高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课后训练 新人教A版必修1

3.1.1 方程的根与函数的零点

课后训练

基础巩固

1．若二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac＜0，则该函数的零点个数是( ) A．1 B．2

C．0 D．无法确定

2．下列函数中在区间[3,5]上有零点的是( )

A．f(x)＝2x ln(x－2)－3 B．f(x)＝－x3－3x＋5

C．f(x)＝2x－4 D．f(x)＝

1

x

-＋2

3．如果函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )

A．0,2 B．0，

1 2 -

C．0，1

2

D．2，

1

2

4．已知函数f(x)＝

(4),0,

(4),0,

x x x

x x x

+<

?

?

-≥

?

则函数f(x)的零点个数为__________．

5．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个解所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k

6．若函数f(x)__________．7．求下列函数的零点：

(1)f(x)＝2x＋b；

(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；

(3)f(x)＝log3(x＋2)；

(4)f(x)＝2x－2．

能力提升

8．若函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )

A．f(0)＞0，f(2)＜0

B．f(0)·f(2)＜0

C．在区间(0,2)内，存在x1，x2，使f(x1)·f(x2)＜0

D．以上说法都不正确．

9．函数()

1 e x

f x

x

=-(其中e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )

A．

1

0,

2

??

?

??

B．

1

,1

2

??

?

??

C．

3

1,

2

??

?

??

D．

3

,2

2

??

?

??

10．已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)－g(x)＝－x－3，根据所给数表，判断f(x)

A．(－

C．(1,2) D．(2,3)

11．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )

A．一定有零点

B．一定没有零点

C．可能有两个零点

D．至多有一个零点

12．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )

A．a＜α＜b＜β

B．a＜α＜β＜b

C．α＜a＜b＜β

D．α＜a＜β＜b

132

14．(压轴题)已知关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0．

(1)若此方程有两个实根，且都比

1

2

-小，求实数m的取值范围；

(2)若此方程有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的取值范围．错题记录

参考答案

1．B 点拨：∵Δ＝b 2

－4ac ＞0，∴二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，即二次

函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有2个零点．

2．A 点拨：检验f (3)f (5)是否小于零．

3．B 点拨：因为函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，即2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a ．

所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． 故函数g (x )有两个零点0，12

-． 4．3 点拨：零点为－4,0,4，共3个．

5．1 点拨：设f (x )＝e x －x －2，

则f (－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，

f (0)＝1－2＝－1＜0，

f (1)＝2.72－3＝－0.28＜0，

f (2)＝7.39－4＝3.39＞0，

f (3)＝20.09－5＝15.09＞0，

∴f (1)·f (2)＜0，

∴函数f (x )的零点所在的区间为(1,2)，则k ＝1．

6．－3 点拨：根据函数解析式，由韦达定理得x 1＋x 2＝2a a

-

＝－2，即得结论． 7．解：(1)令2x ＋b ＝0，解得2b x =-，即函数f (x )＝2x ＋b 的零点是2b x =-． (2)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或3，即函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的零点是x 1＝－1，x 2＝3．

(3)令log 3(x ＋2)＝0，解得x ＝－1，即函数f (x )＝log 3(x ＋2)的零点是x ＝－1．

(4)令2x －2＝0，解得x ＝1，即函数f (x )＝2x －2的零点是x ＝1．

8．D

9．B 点拨：函数在区间(a ，b )上有零点，则需函数图象在区间(a ，b )上连续，且在两端点处的函数值异号，即f (a )f (b )＜0．把选项中的各端点值代入验证可知应选B ．

