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2019-2020学年辽宁省铁岭市数学高二(下)期末检测试题含解析

2019-2020学年辽宁省铁岭市数学高二(下)期末检测试题

一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)

1.在平面直角坐标系中,由坐标轴和曲线3cos 02y x x π?

?=≤≤ ???所围成的图形的面积为( )

A .2

B .

5

2

C .3

D .4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据余弦函数图象的对称性可得20

3cos xdx S π

=?

,求出积分值即可得结果.

【详解】

根据余弦函数图象的对称性可得()2

20

3cos 3sin 3103S xdx x

π

π

===-=?

,故选C.

【点睛】

本题主要考查定积分的求法,考查数学转化思想方法,属于基础题. 2.在等比数列{}n a 中,已知571241

1,8

a a a a a +==+,则5a 的值为( )

A .

12

B .

14 C .

18

D .

116

【答案】D 【解析】 【分析】

根据数列是等比数列得到公比,再由数列的通项公式得到结果. 【详解】

因为数列是等比数列,故得到357241,8a a q a a +==+进而得到12q =,则5a 4

111.216

??=?= ??? 故答案为:D. 【点睛】

这个题目考查了等比数列的通项的求法,是简单题. 3.设x ∈R ,则“31

44

x -<”是“31x <”的 A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】 【分析】

根据绝对值不等式和三次不等式的解法得到解集,根据小范围可推大范围,大范围不能推小范围得到结果. 【详解】 解3144x -

<得到112x <<,解31x <,得到1x <,由1

12

x <<则一定有1x <;反之1x <,则不一定有1

12

x <<;故“3144x -<”是“31x <”的充分不必要条件.

故答案为:B. 【点睛】

判断充要条件的方法是:①若p ?q 为真命题且q ?p 为假命题,则命题p 是命题q 的充分不必要条件;②若p ?q 为假命题且q ?p 为真命题,则命题p 是命题q 的必要不充分条件;③若p ?q 为真命题且q ?p 为真命题,则命题p 是命题q 的充要条件;④若p ?q 为假命题且q ?p 为假命题,则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p 与命题q 的关系.

4.如图所示,圆O 为正三角形ABC 的内切圆,,D E 为切点,将一颗豆子随机地扔到该正三角形内,在已知豆子落在圆O 内的条件下,豆子落在OEC ?(阴影部分)内的概率为()

2019-2020学年辽宁省铁岭市数学高二(下)期末检测试题含解析

A .

1

6

B .

13

C 3

D 33

【答案】A 【解析】 【分析】

设正三角形ABC 的边长为a ,内切圆半径为r ,求得内切圆半径,即可得阴影部分的面积;再求得三角形ABC 的面积,结合几何概型的求法即可得解. 【详解】

设正三角形ABC 的边长为a ,内切圆半径为r , 则由三角形面积公式可得21332a r ?

??=,

解得

3

6

r a =,

2019-2020学年辽宁省铁岭市数学高二(下)期末检测试题含解析

则2

13

2

OEC

S EC OE a

=??=,

所以由几何概型概率可得落在阴影部分的概率为

2

2

3

1

24

6

3

OEC

ABC

a

S

S

a

==,

故选:A.

【点睛】

本题考查了等边三角形内切圆的性质应用,几何概型概率求法,属于基础题.

5.构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设2

BD AD

=,则DEF

V与ABC

V的面积之比为()

A.

1

2

B.

1

3

C.

1

5

D.

1

7

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意得出点D为AF的中点,由余弦定理得出7

AB AD

=,结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】

2,

BD AD AF BD

==

Q,2

AF AD

∴=,即点D为AF的中点

由余弦定理得:2222cos120

AB AD BD AD BD?

?

-

=+

解得:7

AB AD

=

)

2

2

ABC

1

()sin601

2

17

sin60

7

2

DEF

AD

S

S

?

?

∴==

V

V

故选:D

【点睛】

本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式,属于中档题.

6.在二项式()12n

x -的展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则展开式的中间项的系数为( ) A .960- B .960 C .1120 D .1680

【答案】C 【解析】 【分析】

先根据条件求出8n =,再由二项式定理及展开式通项公式,即可得答案. 【详解】

由已知可得:2256n =,所以8n =,

则展开式的中间项为444

58(2)1120T C x x =-=,

即展开式的中间项的系数为1120. 故选:C . 【点睛】

本题考查由二项式定理及展开式通项公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.

