反比例函数拓展题
反比例函数经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k故S=|k|从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|
例题讲解
【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2
都在函数y=4
x（x＞0）
的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐
标为 .
1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、
P2、P3…P n都在函数y=4
x
（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则
点A10的坐标为
2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=
1
x
的图像上，如果△PAB的面积为6，
求P点的坐标。
【例2】如右图，已知点（1,3上，E是对角线BD的中点，函数y=
解答下列各题
1.求k的值
2.求点C的横坐标（用m表示）
3.当∠ABD=45°时，求m的值112
【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应）
（1）求∠FOE；
（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。
【例4】已知：如右图，已知反比例函数y=2k x
和一次函数y=2x -1，其中一次函数的图像经过（a ，b ），（a+1，b+k ）. （1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？
若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
已知反比例函数y=
2k x 和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式； （2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标：
（3）根据函数图象，求不等式2k x
＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
一、 巩固练习： 1、已知反比例函数y=
k x
图象过第二象限内的点A （-2，m ），作AB ⊥x 轴于B ，Rt △AOB 面积为3；若直 线y=ax+b 经过点A ，并且经过反比例函数y=k x 的图象上另一点C （n ，-1）． （1）反比例函数的解析式为_____ ，m= ，n= ；
（2）求直线y=ax+b 的解析式；
（3）设直线y=ax+b 与x 轴交于M ，求AM 的长；
（4）根据图象写出使反比例函数y=
k x
值大于一次函数y=ax+b 的值的x 的取值范围。
2、已知如图：矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 为对角线BD 的中点，点B 、D 的坐标分别为B （1，0），D （3，3），反比例函数y=k x
的图象经过A 点， （1）写出点A 和点E 的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
3、如右图已知反比例函数y=k x
（k ＜0）的图像经过点A （m ），过A 点作AB ⊥x 轴于
点B,且△AOB 123
(1)求k 和m 的值
(2)若一次函数y=ax+1的图像经过点A ，并且与x 轴相交于点M,求∠AMO 和|AO|:|AM|的值
（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角
．
1、已知：如右图已知反比例函数y=12
x
的图像与一次函数y=kx-7的图像都经过P（m，2）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值．