10．C 点拨：由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2.72－4＝－1.28，

f (2)＝

g (2)－2－3＝7.39－5＝2.39，

∵f (1)f (2)＜0，

∴函数f (x )的一个零点所在区间为(1,2)．

11．C 点拨：由二次函数的图象可知，当Δ＞0，且a ＜2

m -＜b 时，函数f (x )在区间(a ，b )内可能有两个零点．

12．C 点拨：∵α，β是函数f (x )的两个零点，

∴f (α)＝f (β)＝0．

又f (a )＝f (b )＝－2＜0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间．故选C ．

13．{x |x ＜－2，或x ＞3} 点拨：由图表可知f (－2)＝f (3)＝0，且当x ∈(－2,3)时，

y ＜0，

故当x ∈(－∞，－2)(3，＋∞)时，y ＞0．

14．解：设f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1．

(1)问题转化为函数f (x )的两个零点都在直线12

x =-

的左侧，满足题意的函数图象如图①所示，结合函数图象有：

图①

244(1)0,

11,22111210,222m b a

f m ???=-+≥??-=-<-?????????-=-+?-++>? ? ? ?????

??? 解得14

-＜m ≤0． 故实数m 的取值范围是1,04??- ???

． (2)问题转化为函数f (x )的两个零点分居在直线x ＝2的两侧，如图②结合函数图象有f (2)＝m ＋9＜0，解得m ＜－9．

故实数m 的取值范围为(－∞，－9)．

图②

函数、方程及其应用(1)

、选择题 1. (上海文)17若x o 是方程式lgx ?x=2的解，贝U x o 属于区间 () (A ) (0, 1) . ( B) (1 , 1.25) . (C) ( 1.25, 1.75) ( D) (1.75, 2) 答案D 7 7 1 【解析】 构造函数 f (x) = lg x ? x -2,由 f(1.75) = f( ) = lg 0 4 4 4 f(2)=lg2 0知 X 。属于区间(1.75，2) 2. (湖南文) 3.某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是 A A A. y = _1Ox 200 B. y =10x 200 答案A 3. (陕西文)10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10人推选一名代表，当各班人数 除以10的余数大.于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数x 之间的 函数关系用取整函数 y =[x ] ([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 x x + 3 x+4 x + 5 (A) y = [ — ] (B) y = [- 3 ] (C) y = [- 4 ] (D) y = [- 5 ] 10 10 10 10 答案B 解析：法一：特殊取值法，若 x=56, y=5,排除C D,若x=57, y=6，排除A 所以选B 当 6 ：：：〉_9时，仝3 二 m ' 3 = m 1 x 1，所以选 B _ 10 . IL 10 . |l 10 1 3. (浙江文)(9)已知x 是函数f(x)=2x + 的一个零点 若X 1 €( 1, X ° ), 1 —X X 2 €( X 。, +旳),则 (A ) f( x 1) v 0, f( x 2) v 0 ( B ) f( x 1) v 0, f( x 2) > 0 (C ) f( X 1) >0, f( X 2) v 0 ( D ) f( X 1) >0, f( X 2) > 0 A C. y - _10x - A D. y=10x_200 法二：设 x = 10m 11 二(0 _ ： - 9), 。》6 时晋…

高一数学函数与方程知识点整理

高一数学函数与方程知识点整理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。精品小编准备了高一语文函数与方程知识点，希望你喜欢。 1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)0，则方程f(x)=0在[-1,1]内() A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析：由f -12f 120得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数， f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根. 答案：C 2.(2019长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表： x123456 f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064 则函数f(x)存在零点的区间有 A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号， f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点. 答案：C 3.若a1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是 A.(3.5，+) B.(1，+) C.(4，+) D.(4.5，+) 解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为 (n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4，又nm，故(n+m)1n+1m4，则 1n+1m1. 答案：B 4.(2019昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f(x) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析：函数f(x)的导数为f(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-10，g(2)=ln 2-120，所以函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 答案：B