7.设函数133,1

()1log ,1x x f x x x -?≤=?->?

,则满足()3f x ≤的x 的取值范围是( )

A .[0,)+∞

B .1,39

??????

C .[0,3]

D .1,9??+∞????

【答案】A 【解析】 【分析】

讨论1x ≤和1x >两种情况,分别解不等式得到答案. 【详解】

当1x ≤时,1()3

3x

f x -=≤,故0x ≥,即[]0,1x ∈;

当1x >时,3()1log 3f x x =-≤,解得1

9

≥x ,即()1,x ∈+∞. 综上所述:[0,)x ∈+∞. 故选:A . 【点睛】

本题考查了分段函数不等式,分类讨论是常用的数学技巧,需要熟练掌握.

8.PQ 是异面直线,a b 的公垂线,,, , a b A a B b C ⊥∈∈在线段PQ 上(异于,P Q ),则ABC V 的形状是( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C .钝角三角形

D .三角形不定

【答案】C 【解析】 【分析】

用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ,结合余弦定理可得ACB ∠为钝角. 【详解】

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如图,由,a b PQ b ⊥⊥可得b ⊥平面APQ ,从而b AQ ⊥,线段长如图所示,由题意22x m p =

+22y n t =+,222()z p m n t =

+++显然2

2

2

x y z +<,∴222cos 02x y z

ACB xy

+-∠=<,ACB ∠为钝角,即ABC ?为钝角三角形. 故选C . 【点睛】

本题考查异面直线垂直的性质,考查三角形形状的判断.解题关键是用,,,PA PC CQ QB 表示出

,,AC BC AB .

9.设2019

220190122019(12)x a a x a x a x -=++++L ,则

201912

22019222

a a a ++?+的值为( ) A .2 B .0

C .1-

D .1

【答案】C 【解析】 【分析】

分别令0x =和1

2

x =即可求得结果. 【详解】

()

2019

22019012201912x a a x a x a x -=+++???+

令0x =,可得:01a =

令12

x =

,可得:2019122201901222a a a =+++???+ 201912

22019

1222a a a ∴++???+=- 故选C 【点睛】

本题考查二项展开式系数和的相关计算,关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式. 10.设集合A ={x|x 2-3x <0},B ={x|-2≤x≤2},则A∩B=( ) A .{x|2≤x<3} B .{x|-2≤x<0} C .{x|0<x≤2} D .{x|-2≤x<3} 【答案】C 【解析】 【分析】

求出集合A 中不等式的解集,结合集合B ,得到两个集合的交集. 【详解】

A={x|x 2﹣3x <0}={x|0<x <3}, ∵B={x|﹣2≤x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤2}, 故选:C . 【点睛】

求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.

11.三位男同学和两位女同学随机排成一列,则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是() A .

1

2

B .

25

C .

13

D .

23

【答案】A 【解析】 【分析】

三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面. 【详解】

三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面. 即概率都为12

【点睛】

本题考查排位概率,属于基础题.

12.已知,a b 为实数,则“2ab b >”是“0a b >>”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】

分析:由0a b >>,则2ab b >成立,反之:如2,1a b =-=-,即可判断关系. 详解:由0a b >>,则2ab b >成立,反之:如2,1a b =-=-,则0a b >>不成立, 所以“2ab b >”是“0a b >>”的必要不充分条件,故选B .

点睛:本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分) 13.以下4个命题中,所有正确命题的序号是______.

①已知复数()12i z i i +=

-,则z =

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②若()7

27012731x a a x a x a x -=+++???+,则1234567127a a a a a a a ++++=++

③一支运动队有男运动员56人,女运动员42人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本,则样本中男运动员有16人;

④若离散型随机变量X 的方差为()3D X =,则()2112D X -=. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】

根据复数的模的运算可知5

z z ==

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,①正确;代入0x =,1x =,所得式子作差即可知②正确;利用分层抽样原则计算可知③正确;根据方差的性质可知④正确. 【详解】

①()11212i i z i i i ++=

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=-+,则111212i i z z i i ++=====++,①正确; ②令0x =,则()7

011a =-=-;令1x =,则012345677

2a a a a a a a a +++++=++

1234567721129a a a a a a a ∴+++++=+=+,②错误;

③抽样比为:

28256427=+,则男运动员应抽取:2

56167

?=人,③正确;

④由方差的性质可知:()()2143412D X D X -==?=,④正确. 本题正确结果:①③④ 【点睛】

本题考查命题的真假性的判断,涉及到复数模长运算、二项式系数和、分层抽样、方差的性质等知识,属于中档题.

