第3课时多项式
学习目的和要求:
1、通过用整式来表示事物间的关系,逐步掌握数学建模思想;
2、理解多项式的升(降)幂排列的概念,会进行多项式的升(降)幂排列。
3、通过尝试和交流,体会多项式升(降)幂排列的可行性和必要性。
4、初步体验排列组合思想与数学美感,培养审美观。
学习重点和难点:
重点:会进行多项式的升(降)幂排列,体验其中蕴含的数学美。
难点:会进行多项式的升(降)幂排列,体验其中蕴含的数学美。
一、情境导入
列代数式:
(1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长是________;
(2)图中阴影部分的面积为________;
(3)某班有男生x人,女生21人,则这个班的学生一共有________人.
观察我们所列出的代数式,是我们所学过的单项式吗?若不是,它又是什么代数式?
一、知识链接
1.单项式的有关概念:
(1)由_____与_____(或_____与_____)相乘组成的代数式叫做单项式.单独的一个___或一个_____也叫单项式.
(2)单项式中的_________叫做这个单项式的系数.
单项式中的________________叫做这个单项式的次数.
2.
3
3
7
a bx
π
-的系数是__________,次数是______________.
二、新知预习
【自主归纳】
1.几个________的和叫做多项式;
2.多项式中的每一个________都叫做这个多项式的项,多项式含有几项,这个多项式叫做_________.
3.不含________的项叫做常数项.
4.多项式里,__________的次数,叫做这个多项式的次数,多项式的次数是几,这个多项式叫做__________.
5.______和______统称为整式.
二、合作探究
探究点一:多项式的相关概念
【类型一】单项式、多项式与整式的识别
指出下列各式中哪些是单项式?哪些
是多项式?哪些是整式?x 2
+y 2
,-x ,
a +b
3,10,6xy +1,1x ,17m 2n ,2x 2-x -5,2x 2+x
,a 7
. 解析:根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断. 解:
2x 2
+x ,1
x
的分母中含有字母,既不是单项式,也不是多项式,更不是整式. 单项式有:-x ,10,17m 2n ,a 7
;
多项式有:x 2
+y 2
,
a +b
3
,6xy +1,2x 2
-x -5;
整式有:x 2
+y 2,-x ,
a +b
3,10,6xy +1,17
m 2n ,2x 2-x -5,a 7
. 方法总结:(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式;(2)单项式和多项式都是整式;
(3)单项式不含加、减运算,多项式必含加、减运算.
【类型二】 确定多项式的项数和次数
写出下列各多项式的项数和次数,并指
出是几次几项式.
(1)23
x 2
-3x +5; (2)a +b +c -d ;
(3)-a 2+a 2b +2a 2b 2
. 解析:根据多项式的项数是多项式中单项式的个数,多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数,可得答案.
解:(1)23
x 2
-3x +5的项数为3,次数为2,二次三项式;
(2)a +b +c -d 的项数为4,次数为1,一次四项式;
(3)-a 2+a 2b +2a 2b 2
的项数为3,次数为4,四次三项式. 方法总结:(1)多项式的项一定包括它的符号;(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数,而不是各项次数的和;(3)几次项是指多项式中次数是几的项.
【类型三】 根据多项式的概念求字母的取值
已知-5x m +104x m -4x m y 2
是关于x 、y
的六次多项式,求m 的值,并写出该多项式.
解析:根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m +2=6,解得m =4,进而可得此多项式.
解:由题意得m +2=6, 解得m =4,
此多项式是-5x 4+104x 4-4x 4y 2
. 方法总结:此题考查了多项式,解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.
【类型四】 与多项式有关的探究性问题
若关于x的多项式-5x3-mx2+(n-
1)x-1不含二次项和一次项,求m、n的值.
解析:多项式不含二次项和一次项,则二次项和一次项系数为0.
解:∵关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项,
∴m=0,n-1=0,则m=0,n=1.
方法总结:多项式不含哪一项,则哪一项的系数为0.
探究点二:多项式的应用
如图,某居民小区有一块宽为2a米,
长为b米的长方形空地,为了美化环境,准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a 米的扇形花台,在花台内种花,其余种草.如果建造花台及种花费用每平方米为100元,种草费用每平方米为50元.那么美化这块空地共需多少元?
解析:四个角围成一个半径为a 米的圆,阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积.
解:花台面积和为πa 2平方米,草地面积为(2ab -πa 2
)平方米.所以需资金为[100πa 2+50(2ab -πa 2)]元.
方法总结:用式子表示实际问题的数量关系时,首先要分清语言叙述中关键词的含义,理清它们之间的数量关系和运算顺序.
4.若)3(3)2(2
+---a x x a 是关于x 的一次式,则a =______,若它是关于x 的二次二项式,则a =______. 5.多项式52
1)3(2
-++ab b a x y 是关于a 、b 的四次三项式,且最高次项的系数为-2,则x =______,y =______. 6.已知多项式:62
1653222+-+-
+x xy y x m 是六次四项式,单项式z y x m n -4332的次数与这
个多项式的次数相同,求n的值.
板书设计
多项式:几个单项式的和叫做多项式.
多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
常数项:不含字母的项叫做常数项.
多项式的次数:多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数.
整式:单项式与多项式统称整式.
这节课的教学内容并不难,如果采用讲授的方式,很快90%以上的学生都可以理解、掌握.虽然单纯地从学生接受知识的角度,讲授法应该效果更好,但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了.事实证明,学生没有养成一个良好的自主学习的习惯,不会自己阅读、分析题意,他们今后的学习会受到很大的制约.