方程的根与函数的零点

方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：

专题三函数与方程及函数的应用

高三二轮复习专题三 函数与方程及函数的应用 主备教师：xxx 审核：xxx 班级___________ 姓名____________ 【考试要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3、了解函数模型的广泛应用。 【高考试题回放】 1、（2011天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ． ()2,1-- Ｂ． ()1,0- Ｃ． ()0,1 Ｄ． ()1,2 2、（2011山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3 ()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 3、（2011湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系： ()30 02 t M t M -=，其中 M 为0=t 时铯137 的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克 4、（2011北京理6）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件 产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16 【课内探究】探究一、确定函数的零点 例1.设函数1()ln (0)3 f x x x x = ->，则f(x)（ ） A ．在区间1[,1],(1,)e e 内均有零点 B.在区间1[,1],(1,)e e 内均无零点 C.在区间 1 [,1]e 内有零点，在区间（1，e ）内无零点 D ．在区间 1 [,1]e 内无零点，在区间（1，e ）内有零点

高中数学--函数与方程

函数与方程 一、函数的零点概念 教材中具体的定义：对于函数)(x f y =,我们把使 0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点。 可以这样理解：① 函数)(x f y =的零点就是 方程0)(=x f 的实数根 ② 函数)(x f y =的零点就是 函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标 二、用二分法求方程的近似解 二分法 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 举例理解： 二次函数f （x ）=x 2－2x －3的图象（如下图），函数f （x ）=x 2－2x －3在区间［－2，1］上有零点. 计算f （－2）×f （1） （＞ 还是 ＜ ） 0 在区间［2，4］的端点上，即f （2）·f （4）＜0，函数f （x ）=x 2－2x －3在（2，4）内有零点。

例1 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） 例2 下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 三、零点分类：不变号零点和变号零点 不变号零点 )(x f y ==函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ） （A ）（-3，-1） （B ）（-1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4） 变号零点 函数零点的存在性定理(仅适合变号零点):

应用：仅能判断零点的存在性，或者判断零点所在的区间命题方法判断零点的个数及所在的区间 典例(1)已知函数f(x)＝6 x－log2 x，在下列区 间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)(2)函数f(x)＝2x－ 2 x－ a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 【解题法总结】函数零点问题的解题方法 (1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 ①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上． ②利用零点存在性定理进行判断． ③画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． (2)判断函数零点个数的方法

方程的根与函数的零点题型及解析

方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

方程的根与函数的零点练习答案

方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝1 3 x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间????1e ，1，(1，e )内均有零点 B ．在区间??? ?1 e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间????1 e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 4．函数y ＝3 x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0) 5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定 6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根 7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 9．函数f (x )＝2x －log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0，1 4 B.????14，12 C.??? ?1 2，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ) A.(－1,0) B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )

2 函数与方程及函数的实际应用

1．函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内， 则下一步可断定该根所在的区间为( )． A ．(1.4,2) B ．(1.1,4) C.? ????1，32 D.? ?? ??32，2 3．设函数f (x )＝13 x －ln x ，则函数f (x )( )． A ．在区间? ?? ??1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间? ?? ??1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间? ?? ??1e ，1内有零点，在(1，e)内无零点 D ．在区间? ?? ??1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点 4．已知f (x )＝????? x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )． A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 6．已知0＜a ＜1，函数f (x )＝a x －|log a x |的零点个数为________． 7．已知函数f (x )＝? ?? ??15x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)________0(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．

高中数学经典解题技巧(函数与方程及函数的实际应用)

高中数学经典解题技巧（函数与方程及函数的实际应用）【编者按】函数与方程及函数的应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的重点和难点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下函数与方程及函数的实际应用的经典解题技巧。 首先，解答函数与方程及函数的实际应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．函数与方程 （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。 2．函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 好了，搞清楚了函数与方程及函数的实际应用的基本内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 一、函数零点问题 考情聚焦：1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容,因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点. 2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。 解题技巧：1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。 2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。

高中数学函数与方程知识点总结 经典例题及解析 高考真题及答案

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有 1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

方程的根与函数的零点教案(新)

