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完整word版,苏州大学高数上期末复习题4

完整word版,苏州大学高数上期末复习题4
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复习题四

一. 填空题: 1.(5分)

()2

ln cos d x dx

??=?? 。

2.(5分)若()f x 在[],a b (其中a b <)上连续,在(),a b 上二阶 可导,且 ,则()y f x =在[],a b 上的曲线是凸的。

3.(5分)4

2

21x dx x

-=+? 。 4.(5分)设()f x '在[]1,3上连续,则[]

3

2

1

()1()f x dx f x '=+?

5.(5分)已知3,5,8,a b a b ==+=r r r r 则a b =r r g 。

二. 单选题:

1.(5分)已知曲线L 的参数方程是2(sin )

2(1cos )

x t t y t =-??=-?,则曲线L 上

2

t π=

处的切线方程是:

(A )x y π+=; (B )4x y π-=-; (C )x y π-=; (D )4x y π+=-; 答:( ) 2.(5分)设2()(1)()f x x g x =-,其中()g x 在1x =及其邻域有定义, 则1

lim ()x g x →存在是()f x 在1x =处可导的

(A )充分条件; (B) 必要条件; (C )既不充分又不必要条件; (D )充要条件; 答:( )

3.(5分)设()sin cos22

x

f x x =+,则()27()f π的值等于

(A )0; (B )27

1

2-; (C )2727122

-

; (D )27

2; 答:( )

4.(5分)下列各命题中哪一个是正确的?

(A )()f x 在(,)a b 内的极值点,必定是使()0f x '=的点。 (B )()0f x '=的点,必定是()f x 的极值点。

(C )()f x 在(,)a b 内取得极值的点处,其导数()f x '必不存在。 (D )()0f x '=的点是()f x 可能取得极值的点。

答:( )

5.(5分)若2,01

(),12x x f x x x ?≤<=?≤≤?

,则0()()x x f t dt φ=?在开区间(0,2)上

(A )有第一类间断点; (B )有第二类间断点; (C )两类间断点都可能有; (D )是连续的; 答:( )

三. 试解下列各题:

1.(5分)已知()y y x =由参数方程21cos x t y t

?=+?=?所确定,求220lim t d y

dx →。

2.(5分)求极限1lim

(1)x

x x e →∞

-。

3.(6分)计算4220cos sin x xdx π

?。

4.(6分)计算dx +?

5.(6分)计算(12sin )x x e dx --?。

6.(6分)证明:方程sin (,0)x a x b a b =+>至少有一正根,

并且它不超过a b +。

四.(6分)若存在两实数,()

<,使函数()

a b a b

f x对一切实数x

满足()(),()()

f a x f a x f b x f b x

-=-+-=-+,

试证:()

=-为周期的周期函数。

f x是以2()

T b a

五.(10分)求曲线

y=

==所围成的平面图形面积最小。

x x

0,2

苏州大学 高等数学(上)课程(十三)卷参考答案 共3页 院系

专业

一. 1.22tan x x - 2.()0f x ''<

3.3

arctan 3

x x x C -++

4.arctan (3)arctan (1)f f - 5.15 二.

1.B 2。D 3。A 4。D 5。D 三. 1. 解:

()sin ()2dy y t t dx x t t '-==', (2分) 22231cos sin 1sin cos 224d y t t t t t t

dx t t t --=-=, (1分) 2232000sin cos sin 1lim lim lim 41212

t t t d y t t t t t dx t t →→→-=== (2分) 2.解:原式=11

lim 1x

x e x

→∞

- (3分) 11

221()lim

lim 11

x

x x x e x e x

→∞

→∞-

===- (2分)

3.解:原式=4220cos (1cos )x x dx π

-? (2分)

=4

6220031531cos cos 4226422

xdx xdx ππ

ππ

-=

-?? (2分) =

32

π

(2分)

4

10

ln(1)2t

t t tdt +?g (2分)

=1

3

130

22ln(1)331t t t dt t +-+? (2分) =

1202ln 221

(1)331t t dt t --+-+? =2ln 22114ln 25(1ln 2)333239

--+-=- (2分) 5.解:原式=2sin x x e e xdx ----? (2分)

sin sin cos x x x

e xdx e x e xdx ---=-+??

=sin cos sin x x x e x e x e xdx ------?

1

sin (sin cos )2x x e xdx e x x C --∴=-++? (3分)

∴原式=(sin cos )x x e e x x C ---+++

(1分)

6.证明:若有根,则sin x a x b a b =+≤+,不超过a b +, (2分) 设()sin f x x a x b =--,

则(0)0,()(1sin())0f b f a b a a b =-<+=-+≥, 若()0f a b +=,则x a b =+已满足题意,

否则()0f a b +>,在[0,]a b +上用零点存在定理知: (0,)a b +上有零点存在。 (4分) 四.证明:,(2())((2))x R f x b a f b x b a ?∈+-=++-

=((2))(2)f b x b a f a x --+-=-- (3分) =(())(())()f a a x f a a x f x -+-=+--= (3分)

五.解:y '=

,故y =

(t 处的切线方程为:

)

y x t

-=-

,即:y x

=(4分)

2

()

2

s t x dx

??

=+-

?

??

??

?

2

33

+≥-,(4分)

=s取最小值,

即1

t=,切线为:210

x y

-+=(2分)

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