n n n a a a S S a a =-∴-=-∴+-+

)1,(3*1>∈=∴+n N n a a n n

…………2分

而)(3,3312*1112N n a a a a a n n ∈=∴==+=+

}{n a 数列∴是以1为首项，3为公比的等比数列，

)(3*1N n a n n ∈=∴-

…………4分

,9,3,1321===∴a a a

在等差数列}{n b 中，.5,152321=∴=++b b b b 又因332211,,b a b a b a +++成等比数列 设等差数列}{n b 的公差为d ，

64)59)(51(=++-+∴d d

…………6分

解得：d=—10，若d=2，

)(0*N n b n ∈> ，

110,2, 3.d d b ∴=-=∴=舍去取

)(12*N n n b n ∈+=∴

…………8分

（II ）由（I ）知

1223)12(3)12(373513--++-++?+?+?=n n n n n T ①

n n n n n T 3)12(3)12(3735333132++-++?+?+?=- ②…………10分

①—②得

n n n n T 3)12(32323232132132+-?++?+?+?+?=-- …………12分

n n n 3)12()3333(23132+-+++++=-

,323)12(33)12(3

13323n n n n n

n n n ?-=+-=+---?+=

n n n T 3?=∴

…………14分

20．（13分）

解：（I ）由已知，得F （0，1），显然直线AB 的斜率存在且不得0， 则可设直线AB 的方程为),(),,(),0(12211y x B y x A k kx y ≠+=

由044,1

,

422=--???+==kx x y kx y y x 得消去， 显然.016162

>+=?k

所以.4,42121-==+x x k x x

…………2分

由2

2114,,,42

x y y x y x '==

=得所以 所以，直线AM 的斜率为,21

1x k AM =

所以，直线AM 的方程为,4),(2

112

1111y x x x x y y =-=-又

所以，直线AM 的方程为)(211y y x x +=

①

…………4分 同理，直线BM 的方程为)(222y y x x += ② …………5分

②—①并据21x x ≠得点M 的横坐标,2

2

1x x x +=

即A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列。

…………7分

（II ）由①②易得y=-1，所以点M 的坐标为)0)(1,2(≠-k k

所以,1

22k

k k MF -=-=

则直线MF 的方程为,11

+-=x k

y

…………8分

设),(),,(4433y x D y x C

由?????+-==1

1

,

42x k y y x 消去y ，得,0442

=-+x k x 显然,01616

2

>+=?k 所以.4,4

4343-=-=+x x k

x x

…………9分

又2212221221))(1()()(||x x k y y x x AB -+=-+-=

).1(4]4))[(1(2212212+=-++=k x x x x k

…………10分

2432243243))(11()()(||x x k

y y x x CD -+

=-+-= ).11(4]4))[(11(2

432432+=-++

=k x x x x k …………11分

因为,1-=?AB MF k k 所以.CD AB ⊥ 所以，2222111

||||8(1)(1)8(2)32,2ACBD S AB CD k k k k

=

?=++=++≥ 当且仅当1±=k 时，四边形ACBD 面积的取到最小值32。 …………13分

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