《方程的根与函数的零点》教案 一、课题：方程的根与函数的零点 二、课型：新授课 三、课时安排：1课时 四、教学目标：以一元二次函数的图象与对应的一元二次方程的 关系为突破口， 探究方程的根与函数的零点的关系式.发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，探究过程中体验发现乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生分析问题、解决问题的能力. 五、教学重点：函数零点的概念与函数零点存在性. 六、教学难点：探究函数零点存在性. 七、教学内容分析： 函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的 基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带，也是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程便自然地成为了高考考查的焦点，在整个高中数学中占有非常重要的地位. 八、教学方法：启发诱导式. 九、教学工具：黑板与多媒体. 十、教学步骤： 1.导入新课 解方程比赛： （学生口答） （逐层加深） （无法解） 2.引入课题 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？ （1） （2） (3) 通过一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像可得出结论：一元二次方程的实数根就是与之相应的一元二次函数的图像与X 轴的交点的横坐标. 从而引出函数零点的概念：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点. 注意：（1）“零点”不是一个点； （2）函数零点的意义：就是一元二次方程的实数根，亦是一元二 （3）等价关系：方程y=f(x)的图象与x 函数y=f(x)有零点. 通过上面的关系式的探讨，求函数零点主要方法有：（1）定义法（求方程的实数根）；（2）图象法（利用函数图象确定）. ()1320 x +=求下列方程的根： 032)2(2 =--x x 0 2)3(3=-+x x (4)ln 260 x x +-=0 322=--x x 322--=x x y 0122=+-x x 122+-=x x y 0322=+-x x 322+-=x x y

方程应用题与函数应用

2015方程应用题与函数应用 1（2015?聊城）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花 的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？ 2（2015?威海）为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21课．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． （1）y与x的函数关系式为：； （2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 3（2015?滨州）一种进价为每件40克的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？ 4（2015?济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． （1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？？ （2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

5（2015?潍坊）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 6为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． （1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； （2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 7（2014?威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？ 8（2014年山东烟台）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． （1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） （2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

高中数学必修-函数与方程

高中数学必修 函数与方程 1.函数零点的概念 对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x),x∈D的零点. 注意：函数的零点是实数,而不是点;并不是所有的函数都有零点,若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 2.函数的零点与方程根的联系 由函数零点的概念可知,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. 3.二次函数的零点 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式来确定,具体情形如下表: Δ>0Δ=0Δ<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有两个不相等的实数 根 有两个相等的实数根无实数根 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数有两个零点有一个零点无零点 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 a>0 a<0 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的 交点个数 有两个交点有一个交点无交点 4.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 注意：在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.

【辨析比较】f (a )·f (b )<0与函数f (x )存在零点的关系 ①.若函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,则函数y =f (x )一定有零点. 图1 ②.由函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0,如图1.所以f (a )·f (b )<0是y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号. 注意：若函数f (x )在[a ,b ]上单调,且f (x )的图象是连续不断的一条曲线,则f (a )·f (b )<0?函数f (x )在[a ,b ]上只有一个零点. 5.二分法的概念 对于在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε,用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[a ,b ],验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε. 第二步:求区间(a ,b )的中点x 1. 第三步:计算f (x 1). (1)若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点; (2)若f (a )·f (x 1)<0,则令b =x 1(此时零点x 0∈(a ,x 1)); (3)若f (x 1)·f (b )<0,则令a =x 1(此时零点x 0∈(x 1,b )). 第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b ),否则重复第二、三、四步. 7.常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)． (2)反比例函数模型：y ＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．

《方程的根与函数的零点》测试题

《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).

A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.

解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.

方程、不等式与一次函数专题(实际应用)

方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用） 题型一：方程、不等式的直接应用 典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知： 在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．． 每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份． （2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内． 典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资 为b 元． （1）求a ，b 的值； （2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？ 配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元 买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运 会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五 月份的工资情况信息： （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 题型二：方案设计 典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。