14.设集合{}{}

12310(,,,...,)1,0,1,1,2,3,...,10i A x x x x x i =∈-=,则集合A 中满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为_____. 【答案】58024 【解析】 【分析】

依题意得12310+x x x x +++?的取值是1到10的整数,满足123101+9x x x x ≤+++≤…的个数等于总数减去12310+0x x x x +++?=和12310+10x x x x +++?=的个数. 【详解】

集合A 中共有个元素10359049= ,

其中12310+0x x x x +++?=的只有1个元素,

12310+10x x x x +++?=的有1021024= 个元素,

故满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为56049-1-1024=58024. 【点睛】

本题考查计数原理,方法:1、直接考虑,适用包含情况较少时;2、间接考虑,当直接考虑情况较多时,可以用此法.

15.在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中,E 是棱BC 的中点,则1C 到平面11B D E 的距离等于_____. 【答案】4

3

【解析】 【分析】

由题意画出正方体1111—ABCD A B C D ,求出11B D E V 的面积,利用等体积法求解1C 到平面11B D E 的距离. 【详解】

由题意,画出正方体1111—ABCD A B C D 如图所示,

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2AB =,点E 是BC 中点,所以1BE =,

在11B D E V 中,15B E =1122B D =()

2

21253D E =+=,

所以115

cos 5235

B ED ∠=

=??, 2

21111525

sin 1cos 15B ED B ED ??∠=-∠=-= ? ???

, 所以11

11111125

sin 53322B D E S B E D E B ED =?∠==V , 设1C 到平面11B D E 的距离为h , 由111111E B D C C B ED V V --=,得111

2223323

h ?

???=?, 解得,4

3h =. 故答案为:4

3

【点睛】

本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用,考查等体积法的应用和学生的转化和计算能力,属于中档题.

16.校园某处并排连续有6个停车位,现有3辆汽车需要停放,为了方便司机上下车,规定:当有汽车相邻停放时,车头必须同向;当车没有相邻时,车头朝向不限,则不同的停车方法共有__________种.(用数学作答) 【答案】528 【解析】

(1)当三辆车都不相邻时有3

348192A ?=(种)

(2)当两辆车相邻时有33333

333333424242434288A A A A A ?+?+?+?+?=(种) (3)当三辆车相邻时有3

34248A ?=(种)

则共有19228848528++=(种)

点睛:本题考查了排列组合问题,由于本题里是三辆车有六个位置,所以情况较多,需要逐一列举出来,注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全,容易漏掉一些情况,然后利用排列组合进行计算即可. 三、解答题(本题包括6个小题,共70分)

17.已知57

A 56C n n =,且()23012312n

n n x a a x a x a x a x -=+++++L L .

(1)求n 的值; (2)求

12

2222

n n a a a +++L 的值. 【答案】(1)15.(2)1- 【解析】 【分析】 (1)根据!!,()!!()!

m

m n n n n A C n m m n m =

=--,即可求解57

A 56C n n =,即可求得答案;

(2)采用赋值法,令1x =求出所有项系数的和,再令0x =,求0a ,即可求得答案. 【详解】

(1)Q 57

A 56C n n =

()()()()()()()()()()

123456123456

7654321

n n n n n n n n n n n n ------∴----=??????

整理可得:

(5)(6)

190

n n --=

即211600n n --=, 故(15)(4)0n n -+=

解得:15n =或4n =-(舍去) (2)由(1)15n =

152315012315(12)x a a x a x a x a x -=++++??+

令0x =,可得01a =

令1

2

x =,可得1510

1515221(12)2222a a a a -?=++++L ∴1015125

22202

a a a

a ++++=L 可得12

21515

1222a a a +++=-L 【点睛】

本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,属于基础题.

18.如图所示,四边形ABCD 为菱形,且120ABC ∠=?,2AB =,//BE DF ,且BE DF ==

DF ⊥

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